高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備 第100-102課時(shí)：第十三章 導(dǎo)數(shù)-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(3)

1、第100-102課時(shí)：第十三章 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(3)課題：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3：切線與速度的問(wèn)題(3課時(shí))一用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處切線的斜率，也就是說(shuō)，曲線在點(diǎn)處切線的斜率是。于是相應(yīng)的切線方程是：。利用上述結(jié)論，可以求解曲線的切線以及相關(guān)的問(wèn)題。用求導(dǎo)法求曲線的切線的斜率是行之有效的方法，它不僅適用于二次曲線，對(duì)于任何可導(dǎo)函數(shù)都適用。如果要求的切線過(guò)某點(diǎn)，一定要注意驗(yàn)證這點(diǎn)是否在曲線上。如果這點(diǎn)在曲線上，可直接通過(guò)求這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（斜率）來(lái)求切線方程，如果這點(diǎn)在曲線之外，一般需設(shè)切點(diǎn)，求出這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，然后通過(guò)解方程組來(lái)確定切點(diǎn)，最后根據(jù)兩點(diǎn)式確定切線方程。二用導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)

2、速度 物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度就是物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律在時(shí)的導(dǎo)數(shù)，即有。利用導(dǎo)數(shù)的這個(gè)物理意義，可以幫助我們獲得按規(guī)律運(yùn)動(dòng)的物體的瞬時(shí)速度。三范例分析例1求過(guò)拋物線y=ax2+bx+c（a0）上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程，并由此證實(shí)拋物線的光學(xué)性質(zhì)。分析：為求斜率，先求導(dǎo)函數(shù)：y=2ax+b，故切線方程為yy0=(2ax0+b)(xx0)即y=(2ax0+b)xax+c，亦即y=(2ax0+b)xax+c.拋物線焦點(diǎn)：F（,），它關(guān)于切線的對(duì)稱點(diǎn)之橫坐標(biāo)當(dāng)x0，說(shuō)明從焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到（x0，y0）經(jīng)拋物面反射后反射光線平行于對(duì)稱軸，反之亦然。要求過(guò)曲線上一點(diǎn)處的切線方程，一般先求出該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值（

3、斜率），再用點(diǎn)斜式寫出后化簡(jiǎn)，同時(shí)我們還可以據(jù)此寫出該點(diǎn)處的法線方程。解：顯然，y0=ax+bx0+cy=2ax+b 故在P點(diǎn)處切線斜率為2ax0+b，切線方程y(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(xx0)，亦即y=(2ax0+b)xax+c.由于y=ax2+bx+c按向量=平移即得到y(tǒng)=ax2，只須證明過(guò)其上一點(diǎn)（x0，ax）的切線l ：y=2ax0xax 滿足：焦點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n）.當(dāng)x00時(shí)，消去n. 知 m=x0.當(dāng)x0=0時(shí)，切線為y=0，F(xiàn)之對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)顯然是0，故從焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到（x0，ax）后被拋物面反射后的方程為x=x0（與對(duì)稱軸平行）；反之，與對(duì)稱軸平行的

4、光線被拋物面反射后必聚匯于焦點(diǎn).例2求函數(shù)y=x4+x2 圖象上的點(diǎn)到直線y=x4的距離的最小值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).分析：首先由得x4+2=0 知，兩曲線無(wú)交點(diǎn).y=4x3+1，切線要與已知直線平行，須4x3+1=1，x=0.故切點(diǎn)：（0 , 2）一般地，當(dāng)直線l與y=f(x)的圖像無(wú)交點(diǎn)時(shí)，與l平行的切線與l間距離應(yīng)為圖像上點(diǎn)到l的 距離的最值，以最小值為例（如圖）與l平行的 直線若與曲y=f(x)相交，（A為一交點(diǎn)），則l與l間必存在y=f(x)上的點(diǎn)C，顯然，C點(diǎn)到l的距離小于l與l間的距離，亦即A到l的距離.當(dāng)然，我的也可用參數(shù)直接考慮：設(shè)(x0，x+x02)為y=f(x)圖象上任意一點(diǎn)，

