版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶(hù)提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、向量空間典型例題:1設(shè)1,: 2,川,n V線(xiàn)性無(wú)關(guān),問(wèn)1叫,2比3,|l,n 1是否線(xiàn)性無(wú)關(guān)? 解:設(shè)人I"匕2 丨11心i:s叱可i; = °即 k1 kn :k1 k2knA kn= 0由1,2,川,n是線(xiàn)性無(wú)關(guān)知,Kkn -0100 11廠由A=1III1III0 1III 11 0II IIInd!=1+(1)n為奇數(shù)n為奇數(shù)<000 11 1 >knjkn =0當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),1乜2,2比3,川,n F線(xiàn)性無(wú)關(guān)。,知2在n維線(xiàn)性空間V中,設(shè)關(guān)于基1,2ll|n的坐標(biāo)為a1,a2,|lan ,a 0,試求V的一組基,使得:關(guān)于這組基的坐標(biāo)為10,111,
2、0。解:由=aa2,a.«1)丨,設(shè)密2川Bn為另一組基,則Ct :r1=(1,0,,0)丨 胡,所以S八二a1 川 an則1, Jn線(xiàn)性無(wú)關(guān)且滿(mǎn)足題意。3證明:設(shè)n維向量空間V可以表示為n個(gè)一維子空間的直和。證明:設(shè):2,川n是V的一組基,令Wj二L : ,i=1,2,ll),n則W1 WH Wn V顯然成立,設(shè)-V,則二心J川-kn n又 kr r W1,IH,knnWn,所以:W1W2HWn,即 W1W2IWnVV =w1W2川 wn又由維數(shù)公式知維V = n =維w, i亠維W2 川維Wn所以 w, w2 T |wn 是直和,即 w,二 w2 二 | H 二 wn故 V =
3、w,二 w?:.川:.wn。證畢!4 設(shè)A2 =A,y,V2分別是n元齊次線(xiàn)性方程組AX =0和A-E X =0的解空 間,證明:Fn =7,二 V2。證明:顯然V, V2 Fn,下證V, V2二Fn任意 X Fn,貝卩 X 二 AX :; AE X 己 AXXjA EXX?由 A-E Xi =A-E AX W.A2 - A X =0知 X, V2同理 X2 V,故V, V2 二 Fn綜上 Fn =V, V2。對(duì)任意的 X V,V2,有 AX = 0, A - E X = 0,所以 X = 0,故 V, ' V2 一0: 故 Fn =V,二 V2。證畢!注意:晶本題的證法是證明直和最常
4、用的方法,第一步證明"="號(hào)成立;第二步是證明直和"二"成立。晶本題的逆命題同樣成立。證明:由Fn -V V2,知維 V, 維V2 =n從而 n 秩 A秩 AE 二n,即秩 A - 秩 AE 二n 故 A2 = A。5 設(shè)V,.A Mn F | A A , Vf.A Mn F | AA,證明:Mn F二 V2。分析:(D A二亠丄上乞(2)VJV2=4證明:(略)。證畢!2 26設(shè)g . L Vn.:,證明:Im |宀i,ker . |是.的不變子空間。證明:(1)任意的醪Vn ,則-it I:- .;:-=;.:- Im ;丁故Im I、,是.的不變子
5、空間(2)任意的I二ker二,則廠一:=0又;-二.:二-=0從而i"kerj,所以kem是.的不變子空間。證畢!7設(shè)5三LVn,二在基?1, :'2-n下的矩陣A為對(duì)角行二Vn可以表示為n個(gè)一維不變子 空間的直和。證明:斗:由條件,知 頁(yè)何見(jiàn),叫=©1,吆Qn ) I'、Z-n 因此:珀 i; V j, i =1,2川 I,n,令 Wj = L :- i ,則 Vn =則二 w2 : HI 二 wn。=:設(shè)Vn =W|二w2 : HI : Wn,維 Wi = 1,且Wj是二的不變子空間。在W中任取非零向量«i,由于Wj是口的不變子空間,所以(碼盧
6、Wi又維 Wi =1,故;: i = i: i,i =1,2,ll),n,故12,llln是Vn 的一組基。仏'由 b(Gi )=3i,i =1,2,111, n 知 b(%,G2,,5 )=(口102,,On ) I 。證IXn丿畢!8 維 L Mn F : o!。分析:利用同構(gòu)思想。9設(shè)A是n階可逆矩陣,g,B是n維列向量,求證:人A-aBT有一根為0TA°a,其 余根為零。證明:因?yàn)?A出T = All E - A,gT = A zF;TA七所以”AaBT有一根為PTAa,其余根為零。證畢! 注意:利用如下定理: 設(shè)矩陣圈曇口即,則園。10 設(shè) A =G+a;aa;II
