圓和方程知識點整理

1、關(guān)于圓與方程的知識點整理一、標(biāo)準(zhǔn)方程:二、一般方程：1.表示圓方程則2.求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法。3.?？捎脕砬笥嘘P(guān)參數(shù)的范圍三、點與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：點到圓心的距離與半徑的大?。狐c在圓內(nèi)；點在圓上；點在圓外2.涉及最值：（1）圓外一點，圓上一動點，討論的最值（2）圓內(nèi)一點，圓上一動點，討論的最值 四、直線與圓的位置關(guān)系1.判斷方法（為圓心到直線的距離）：（1）相離沒有公共點；（2）相切只有一個公共點；（3）相交有兩個公共點。這一知識點可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍.2.直線與圓相切（1）知識要點：基本圖形主要元素：切點坐標(biāo)、切線方程、切線長等問題：直

2、線與圓相切意味著什么？圓心到直線的距離恰好等于半徑（2）常見題型求過定點的切線方程切線條數(shù)：點在圓外兩條；點在圓上一條；點在圓內(nèi)無求切線方程的方法及注意點i）點在圓外：如定點，圓：，第一步：設(shè)切線方程；第二步：通過，從而得到切線方程特別注意：以上解題步驟僅對存在有效，當(dāng)不存在時，應(yīng)補(bǔ)上千萬不要漏了！如：過點作圓的切線，求切線方程.ii）點在圓上：（1）若點在圓上，則切線方程為（2）若點在圓上，則切線方程為 由上述分析：過一定點求某圓的切線方程，非常重要的第一步判斷點與圓的位置關(guān)系，得出切線的條數(shù).求切線長：利用基本圖形，求切點坐標(biāo)：利用兩個關(guān)系列出兩個方程3.直線與圓相交（1）求弦長及弦長的應(yīng)

3、用問題：垂徑定理及勾股定理常用弦長公式：（2）判斷直線與圓相交的一種特殊方法：直線過定點，而定點恰好在圓內(nèi).（3）關(guān)于點的個數(shù)問題例：若圓上有且僅有兩個點到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是_. 答案：4.直線與圓相離：會對直線與圓相離作出判斷（特別是涉及一些參數(shù)時）五、對稱問題1.若圓，關(guān)于直線，則實數(shù)的值為_.答案：3（注意：時，故舍去）變式：已知點是圓:上任意一點，點關(guān)于直線的對稱點在圓上，則實數(shù)_.2.圓關(guān)于直線對稱的曲線方程是_.變式：已知圓：與圓：關(guān)于直線對稱，則直線的方程為_.3.圓關(guān)于點對稱的曲線方程是_.4.已知直線：與圓：，問：是否存在實數(shù)使自發(fā)出的光線被直線反射后與圓相切

4、于點？若存在，求出的值；若不存在，試說明理由.六、最值問題 方法主要有三種：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）代換；（3）參數(shù)方程1.已知實數(shù)，滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；看作斜率 （2）的最小值；截距（線性規(guī)劃）（3）的最大值和最小值.兩點間的距離的平方2.已知中，點是內(nèi)切圓上一點，求以，為直徑的三個圓面積之和的最大值和最小值. 數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！3.設(shè)為圓上的任一點，欲使不等式恒成立，則的取值范圍是_. 答案：（數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可?。┢?、圓的參數(shù)方程，為參數(shù) ；，為參數(shù)八、相關(guān)應(yīng)用1.若直線（，），始終平分圓的周長，則的取值范圍是_.2.已知圓：，問：是否存在斜率為

5、1的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，寫出直線的方程，若不存在，說明理由. 提示：或弦長公式. 答案：或3.已知圓：，點，設(shè)點是圓上的動點，求的最值及對應(yīng)的點坐標(biāo).4.已知圓：，直線：（）（1）證明：不論取什么值，直線與圓均有兩個交點；（2）求其中弦長最短的直線方程.5.若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍.6.已知圓與直線交于，兩點，為坐標(biāo)原點，問：是否存在實數(shù)，使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.九、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：幾何法（為圓心距）：（1）外離 （2）外切 （3）相交 （4）內(nèi)切 （5）內(nèi)含2.兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共

