線(xiàn)性微分方程通解和特解的直接解法

1、Vol.l5No.2(20l0)第15卷第2期（2010）一類(lèi)常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程通解和特解的直接解法溫大偉陳莉王紅芳魏瑾（蘭州城市學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院甘肅蘭州730070）摘 要：提出了求常系戟非齊次錢(qián)桂徵分方程通解衣轉(zhuǎn)解的折方法：先根據(jù)方租的堆構(gòu)和特點(diǎn)令出它的形 式解并代入方3再根據(jù)特征帳的不同直接求出方稅的通解和特解.關(guān)權(quán)詞：非齊次線(xiàn)性磁分方«；iA解冊(cè)解中圖分類(lèi)號(hào):017508文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào)"008-9020（2010）02-064-0244尸+22+令+眾所周知階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的 通解等于它的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解與它本身的一個(gè) 待解之和如果能夠找出對(duì)應(yīng)

2、齊次方程的通解那么 我們面臨的任務(wù)就是尋求非齊次方程的一個(gè)特解. 我們一般常用升階法叭降階法卩叫算子法叭公式解 法現(xiàn)常數(shù)變易法（又名拉格朗日法）叫待定系數(shù)法叭 拉普拉斯變換法叫比較系數(shù)法等許多方法先求出 待解再求通解本文則給出了特殊情形的通解和待 解的直接求法此方法比較簡(jiǎn)潔便于計(jì)算.考慮如下形式的微分方程/ *py+9/=Ax）（1）（其中P，g為不全為牢的常數(shù)且/（x）#0）首先考慮/（x）=a（x）的情形，其中入是常 數(shù)巴&）是關(guān)于戈的一個(gè)m次多項(xiàng)式：PX ）乜¥任我們來(lái)考慮怎樣的函數(shù)可能滿(mǎn)足方程（1）因?yàn)?/G）是多項(xiàng)式化&）與指數(shù)函數(shù)0的乘積而多項(xiàng) 式與指數(shù)函

3、數(shù)的乘枳之導(dǎo)數(shù)仍然是同一類(lèi)的函數(shù)， 根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)直接令y=Q*（*）er其中 0*2（兀）=加山+6» +6"+6*2）是方程解把 八代入方程，然后考慮能否適當(dāng)選取多項(xiàng)式 5血），使?jié)M足方程（1）,為此將y=Q-2&）0,*=入j（力）+y（訓(xùn)廣=入3 篤）+2A（u©）+Q"）“ 代入方程（1）并消去0得（%）+（ 2A+P）+（A2+pA+ ）Q2（x ）=A（x ）上式兩端比較x的同次卑系數(shù)得60(k24-pA+g)=O(m+2 )6. (2A+p)+fel( Z+p 入坤)=0(m+2)(m+1)60 +6, (m+J)(2 入+

4、p )+6, (V+pA+ )叫(m+1 W, +b? m(2A+p )+6/X2+pA y )=6bj 十 2b. (2A+p )+6*( k24?A+g )=atb.(2A+pf+p 出)=a.( 2)(1) 當(dāng)入為特征方程的二重待征根時(shí)，2A+p二ON+p入均=0代入方程組(2)可知(m+2)(m+l) *則氐方程的通解直接為Gq4(m+2)(m+l)(m+1 )m心嚴(yán)（其中為任意常數(shù)）.（2）當(dāng)入為特征方程的單根時(shí)，2X+pX0. 疋+p入代入方程組（2）可血l n lgqf a6(/n+l )/n乂2»p)4 m(22p) 9 9l(2X4p)44收稿日期：2010-01-

5、10作者簡(jiǎn)介:溫大偉（197-）.男甘耒天水人講師研究方向:微分方程.4第15卷第2期(20】0)溫大偉爭(zhēng)：一類(lèi)索系數(shù)非齊次ilttM分方程通解和轉(zhuǎn)解的克接解法Vol.l5No.2(2010)則原方程的特解直接為T(mén)9sl嚴(yán)+叢3也上色匹甜 “山廠+l)(2X+p 產(chǎn)m(2p)2 廠+ 処"*(其中 6-=0).(3) 當(dāng) A 不是特征根時(shí).2X+p #O,X2+pX-H7 #0 代入方稈組(2)可知辭嚴(yán)唏洛 4-6.-6押)(2X+p)入3p入“'則原方程的待解直接為T(mén)X»+. 十野6円卻(2XtP 1廠(入如入均廠入2+pf Q例1求方程f-2/tr1的通解.解方