7、Ia1a na; a+1+a|IIIa1a n卜+(ana1¥ana2III1+a;,求A的特征根和A。解:注意到A二1 + a;aa22IIIa£n玄2玄11 +a2IIIa£n=E +4+*I a“a1卜卜a“a2IIIbr1 +a2J+® j(ai ”an ),從而矩陣的特征多項(xiàng)式fA (扎)=|入E- A = A.E-E -:佝5丿an所以九=1(n 1重或 1 +a2 +11 葉a;,故 EELfRHa2。11設(shè)矩陣A = 0,但AQ, k1,kN,求證:A不能對(duì)角化kA1所以 T-1AkT =證明:若果A能對(duì)角化,則存在可逆矩陣T,使得T-1
8、AT -=Q,故入=Q,i =1,2,川,n。r. kAn丿即T-1AT=O,所以A=0。這與已知條件矛盾!從而假設(shè)不成立故A不能對(duì)角化。證畢!12設(shè)n階矩陣A有n個(gè)互異的非零特征根,且AB二BA,求證:B可對(duì)角化證明:設(shè)空川是A的n個(gè)互異的特征值,r是屬于的特征向量即A:"=打i,所以A勺特征子空間Vj都是一維的,V. - : | A - = L*i由 AB =BA,知 AB .二 BA: . = .B:.當(dāng) Ba. =0時(shí),Ba.EV】。.當(dāng)Ba.式0時(shí),Ba.EV汕因?yàn)锽a.是A的屬于入的特征向量)。故 B'= i,i =1,2J|,n,從而 Br, B2,ll|B:n
9、 二叫i, 一2,111,n故 B >1,2,,n -,>2,令 T =1,2,川,n,則TBT,故B可對(duì)角化。證畢!13設(shè)n階矩陣A有n個(gè)互異的非零特征根,證明:A的特征向量都是 B的特征向量二AB =BA。證明:=:設(shè):i,2, IILn是A的和B的分別屬于'i,2,IH,'n 和112,川,的特征向量,由于'1, '21, 'n互不相同,所以1,2,lll,n線(xiàn)性無(wú)關(guān)。有 A: .J =1,2, I此n;B:.二耳 i,i =1,2川|,n所以 BA>. -)B>. -:»; AB>. = A".-
10、:打-打卡.,i =1,2,IH,n故 AB:.二 BA .,. =1,2JH,n即(AB%,ABo( 2川 A凹n )=(B如 1BA 21, BA«n ),從而 AB :1, : 2,llL : n 二 BA : 1,: 2,llL : n,令 T =12,川,亠,貝y T可逆,故AB二BA。-:同上題證明方法。證畢!14設(shè)V是C上的一個(gè)n維向量空間,b,iEL(V),且5 =苗,證明:(1) 二的每一個(gè)特征子空間都是.的不變子空間(2) 匚和.在V中有公共特征向量。證明:(1)設(shè)二是 的屬于特征值的一個(gè)特征子空間, 對(duì)于任意的:V.,因?yàn)?二.二,所以二.:-故二 | V,。(
11、2)若V是.的一個(gè)不變子空間,貝y . |V .在V上的限制 存在 所以在C上, . |V有特征值,從而存在屬于的特征向量,即.|V. -丄 所以.1",故是.的屬于的特征向量,又注意到V, V所以是二,的公共特征向量。15設(shè)L Vn ,Wi,W2是Vn的兩個(gè)子空間,并且Vn二Wi二W2,證明:二可逆二 Vn =二 Wr 二W2 。證明:=:設(shè)r,2,l|l,r是w的組基,亠4,亠.2,111n是w2的一組基, 因?yàn)閂n V二W2,所以1廠2,川,r,:1,r2,川,:5是V的一組基。 由二可逆,知二1 ,二2,川,二:n是Vn的一組基, 從而 Vn 二 LW (-1 , 2,川,n
12、=:,%,; 2 ,丨1| 二亠 丄宀:1,匚:r-2,11點(diǎn)nM "W,飛 W 又1,二2 ,川,匚r是W的一組基;-:r 1,二:r 2 ,川,二:n 是 W 一組基故 Vn _ ;w1 T c w,。=在W1中取基12,川r,在W2中取基1,*2,"ln , 因?yàn)閂n訓(xùn)二W2,所以12,川n是Vn的一組基。又因?yàn)閂n * W1二二W2 ,所以",;2 ,川:n是V的一組基。故二可逆。證畢!注意:晶在必要性證明中?1-2J :,: r小r 2,川,n是V的一組基是這樣證明的。只要說(shuō)明宀宀,川",1,*2,川,打線(xiàn)性無(wú)關(guān)即可,設(shè) “1 k2: 2 川人
13、:n =0,記=匕_:” k2j2 l|kr二r - -kr 忖r 彳 kr .2-S 2,111,kn-“所以圧三w,且x e w2,從而=0,故K =0,i =1,2,川,n,故:1,2,川,:r,:r 1,:2川 l,n 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。另外要注意這種方法和維數(shù)公式的證明過(guò)程中所用的方法是一樣的。晶在充分性的證明中,最后二可逆的證明方法是這樣的。任意V,貝二心I: -1 - k : 2 I I I kn二n - 心 1 k2: 2 H 丨如 n 定義.二K1 k2 : 2 I I I kn : n,顯然是一個(gè)線(xiàn)性變換,而 廠.:- K1 * k22 * 丨1心宀=匕二:1k 2 AW k :,
