幾何體與球的體積表面積

1、幾何體與球的體積表面積（含答幾何體與球的體積表面積一 選擇題（共20小題）1平面a截球0的球面所得圓的半徑為 1球 心0到平面a的距離為:'，則此球的體積為（ ）A | n B 4 n C 4 n D 6 n2.已知過(guò)球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的 距離等于球半徑的一半，且 AB=BC=CA=2，則 球面面積是（）A .呼 B .晉 C 4n D .弩3已知三棱錐 0 - ABC , A, B, C三點(diǎn)均在球 心為0的球表面上,AB=BC=1 , / ABC=120 ° , 三棱錐0 - ABC的體積為，則球0的表面積4是（ ）A 544 n B 16 n C .D 64

2、 n4. 四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 0的表面上，AB丄平面BCD , BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊 三角形.若AB=2，則球0的表面積為（）A . 8 n B. 12 n C. 16 n D. 32 n5. 已知在三棱錐 P ABC中，Vp-abc=； ,/APC=¥，/ BPC=, PA丄AC , PB 丄 BC,且平面PAC丄平面PBC,那么三棱錐 P- ABC外接）32兀C.2n C.了 n D. 3n6. 已知正厶ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面 上，球心0到平面ABC的距離為1點(diǎn)E是線 段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作球0的截面，則截面 面積的最小值是（ ）7 已知三棱錐的三視圖如圖

3、所示，則它的外接 球的表面積為（）A'ZLif MM MNRA . 4n B. 8 n C. 12 n D. 16 n8 三棱錐P- ABC中，PA丄平面ABC , AC丄BC , AC=BC=1 , PA=；,則該三棱錐外接球的 表面積為（）A . 5 n B. k ec . 20 n D . 4 n9.已知A, B, C點(diǎn)在球O的球面上，/BAC=90 °，AB=AC=2 .球心 O 至U平面 ABC 的 距離為1，則球O的表面積為（）A . 12 n B. 16 n C. 36 n D. 20 n10如圖，是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則這個(gè) 幾何體的外接球的表面積是（）&

4、quot;5竝EH4cmIWIWSi MMA . 56 n cm2B. 77 n cm2C.亞血?！? D |85>/2兀匚顯 11.三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表 面上，SA丄平面ABC，AB丄BC，又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為（）A .學(xué) B .沙 C . 3n D . 12n12已知在三棱錐 P- ABC中，PA=PB=BC=1 , AB=V, AB丄BC,平面PAB丄平面 ABC，若三 棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是( )A.李 n B. 3n C.辱 D. 2n2313.四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 0的表面 上，AB丄平面BCD , BCD是

5、邊長(zhǎng)為3的等邊 三角形.若AB=2，則球0的表面積為()A . 4 n B. 12 n C. 16 n D. 32 n14 .已知A, B是球O的球面上兩點(diǎn)，/ AOB=90 °，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐 O -ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為( )A . 36 n B. 64 n C. 144 n D . 256 n15.設(shè)三棱柱ABC - A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC=2，Z BAC=90 °，AA=2，且三棱柱 的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是( )A . 4 n B. 8 n C. 12 n D. 16 n16 個(gè)三棱錐的三視圖如

6、圖所示，其中正視圖 和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則此三棱錐外接球的表面積為C4nD .n17 已知如圖所示的三棱錐 D - ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球 0的球面上， ABC和厶DBC所在平面相互垂直，AB=3 , AC= 一 ；，BC=CD=BD=2 ；, 則球O的表面積為（）B. 12n C. 16n D. 36 n18. 個(gè)空間四邊形ABCD的四條邊及對(duì)角線AC的長(zhǎng)均為.】，二面角D - AC - B的余弦值為 丄，則下列論斷正確的是（）A. 空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上 且此球的表面積為3 nB. 空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上 且此球的表面積為4 nC. 空間四邊形A

7、BCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球上且 此球的表面積為-'D. 不存在這樣的球使得空間四邊形 ABCD的四 個(gè)頂點(diǎn)在此球面上19. 已知三棱錐S- ABC的所有頂點(diǎn)都在球 0 的球面上，SA=2 -；，AB=1 , AC=2 , ZBAC=60 ° , SA丄面ABC，則球O的表面積為（ ）A . 4 n B. 12 n C. 16 n D. 64 n20棱長(zhǎng)都為叩勺四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面 上，則此球的表面積為（）A . 3 n B. 4n C. 3用四 D. 6 n二.填空題（共5小題）21 已知正四棱錐0 - ABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為-；,則以0為球心，0A為半徑的球的表面

