常微分方程和差分方程

1、第十章 常微分方程和差分方程在實(shí)際問題中，我們研究的對(duì)象變量往往是以函數(shù)關(guān)系的形式建立了變量間的客觀聯(lián)系，但卻很難直接得到所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系，反而更容易建立這些變量、它們的導(dǎo)數(shù)或微分之間的關(guān)系，即得到一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，我們稱此方程為微分方程.通過求解這樣的微分方程，我們同樣可以建立所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系，這樣的過程稱為解微分方程.現(xiàn)實(shí)世界中的許許多多問題都可以在一定的條件下抽象為微分方程，例如人口的增長(zhǎng)問題、經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)問題等等都可歸結(jié)為微分方程的問題；這時(shí)的微分方程習(xí)慣上稱為所研究問題的數(shù)學(xué)模型，如人口模型、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型等.因此微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際并應(yīng)用于實(shí)際的

2、重要途徑和橋梁，是數(shù)學(xué)及其他學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的研究工具. 微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科，有完整的理論體系.我們?cè)谶@一章主要介紹微分方程的一些基本概念，幾種常用的一階、二階微分方程的求解方法，線性微分方程的解的理論及求解方法.但是在經(jīng)濟(jì)管理和許多的實(shí)際問題中已知的數(shù)據(jù)大多數(shù)是按等時(shí)間間隔周期統(tǒng)計(jì)的，因而相關(guān)變量的取值是離散變化的.如何尋求它們之間的關(guān)系及變化規(guī)律呢？差分方程是研究這樣的離散型數(shù)學(xué)問題的有力工具，本章在最后介紹差分方程的一些基本概念及常用的求解方法.10.1 微分方程的基本概念先看一個(gè)例子.例1設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng)，時(shí)刻的銷量為，由于產(chǎn)品性能良好，每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品

3、，因而時(shí)刻產(chǎn)品的銷售的增長(zhǎng)率與成正比；同時(shí)考慮到市場(chǎng)的容量是有限的，假設(shè)市場(chǎng)的容量為，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明與尚未購(gòu)買產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量也成正比；則可建立如下的微分方程：，其中為比例系數(shù).可以求出該微分方程的解為，其中為積分常數(shù).10.1.1 微分方程的概念含有自變量、自變量的未知函數(shù)及未知函數(shù)的（若干階）導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程.如果未知函數(shù)是一元的，通常稱此方程為常微分方程；如果未知函數(shù)是多元的，通常稱此方程為偏微分方程.本書中只討論常微分方程.10.1.2 微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的最高階的階數(shù)稱為微分方程的階.例如：，是一階的微分方程；是三階微分方程.微分方程中未知

4、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù)是一階，稱此方程為一階微分方程，記為或；微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分是二階及以上，稱此方程為高階微分方程.因此一般的階微分方程可表示為或.10.1.3 微分方程的解若把函數(shù)代入微分方程使微分方程恒成立，則稱是該微分方程的一個(gè)解.例如：，（是任意常數(shù)）都是微分方程的解. 微分方程的通解、特解把含有與微分方程的階數(shù)相同個(gè)數(shù)的獨(dú)立的任意常數(shù)(即：它們不能合并而使得任意常數(shù)的個(gè)數(shù)減少)的解稱為該微分方程的通解；不含任意常數(shù)的微分方程的解稱為該微分方程的特解.例如： （是任意常數(shù)）是微分方程的通解，是微分方程的通解；而，是微分方程的特解，是微分方程的特解. 微分方程的通解與特