14、n =】所以二二ee為單位變換,故二可逆。16 設(shè)L V,二2=;丁 證明:1 ker 廠-;- WV;2 V 二 kerr,V。證明:(1)任意的kern ,貝卩廠,-0 ,所以- :-;:- | :£ 三 V,故 ker “ 二: - ; | 隈三 V又任意的|V,則“rr22-. - - . - . - 0 ,所以-;:- - keW,故 ker ;- P V, 故 ker ;-:-;-5 V。(2)任意的:V,有二*- c :顯然-;? - kerV,所以 V kerij,rV 。又 顯然 V 二:ker 廠V,故 V =kem 亠-V。設(shè)任意的用ker ;V,則;:=0,且
15、存在I ZV,使得=.(-所以;-;*-;_ -,所以:.=0 ,故 kerw - V - :0;故V =ker.一 V。證畢!17設(shè)代B,X為同階方陣,并且AX =XB,秩X訂,證明:在復(fù)數(shù)域上,A與 B至少有r個(gè)相同的特征根。因?yàn)锳X二XB,所以AP廣A0、/B1 B2'S °<0°則故 PAP -,QBQ,二0B4證明:因?yàn)橹萖汀,所以存在可逆矩陣P,Q,使得X二P卩乜卩仔0乍0=1QBQ,記% A -I'Er 0、乍0) =1B、10 0丿2 0丿、AA 丿(0 010 0丿3.B 4 B 丿,所以 A =Bi,B2=0,A=0,從而,島 JQ
16、B,焉 01-Pf_1_,ZAiA2仇 Er - A-A '九E - A =扎E P AP =“-<0凡廠'、一 0九 E n _t A4 丿從而fA 二=丸Er All丸巴亠-A同樣道理fB (丸戶(hù)卩疋-B =#Er AlE- B4所以fA '與fB '有相同的r次公因式,故A與 B至少有個(gè)相同的特征根。證畢!18設(shè)A是m n階矩陣,B是n S階矩陣,則秩AB 秩A 秩B -n。證明:設(shè)秩(A戶(hù)r,則存在可逆矩陣P,Q,使得PAQ="Er 0<0 0丿所以 PAB = PAQQB =繪%乍0、舊30丿<0 °lB2丿2丿從
17、而秩 AB二秩PAB二秩_秩2"Bi )_(n_ r )=秩(QB ) _n+ 秩(A) 丿丿=秩 A 秩 B ?-n故秩AB 一秩A 秩B -n。19設(shè)二是V上的線(xiàn)性變換,WVn是子空間 ,證明:維(<j (w)+ 維(ker(b )Dw)=維w。證明:設(shè)ker ;丁 nw的維數(shù)為r,維w=m,在ker二Cw中取基;2,,;r, 擴(kuò)充為W的基;仆;2,川,;m,所以二w二L二;i,二;2 ,11點(diǎn)F 。又;1, ;2,11), :r ker 二,因此二;1 -; ;2;r ,所以二 w 二 L 二;r 1 ,二;r .2,川,二;m 。下證:二;i,二2,川& ;m線(xiàn)
18、性無(wú)關(guān)。設(shè) kr 1 二;r 1人 2二 y -2'心二;m =。,即二匕 1 ;r« 2 ;r 2 J 心打=0,故 « 計(jì),« 22 J Ikm ;m,ker 二故心 i ;r匕 2 ;r 2 * 丨15 ;m 二匕;k? 2 I" k ;又由;i, ;2,川,;m的線(xiàn)性無(wú)關(guān)性知K = 0,i =1,2,|l, m從而二;r 1,二;r 2 ,11冷;m線(xiàn)性無(wú)關(guān),故命題成立。證畢!20二是Vn上的線(xiàn)性變換,w是二的不變子空間,證明:二|w的核二ker ;d w。證明:一方面:對(duì)任意的:;wker;|w w V,則二|w- 0,從而廠,-;|w
19、=0,所以"三 ker ;丁 Clw,故二 |w的核 ker ;丁 Dw。另一方面:對(duì)任意的ker ;: Clw,貝卩:-w且;- 0。所以二 |w:;-0,從而keri-i,因此二 |w的核二 ker;丁 Dw。故二| w的核=ker ;:.- Qw。證畢!21設(shè)二與.是V的兩個(gè)線(xiàn)性變換,如果秩-廣秩 n ,貝卩;與.有 公共特征向量。證明:因?yàn)橹?亠秩 : n,及維ker r |廣秩“ j: n,維keri廣秩丁 - n,所以維kerwn亠維ker廣in,故維 ker "亠ker “ 廣維 ker ;:.- Piker -心 n,故 ker ;Pker .。這樣,存在二