8、積為22 已知H是球0的直徑AB上一點(diǎn)，AH : HB=1 : 2, AB丄平面a, H為垂足，a截球0 所得截面的面積為n ,則球0的表面積為23.如圖，已知球0的面上四點(diǎn)A、B、C、D,DA 丄平面 ABC , AB 丄 BC , DA=AB=BC= , 則球0的體積等于24正四棱錐S- ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng) 都為-：,點(diǎn)S A、B、C、D都在同一個(gè)球面上， 則該球的體積為 .25.設(shè)0A是球0的半徑，M是0A的中點(diǎn)， 過(guò)M且與0A成45°角的平面截球0的表面得 到圓C 若圓C的面積等于一，則球0的表面 積等于幾何體與球的體積表面積參考答案與試題解析一 選擇題（共20小題

9、）1. （ 2012?新課標(biāo)）平面a截球0的球面所得 圓的半徑為1,球心0到平面a的距離為， 則此球的體積為（ ）A.| n B. 4 n C. 4 n D. 6 n【分析】利用平面a截球0的球面所得圓的半 徑為1,球心O到平面a的距離為，求出球 的半徑，然后求解球的體積.【解答】解：因?yàn)槠矫鎍截球O的球面所得圓 的半徑為1,球心O到平面a的距離為：-：， 所以球的半徑為：=：；.所以球的體積為：=4 n.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積的求法，考查空間想 象能力、計(jì)算能力.2. （2010?廣東模擬）已知過(guò)球面上 A、B、C三 點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則

10、球面面積是（）A .警 B .弩 C . 4n D .警【分析】由AB=BC=CA=2，求得 ABC的外接 圓半徑為r，再由R2-（寺R）制，求得球的半 徑，再用面積求解.【解答】解：因?yàn)锳B=BC=CA=2，所以 ABC的外接圓半徑為r= i .設(shè)球半徑為R,則R2-（耳R）=， 所以R2=S=4n R2=4.故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查球的球面面積，涉及到截 面圓圓心與球心的連線垂直于截面，這是求得相 關(guān)量的關(guān)鍵.3. （2016?河南模擬）已知三棱錐 O - ABC，A， B，C三點(diǎn)均在球心為O的球表面上，AB=BC=1，/ ABC=120 °，三棱錐 O ABC 的 體積為，則

11、球O的表面積是（）A . 544 n B. 16 n C .丄 n D . 64 n【分析】求出底面三角形的面積，利用三棱錐的 體積求出0到底面的距離，求出底面三角形的 所在平面圓的半徑，通過(guò)勾股定理求出球的半 徑，即可求解球的體積.【解答】解：三棱錐0 - ABC , A、B、C三點(diǎn) 均在球心0的表面上，且AB=BC=1 ,/ ABC=120 ° , AC=；, sbcJ X 1X 1X sin 120° =；,三棱錐O - ABC的體積為,4 7 ABC的外接圓的圓心為G , OG ±O G ,外接圓的半徑為：GA= _ . I =1,2sinl20捋abc?

12、OG呼，即護(hù)存OG峠,OG= in, 球的半徑為：眉=4.球的表面積：4 n 42=64 n.【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)含 體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算 能力.4. （2016?衡水模擬）四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn) 都在球0的表面上，AB丄平面BCD , BCD 是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.若AB=2，則球0的 表面積為（）A . 8 n B. 12 n C. 16 n D. 32 n【分析】取CD的中點(diǎn)E,連結(jié)AE , BE，作出 外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積.【解答】解：取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，在四面體ABCD中，AB丄平面BCD， BCD是邊長(zhǎng)為3