5、解的關(guān)系微分方程的通解通過一定的條件確定其中的每一個(gè)任意常數(shù)的數(shù)值，這時(shí)的微分方程的解即為特解；確定每一個(gè)任意常數(shù)的值的條件稱為微分方程的初始條件；微分方程與初始條件合稱微分方程的初始問題.例如是微分方程的通解；加上條件，可確定，從而得到是微分方程的特解；其中條件，是微分方程的初始條件；把稱為微分方程的初值問題.微分方程的解的圖形是一條曲線,稱為微分方程的積分曲線.通解的圖形是一族積分曲線,特解是這一族積分曲線中的某一條積分曲線.初值問題的幾何意義就是求微分方程滿足初始條件的拿條積分曲線.例2 驗(yàn)證 (1)是微分方程 (2)的解.解 因?yàn)?故而成立.函數(shù)(1)及其導(dǎo)數(shù)代入微分方程(2)后成為一

6、個(gè)恒等式，因此函數(shù)(1)是微分方程(2)解.例3 已知函數(shù)(1)是微分方程(2)通解，求滿足初始條件，的特解.解 將，代入例1的的表達(dá)式得，即，解得，；故所求特解為.10.2 一階微分方程一階微分方程的一般形式為 (1)如果從(1)中能解出，則一階微分方程可表示為 (2)一階微分方程有時(shí)也可以寫成如下的形式 (3)如果一階微分方程為或；則只需等式兩邊積分即得但并非一階微分方程都可以如此求解的，比如，就不能像上面所述的求法，原因是方程右端含有未知函數(shù)，積分求不出來.為了解決這個(gè)困難，在方程的兩端同乘以，使方程變?yōu)?.這樣，變量與被分離在等式的兩端，然后兩端積分得如此得到的函數(shù)是原來的微分方程的解

7、嗎?(讀者自己驗(yàn)證).本節(jié)中將介紹幾種特殊類型的一階微分方程及其解法.一、可變量分離的微分方程與分離變量法形如 (4)的一階微分方程稱為可分離變量的微分方程.求解方法：首先分離變量，即把與分別移到方程的兩端：再兩端分別求積分即可求得微分方程的通解，其中是任意常數(shù).注意：(1)在移項(xiàng)時(shí)才可以；如則不妨設(shè)是的零點(diǎn)，即，代入原方程可知常數(shù)函數(shù)顯然是方程(4)的一個(gè)特解.(2)在上述的通解表示式中，與表示的是一個(gè)原函數(shù)，而不是不定積分；兩個(gè)不定積分中出現(xiàn)的任意常數(shù)歸并在一起記為C.例1 求微分方程的通解.解 分離變量可得兩端分別求積分得到通解即其中C是任意常數(shù).通解也可寫為，其中C是任意常數(shù).例2 求

8、微分方程的通解.解 合并同類項(xiàng)得(1)如果，分離變量得積分得其中是任意常數(shù).去對(duì)數(shù)得方程得通解為其中是一個(gè)正的任意常數(shù)().例3 設(shè)一曲線經(jīng)過點(diǎn)，它在兩坐標(biāo)軸間的任一切線段被切點(diǎn)所平分，求這一曲線的方程.解 設(shè)所求的曲線方程為，則曲線上任一點(diǎn)處的切線方程為由已知，當(dāng)時(shí)，代入上式即得到所求曲線應(yīng)滿足的微分方程及初始條件此方程為可分離變量的微分方程，易求得通解為又因，則，故所求的曲線為.二、齊次方程如果一階微分方程中的函數(shù)可以變?yōu)榈暮瘮?shù)，即微分方程為的形式，習(xí)慣上稱這樣的微分方程為齊次方程.例如方程就是齊次方程，因?yàn)槲覀兛梢园汛朔匠袒癁?要求出齊次方程的通解，我們可以用變量代換的方法.設(shè)齊次方程為