6、程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為入L2A+ 1=0,可知入“為二重待征根,Pm(x)=L則令QO (bbb2)e代人方程，消去e，比較算的同次番 系數(shù)得6o=|-,因此方程的通解直接為尸(卡 z2+C|X+2)e>(其中 6i=C|t62=C2 為任意常數(shù))例2求方程“的待解.解方程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為入2 5入+6=0.可知入=2為單根，及(*)=1.則令(?(x)= (加U»+62)“代入方程，消去“比較力的同次幕 系數(shù)得以=06產(chǎn)-1，丙此方程的特解直接為/= (其中20).例3求方程/廠升+的特解.解 方程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 入5入*=0可知入=3不是待征根,Pm(

7、x)=L則令 (U (*)=(6/+加祐代入方程，消去J比較兀 的同次菲系數(shù)得因此方程的特綜上所述，可見(jiàn)本文的方法簡(jiǎn)便易行對(duì)/%)= ePi(x)cos6>%4-A(x)8incux(其中入 2 是常數(shù)出(力). 幾Q)分別是關(guān)于尢的/次"次多項(xiàng)式，其中一個(gè)可 為牢)的類(lèi)熨利用聲加原理根據(jù)待征根的不同，也 可直接算出通解和特解此方法也可推廣到高階常 系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程.參考文1朱靈.用升階法求常系數(shù)非齊次A4±«t分方程的轉(zhuǎn) 解卩高尋數(shù)學(xué)研.2002.(2):17-192張菁一奧二階倉(cāng)系數(shù)"齊次賤性微分方程通解的求 解方法J 高辛斂學(xué)研丸,20

8、08,11(3):24-26.(3徐千里一奐常系數(shù)非齊次踐性微分方程的通解幾敎 學(xué)理論與應(yīng)用.2000.20(4):3234(4余智君二階索系數(shù)非齊次錢(qián)性微分方程通解的簡(jiǎn)易 求解法卩重慶工卒嚨學(xué)報(bào),2008.22(8):85-86,111王李常系數(shù)耶齊次線(xiàn)社撮分方程的公式解法J海南 大學(xué)學(xué)報(bào),1999 37(3):292-2946)疚牝師芯大手?jǐn)Ⅲ某邫櫡植懦虜溠行?當(dāng)值分方 «(M).北京：高等裁育出版社.1982.136168王高單，周之條來(lái)思銘王壽松常後分方京：高等義育出版社11978.125-1355第15卷第2期(20】0)溫大偉爭(zhēng)：一類(lèi)索系數(shù)非齊次ilttM分方程通解和轉(zhuǎn)

9、解的克接解法Vol.l5No.2(2010)5第15卷第2期(20】0)溫大偉爭(zhēng)：一類(lèi)索系數(shù)非齊次ilttM分方程通解和轉(zhuǎn)解的克接解法Vol.l5No.2(2010)A Class of Constant Coefficient Non-homogeneous Linear DifferentialEquation with General Solution and Special Solution of the Direct MethodWEN Da-wei CHEN Li WANG Hong-fang WEI Jin(College of Mathematics,Lanzhou City

10、UniversitytLanzhou Gansu 730070)Abstract:The constant coefficient non -homogeneous linear differential equation with general solution and special solution of the new method: firet, according to the stweture and charactenstics of the equation* so that the solution out of its fbnn and tiubelituting in

11、to the equation, then according to the different eigenvalues, directly derived the general solution and special solution of the equation. Key words：non-homogeneou» linear differential equation;general solution;special solution;eigenvalue.責(zé)任編輯:謝繼國(guó)5一類(lèi)常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程通解和特解的直接解法作者：溫大偉， 陳莉，王紅芳，魏瑾，WEN Da