13、的等邊三角形.Rt ABC也Rt ABD， ACD是等腰三角形， BCD的中心為 G，作OG II AB交AB的中垂 線H0于0，0為外接球的中心，BE，BG=，R= I ； : . - _ =2.四面體ABCD外接球的表面積為：4n R2=16n.故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接體知識(shí)，考查空間想 象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵.5 （2016?河南模擬）已知在三棱錐P - ABC中， VABC二竽，/ APC=¥，/ BPC=¥, PA丄 AC ,PB丄BC,且平面PAC丄平面PBC,那么三棱錐P-ABC外接球的體積為（32K【分析】利用等體積轉(zhuǎn)換，求出PC,

14、PA丄AC ,PB丄BC ,可得PC的中點(diǎn)為球心，球的半徑， 即可求出三棱錐P-ABC外接球的體積.【解答】解：由題意，設(shè)PC=2x，貝U PA丄 AC，/ APC胡, APC為等腰直角三角形， PC邊上的高為x,平面PAC丄平面PBC ,A到平面PBC的距離為x,/ BPC二些,PA 丄 AC , PB 丄 BC , PB=x, BC= ；x,Sa PBC二二療需尸乎JVp-ABC=Va- PBC=* 乂字疋 q今?，x=2，PA丄 AC，PB 丄BC， PC的中點(diǎn)為球心，球的半徑為 2,三棱錐P- ABC外接球的體積為尋冗.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐P-ABC外接球的體 積，考查學(xué)生

15、的計(jì)算能力，正確確定球心與球的 半徑是關(guān)鍵.6. （2016?南昌三模）已知正 ABC三個(gè)頂點(diǎn)都 在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距 離為1,點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作球O 的截面，則截面面積的最小值是（）A. 7n B. 2n C.n D. 3n【分析】設(shè)正 ABC的中心為Oi,連結(jié)OiA. 根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股定 理，而經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的球0的截面，當(dāng)截面與0E 垂直時(shí)截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面圓的面積 有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而 可得截面面積的最小值.【解答】解：設(shè)正 ABC的中心為0,連結(jié)OiA / Oi是正 ABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球

16、 面上， OiO丄平面ABC，球的半徑R=2，球心O 到平面ABC的距離為1，得OQ=1，- Rt OQA 中，。識(shí)二和護(hù) _ 0。/.又 E為AB的中點(diǎn)， ABC是等邊三角形，AE=AOicos30° 千.過(guò)E作球O的截面，當(dāng)截面與 OE垂直時(shí)， 截面圓的半徑最小，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面圓的面積有最小 值.此時(shí)截面圓的半徑r=：,可得截面面積為S= n r2=.4故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距 離，求經(jīng)過(guò)正三角形中點(diǎn)的最小截面圓的面積. 著重考查了勾股定理、球的截面圓性質(zhì)與正三角 形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.7. （2016?湖南二模）已知三棱錐的三視圖如圖

17、所示，則它的外接球的表面積為（）A . 4 n B. 8 n C. 12 n D. 16 n【分析】由已知中三棱錐的三視圖，我們可以求 出三棱棱的高，即頂點(diǎn)到底面的距離，及底面外 接圓的半徑，進(jìn)而求出三棱錐外接球的半徑，代 入球的表面積公式，即可求出外接球的表面積.【解答】解：由已知中三棱錐的高為1 底面為一個(gè)直角三角形，由于底面斜邊上的中線長(zhǎng)為1，則底面的外接圓半徑為1,頂點(diǎn)在底面上的投影落在底面外接圓的圓心上， 由于頂點(diǎn)到底面的距離，與底面外接圓的半徑相 等，所以底面直角三角形斜邊中點(diǎn)就是外接球的 球心；則三棱錐的外接球半徑R為1,則三棱錐的外接球表面積S=4 n R2=4 n故選：A【點(diǎn)

18、評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求表面積，其中根據(jù)三視圖出判斷出三棱錐的幾何特 征，進(jìn)而求出其外接球的半徑是解答本題的關(guān) 鍵.8. （2015?佳木斯一模）三棱錐 P- ABC中，PA 丄平面 ABC，AC 丄 BC，AC=BC=1，PAM， 則該三棱錐外接球的表面積為（）A . 5 n B. F：叫C . 20 n D. 4 n【分析】根據(jù)題意，證出BC丄平面PAC，PB 是三棱錐P-ABC的外接球直徑利用勾股定 理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出PB= ，得外接球半徑 R=從而得到所求外接球的表面積【解答】解：PA丄平面ABC，AC丄BC，BC丄平面PAC, PB是三棱錐P- ABC的外 接球直徑； Rt

