全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題與解答A卷

1、2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試一、填空題1.設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)有.又當(dāng)時(shí)，則的值為_(kāi).2.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是_.3.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程為，為的上焦點(diǎn)，為的右頂點(diǎn)，是上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為_(kāi).4.若一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)碼的差不超過(guò)1，則稱(chēng)其為“平穩(wěn)數(shù)”.平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是5.正三棱錐中，過(guò)的平面將其體積平分，則棱與平面所成角的余弦值為_(kāi).6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集.在中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三點(diǎn)中存在兩點(diǎn)之間距離為的概率為_(kāi).7.在中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).若，的面積為，則的最小值為_(kāi).8.設(shè)兩個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足：，對(duì)任

2、意正整數(shù)，有，則的所有可能值為_(kāi).二、解答題9.設(shè)為實(shí)數(shù)，不等式對(duì)所有成立.證明：.10.設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，求的最小值和最大值.11.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，且（其中表示復(fù)數(shù)的實(shí)部）. （1）求的最小值； （2）求的最小值.2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試一.如圖，在中，為的內(nèi)心，以為圓心，為半徑作圓，以為圓心，為半徑作圓，過(guò)點(diǎn)的圓與,分別交于點(diǎn)（不同于點(diǎn)）.設(shè)與交于點(diǎn).證明：二.設(shè)數(shù)列定義為，.求滿(mǎn)足的正整數(shù)的個(gè)數(shù).三.將方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.若相鄰連個(gè)小方格的顏色不同，則稱(chēng)它們的公共邊為“分隔邊”.試求分隔邊條數(shù)的最小值.四.設(shè)均是大于1的整數(shù)，是個(gè)不超過(guò)的互不相同的正整數(shù)，且互素.證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，均存在一個(gè)，使得，這里表示實(shí)數(shù)到與它最近的整數(shù)的距離.2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試答案1.2.3.4.5.6.7.8