6、弦方程.補(bǔ)充說明：若與相切，則表示其中一條公切線方程；若與相離，則表示連心線的中垂線方程.3圓系問題（1）過兩圓：和：交點的圓系方程為（）說明：1）上述圓系不包括；2）當(dāng)時，表示過兩圓交點的直線方程（公共弦）（2）過直線與圓交點的圓系方程（3）兩圓公切線的條數(shù)問題：相內(nèi)切時，有一條公切線；相外切時，有三條公切線；相交時，有兩條公切線；相離時，有四條公切線十、軌跡方程（1）定義法（圓的定義） （2）直接法：通過已知條件直接得出某種等量關(guān)系，利用這種等量關(guān)系，建立起動點坐標(biāo)的關(guān)系式軌跡方程.例：過圓外一點作圓的割線，求割線被圓截得的弦的中點的軌跡方程.分析：（3）相關(guān)點法（平移轉(zhuǎn)換法）：一點隨另一

7、點的變動而變動特點為：主動點一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運動.例1.如圖，已知定點，點是圓上的動點，的平分線交于，當(dāng)點在圓上移動時，求動點的軌跡方程.分析：角平分線定理和定比分點公式.例2.已知圓：，點，、是圓上的兩個動點，、呈逆時針方向排列，且，求的重心的軌跡方程.法1：，為定長且等于設(shè)，則取的中點為， （1），故由（1）得：法2：（參數(shù)法）設(shè)，由，則設(shè)，則，由得：參數(shù)法的本質(zhì)是將動點坐標(biāo)中的和都用第三個變量（即參數(shù)）表示，通過消參得到動點軌跡方程，通過參數(shù)的范圍得出，的范圍.（4）求軌跡方程常用到得知識重心，中點，內(nèi)角平分線定理：定比分點公式：，則，韋達(dá)定理.高中數(shù)學(xué)圓的方程

8、典型例題類型一：圓的方程例1 求過兩點、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點與圓的關(guān)系圓的方程為；點在圓外例2 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程圓的方程為，或例3 求經(jīng)過點，且與直線和都相切的圓的方程分析：欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點，故只需確定圓心坐標(biāo)又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解：圓和直線與相切，圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等兩直線交角的平分線方程是或又圓過點，圓心只能在直線上設(shè)圓心到直線的距離等于，化簡整理得解得：或圓心是，半徑為或圓心是，半徑為所求圓的方程為或說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知

9、兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法例4、 設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程滿足兩個條件的圓有無數(shù)個，其圓心的集合可看作動點的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程解法一：設(shè)圓心為，半徑為則到軸、軸的距離分別為和由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對的圓心角為，故圓截軸所得弦

10、長為又圓截軸所得弦長為2又到直線的距離為當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號，此時這時有或又故所求圓的方程為或解法二：同解法一，得將代入上式得：上述方程有實根，故，將代入方程得又由知、同號故所求圓的方程為或說明：本題是求點到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面積最小呢？類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程例5已知圓，求過點與圓相切的切線解：點不在圓上，切線的直線方程可設(shè)為根據(jù) 解得 所以 即 因為過圓外一點作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要

11、注意漏解）還可以運用，求出切點坐標(biāo)、的值來解決，此時沒有漏解例6 兩圓與相交于、兩點，求它們的公共弦所在直線的方程分析：首先求、兩點的坐標(biāo)，再用兩點式求直線的方程，但是求兩圓交點坐標(biāo)的過程太繁為了避免求交點，可以采用“設(shè)而不求”的技巧解：設(shè)兩圓、的任一交點坐標(biāo)為，則有：得：、的坐標(biāo)滿足方程方程是過、兩點的直線方程又過、兩點的直線是唯一的兩圓、的公共弦所在直線的方程為說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線