19、PBA 中，AB=，PA=； PBV，可得外接球半徑R科PB誇外接球的表面積S=4 n R2=5 n【點(diǎn)評(píng)】本題在特殊三棱錐中求外接球的表面 積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定 理和球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題.9. （2015?沈陽(yáng)校級(jí)模擬）已知 A, B, C點(diǎn)在球O 的球面上，/ BAC=90 ° , AB=AC=2 球心 0 到平面ABC的距離為1，則球0的表面積為（ ）A . 12 n B. 16 n C. 36 n D. 20 n【分析】由/ BAC=90 ° , AB=AC=2 ,得至U BC, 即為A、B、C三點(diǎn)所在圓的直徑，取BC的中點(diǎn)M，連接

20、0M，則OM即為球心到平面 ABC 的距離，在Rt OMB中，OM=1 , MB=二，則 OA可求.【解答】解：如圖所示：取BC的中點(diǎn)M，貝吐求 面上A、B C三點(diǎn)所在的圓即為O M,連接OM, 則OM即為球心到平面 ABC的距離， 在 Rt OMB 中，OM=1 , MB=:, OA=.-；,即球的半徑為-；,球O的表面積為12n.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，點(diǎn)到平面 的距離，是基礎(chǔ)題.10. （2015秋？樂(lè)陵市期中）如圖，是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的外接球的表面積是（A. 56n cm2B. 77 n cm2C. 了2血“cm2 D. 8皿兀cm?【分析】三視

21、圖復(fù)原的幾何體是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它的外接球的直徑就是長(zhǎng)方 體的對(duì)角線的長(zhǎng)，求出對(duì)角線長(zhǎng)，即可求出外接 球的表面積.【解答】解：三視圖復(fù)原的幾何體是長(zhǎng)方體的一 個(gè)角，三度為：6、5、4;把它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體， 它的外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)， 所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為：62+52 +42=Vn 所以球的半徑為：_.2這個(gè)幾何體的外接球的表面積是：4兀（誓/=77 n（cm2）故選B【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查幾何體的外接球的 問(wèn)題，空間想象能力，邏輯思維能力，和計(jì)算能 力，注意本題中三棱錐的外接球與長(zhǎng)方體的外接 球是同一個(gè)球.11. （2014?四川模擬）三棱錐S-ABC的所有頂

22、點(diǎn)都在球0的表面上，SA丄平面ABC，AB丄BC,又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為( )A B 一 C 3n D 侔【分析】根據(jù)題意，三棱錐S-ABC擴(kuò)展為正方 體，正方體的外接球的球心就是正方體體對(duì)角線 的中點(diǎn)，求出正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度，即可求解 球的半徑，從而可求三棱錐S-ABC的外接球的 表面積.【解答】解：三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球 O的表面上，SA丄平面ABC，AB丄BC，又 SA=AB=BC=1， 三棱錐擴(kuò)展為正方體的外接球，外接球的直徑就 是正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度，球的半徑R=球的表面積為：4n R2=4：； ;，=3 n.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐s- ABC

23、的外接球的表 面積，解題的關(guān)鍵是確定三棱錐s-ABC的外接 球的球心與半徑.12. （2016?大慶一模）已知在三棱錐 P-ABC 中, PA=PB=BC=1 , AB= AB 丄BC,平面 PAB 丄平面ABC，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面 上，則該球的表面積是（）A.爭(zhēng) n B. 3n C.晉兀 D. 2n【分析】求出P到平面ABC的距離為,AC為截面圓的直徑，AC=由勾股定理可得R2=（匚）2+d2=（廿）2+ （二-d） 2,求出R，即可求 出球的表面積.【解答】解：由題意，AC為截面圓的直徑，AC二；，設(shè)球心到平面ABC的距離為d,球的半徑為R,. PA=PB=1 , AB= :,PA