12、-wej CHEN Li, WANG Hong-fang WEI Jin作者單位：蘭州城市學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院甘肅蘭州,730070刊名：甘肅高師學(xué)報(bào)英文干刊名：JOURNAL OF GANSU NORMAL COLLEGES年，卷(勒：201Q 15(2)被引用次數(shù)：0次參考文獻(xiàn)(7條)1. 朱靈用升階法求常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的特解期刊論文-高等數(shù)學(xué)研究2002(2)2. 張菁一類(lèi)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程通解的求解方法期刊論文-高等數(shù)學(xué)研究2008(3)3. 徐千里一類(lèi)常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的通解2000(4)4. 余智君二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程通解的簡(jiǎn)易求解法2008(8)5. 王李

13、 常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的公式解法期刊論文-海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)1999(3)6. 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程教研室常微分方程19827. 王高雄.周之銘.朱思銘.王壽松 常微分方程1978相似文獻(xiàn)(10條)1. 期刊論文 唐生強(qiáng).唐清干n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的通解-湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2004,30(5)為研究1階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性常微分方程解的問(wèn)!求證了n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性常微分方程的通解和特解的積分表達(dá)利用韋達(dá)定理和一個(gè)變量替換，對(duì)n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程進(jìn)行降階導(dǎo)出該方程的一個(gè)用積分表示的通解公辯根據(jù)特征根的不同情形給出了通解的各種形式及相應(yīng)的通解 和特解公式

14、.2. 期刊論文 紀(jì)華霞.童宏勝一類(lèi)n階非齊次線(xiàn)性微分方程的通解-重慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)2008,17(2)一般n階非齊次線(xiàn)性微分方程的解法是比較困難，通過(guò)一階非齊次線(xiàn)性微分方程的常數(shù)變易法推廣到fr非齊次線(xiàn)性微分方程得出求通解的方法.3. 期刊論文 張菁一類(lèi)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程通解的求解方法-高等數(shù)學(xué)研究2008,11 (3)根據(jù)一類(lèi)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程系數(shù)的特點(diǎn)利用降階法給出了求其通解的一種簡(jiǎn)便方法當(dāng)方程的系數(shù)滿(mǎn)足新方法的要求時(shí)非齊次項(xiàng)的 選擇范圍較大不局限于通常的兩類(lèi)型.4. 期刊論文 佘智君.SHE Zhi-jun二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程通解的簡(jiǎn)易求解法-重慶工學(xué)院學(xué)

15、報(bào)(自然科學(xué)版)2008,22(8)介紹了求解二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程2種簡(jiǎn)易方法-降階法和積分法擴(kuò)大了可求解二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的范瞬舉例說(shuō)明了它 們的應(yīng)用.5. 期刊論文 王煥 求二階和三階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程特解的一個(gè)公式-高等數(shù)學(xué)研究2006,9(3)基于微分算子分裂的思想受U階線(xiàn)性方程求解公式的啟腿用多重積分交換積分順序的技巧得到求二階和三階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程特解 的一般性公式.6. 期刊論文 郭世貞.張繼紅.GUO Shi-zhen. ZHANG Ji-hong常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程特解的一種公式化解法-高 等數(shù)學(xué)中微分方程教學(xué)方法的一種新嘗試-大學(xué)數(shù)學(xué)20

16、05,21(5)給出了常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程特解的一種新的公式化求解方它有助于學(xué)生全面了解方程的解法更于記憶和應(yīng)用并且擴(kuò)大了可求解方程的范 圍.7. 期刊論文 邢春峰.袁安鋒.王朝旺.XING Chun-feng. YUAN An-feng. WANG Chao-wan求二階線(xiàn)性常系數(shù)非齊次微分方程通解的一種新方法-北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2009,23(3) 為了更多地得到理論上和應(yīng)用上占有重要地位的二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的通這里使用常數(shù)變易法在先求得二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方 程一個(gè)特解的情況下將二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程轉(zhuǎn)化為可降階的微分方艇而給出了一種運(yùn)算量較小的二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程通解的 一般公式并且將通解公式進(jìn)行了推廣實(shí)例證明該方法是可行的.8. 期刊論文 文淑慧n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程通解的一種顯式表達(dá)式-職大學(xué)報(bào)2001,""(4)本文討論某類(lèi)特定的階常微分方程的求解問(wèn)題并給出一種簡(jiǎn)單可行的解法.9. 期刊論文 鞠晶.Ju Jing常數(shù)變易法求解一類(lèi)四階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程-中國(guó)科技信息2007,""(7)利用常數(shù)變易法求解具有實(shí)特征根的四階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方在