高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限

1、第一章 函數(shù)與極限教學(xué)目的：1、 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2、 了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3、 理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4、 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5、 理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。6、 掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。7、 了解極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8、 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9、 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷

2、點的類型。10、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。教學(xué)重點：1、 復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念；2、 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；3、 極限的概念極限的性質(zhì)及四則運算法則；4、 兩個重要極限；5、 無窮小及無窮小的比較；6、 函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性；7、 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)難點：1、 分段函數(shù)的建立與性質(zhì)；2、 左極限與右極限概念及應(yīng)用；3、 極限存在的兩個準(zhǔn)則的應(yīng)用；4、 間斷點及其分類；5、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。1. 1 映射與函數(shù) 一、集合 1. 集合概念 集合(簡稱集): 集合是

3、指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. 用A, B, C.等表示. 1 / 43 元素: 組成集合的事物稱為集合的元素. a是集合M的元素表示為aM. 集合的表示: 列舉法: 把集合的全體元素一一列舉出來. 例如A=a, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成, 則M可表示為 A=a1, a2, , an, M=x | x具有性質(zhì)P . 例如M=(x, y)| x, y為實數(shù), x2+y2=1. 幾個數(shù)集: N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為自然數(shù)集. N=0, 1, 2, , n, . N+=1, 2, , n, . R表示所有實數(shù)構(gòu)成的集

4、合, 稱為實數(shù)集. Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為整數(shù)集. Z= , -n, , -2, -1, 0, 1, 2, , n, . Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為有理數(shù)集. 子集: 若xA, 則必有xB, 則稱A是B的子集, 記為AB(讀作A包含于B)或BA . 如果集合A與集合B互為子集, AB且BA, 則稱集合A與集合B相等, 記作A=B. 若AB且AB, 則稱A是B的真子集, 記作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合稱為空集, 記作. 規(guī)定空集是任何集合的子集. 2. 集合的運算 設(shè)A、B是兩個集合, 由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集(簡稱并),

5、記作AB, 即 AB=x|xA或xB. 設(shè)A、B是兩個集合, 由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集(簡稱交), 記作AB, 即 AB=x|xA且xB. 設(shè)A、B是兩個集合, 由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡稱差), 記作AB, 即 AB=x|xA且xB. 如果我們研究某個問題限定在一個大的集合I中進(jìn)行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此時, 我們稱集合I為全集或基本集. 稱IA為A的余集或補(bǔ)集, 記作AC. 集合運算的法則: 設(shè)A、B、C為任意三個集合, 則 (1)交換律AB=BA, AB=BA; (2)結(jié)合律 (AB)C=A(BC), (AB)

6、C=A(BC); (3)分配律 (AB)C=(AC)(BC), (AB)C=(AC)(BC); (4)對偶律 (AB)C=AC BC, (AB)C=AC BC. (AB)C=AC BC的證明: x(AB)CxABxA且xBxA C且xBC xAC BC, 所以(AB)C=AC BC. 直積(笛卡兒乘積): 設(shè)A、B是任意兩個集合, 在集合A中任意取一個元素x, 在集合B中任意取一個元素y, 組成一個有序?qū)?x, y), 把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略? 它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積, 記為AB, 即 AB=(x, y)|xA且yB. 例如, RR=(x, y)| xR且yR 即為xOy

7、面上全體點的集合, RR常記作R2. 3. 區(qū)間和鄰域 有限區(qū)間: 設(shè)ab, 稱數(shù)集x|axb為開區(qū)間, 記為(a, b), 即 (a, b)=x|axb. 類似地有 a, b = x | a xb 稱為閉區(qū)間, a, b) = x | axb 、(a, b = x | axb 稱為半開區(qū)間. 其中a和b稱為區(qū)間(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端點, b-a稱為區(qū)間的長度. 無限區(qū)間: a, +) = x | ax , (-, b = x | x b , (-, +)=x | | x | +. 區(qū)間在數(shù)軸上的表示: 鄰域: 以點a為中心的任何開區(qū)間稱為點a的鄰域, 記作U(a)

8、. 設(shè)d是一正數(shù), 則稱開區(qū)間(a-d, a+d)為點a的d鄰域, 記作U(a, d), 即 U(a, d)=x | a-d x a+d =x | | x-a|d. 其中點a稱為鄰域的中心, d 稱為鄰域的半徑. 去心鄰域(a, d): (a, d)=x |0| x-a |1時, y=1+x. 例如; ; f(3)=1+3=4. 2. 函數(shù)的幾種特性 (1)函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D, 數(shù)集XD. 如果存在數(shù)K1, 使對任一xX, 有f(x)K1, 則稱函數(shù)f(x)在X上有上界, 而稱K1為函數(shù)f(x)在X上的一個上界. 圖形特點是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方. 如果存