24、丄PB,平面PAB丄平面ABC , P到平面ABC的距離為.由勾股定理可得R2= C ） 2+d2= G） 2+ （-d）2 d=0, R2=74 ?球的表面積為4n R2=3 n.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算 能力，求出球的半徑是關(guān)鍵.13. （2016?白銀模擬）四面體ABCD的四個(gè)頂 點(diǎn)都在球 O的表面上，AB丄平面BCD, BCD 是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.若AB=2，則球O的 表面積為（）A . 4 n B. 12 n C. 16 n D. 32 n【分析】取CD的中點(diǎn)E,連結(jié)AE，BE，作出 外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積.【解答】解：取CD的中點(diǎn)E，

25、連結(jié)AE，BE，在四面體 ABCD中'AB丄平面BCD，ABCD 是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.Rt A ABC也Rt A ABD，A ACD是等腰三角形， BCD的中心為 G，作OG II AB交AB的中垂 線HO于O, O為外接球的中心，BE，BG=，R=2.四面體ABCD外接球的表面積為：4n R2=16n.故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接體知識(shí)，考查空間想 象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵.14. （2015?新課標(biāo)II）已知A，B是球O的球面 上兩點(diǎn)，/ AOB=90 ° , C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)， 若三棱錐O - ABC體積的最大值為36，則球O 的表面積為（）A

26、. 36 n B. 64 n C. 144 n D . 256 n【分析】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn) 時(shí)，三棱錐O - ABC的體積最大，利用三棱錐 O - ABC體積的最大值為36，求出半徑，即可 求出球O的表面積.【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面 AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐 O - ABC的體積最 大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)V。-abc=Vc- aob弓x寺xr2xr=r3=36,故R=6，則球O的表面積 為 4 n R2=144 n，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的半徑與表面積，考查體積 的計(jì)算，確定點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端 點(diǎn)時(shí)，三棱錐0 - ABC的體積最大是關(guān)鍵.1

27、5. （2015?大慶三模）設(shè)三棱柱 ABC - ABCi 的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC=2，/ BAC=90 ° ,AAi=2，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（）A . 4 n B. 8 n C. 12 n D. 16 n【分析】根據(jù)題意，可將棱柱ABC - A1B1C1補(bǔ)成 長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為球的直徑，從而可 求球的表面積.【解答】解：.三棱柱ABC - A1B1C1的側(cè)棱垂直 于底面，AB=AC=2，Z BAC=90 °，AA=2 , 可將棱柱ABC - AA1B1C1補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體 的對(duì)角線應(yīng)"44，即為球的直徑,球的直徑為

28、4,球的表面積為4nX 22=16 n, 故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，考查學(xué)生分析解 決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.16. （2015?莆田校級(jí)模擬）一個(gè)三棱錐的三視圖 如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三 角形，則此三棱錐外接球的表面積為（）A . ¥ B . 9nC. 4nD .n【分析】由題意，確定三棱錐的形狀，設(shè)三棱錐 外接球的半徑為r，則r2= （1 - r） 2+ C ） 2，求出r，即可求出三棱錐外接球的表面積.【解答】解：由題意，三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂直于 底面，底面是等腰直角三角形，頂點(diǎn)在底面中的 射影是底面斜邊的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐外接球的半徑為r,則r2= （

29、1 - r） 2+ C ）2 r=三棱錐外接球的表面積為 4心弟呼,164故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查球和幾何體之間的關(guān)系，本題 解題的關(guān)鍵是確定三棱錐外接球的半徑，從而得 到外接球的表面積.17（2015秋？合肥校級(jí)期末）已知如圖所示的 三棱錐D - ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球 O的球面 上， ABC和厶DBC所在平面相互垂直，AB=3, AC= , BC=CD=BD=2 ，則球 O 的表 面積為（）A. 4n B. 12 n C. 16 n D. 36 n【分析】證明AC丄AB，可得 ABC的外接圓 的半徑為；，利用 ABC和厶DBC所在平面相 互垂直，球心在BC邊的高上，設(shè)球心到平面ABC 的距