20、心0且二三ker ;丁 nker從而;-.-0 = 0 故匚與有公共特征向量:。證畢!22設(shè)代B為n階方陣,且A B A0,貝卩(1) A與B的特征向量是公共的。(2) A相似于對(duì)角形=B相似于對(duì)角形。(3) 秩 A 二秩 B。證明:(1)設(shè):是B的特征向量,相應(yīng)的特征值為,即B =:-,由A B A 0知,A 亠 BjAB= 0,即亠1 A =-、;當(dāng)一-1時(shí),:=0,矛盾!此時(shí)-1不是A的特征值。當(dāng)一1時(shí),A =-,即:是A的特征向量。人+1反之,因?yàn)锳 B A 0,所以E A - B AB = E,從而E A E B i=E,故 E B E A =E,即 A B BA = 0同樣道理,A
21、的特征向量也是B的特征向量。(2)=:若A相似于對(duì)角形,則存在可逆矩陣T,使得TAT =|,其中g(shù)i =1,2,,n)是A的特征值。即 AT=T ,令 丁=(8,°2,川,£ ),從而'<打丿A(%c(2,5 )=(。1,5,, ),即 A(i =Mi,i =1,2,|H,n。<n由(1)知,:廿川,n也是B的特征向量,設(shè)分別為亠2,川n的特征向量,即B: i十i,i =1,2川|,n,從而,B(C(1,Ot2,,Ctn)=(Cf1,C(2,C(n )h q<瞪丿,即 BT =Tk4< 宀丿故TBT =故B也相似于對(duì)角形叫丿二:同必要性證明方
22、法(略)(3)由A B A 0,知A二-E - A B,所以秩A乞秩B同樣道理秩A 秩B,故秩A二秩B。證畢!23設(shè)口是n維線(xiàn)性空間V的線(xiàn)性變換,并且 (V )=ker® ),證明(1) n為偶數(shù)。0 En ”(2)存在一組基坷,為,III, %使口關(guān)于該基的矩陣為2。10 0丿 證明:(1)由維數(shù)公式知,2維二V二n,故n為偶數(shù)。(2)設(shè) e,e2,lll©為V的一組基,則 (v )=L("e1),|IW(q)不妨設(shè)二e,二e2,山盧e是二e1 ,二e ,川,二弓的一組基,其中,2取 (e 2 (曳),Il2(er ),eJILer設(shè)k e 亠k僉 11kvi亠
23、tei 川 te= 0,兩邊二作用注意到匚e莊keu, i = 1,2J H,n,得£匚e)亠上2色 11丨tr匚e =0。由口(e 2(e2), lH,o(e的線(xiàn)性無(wú)關(guān)性,知i =t2 =川=tr =o則 k© © i亠k2;e2 HI k二 ei=0,從而 匕 寸2 = |l 二 k=0故仃(e 2佗),|2G e,川,e線(xiàn)性無(wú)關(guān),即存在v的一組基色,®,川,® ,0 En使得口關(guān)于該基的矩陣為2。證畢!I。0丿24 令V =CX ln ,; L V ,;f X = f' X(1)寫(xiě)出二關(guān)于基1,1 x,ih,i x ii xn,的
24、矩陣。(2)求A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型解:(1)1,XJH,Xnd 是 cxln 的一組基,則二 1,X,|l|,Xn=1,Xn,XnB,010川0"其中 B= 0 0 2 川0,又(1,1 + X,川,1 + X+|" + xnJL )=(1,X,川,xn)x +d+*fr(00000丿11川廠其中X=|° 1川1,故關(guān)于基1,1 + X,|,1 + X+ll|+Xn的矩陣+ 11+ 1<0 0川1A=X BX。(2)因?yàn)?,E -B 二所以B的行列式因子為1,1,川1,創(chuàng),B的不變因子1,1川1,盯0 1 1 B的初等因子為r,故A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為,*。1°
25、25設(shè)二為數(shù)域P上的n維線(xiàn)性空間V上的一個(gè)線(xiàn)性變換,且二2二二,證明:1 ker ;-: -;: V;2 V = ker ;一-二;V ;3如果.是V上的線(xiàn)性變換,且ker和匚V都是.的不變子間,則;.證明:(1)(2)問(wèn)同16題。(3)任意: V,由(2)知:八1 :2, r kem,F;2 三:V所以;-;二 “ 5'2 -;二 X 1 亠2因?yàn)?+ ker二,k er是的不變子空間。故 U kerz,所以二:1 =0,故;二- -2又三'"V,二V是.的不變子空間,知.j盧V所以;. - - -2 = . :2。反之,- - - .;亠-.>2,因?yàn)?十
26、keritI,所以 J ,訂 i; = 0。二-2 ,由匚V,知匚空計(jì)為所以;- -2,所以任意的二二1。綜上:;二。證畢!26設(shè)V是有限維線(xiàn)性空間,是V的非零子空間,證明:存在唯一的V的子空間 V2,使 V 二V,二 V2= V1 二V。證明:=:設(shè)m =v,v2只能是0,否則直和不成立。=:(反證)若V1 =V,則0維V = r < n,在u中取基1,2,川八擴(kuò)充成 V的基12,llld1,HIn,令 V2 二 L :1,:2,川n則有 V=V1 二 V2,令 V2 =L - 1 八.2,IH,n ,則有12,川rr -1 *1,l"n仍為V的基,故V = V V;。但是V