5、它到l的距離，故距離最小距離為上述等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取得，故相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）。解：y= 4x3+1，令4x3+1=1，x=0. 由此知過(guò)曲線上點(diǎn)（0，2）的切線方程y=x+2 與已知直線平行，它到 已知直線距離最近，為.例3已知一直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與曲線yx33x22x相切，試求直線l的方程。分析： 設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則y0x033x022x0，由于直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故等式的兩邊同除以x0即得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)x0處的切線斜率，便可建立關(guān)于x0的方程。在兩邊同除以x0時(shí)，要注意對(duì)x0是否為0進(jìn)行討論。解：設(shè)直線l：ykx 。 y3x26x2， y|x=02，

6、又直線與曲線均過(guò)原點(diǎn)，于是直線ykx與曲線yx33x22相切于原點(diǎn)時(shí)，k2。若直線與曲線切于點(diǎn)(x0，y0) (x00)，則k，y0x033x022x0，=x023x02，又ky|3x026x02，x023x023x026x02，2x023x00，x00，x0，kx023x02，故直線l的方程為y2x或yx。例4已知曲線及其上一點(diǎn)，過(guò)作C的切線，與C的另一公共點(diǎn)為（不同于），過(guò)作C的切線，與C的另一公共點(diǎn)為（不同于），得到C的一列切線，相應(yīng)的切點(diǎn)分別為，。（1）求的坐標(biāo)；（2）設(shè)到的角為，求之值。解：（1）設(shè)，過(guò)作C的切線。C在處的切線的方程為：，代入，并整理得。即（舍去）或。由題意，從而，（

7、nN*）即；（2）的斜率。的斜率。例5在直線軌跡上運(yùn)行的一列火車，從剎車到停車這段時(shí)間內(nèi)，測(cè)得剎車后t秒內(nèi)列車前進(jìn)的距離s27t0.45t2（單位是米），這列火車在剎車后幾秒鐘才停車？剎車后又運(yùn)行了多少米？解：當(dāng)火車運(yùn)行速度為0時(shí)，火車停車。vs(27t0.45t2)270.9t，令270.9t0，得t30（秒），則s27300.45302405（米），故這列火車在剎車后30秒鐘才停車，剎車后又運(yùn)行了405米。例6求曲線y在橫坐標(biāo)為x0的點(diǎn)處的切線方程，并求此曲線的切線被兩坐標(biāo)軸所截線段的最短長(zhǎng)度。分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)x0處的切線方程，從而求出切線被兩坐標(biāo)軸所截線段，再用基本

8、不等式求其最小值。解：由導(dǎo)數(shù)的定義可得y /，則過(guò)()點(diǎn)的切線方程為，由此得切線在x軸與y軸上的交點(diǎn)分別為A(x0，0)，B(0，)。則|AB|2，|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)，即x0時(shí)，等號(hào)成立。故最短長(zhǎng)度為。例7如圖，已知圓心為O，半徑為1的圓與直線l相切于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)P自切點(diǎn)A沿直線l向右移動(dòng)時(shí)，取弧AC的長(zhǎng)為，直線PC與直線AO交于點(diǎn)M。又知當(dāng)AP=時(shí)，點(diǎn)P的速度為v，求這時(shí)點(diǎn)M的速度。（1984年全國(guó)高考附加題）分析： 設(shè)AP的長(zhǎng)為x，AM的長(zhǎng)為y，用x表示y，并用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)。解：如圖，作CDAM，并設(shè)AP=x，AM=y，COA=，由題意弧AC的長(zhǎng)為，半徑OC=1，可知=

9、，考慮（0，）。APMDCM，。DM=y- (1-cos)，DC=sin， 。上式兩邊對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)，則 。=當(dāng)時(shí)，代入上式得點(diǎn)M的速度。例8已知在R上單調(diào)遞增，記的三內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為，若時(shí)，不等式恒成立（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）求角的取值范圍； （）求實(shí)數(shù)的取值范圍解：(1)由知，在R上單調(diào)遞增，恒成立，且，即且， 當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，時(shí)，即當(dāng)時(shí)，能使在R上單調(diào)遞增，(2)，由余弦定理：，(3)在R上單調(diào)遞增，且，所以，故，即，即，即例9已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.（）求a的值；（）若點(diǎn)A（x0,f(x0)）在函數(shù)f(x)的圖象上，求證點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B也在函數(shù)f(x)的