9、 (5)假設(shè)，則可以把齊次方程(5)化為可分離變量的微分方程.因?yàn)?，則，代入方程(5)可把原方程變?yōu)榧捶蛛x變量得等式兩端積分得.記為得一個(gè)原函數(shù)，再把代入，則可得方程(5)的通解為，為任意常數(shù).例4 解方程.解 原方程可變?yōu)轱@然是齊次方程.故令，則，于是原方程變?yōu)榧丛俜蛛x變量，得兩端積分，得即，以代換上式中的便得到原方程的通解為注記:齊次方程的求解實(shí)質(zhì)是通過變量替換，將方程轉(zhuǎn)化為可分離變量的方程.變量替換法在解微分方程中，有著特殊的作用.但困難之處是如何選擇適宜的變量替換.一般來說，變量替換的選擇并無一定之規(guī)，往往要根據(jù)所考慮的微分方程的特點(diǎn)而構(gòu)造.對(duì)于初學(xué)者，不妨多試一試，嘗試幾個(gè)直接了當(dāng)?shù)?/p>

10、變量替換.例5 求微分方程的通解.解 令,則，原方程化為 即兩端積分，得把用換回，得原方程的通解為三、一階線性微分方程方程 (6)稱為一階線性微分方程，因?yàn)樗鼘?duì)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一次方程.如果方程(6)中的，則把此時(shí)的方程(6)稱為齊次的；如果不恒等于零，則把方程(6)稱為非齊次的. 設(shè)方程(6)是非齊次的微分方程，為求出其通解，首先我們討論(6)式所對(duì)應(yīng)的齊次方程 (7)的通解問題.顯然這是一個(gè)可分離變量的方程，分離變量得 兩端積分，得或 ，(其中)這是方程(6)對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程(7)的通解.現(xiàn)在我們使用所謂的常數(shù)變易法來求非齊次線性方程(6)的通解.此方法是將方程(7)的通解中的常

11、數(shù)換成的未知函數(shù)，即作變換 （8）假設(shè)(8)式是非齊次線性方程(6)的解.則如果能求得是什么問題也就解決了. 為此兩邊求導(dǎo)得 (9)將(8)式和(9)式代入方程(6)，得 即將上式代入(8)式得到非齊次線性微分方程(6)的通解為 (10)注意：公式(10)中的不定積分和分別理解為一個(gè)原函數(shù).將(10)式寫成如下兩項(xiàng)之和不難發(fā)現(xiàn)：第一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程(7)的通解；第二項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的非齊次線性方程(6)的一個(gè)特解(在(6)的通解(10)中取即得此特解).由此得到一階線性非齊次微分方程的通解之結(jié)構(gòu)為對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與非齊次線性微分方程的特解之和.例6 求方程的通解.解 這是一個(gè)非齊次線

12、性微分方程，由公式（10）得 由此例的求解可知，若能確定一個(gè)方程為一階線性非齊次微分方程，求解它只需套用公式（10）即可，當(dāng)然也可以用常數(shù)變易法進(jìn)行求解.例7 求微分方程的通解（設(shè)）.解 如將上述方程變形為則顯然不是線性微分方程.如果將方程改寫為即這是一個(gè)把當(dāng)因變量而當(dāng)自變量的形如 (11)的一階線性微分方程；用公式可直接得到通解為 (12) 故本問題的通解為積分得. 四、伯努利方程形如 (13)的微分方程稱為伯努利方程，其中為常數(shù)，且.伯努利方程是一類非線性微分方程，但通過適當(dāng)?shù)淖儞Q就可以把它轉(zhuǎn)化為線性的微分方程.在(13)式的兩端除以，可得或于是令，就得到關(guān)于變量的一階線性微分方程利用線性

13、微分方程的求解公式，再把變量換回原變量可得伯努利方程（13）的通解為.例8 求方程的通解解 方程兩端除以，令，則原方程可變?yōu)樵儆删€性微分方程的求解公式可得再把變量換回原變量，可得原方程的通解為四、一階微分方程在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用的實(shí)例例9 （新產(chǎn)品推廣模型）設(shè)某產(chǎn)品的銷售量是時(shí)間的可導(dǎo)函數(shù)，如果該產(chǎn)品的銷售量對(duì)時(shí)間的增長(zhǎng)速率與銷售量及銷售量接近于飽和水平的程度之積成正比(為飽和水平，比例常數(shù)為)，且當(dāng)時(shí).求：(1) 銷售量，(2) 銷售量的增長(zhǎng)最快的時(shí)刻.解 1.由題意可建立如下的微分方程：，()此方程為可分離變量的微分方程，分離變量得兩端積分，得從中解出，得由得，故可得2.對(duì)求一階、二階導(dǎo)數(shù)得令，