27、2=V2,這與題意矛盾,所以假設(shè)不正確,從而命題成立。證畢!511'27設(shè)A= X 4 Y,已知A有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,九=2是 -35 jA的二重特征根,試求可逆矩陣B,使B JAB為對(duì)角形。解:因?yàn)锳有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,所以A可以對(duì)角化。又,=2是A的二重特征根,所以 秩2E-A =1廣11-1、r-X-2-Y<33一3注意至U 2E-A二1-X01 -10-Y0 0,知2X28用J表示元素全為的n階矩陣,n_2,設(shè)f X = a bX是有理數(shù)域上的多項(xiàng)式,b=0,令A(yù)二f J , ( 1)求A的所有特征值。(2)求A的所有 特征子空間。(3) A是否可以對(duì)角化。若
28、可以,求可逆矩陣 P,使得PAP為對(duì)角行。b解:(1)由 fA(扎)= #E A =|九E aE bJ = (& a )E ; (1 1 川 12丿二瀘 -aia - nb知A的特征值為a n -1重,a nb。(2)當(dāng),a時(shí),解 aE -A X =0,即 aE -aE -bJ X =0,即卩-bJX =0,即JX = 0所以 x1 x2 1 x 0,故 1 =1000+,n 2 =1<,川,q 2 =0b+<0 J<0 JF<1丿o當(dāng)=a nb時(shí),解 a nb E - A X = 0,即*(n -1 P+-b(n _1 p*IIIIIItX =0,解方程組得1
29、1.-b-bIII(n -嘰+n-1故A特征向量為V ki i和k n ,所以A的特征子空間為Va =L 1, 2,11), n1及 Va.nb 二 L n。(3)易知i, 2,川,n線(xiàn)性無(wú)關(guān),所以A可對(duì)角化。取P二1, 2,川,n,易知P是可逆矩陣,且滿(mǎn)足P'AP為對(duì)角行。29設(shè)V為n維線(xiàn)性空間,二為V上的可逆線(xiàn)性變換,匚一1為匚的逆變換,Iv表示恒等變換,證明:(1) ker 二 ker-Iv , ( 2);- Iv V =1二-Iv V。證明:(1)任取很三ker ;- J,則-1> =0,所以,從而- - 'V-,即二'Tv- 0,故二'- Iv
30、=0,所以:ker- Iv,從而 ker ;- Iv ker ;- g , 同理 ker ;- Iv 二 ker ;二- g,故 ker ;- g 二 ker 二'- g。(2)因?yàn)槎赡妫载蜼 =V=:'V,從而匚-J ViuL-lvi'V =二“7仝亠7 = Iv-o,V =;:'-lv V,故結(jié)論成立。證畢! 注意:在有限維線(xiàn)性空間中,二可逆,則二為雙射。但在無(wú)限維線(xiàn)性 空間中結(jié)論不一定成立。另外,還有 V=-V。30設(shè)A是數(shù)域P上的n階方陣,R A =AX IX Mn P 1,N A二X Mn P |AX 4,貝S R A PIN Ai;0:= N
31、A1= N A。證明:=:設(shè)R A n N A產(chǎn),由AX = 0,易知A2X = 0,顯然有NA N A2。對(duì)于任意x N A,即A2X =0,所以A AX =0,從而AX N A ,又AX R A ,故由條件知AX =0 ,所以NA二NA2,故NA NA 2。 =:設(shè) N A i=N A2,對(duì)任意的 X RAnNA,由 X NA,知 AX 二 0 由X R A ,知存在丫,使X二AY,則AX二A2Y,所以A2丫 = 0,由條件知AY -0,所以 X -0,故 R A "N A。證畢!31設(shè)二,是n維線(xiàn)性空間V上的兩個(gè)線(xiàn)性變換,fi X , f2 X分別表示二和. 的特征多項(xiàng)式,如果
32、£ X與f2 X互素,則ker: ker f2 ;- O。 證明:因?yàn)閒i X ,f2 X =1,所以存在多項(xiàng)式X ,v X,使得1 X fi X v X f2 X =1,從而fi vf2=1注意到f2 X是.的特征多項(xiàng)式,知f2 =0,所以 fi = I任意的:ker £ .,則fi :- =0,所以-=1fi :- -.=fi 廠 J 很 ii: 0,故 ker fu:。同理ker f2 -心。證畢!32 設(shè) Wi,W2是n纟隹線(xiàn)性空間V的兩個(gè)子空間,維 w 汕,維w二門(mén)2 , ni rt = n,則存在V的線(xiàn)性變換二,使ker ;丁二Wi,;V二w?。 證明:設(shè)12川