30、離為 h,則 h2+3=R2二（h） 2, 求出球的半徑，即可求出球0的表面積.【解答】解：AB=3, AC= ；, BC=2 ；, AB2+AC2=BC2,AC丄AB , ABC的外接圓的半徑為， ABC和厶DBC所在平面相互垂直，球心在BC邊的高上，設(shè)球心到平面ABC的距離為h，則h2+3=R2= 葉h） 2， h=1，R=2，.球0的表面積為4n R2=16 n.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查球0的表面積，考查學(xué)生的 計(jì)算能力，確定球的半徑是關(guān)鍵.18. （2014?吉林二模）一個(gè)空間四邊形 ABCD 的四條邊及對(duì)角線AC的長(zhǎng)均為，二面角D - AC-B的余弦值為寺，則下列論斷正確的是（ ）

31、A.空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上 且此球的表面積為3 nB. 空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上 且此球的表面積為4 nC. 空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球上且 此球的表面積為阮0D. 不存在這樣的球使得空間四邊形 ABCD的四 個(gè)頂點(diǎn)在此球面上【分析】由題意，求出BD的長(zhǎng)，然后判斷空間 四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是否在同一球面上， 求出球的表面積即可.【解答】解：如圖 AC=AB=AD=BC=CD= . :, cosZ DEB乂，E為AC的中點(diǎn)，EB=ED=:，所以 BD2=2BE2-2X_X BE2BD=ABCD的幾何體為正四面體，有外接球，球的半徑為：一球的表面積為

32、：3n【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查二面角的求法，幾 何體的外接球的判斷，以及外接球的表面積的求 法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力，是好題.19. （2012?洛陽(yáng)模擬）已知三棱錐S-ABC的所 有頂點(diǎn)都在球0的球面上，SA=2 v, AB=1， AC=2，Z BAC=60 °，SA丄面 ABC，則球 O 的 表面積為（ ）A. 4n B. 12 n C. 16 n D. 64 n【分析】由三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O 的球面上，SA丄平面 ABC，AB=1, AC=2, Z BAC=60。，知 BC= ，/ ABC=90。.故 ABC截球O所得的圓O '的半徑r=c=1,由

33、此 能求出球O的半徑，從而能求出球O的表面積.【解答】解：如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn) 都在球O的球面上，/ SA丄平面 ABC，z 八訂，AB=1，AC=2， Z BAC=60 °，二 BC= i+i ： 一匚廠=:;,Z ABC=90 ° . ABC截球O所得的圓O '的半徑r=寺就=1,.球o的半徑R=+（竽嚴(yán)2,第31頁(yè)（共37頁(yè)）球0的表面積S=4n R2=16 n .故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積的求法，合理地作 出圖形，數(shù)形結(jié)合求出球半徑，是解題時(shí)要關(guān)鍵20. （2003?天津）棱長(zhǎng)都為的四面體的四個(gè)頂 點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A .

34、 3 n B. 4n C. 3帀兀 D. 6 n【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的體積和表面積 公式，由棱長(zhǎng)都為的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一 球面上，可求出內(nèi)接該四面體的正方體棱長(zhǎng)為 1,又因?yàn)檎襟w的對(duì)角線即為球的直徑，即球 的半徑R=.,代入球的表面積公式,S 球=4n R2, 即可得到答案.【解答】解：借助立體幾何的兩個(gè)熟知的結(jié)論：（1）一個(gè)正方體可以內(nèi)接一個(gè)正四面體；（2）若正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則正方 體的體對(duì)角線就是球的直徑.則球的半徑R=：,球的表面積為3 n,故答案選A 【點(diǎn)評(píng)】棱長(zhǎng)為a的正方體，內(nèi)接正四面體的棱 長(zhǎng)為.a外接球直徑等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)a.二.填空題（共5小題）2

35、1. （2013?新課標(biāo)H）已知正四棱錐 O - ABCD 的體積為丄，底面邊長(zhǎng)為.；，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為 24 n .【分析】先直接利用錐體的體積公式即可求得正 四棱錐O - ABCD的高，再利用直角三角形求出 正四棱錐O - ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)OA，最后根據(jù)球 的表面積公式計(jì)算即得.【解答】解：如圖，正四棱錐O - ABCD的體積 V=sh=（聽(tīng)X 需）X OH=，二OH= _ ，在直角三角形OAH中，所以表面積為4n r2=24 n; 故答案為：24 n.o【點(diǎn)評(píng)】本題考查錐體的體積、球的表面積計(jì) 算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.22. （2013?新課標(biāo)I）已知H是球O的直徑AB 上一點(diǎn)，