9、在數(shù)K2, 使對任一xX, 有f(x) K2, 則稱函數(shù)f(x)在X上有下界, 而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個下界. 圖形特點是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方. 如果存在正數(shù)M, 使對任一xX, 有| f(x) |M, 則稱函數(shù)f(x)在X上有界; 如果這樣的M不存在, 則稱函數(shù)f(x)在X上無界. 圖形特點是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y= - M和y = M的之間. 函數(shù)f(x)無界, 就是說對任何M, 總存在x1X, 使| f(x) | M. 例如 (1)f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. (2)函數(shù)在開區(qū)間(0, 1)內(nèi)是無上界的

10、. 或者說它在(0, 1)內(nèi)有下界, 無上界. 這是因為, 對于任一M1, 總有x1: , 使 , 所以函數(shù)無上界. 函數(shù)在(1, 2)內(nèi)是有界的. (2)函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域為D, 區(qū)間I D. 如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2, 當(dāng)x1x2時, 恒有 f(x1) f(x2), 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的. 如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2, 當(dāng)x1 f(x2), 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 函數(shù)單調(diào)性舉例: 函數(shù)y = x2在區(qū)間(-, 0上是單調(diào)增加的, 在區(qū)間0, +)上是單調(diào)減少的, 在（

11、-, +）上不是單調(diào)的. (3)函數(shù)的奇偶性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱(即若xD, 則-xD). 如果對于任一xD, 有f(-x) = f(x), 則稱f(x)為偶函數(shù). 如果對于任一xD, 有f(-x) = -f(x), 則稱f(x)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱, 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱, 奇偶函數(shù)舉例: y=x2, y=cos x 都是偶函數(shù). y=x3, y=sin x都是奇函數(shù), y=sin x+cos x是非奇非偶函數(shù). (4)函數(shù)的周期性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D. 如果存在一個正數(shù)l , 使得對于任一xD有(xl)D, 且 f(x+l) = f(x)則稱f

12、(x)為周期函數(shù), l 稱為f(x)的周期. 周期函數(shù)的圖形特點: 在函數(shù)的定義域內(nèi), 每個長度為l 的區(qū)間上, 函數(shù)的圖形有相同的形狀. 3反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù): 設(shè)函數(shù)f : Df(D)是單射, 則它存在逆映射f -1: f(D)D, 稱此映射f -1為函數(shù)f的反函數(shù). 按此定義, 對每個yf(D), 有唯一的xD, 使得f(x)=y, 于是有 f -1(y)=x. 這就是說, 反函數(shù)f -1的對應(yīng)法則是完全由函數(shù)f的對應(yīng)法則所確定的. 一般地, y=f(x), xD的反函數(shù)記成y=f -1(x), xf(D). 若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù), 則f : Df(D)是單射, 于是f的反函數(shù)

13、f -1必定存在, 而且容易證明f -1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù). 相對于反函數(shù)y=f -1(x)來說, 原來的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù). 把函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f -1(x)的圖形畫在同一坐標(biāo)平面上, 這兩個圖形關(guān)于直線y=x是對稱的. 這是因為如果P(a, b)是y=f(x)圖形上的點, 則有b=f(a). 按反函數(shù)的定義, 有a=f -1(b), 故Q(b, a)是y=f -1(x)圖形上的點; 反之, 若Q(b, a)是y=f -1(x)圖形上的點, 則P(a, b)是y=f(x)圖形上的點. 而P(a, b)與Q(b, a)是關(guān)于直線y=x對稱的. 復(fù)合函數(shù): 復(fù)合函

14、數(shù)是復(fù)合映射的一種特例, 按照通常函數(shù)的記號, 復(fù)合函數(shù)的概念可如下表述. 設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域為D 1, 函數(shù)u=g(x)在D上有定義且g(D) D 1, 則由下式確定的函數(shù) y=fg(x), xD稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)y=f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù), 它的定義域為D, 變量u稱為中間變量. 函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為, 即 ()=fg(x). 與復(fù)合映射一樣, g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的條件是: 是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域D f內(nèi), 即g(D)D f. 否則, 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定義域為-1, 1, 在上有定義

15、, 且g(D)-1, 1, 則g與f可構(gòu)成復(fù)合函數(shù) , xD; 但函數(shù)y=arcsin u和函數(shù)u=2+x2不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù), 這是因為對任xR, u=2+x2均不在y=arcsin u的定義域-1, 1內(nèi). 多個函數(shù)的復(fù)合: 4. 函數(shù)的運算 設(shè)函數(shù)f(x), g(x)的定義域依次為D 1, D 2, D=D 1D 2, 則我們可以定義這兩個函數(shù)的下列運算: 和(差)f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 積f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 商: , xDx|g(x)=0. 例11設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(-l, l), 證明必存在(-l, l)上的