10、圖象上；（）是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的值；若不存在，試說(shuō)明理由.解：（）由函數(shù)單調(diào)遞減，（）（）函數(shù)四、專題訓(xùn)練1一質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過(guò)的路程S和經(jīng)歷的時(shí)間t有關(guān)系S=53t2，則它在1,+t內(nèi)的平均速度為（ C ）（A）3t+6 （B）3t+6 （C）3t6 （D）3t6提示： 選（C）2曲線y=x3x2+5，過(guò)其上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)作曲線的切線，則切線的傾斜角為 （ D ）（A） （B） （C） （D）提示：y=x22x. 當(dāng)x=1時(shí)，y=1 選（D）3設(shè)曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ C ）A（3，9）B（3，9）C（）D

11、（）4某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是，則在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度為（ B ）A1B3C7D135函數(shù)處的切線方程是（ D ）ABCD6某物體的運(yùn)動(dòng)方程為，則該物體在時(shí)的瞬時(shí)速率是（ A ）（A）36 （B）26 （C）14 （D）287曲線與曲線的公共切線的條數(shù)是 （ B ）A1條 B2條 C3條 D0條8曲線y=x3+x-2在點(diǎn)P0處的切線平行于直線y=4x-1，則點(diǎn)P0點(diǎn)的坐標(biāo)是（ B ） A(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)9給出下列命題：(1)若函數(shù)f(x)=|x|，則f(0)=0；(2)若函數(shù)f(x)=2x2+1，圖象上P(1,3)及鄰近上點(diǎn)Q(1+x,3+y)，則=4+

12、2x(3)加速度是動(dòng)點(diǎn)位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；(4)y=2cosx+lgx，則y=-2cosxsinx+其中正確的命題有（ B ） A. 0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)8函數(shù)處的切線方程是（ D ）ABCD9已知函數(shù)的圖象與x軸切于點(diǎn)（1，0），則的極值為（ A ）A極大值，極小值0B極大值0，極小值C極小值，極大值0D極大值，極小值010已知二函數(shù)，若它們的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線重合，則切斜線率為（ C ）A0B12C0或12D4或111如果曲線處的切線互相垂直，則x0的值為 . （）12曲線上一點(diǎn)M處的切線與直線垂直，則切線的方程是_ 或13求曲線y = sinx在點(diǎn)

13、x=處的切線方程。提示：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線y = sinx在點(diǎn)x=處的切線斜率。解：y=cosx，切線的斜率k= -1，切線方程為 y- 0=- (x- )，即x+y-=0。14求過(guò)點(diǎn)P（2，2）且與曲線y=x2相切的直線方程.解：y=2x，過(guò)其上一點(diǎn)（x0，x）的切線方程為yx=2x0(xx0)，過(guò)P（2，2），故2x=2x0（2x0）x0=2. 故切線方程為y=(4)x(6).15由y=0，x=8，y=x2圍成的曲邊三角形，在曲線弧OB上求一點(diǎn)M，使得過(guò)M所作的y=x2的切線PQ與OA，AB圍成的三角形PQA面積最大。答案：（16/3，256/3）16路燈距地面8m，一身高1.6m

14、的人沿穿過(guò)燈下的直路以84m/min的速度行走，則人影長(zhǎng)度變化速率是多少？（要求以m/s為單位）解：.OM= 4BM同理ON=4CN兩式相減，知，影長(zhǎng)變化BMCN= (OMON)=MN=t84m/min.17已知直線y=3x+1是曲線y=x32x+a的一條切線，求a的值.解：y=3x22. 令3x22=3， x=.代入切線方程知y0=1，a=y0+2x0x .18設(shè)曲線S：y=x36x2x+6，S在哪一點(diǎn)處的切線斜率最?。吭O(shè)此點(diǎn)為P（x0，y0）求證：曲線S關(guān)于P點(diǎn)中心對(duì)稱.解：y=3x212x1當(dāng)x=2時(shí)有最小值.故P：（2, 12）.S在（2，12）處的切線斜率最小，為13.又y=(x2+2)36(x2+2)2(x2+2)+6=(x2)313(x2) 12故曲線C的圖象按向量=(2，+12)平移后方程為y=x 13x為奇數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故P（2，12）為曲線S的對(duì)稱中心.19曲線y=x(x+1)(2x)上有一點(diǎn)P，它的坐標(biāo)均為整數(shù)，且過(guò)P點(diǎn)的切線斜率為正數(shù)，求此點(diǎn)坐標(biāo)及相應(yīng)的切線方程.解：y=x3+x2+2x y=3x2+2x+2令y0 知x(， )又xz x=0或1 P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）或（1，2）.切線斜率k=2或1，切線方程為y=2x或y=x+1.20曲線：y=ax