12、方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識它的應(yīng)用很廣泛例7、過圓外一點，作這個圓的兩條切線、，切點分別是、，求直線的方程。練習(xí)：1求過點，且與圓相切的直線的方程解：設(shè)切線方程為，即，圓心到切線的距離等于半徑，解得， 切線方程為，即，當(dāng)過點的直線的斜率不存在時，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑，故直線也適合題意。所以，所求的直線的方程是或2、過坐標(biāo)原點且與圓相切的直線的方程為 解：設(shè)直線方程為，即.圓方程可化為，圓心為（2，-1），半徑為.依題意有，解得或，直線方程為或.3、已知直線與圓相切，則的值為 .解：圓的圓心為（1，0），半徑為1，解得或.類型三：弦長、弧問題例8、求直線被圓截得的弦的長.例9、直線

13、截圓得的劣弧所對的圓心角為 解：依題意得，弦心距，故弦長，從而OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為.例10、求兩圓和的公共弦長類型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例12、若直線與曲線有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.解：曲線表示半圓，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)的取值范圍是或.例13 圓上到直線的距離為1的點有幾個？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線、的方程，從代數(shù)計算中尋找解答解法一：圓的圓心為，半徑設(shè)圓心到直線的距離為，則如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意又與直線平行的圓的切線的兩個切點中有一個

14、切點也符合題意符合題意的點共有3個解法二：符合題意的點是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點設(shè)所求直線為，則，即，或，也即，或設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則，與相切，與圓有一個公共點；與圓相交，與圓有兩個公共點即符合題意的點共3個說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心到直線的距離為，則圓到距離為1的點有兩個顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1到一條直線的距離等于定值的點，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點求直線與圓的公共點個數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)

15、系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷練習(xí)1：直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是 解：依題意有，解得.，.練習(xí)2：若直線與圓有兩個不同的交點，則的取值范圍是 .解：依題意有，解得，的取值范圍是.3、圓上到直線的距離為的點共有（ ）（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個點到直線的距離等于，所以選C4、過點作直線，當(dāng)斜率為何值時，直線與圓有公共點，如圖所示分析：觀察動畫演示，分析思路PEOyx解：設(shè)直線的方程為即根據(jù)有整理得解得類型五：圓與圓的位置關(guān)系問題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？例14、判斷圓與圓的

16、位置關(guān)系，例15：圓和圓的公切線共有 條。解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，.，兩圓相交.共有2條公切線。練習(xí)1：若圓與圓相切，則實數(shù)的取值集合是 .解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，或，或，解得或，或或，實數(shù)的取值集合是.2：求與圓外切于點，且半徑為的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.兩圓外切于點，所求圓的方程為.類型六：圓中的對稱問題例16、圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是 GOBNMyAx圖3CA例17自點發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切（1）求光線和反射光線所在的直線方程（2）光線自到切點所經(jīng)過的路程分析、略解：觀察動畫演示，分

17、析思路根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點的對稱點的坐標(biāo)為，其次設(shè)過的圓的切線方程為根據(jù)，即求出圓的切線的斜率為或進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為或最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于軸對稱，求出入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得說明：本題亦可把圓對稱到軸下方，再求解類型七：圓中的最值問題例18：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是 解：圓的圓心為（2，2），半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是.例19(1)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值(2)已知圓，為圓上任一點求的最大、最小值，求的最大、最小值分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐

18、標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）則（其中）所以，(法2)圓上點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑1，圓上點到原點距離的最小值等于圓心到原點的距離減去半徑1所以所以(2) (法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)則令，得，所以，即的最大值為，最小值為此時所以的最大值為，最小值為(法2)設(shè)，則由于是圓上點，當(dāng)直線與圓有交點時，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為例20：已知，點在圓上運動，則的最小值是 .解：設(shè)，則.設(shè)

19、圓心為，則，的最小值為.練習(xí)：1：已知點在圓上運動.（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.解：（1）設(shè)，則表示點與點（2，1）連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.（2）設(shè)，則表示直線在軸上的截距. 當(dāng)該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.2 設(shè)點是圓是任一點，求的取值范圍分析一：利用圓上任一點的參數(shù)坐標(biāo)代替、，轉(zhuǎn)化為三角問題來解決解法一：設(shè)圓上任一點則有，即（）又解之得：分析二：的幾何意義是過圓上一動點和定點的連線的斜率，利用此直線與圓有公共點，可確定出的取值范圍解法二：由得：，此直線與圓有公共點，故