14、得.當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).故而當(dāng)時(shí)增長(zhǎng)的速度是最快的.注：習(xí)慣上把，()稱為L(zhǎng)ogistic方程，該方程的解曲線稱為L(zhǎng)ogistic曲線.在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等中常遇到這樣的變化規(guī)律.例10 （人才分配模型）每年的大學(xué)畢業(yè)生（含碩士、博士研究生）中都要有一定比例的人員充實(shí)教師隊(duì)伍，其余的從事科技管理方面的工作.設(shè)年時(shí)教師人數(shù)為，科技管理人員人數(shù)為，又設(shè)一個(gè)教師每年平均培養(yǎng)個(gè)畢業(yè)生，又每年退休、死亡或調(diào)出人員的比例為，每年畢業(yè)生中從事教師職業(yè)的比率為，則根據(jù)已知可建立如下的微分方程 (14) (15)方程(14)是可分離變量的微分方程，易解得其通解為設(shè)，則；得(13)的特解為將上式代入(15)式得這是一個(gè)一階

15、線性微分方程，可求得其通解為設(shè)，則；故得(14)的特解為.若取，即畢業(yè)生全部充實(shí)教師隊(duì)伍，則當(dāng)時(shí)，而，此時(shí)表明教師隊(duì)伍將迅速增加，但科技管理隊(duì)伍將不斷萎縮，必然會(huì)影響經(jīng)濟(jì)的發(fā)展.若取，即畢業(yè)生很少充實(shí)教師隊(duì)伍，則當(dāng)時(shí)，且，此表明若不保證適當(dāng)?shù)谋壤漠厴I(yè)生充實(shí)教師隊(duì)伍，必將影響人才的培養(yǎng)，最終會(huì)導(dǎo)致兩支隊(duì)伍全面的萎縮.因此選擇好比例十分重要.10.3 可降階的二階微分方程對(duì)于二階微分方程在某些情況下可通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把二階的微分方程轉(zhuǎn)化為一階的微分方程，習(xí)慣上把具有這樣性質(zhì)的微分方程稱為可降階的微分方程.其相對(duì)應(yīng)的求解方法自然地稱為降階法.下面介紹三種容易用降階法求解的二階微分方程.一、型的

16、微分方程微分方程 (1)的右端僅含有自變量，求解時(shí)只需把方程(1)理解為，對(duì)此式兩端積分，得同理，對(duì)上式兩端再積分，得此方法顯然可推廣到階.例1 求微分方程的通解.解 對(duì)給定的方程兩端連續(xù)積分兩次，得例2 求微分方程滿足的特解.解 對(duì)給定的兩端積分兩次，得由初始條件，得.由初始條件，得.故原方程滿足初始條件的特解為二、型的微分方程方程 (2)的典型特點(diǎn)是不顯含未知函數(shù)，求解方法：作變量代換，則，原方程可化為以為未知函數(shù)的一階微分方程設(shè)此方程的通解為，得再方程兩端積分，得.例3 求微分方程的通解.解 顯然該方程不顯含有未知函數(shù)，故令，則，于是原方程化為即兩端積分，得即或兩端積分，得原方程的通解為

17、.例4 求微分方程滿足的特解.解 顯然該方程為型，故令，則，于是原方程化為這是一階線性微分方程，易解得或因，得0，即兩端積分，得又因，可得原方程滿足初始條件的特解為三、型的微分方程該方程 (3)類型的特點(diǎn)在于不顯含自變量,求解方法：令，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則把轉(zhuǎn)化為因變量的函數(shù)，即故方程(3)變?yōu)?此方程為關(guān)于的一階微分方程.如能求出它的通解不妨設(shè)為或此方程是一個(gè)可分離變量的微分方程，易得原方程的通解為.例5 求微分方程的通解.解 顯然該方程為型，故令，則，代入原方程得即(1) 如果且，則方程兩端約去及同除，得兩端積分，得即或再分離變量并積分，可得原方程的通解為. (2) 如果或，即(為任意實(shí)數(shù)