33、1,飛是Wi的一組基,i,- 2,|, n2 是 W2的一組基, 將i, 2JH ni擴(kuò)充成V的一組基12,111,飛,i,llh -即n2 定義二:二=0,i=i2Mni;二j j, j =i,2,川,匕,顯然這是一個(gè)線(xiàn)性變 換,并且ker ;丁二w,;V = w?,事實(shí)上:(i)顯然 Wiker 二,任意的kerz ,則二=0,由-=ki VIII kni :n1 liln2 n2,兩邊二作用,則0 - 十 1 71|程匚n2十1訂11%,又:1川n2線(xiàn)性無(wú)關(guān),知li =0,所以? =« i | k® 飛 w,從而 ken二 w,故 ker ;:- w。(2)二 Vi;
34、 = L)i,匚'-2 JIL" F ,二 1 川1,二 n2 二 L >1,2l= W2 故匚V i=w2。證畢!33設(shè)V是數(shù)域F上的所有n階對(duì)稱(chēng)矩陣形成的Mn F的子空間,令二 AV|trA=0?,w =氐 E| F?,(1)求證:w為 V 的子空間。(2)分 別求出-和w的一組基。(3)證明:VWw。證明:(1)只要證明.,w非空,并且對(duì)加法,乘法封閉。(證明略)-1(2)取G j (i式j(luò)畑=a» =1,其余為零 及知=0,卻2 =0丿1 、100-1fa,11,*1n =04,則角1,%2,111忌,Wj是屮的一41 0b< -1>組基。
35、顯然E為w的一組基。(3)任意的 A V,則 AY0E A-'0E ,其中=a11 a22 川 ann,n則0 w, A- '0 E -.,所以V w,又V二、w顯然成立,故V “ w。對(duì)任意的Aw,則由B w,知B = E ;由B .,知tr B二 n,=0,所以,=0,故B = 0,即、D w - O,綜上 V f w。證畢!34設(shè)二,是n維線(xiàn)性空間V的兩個(gè)線(xiàn)性變換,且匚2 =-:;, kerpi=ker , 證明:二:二。證明:任意的:V,因?yàn)槎? =;丁,所以匚2=匚,即二2v- 0從而- - - 0,故;- > - ker ;= ker ,所以 ;- - - 0
36、即- 0,故 y :=.:-。由的任意性知,二。證畢!35寫(xiě)出向量空間 V的ss_2個(gè)有限維子空間W|,w2,川,ws的相應(yīng)維數(shù) 公 式并證明。/ s 、 S解:公式為: 維比 Wj =遲維(Wj )一 維(w, r)W2 維(W, + w2 )仃 w3 )維 Wi W2Wsj Dws證明:(數(shù)學(xué)歸納法)1) 當(dāng)s = 2時(shí),顯然結(jié)論成立。2) 假設(shè)s-1時(shí)結(jié)論成立,下證當(dāng)s時(shí)結(jié)論成立:、F S )、維IZ Wi 1=維!送 Wi +Ws 1 =維正 Wi 1+維(Ws 維(W1 +W2 + + Ws們 Ws )= Jy 丿ly 丿ly 丿Si送維(W )-維(Wi Wj 維(W 飩十&quo
37、t;+WS屮叫丄片維(WS)-維&W +W2知 +叫胡 W )=i 1s' 維 Wi ?-維 WiW2 -,一維 I) Wi 亠 W2 Ws2 PlWs一維 l)Wi 亠 W2 Ws 丄 n Wsi 土由歸納原理知,結(jié)論成立。證畢!36設(shè)二是n維歐式空間V上的線(xiàn)性變換,且匚2 =i,求證:;是V上的正交變換 二二是V上的對(duì)稱(chēng)變換。證明:在V中取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,川,設(shè)二:1,:2川幾 八1,:2川,n A 因?yàn)槎?二i,所以A2=E,即A = A=:設(shè)匚是正交變換,所以AAT = E,從而A* = At,所以A = At,故二是V上 的對(duì)稱(chēng)變換。二:設(shè)二是V上的對(duì)稱(chēng)變換,則
38、A = AT,即A = AT,從而A為正交矩陣, 所以二為正交變換。37設(shè)J 是n維線(xiàn)性空間上的線(xiàn)性變換,且 二-匚 若二有k個(gè) 互異的特征值,.有s個(gè)互異的特征值,則二與.至少有max k,s個(gè)公共的不變子空間證明:設(shè)k _s,則max k,s=k,令、,2,川,“是二的k個(gè)互異的特征值- p ?,i =1,2J)|,k,因?yàn)椋?-.;,所以 Vq是.的不變子空間,又V是CT的不變子空間,所以V=1,2,|n,k )是6 E的k個(gè)公共的不變子空間。38設(shè)V是數(shù)域P上的n維線(xiàn)性空間,cci,ct2,川,召為V的一組基,V=L(M|q),= O,kP ,( 1)證明:V2是V的子空間(2) V二