20、點到直線的距離解得：另外，直線與圓的公共點還可以這樣來處理：由消去后得：，此方程有實根，故，解之得：說明：這里將圓上的點用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量的范圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識來求解或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便3、已知點，點在圓上運動，求的最大值和最小值.類型八：軌跡問題例21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點與兩個定點，的距離的比為，求點的軌跡方程.例22、已知線段的端點的坐標(biāo)是（4，3），端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.例23 如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點，點在直線上運動，過做圓的切線，切點為，求垂心的軌跡分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)，找的關(guān)系非常難由

21、于點隨，點運動而運動，可考慮，三點坐標(biāo)之間的關(guān)系解：設(shè)，連結(jié)，則，是切線，所以，所以四邊形是菱形所以，得又滿足，所以即是所求軌跡方程說明：題目巧妙運用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識采取代入法求軌跡方程做題時應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時應(yīng)注意分析與動點相關(guān)聯(lián)的點，如相關(guān)聯(lián)點軌跡方程已知，可考慮代入法例24 已知圓的方程為，圓內(nèi)有定點，圓周上有兩個動點、，使，求矩形的頂點的軌跡方程分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解解法一：如圖，在矩形中，連結(jié)，交于，顯然，在直角三角形中，若設(shè)，則由，即，也即，這便是的軌跡方程解法二：設(shè)、，則，又，即又與的中點重合，故，即，有這就是所

22、求的軌跡方程解法三：設(shè)、，由于為矩形，故與的中點重合，即有，又由有聯(lián)立、消去、，即可得點的軌跡方程為說明：本題的條件較多且較隱含，解題時，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入困境之中本題給出三種解法其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法解法二涉及到了、四個參數(shù)，故需列出五個方程；而解法三中，由于借助了圓的參數(shù)方程，只涉及到兩個參數(shù)、，故只需列出三個方程便可上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解練習(xí)：1、由動點向圓引兩條切線、，切點分別為、，=600，則動點的軌跡方程

23、是 .解：設(shè).=600，=300.，化簡得，動點的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：設(shè)為兩定點，動點到點的距離與到點的距離的比為定值，求點的軌跡.解：設(shè)動點的坐標(biāo)為.由，得，化簡得.當(dāng)時，化簡得，整理得；當(dāng)時，化簡得.所以當(dāng)時，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當(dāng)時，點的軌跡是軸.2、已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的面積等于 解：設(shè)點的坐標(biāo)是.由，得，化簡得，點的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，所求面積為.4、已知定點，點在圓上運動，是線段上的一點，且，問點的軌跡是什么？解：設(shè).，.點在圓上運動，即，點的軌跡方程是.例5、已知定點，點在圓上運動，的平分線交于點，則點的軌跡方程是 .解：設(shè)

24、.是的平分線， .由變式1可得點的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：已知直線與圓相交于、兩點，以、為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡方程.解：設(shè)，的中點為.是平行四邊形，是的中點，點的坐標(biāo)為，且.直線經(jīng)過定點，化簡得.點的軌跡方程是.類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、 已知圓與直線相交于、兩點，為原點，且，求實數(shù)的值分析：設(shè)、兩點的坐標(biāo)為、，則由，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因為通過原點的直線的斜率為，由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問題得以解決解法一：設(shè)點、的坐標(biāo)為、一方面，由，得，即，也即：另一方面，、是方程組的實數(shù)解，即、是方程的兩個根，又、在直線上，將代入，得將、代入，解得，代入方程，檢驗成立，解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有，整理，得由于，故可得，是上述方程兩根故得，解得經(jīng)檢驗可知為所求 說明：求解本題時，應(yīng)避免去求、兩點的坐標(biāo)的具體數(shù)值除此之外，還應(yīng)對求出的值進(jìn)行必要的檢驗，這是因為