16、偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x), 使得 f(x)=g(x)+h(x). 分析 如果f(x)=g(x)+h(x), 則f(-x)=g(x)-h(x), 于是 , . 證 作, , 則 f(x)=g(x)+h(x), 且 , . 5. 初等函數(shù) 基本初等函數(shù): 冪函數(shù): y=x m (mR是常數(shù)); 指數(shù)函數(shù): y=a x(a0且a1); 對數(shù)函數(shù): y=loga x (a0且a1, 特別當(dāng)a=e時, 記為y=ln x); 三角函數(shù): y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x; 反三角函數(shù): y=arcsin x, y=arccos

17、x, y=arctan x, y=arccot x . 初等函數(shù): 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù), 稱為初等函數(shù). 例如 , y=sin2x, 等都是初等函數(shù). 雙曲函數(shù): 雙曲正弦: ; 雙曲余弦: ; 雙曲正切: . 雙曲函數(shù)的性質(zhì): sh(x+y)=sh xch ych xsh y; ch(xy)=ch xch ysh xsh y. ch2x-sh2x=1; sh2x=2sh xch x; ch2x=ch2x+sh2x . 下面證明 sh(x+y)=sh xch y+ch xsh y: . 反雙曲函數(shù): 雙曲函數(shù)y=sh x

18、, y=ch x(x0), y=th x的反函數(shù)依次為 反雙曲正弦: y=arsh x; 反雙曲余弦: y=arch x; 反雙曲正切: y=arth x . 反雙曲函數(shù)的表示達(dá)式: y=arsh x是x=sh y的反函數(shù), 因此, 從 中解出y來便是arsh x . 令u=e y, 則由上式有 u 2-2x u-1=0. 這是關(guān)于u的一個二次方程, 它的根為 . 因為u=e y0, 故上式根號前應(yīng)取正號, 于是 . 由于y=ln u, 故得 . 函數(shù)y=arsh x的定義域為(-, +), 它是奇函數(shù), 在區(qū)間(-, +)內(nèi)為單調(diào)增加的. 類似地可得 , . 1. 2 數(shù)列的極限 一個實際問

19、題: 如可用漸近的方程法求圓的面積？ 設(shè)有一圓, 首先作內(nèi)接正四邊形, 它的面積記為A1；再作內(nèi)接正八邊形, 它的面積記為A2；再作內(nèi)接正十六邊形, 它的面積記為A3；如此下去, 每次邊數(shù)加倍, 一般把內(nèi)接正82n-1邊形的面積記為An . 這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積: A1, A2, A3, , An, 設(shè)想n 無限增大（記為n, 讀作n 趨于窮大）, 即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加, 在這個過程中, 內(nèi)接正多邊形無限接近于圓, 同時An 也無限接近于某一確定的數(shù)值, 這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積. 這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的數(shù)（數(shù)列） A1, A2, A3, , An,

20、 當(dāng)n 時的極限. 數(shù)列的概念:如果按照某一法則, 使得對任何一個正整數(shù)n 有一個確定的數(shù)xn , 則得到一列有次序的數(shù) x1, x2, x3, , xn , 這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列, 記為xn, 其中第n 項xn 叫做數(shù)列的一般項. 數(shù)列的例子: : , , , , ; 2n: 2, 4, 8, , 2n , ; : , , , , , ; (-1)n+1: 1, -1, 1, , (-1)n+1, ; : 2, , , , , . 它們的一般項依次為 , 2n, , (-1)n+1, . 數(shù)列的幾何意義:數(shù)列xn可以看作數(shù)軸上的一個動點, 它依次取數(shù)軸上的點x1, x2, x3, ,

21、xn , . 數(shù)列與函數(shù):數(shù)列xn可以看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù): xn=f (n), 它的定義域是全體正整數(shù). 數(shù)列的極限: 數(shù)列的極限的通俗定義：對于數(shù)列xn, 如果當(dāng)n 無限增大時, 數(shù)列的一般項xn無限地接近于某一確定的數(shù)值a, 則稱常數(shù)a 是數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收斂a . 記為. 如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的. 例如 , ; 而2n, (-1)n+1, 是發(fā)散的. 對無限接近的刻劃: xn無限接近于a 等價于|xn-a |無限接近于0, 極限的精確定義: 定義 如果數(shù)列xn與常a 有下列關(guān)系:對于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正整數(shù)N , 使得對于n