39、 V2。(3)設(shè)二是V上的線(xiàn)性變換,二在V的基:j,2,川,n下的矩陣是一個(gè)置換 矩陣A,則MM是的二不變子空間。(2)任意的打=V,則B =1% +02+ HI + ln=l1r/n、/n、/n、無(wú)li無(wú)liZ lili 二£ +l7色+m+l y«nl1 _nI2 _nln _ 'n<J<J< 丿)n證明:(1)證明略。" n 、 瓦li則b :< :-2 - : n Vnn 瓦li11亠nn' li1n亠n對(duì)任意的:v1 Av2,由圧u,知=k r L n,由v2,知nk =0,所以 k = 0,即:=0。故 V 二
40、V1 二 V2。廣T1(3)1.任意的0 “1,則廬=k(%+冬+川+叫)*(%02,山,叫)+由1, : 2,川,:n 二1,2,川,亠 A,知:二::心,二2,IH-nT1):/(GiS'lHen+J丿11)A :=1,02,川,Gn4J丿所以,.三V,故v1是二的不變子空間%、zkki1hr=(旳,0(2,,5 )Ab r=(。1,。2,Gn )i4lknJ<kn J&in丿2.任意的 0 “2 , P =語(yǔ)樸2口2 + knOn =(。1,。2,£ ):,所以 <kn .丿廠-廠1,2,n6:川* kn * V2,即飛,故V2是二的不變子空間。證畢
41、!39設(shè)n階方陣A,B滿(mǎn)足AB二A-B,證明:(1) 一1不是B的特征值(2)若B相似于對(duì)角形,則存在可逆矩陣P,使得PBP為對(duì)角形。 證明:(1)若,"是B的特征值,則存在,是B的屬于,"的特征向 量,二=0,即 B、* := :- o又因?yàn)?AB 二 A 一 B,所以 A B二 A - B:,即卩 A二 A一 :,故:=0,這 與:-0相矛盾,從而假設(shè)不成立,故=1不是B的特征值(2)因?yàn)锽相似于對(duì)角形,所以存在可逆矩陣P,使得 PBP =即 PAPPBP-E 二-P'BP,從而 PAP仏-1、h44<人-1<人n /,又因?yàn)?AB = A - B,
42、所以 P4APP1BP4AP4BP因?yàn)?=1,所以可逆,從而"一越51、1-1>n j,-n 1PAP =1 - '1,故結(jié)論成立。證畢!40設(shè)V是n維線(xiàn)性空間,匚是V上的線(xiàn)性變換,證明:存在V的另一線(xiàn)性變換.,使得c. -0,并且維宀VI亠維.V滬維V=n。證明:設(shè)GGIlLer是ker ;的一組基,擴(kuò)充成V的一組基©,今|1,編,貝S (V)=L(<T(ey )|Q(en )且維(<i(V)=n_r,任取 aV,a = Ke “2:卅 1)+匕£ 定義二Ke kzd III k©,顯然是線(xiàn)性變換。所以 E (V )=L(e,
43、e2,|,er ),則維 t; (V)=r,從而維(仃(V )+ 維(兀(V )= n 任意的:;eV.- . k1e1 - k2e2 krer 二 n,所以二二 0。證畢!41設(shè)A為n階實(shí)方陣,證明:若對(duì)于任何n維實(shí)向量二0,都有TA < 0則A 的特征值的實(shí)部小于零。證明:設(shè)a bi是A的特征值,壽巧 :£,卩f Rn是A的屬于a bi的特征向量, 所以 a bi I很亠i :二 Ai* 亠i :,從而 A 'A - = a-bj亠b i 則 A= a_:i b :; A : = b二:,所以:T A Ta,丁 ; 1T八-:=iT-?Ta'- 故+BtaB
44、二玄庖口+pT0),所以玄"。證畢!42設(shè)A Mn P ,w=f A I f X百P I.X卜,求w的一組基及維數(shù)。證明:設(shè)mA X是A勺最小多項(xiàng)式,:mA X二m,則E,A,A2,川,Am,是w的 一組基,事實(shí)上:首先證明E,A,A2,|,Am線(xiàn)性無(wú)關(guān),若E,A,A2,川,Am_線(xiàn)性相關(guān),則存在 一組不全為零的實(shí)數(shù)ko,K,IH,km,使k°E KA川kmAm=O假設(shè)從右邊數(shù)第一個(gè)不為零的實(shí)數(shù)為ki,令g X i=k0 &X川kjX, 則::g X : m ,但是g A =0,這與mA X是最小多項(xiàng)式矛盾,從而 假設(shè)不成立,故E,A,A2,川,Am線(xiàn)性無(wú)關(guān)。再證明
45、w中任意元素都可由E,A,A2,IH,Am線(xiàn)性表出,對(duì)任意的 f X 盧 P X1,那么 mA X 除 f X P X 1 有 f X 二 mA X q X r X , 其中 r X =0或::r X : ? mA X所以f A汀A是E,A,A2,川,Am的線(xiàn)性組合,即W中任意元素都可由E, A,A2JH, AmJ 線(xiàn)性表出。綜上:E,A,A2,IH,Am,為W的一組基,并且維數(shù)為m。43設(shè)RlX 是次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式空間(n釘),w=f(X )| f=0,f (Xf P X,求證:w是一個(gè)線(xiàn)性空間并求其一組基。證明:(證明w是一個(gè)線(xiàn)性空間略),下面求其一組基:取X -1,X2 -11, X