18、)是原方程的解(又稱平凡解)，其實(shí)已包括在(1)的通解中(只需取).10.4 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)在應(yīng)用問題中較多遇到的一類高階微分方程是二階線性微分方程，它的一般形式為 (1)其中為已知的的函數(shù).當(dāng)方程右端函數(shù)時(shí)，方程(1)稱為二階齊次線性微分方程，即 (2)當(dāng)方程右端函數(shù)時(shí)，方程(1)稱為二階非齊次線性微分方程.本節(jié)中主要討論二階線性微分方程解的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)還可以推廣到階線性微分方程.定理1 如果是方程(2)的兩個(gè)解，則 (3)也是方程(2)的解，其中為任意實(shí)數(shù).(讀者自證)此性質(zhì)表明齊次線性微分方程的解滿足疊加原理，即兩個(gè)解按(3)式的形式疊加起來仍然是該方程的解；從定理1的結(jié)

19、果看，該解包含了兩個(gè)任意常數(shù)和，但是該解不一定是方程(2)的通解.例如二階線性微分方程，不難驗(yàn)證都是方程的解，但其形式的解，這顯然不是方程的通解(由通解的定義即可知道). 那么滿足何條件下的(3)式形式的解才是方程(2)的通解呢？事實(shí)上，是二階線性微分方程的解，可以驗(yàn)證也是方程的解，那么兩個(gè)解的疊加是方程的通解. 比較一下，容易發(fā)現(xiàn)前一組解的比，是常數(shù)，而后一組解的比，不是常數(shù). 因而在是方程(2)的兩個(gè)非零解的前提下，如果為常數(shù)，則不是方程(2)的通解(事實(shí)上是相關(guān)聯(lián)的)；如果不為常數(shù)，則是方程(2)的通解(事實(shí)上是不相關(guān)聯(lián)的).為了解決這個(gè)問題，我們引入一個(gè)新的概念，即函數(shù)的線性相關(guān)與線性

20、無關(guān)的概念:設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)，如果存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)，使得在區(qū)間內(nèi)恒有成立，則稱此兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān). 顯然如果是常數(shù)，則線性相關(guān)；不是常數(shù)，則線性無關(guān).據(jù)此我們有以下齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理：定理2 如果是方程(2)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則 就是方程(2)的通解，其中為任意實(shí)數(shù).下面我們來討論二階非齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu).在一階線性微分方程的討論中，我們已知道一階線性非齊次微分方程的通解之結(jié)構(gòu)為對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與非齊次線性微分方程的特解之和，那么二階及以上的線性微分方程是否也有這樣解的結(jié)構(gòu)呢？回答是肯定的.定理3 如果是方程(1)的一個(gè)特

21、解，且是其相應(yīng)的齊次方程(2)的通解，則 （4）是二階非齊次線性微分方程(1)的通解.證 將(4)式代入方程(1)的左端，得因?yàn)槭欠匠?1)的解， 是方程(2)的解，可知上式中的第一個(gè)中括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式恒為，第二個(gè)中括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式恒為零,即方程(1)的左端等于，與右端恒相等.故(4)式是方程(1)的解.又因?yàn)槭瞧湎鄳?yīng)的齊次方程(2)的通解，由定理2知其包含兩個(gè)任意常數(shù)，因而也包含兩個(gè)任意常數(shù)，從而得知是方程(1)的通解例如，方程是二階非齊次線性微分方程，其相應(yīng)的齊次方程的通解為，又容易驗(yàn)證是方程的一個(gè)特解，因此是方程的通解.在求解非齊次線性微分方程時(shí)，有時(shí)會(huì)用到下面兩個(gè)定理.定理4 如果分別是方