22、 N 時的一切xn, 不等式 |xn-a |0, $NN+, 當(dāng)nN時, 有|xn-a|0, 要使|xn-1|0, $N+, 當(dāng)nN時, 有 |xn-1|=, 所以. 例2. 證明. 分析: |xn-0|. 對于e 0, 要使|xn-0|0, $N+, 當(dāng)nN時, 有|xn-0|=,所以. 例3. 設(shè)|q |0, 要使 |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1log|q|e +1就可以了, 故可取N=log|q|e +1。證明: 因為對于任意給定的e 0, 存在N= log|q|e +1, 當(dāng)nN時, 有 | qn-1-0|=|q| n-1e ,所以. 收斂數(shù)列的性質(zhì): 定理1(極限

23、的唯一性) 數(shù)列xn不能收斂于兩個不同的極限. 證明: 假設(shè)同時有及, 且a0, 存在充分大的正整數(shù)N, 使當(dāng)nN時, 同時有|xn-a| 及|xn-b|N 時的一切xn , 不等式|xn-a|N時, |xn|=|(xn -a)+a| | xn-a|+|a|0(或aN時, 有xn0(或xn0的情形證明. 由數(shù)列極限的定義, 對, $NN+, 當(dāng)nN時, 有,從而. 推論 如果數(shù)列xn從某項起有xn0(或xn0), 且數(shù)列xn收斂于a, 那么a0(或a0). 證明 就xn0情形證明. 設(shè)數(shù)列xn從N1項起, 即當(dāng)nN 1時有xn0. 現(xiàn)在用反證法證明, 或a N 2時, 有xnN時, 按假定有x

24、 n 0, 按定理3有x n0, $NN+, 當(dāng)nN時, 有|xn-a|K時, nkkK=N. 于是|-a|N時, 有|xn-a|e 0. 是否有xn a (n ). 2. 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界. 發(fā)散的數(shù)列是否一定無界? 有界的數(shù)列是否收斂? 3. 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 數(shù)列的兩個子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何?發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？4如何判斷數(shù)列 1, -1, 1, -1, , (-1)N+1, 是發(fā)散的？ 1. 3 函數(shù)的極限 一、函數(shù)極限的定義 函數(shù)的自變量有幾種不同的變化趨勢: x無限接近x0 : xx0, x從x0的左

25、側(cè)(即小于x0)無限接近x0 : xx0-, x從x0的右側(cè)(即大于x0)無限接近x0 : xx0+, x的絕對值|x|無限增大: x, x小于零且絕對值|x|無限增大: x-, x大于零且絕對值|x|無限增大: x+. 1自變量趨于有限值時函數(shù)的極限通俗定義: 如果當(dāng)x無限接近于x0 , 函數(shù)f(x)的值無限接近于常數(shù)A, 則稱當(dāng)x趨于x0 時, f(x)以A為極限. 記作f(x)=A或f(x)A(當(dāng)x). 分析: 在xx0的過程中, f(x)無限接近于A就是|f(x)-A|能任意小, 或者說, 在x與x0接近到一定程度(比如|x-x0|d, d為某一正數(shù))時, |f(x)-A|可以小于任意

26、給定的(小的)正數(shù)e , 即|f(x)-A|e . 反之, 對于任意給定的正數(shù)e , 如果x與x0接近到一定程度(比如|x-x0|d, d為某一正數(shù))就有|f(x)-A|e , 則能保證當(dāng)x x0時, f(x)無限接近于A. 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義. 如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正數(shù)d, 使得當(dāng)x滿足不等式0|x-x0|d 時, 對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式 |f(x)-A|0, $d0, 當(dāng)0|x-x0|d時, |f(x)-A|0, 可任取d0 , 當(dāng)0|x-x0|d 時, 有|f(x)-A|=|c-c|=00, 要使|

27、f(x)-A|e , 只要|x-x0|0, $d =e , 當(dāng)0|x-x0|d 時, 有|f(x)-A|=|x-x0|0, 要使|f(x)-A|0, $d=e /2, 當(dāng)0|x-1|d 時, 有|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|0, 要使|f(x)-A|e , 只要|x-1|0, $d=e , 當(dāng)0|x-1|d 時, 有| f(x)-A|=|x-1|0, $d 0, x: x0-dxx0, 有|f(x)-A|0, $d 0, x: x0xx0+d , 有|f(x)-A|X時, 對應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|0, $X0, 當(dāng)|x|X時, 有|f(x)-A|0, 要使|f(x)-A|0, $, 當(dāng)|x|X時, 有, 所以. 直線y=0 是函數(shù)的水平漸近線. 一般地, 如果, 則直線y=c稱為函數(shù)y=f(x)的圖形的水平漸近線. 二、函數(shù)極限的性質(zhì) 定理1(函數(shù)極限的唯一性) 如果極限存在, 那么這極限唯一. 定理2(函數(shù)極限的局部有界性) 如果f(x)A(xx0), 那么存在常數(shù)M0和d