46、n -1,則這就是w的一組基,事實(shí)上:首先證明 X-1,X2-1|l|,Xn-1 的線(xiàn)性無(wú)關(guān)性,設(shè) K X-1 飛 X2-1 III kn Xn-1=0 即 k1X "2X2 III knXn- k2 -11|-心=0,所以 =0,故 X-1X2-1 |X 1是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。再證明w中任意元素都可由 X-1,X2-1(l|,Xn-1線(xiàn)性表出,對(duì)于任意的f X w,設(shè) f X 二30X11丨 anXn =30 a X-1 川 an Xn-1 2 山 an=31 Xan Xn -1 a| 3n,因?yàn)?f 1 =0,所以 a。0 川 3n =0即f X p X -1 III *n Xn -1
47、,故w中任意元素都可由xtx2t川,XnT線(xiàn)性表示。綜上:X-1, X2-1,|l,Xn-1是w的一組基。44已知Mn R中線(xiàn)性變換T:TX =X XT,-X M. R ,求T的值域和X12X21IIIX1n 一 Xn10+IIIX2n 一 Xn2+Xn2+- X2 nIII+00解:設(shè) X = ( Xj ),則 TX = X _ X T = X21hFlxni Xin廣01、送送(xj Xjj )gj,其中剤=/,(i式j(luò) )L0丿故所有的反對(duì)稱(chēng)矩陣充滿(mǎn)T的值域,所有的對(duì)稱(chēng)矩陣充滿(mǎn)T的核44設(shè)Wi,W2是Vn的兩個(gè)子空間,滿(mǎn)足維 Wi W2二維WiCW2 1,證明:有w_ w2或嗎二:叫。證
48、明:因?yàn)榫S(W| )+維(w2 )=維(W| +w2 )+維(W| Aw2 ),且維(W啟F纟維1 W?中1 所以 維w, 維w2二2維w, Plw2 1,因?yàn)榫S(wDwJ乞維(w );維(W|p|w2戶(hù)維(W )所以上面兩式中"蘭"至少有一個(gè)"="成立。(否則,有維3門(mén)罐片1蘭維(W );維(w,riw2 )+1蘭維(W2 ),貝卩2隹(Wp|w2 )+2蘭維(W )+維(W ),從而2蘭1,矛盾。) 所以維(wwJ二維(W 或維(wriw2 )=維(W ),即w, u w2或w w2。證畢!45設(shè)T是歐式空間Vn的一個(gè)正交變換,構(gòu)造子空間M -匸0|0=飛,任意的 0V,V2 = : -T 嚴(yán)三 Vn /,證明:V 二 V2。證明:任意的r M,則0八0,任意的八-TV2,則:0, -T:二0,:. 口0,二10,二 n=0,所以 >01由-的任意性,知:0 V2-,所以V V2-。任意的卅三
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶(hù)所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶(hù)上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶(hù)上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶(hù)因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 房屋出資協(xié)議合同模板
- 項(xiàng)目工程融資合同模板
- 空調(diào)工程勞務(wù)合同模板
- 租車(chē)公司調(diào)車(chē)合同模板
- 雞鴨飼料出售合同模板
- 貨物出口代理合同模板
- 道路運(yùn)輸協(xié)會(huì)工作人員勞動(dòng)合同
- 審查PPP合同模板
- 中國(guó)石化購(gòu)油合同模板
- 贈(zèng)送公司股權(quán)合同模板
- 血管瘤及脈管畸形
- DB42-T 1965-2023 公開(kāi)版地圖地理信息審查工作規(guī)程
- 門(mén)衛(wèi)保安反恐演練方案
- GB/T 42313-2023電力儲(chǔ)能系統(tǒng)術(shù)語(yǔ)
- 有限元填空選擇題及答案
- 《教育的第三只眼》讀書(shū)筆記思維導(dǎo)圖
- 加氫裂化催化劑分類(lèi)及選擇
- 政府采購(gòu)項(xiàng)目驗(yàn)收?qǐng)?bào)告
- 醫(yī)用耗材配送服務(wù)方案
- 提高手術(shù)患者術(shù)前準(zhǔn)備完善率醫(yī)院護(hù)理品管圈QCC成果匯報(bào)
- 2022年溫州市公共資源交易服務(wù)中心事業(yè)單位工作人員招聘筆試試題及答案解析
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論