一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

1、22.2.4 一元二次方程一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？一元二次方程的根的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？) 0( 02acbxaxacb42沒(méi)有實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根000) 04(2422acbaacbbx4 4、求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè) 根分別為根分別為2 2和和3;3;-4-4和和7;7;3 3和和-8;-8;-5-5和和-2-2x2-5x+6=0 x2-3x-28=0(

2、x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0(x+5)(x+2)=0(x+4)(x-7)=0(x-2)(x-3)=0 x2+7x+10=0問(wèn)題問(wèn)題1 1：從求這些方程的過(guò)程中你發(fā)現(xiàn)根：從求這些方程的過(guò)程中你發(fā)現(xiàn)根 與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？新課講解新課講解如果方程如果方程x2+px+q=0有兩個(gè)根是有兩個(gè)根是x1,x2 那么有那么有x1+ x2=-p, x1 x2=q猜想：猜想：2x2x2 2-5x+3=0,-5x+3=0,這個(gè)方程的兩根之和，這個(gè)方程的兩根之和，兩根之積是與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？?jī)筛e是與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？問(wèn)題問(wèn)題2 2；對(duì)于一元二次方程的

3、一般式是否也；對(duì)于一元二次方程的一般式是否也具備這個(gè)特征？具備這個(gè)特征？x2=1解得：解得：x1=23所以得到所以得到,x1+x2=25x1 x2=23填寫(xiě)下表：填寫(xiě)下表：1x2x21xx 21xx abac猜想：猜想：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根的兩個(gè)根分別是分別是 、 ，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？)0(02acbxax1x2x0432xx0652xx01322 xx23212123214656531213434已知：如果一元二次方程已知：如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x求證

4、：求證：推導(dǎo):aacbbaacbbxx24242221aacbbacbb24422ab22abaacbbaacbbxx2424222122244aacbb244aacac 如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 ，那么：，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x這就是一元二次方程一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系，也叫，也叫韋達(dá)定理韋達(dá)定理。一元二次方程的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系 16世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)韋達(dá)發(fā)現(xiàn) 代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此,人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理韋達(dá)定理。數(shù)學(xué)原本只是韋達(dá)的業(yè)余愛(ài)好，

5、但就是這個(gè)業(yè)余愛(ài)好，使他取得了偉大的成就。韋達(dá)是第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)字母表示數(shù)的人，并且對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行了很多改進(jìn)。是他確定了符號(hào)代數(shù)的原理與方法，使當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)系統(tǒng)化并且把代數(shù)學(xué)作為解析的方法使用。因此，他獲得了“代數(shù)學(xué)之父代數(shù)學(xué)之父”之稱。 0462 xx01522 xx522x05322 xx0732xx1.3.2.4.5. 口答下列方程的兩根之和與兩根之積?？诖鹣铝蟹匠痰膬筛团c兩根之積。練習(xí)：練習(xí)：下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？013. 12 xx 223 .22 xx 032 .32 xx xx214 .42返回12

6、,xx2241 0 xx 2212xx222121212()2xxxxx x2122 ()2 5212121, 2xxxx212121,2xxxx例例2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程 兩個(gè)根的；（兩個(gè)根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒數(shù)和）倒數(shù)和01322xx解：設(shè)方程的兩個(gè)根是解：設(shè)方程的兩個(gè)根是x1 x2，那么，那么 32123112413212232121,2321212122221212212121xxxxxxxxxxxxxxxx返回例例1. 不解方程，求方程不解方程，求方程 的的兩根的平方和、倒數(shù)和。兩根的平方和、倒數(shù)和。（解法如上）（

7、解法如上）01322 xx用根與系數(shù)的關(guān)系，不解方程，用根與系數(shù)的關(guān)系，不解方程，幾種常見(jiàn)的求值幾種常見(jiàn)的求值2111. 1xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 4xx221)(xx 212214)(xxxx 求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí)求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí),一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式兩根之積的形式,再整體代入再整體代入.例如例如：已知方程：已知方程 x22x1的兩根為的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的

8、值。不解方程，求下列各式的值。 （1）（）（x1x2）2 （2）x13x2x1x23 （3）212112xxxx1 1、如果、如果-1-1是方程是方程2X X2 2X+m=0X+m=0的一個(gè)根，則另的一個(gè)根，則另 一個(gè)根是一個(gè)根是_，m =_m =_。2 2、設(shè)、設(shè) X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的兩個(gè)根，則的兩個(gè)根，則 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( = ( X1+X2)2 - - _ = _ ( ( X1-X2)2 = ( ( _ )2 - - 4X1X2 = _ 3、判斷正誤：、判斷正誤： 以以2和和-3為根的方程是為根的方程

9、是X X2 2X-6=0 X-6=0 （ ）4 4、已知兩個(gè)數(shù)的和是、已知兩個(gè)數(shù)的和是1 1，積是，積是-2-2，則這兩個(gè)數(shù)是，則這兩個(gè)數(shù)是 _ 。X1+X22X1X2-34114122和和-1基基礎(chǔ)礎(chǔ)練練習(xí)習(xí)23 例例2： 已知方程已知方程 的一個(gè)根的一個(gè)根是是2，求它的另一個(gè)根及，求它的另一個(gè)根及k的值的值. 解：設(shè)方程 的兩個(gè)根 分別是 、 ，其中 。 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一個(gè)根是 ，k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx53例例3 3：已知方程已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 是是且且 求求k k的值

10、。的值。 解：由根與系數(shù)的關(guān)系得解：由根與系數(shù)的關(guān)系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k， X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+ X X2 2 2 = 4 = 4 即即( (X X1 1+ X X2 2)2 -2-2X X1 1X X2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8當(dāng)當(dāng)k=4k=4時(shí)，時(shí)， 0 0當(dāng)當(dāng)k=-2k=-2時(shí)，時(shí)，0 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4 或或k=2022kkxx2, 1xx42221xx例例4 4：方程方程

11、有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求mm的取值范圍。的取值范圍。解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1) 0( 0122mmmxmx總結(jié)總結(jié)規(guī)律：規(guī)律：兩根均為負(fù)的條件： X1+X2 且且X1X2 。 兩根均為正的條件： X1+X2 且且X1X2 。 兩根一正一負(fù)的條件： X1+X2 且且X1X2 。 當(dāng)然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件：b2-4ac0 。即： 一正根，一負(fù)根一正根，一負(fù)根0X1X20兩個(gè)正根兩個(gè)正根0X1X20X1+X20兩個(gè)負(fù)根兩個(gè)負(fù)根0X1X20X1+X20練習(xí)：練習(xí)：方程方程x2 (m 1)x 2m 1 0

12、求求m滿足什么條件滿足什么條件時(shí)時(shí),方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的一根為零？方程的一根為零？解:(m1)24(2m1)m26m5兩根互為相反數(shù) 兩根之和m10,m1,且0 m1時(shí),方程的兩根互為相反數(shù).兩根互為倒數(shù) m26m5, 兩根之積2m11 m1且0, m1時(shí),方程的兩根互為倒數(shù).方程一根為0, 兩根之積2m10 且0, 時(shí),方程有一根為零.21m21m引申:1、若ax2bxc0 (a0 0)（1）若兩根互為相反數(shù),則b0;（2）若兩根互為倒數(shù),則ac;（3）若一根為0,則c0 ;（4）若一根為1,則abc0 ;（5）若一根為1,則abc0;（6）若a、c異號(hào),方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，首先要把已知方程化成一般形式. 3.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，要特別注意，方程有實(shí)根的條件，即在初中代數(shù)里，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系. 1.一元二次方