22、程的特解，則是方程的特解.這一定理的證明較簡(jiǎn)單，只需將代入方程便可驗(yàn)證。這一結(jié)論告訴我們欲求方程特解，可分別求與的特解和，然后進(jìn)行疊加.定理5 如果分別是方程的解，其中為實(shí)值函數(shù)，為純虛數(shù).則分別為方程與的解.證 由定理的假設(shè)，得即由兩復(fù)數(shù)必有等式兩端的實(shí)部與虛部分別相等，得.最后指出，在本節(jié)中我們僅討論了二階線性齊次(非齊次)微分方程的通解之結(jié)構(gòu)，尚未給出求解二階線性微分方程的方法，在下面兩節(jié)中將對(duì)較特殊的二階齊次（非齊次）線性微分方程的通解的求法加以討論.10.5 二階常系數(shù)線性微分方程由二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階線性微分方程的求解問題關(guān)鍵在于：如何求得二階齊次方程的通解和非齊次方程的

23、一個(gè)特解；本節(jié)將討論二階線性方程的一個(gè)特殊類型，即二階常系數(shù)線性微分方程及其解法.把具有形式 (1)的方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程，其中其中是常數(shù). 把具有形式 (2)的方程稱之為二階常系數(shù)齊次線性方程.一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法我們已經(jīng)知道要得到方程(2)的通解，只需求出它的兩個(gè)線性無關(guān)解與，即常數(shù)，那未 就是方程（2）的通解.我們先分析方程（2）可能具有什么形式的特解.從方程的形式看，方程的解及、各乘于常數(shù)的和等于零，意味著函數(shù)及、之間只能差一個(gè)常數(shù)，在初等函數(shù)中符合這樣的特征的函數(shù)很顯然是（為常數(shù)）.于是假設(shè)是方程（2）的解（其中為待定常數(shù)），則有，代入方程（2）中，得因，

24、從而有 （3）由此可見，只要滿足代數(shù)方程（3），函數(shù)就是微分方程（2）的解。我們把該代數(shù)方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程,并稱特征方程的兩個(gè)根為特征根.根據(jù)初等代數(shù)的知識(shí)可知，特征根有三種可能的情形，下面分別討論. 1. 特征方程（3）有兩個(gè)相異的實(shí)根.此時(shí)特征方程滿足，它的兩個(gè)根可由公式求出，則與均是微分方程（2）的兩個(gè)解，并且不是常數(shù)，因此微分方程（2）的通解為 （4）其中為任意常數(shù).2. 特征方程（3）有兩個(gè)相等的實(shí)根.此時(shí)特征方程滿足，特征根.這樣我們只得到微分方程（2）的一個(gè)解 ，為了得到方程的通解，我們還需另求一個(gè)解，并且要求 常數(shù)（即與線性無關(guān)）。故而可設(shè) （為待定函數(shù)），

25、即 ，現(xiàn)在只需求得。因是微分方程（2）的解，故對(duì)求一、二階導(dǎo)數(shù)，得將代入微分方程（2），得約去，整理得因是特征方程的二重根，則且于是可得到滿足的不為常數(shù)的解，因而得到了微分方程（2）的另一個(gè)特解，且與無關(guān).至此我們得到微分方程（2）的通解為 (5)其中為任意常數(shù).3.特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根：此時(shí)，設(shè)一對(duì)共軛復(fù)根為，其中 ，.因此是微分方程（2）的兩個(gè)解，根據(jù)齊次方程解的疊加原理，得也是微分方程（2）的解，且常數(shù)（即與線性無關(guān)），因而微分方程（2）的通解為 (6)其中為任意常數(shù).綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟如下:第一步 寫出微分方程(2)的特征方程, 第二步 求出特征方程的

26、兩個(gè)根,第三步 根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情形，依下表寫出微分方程(2)的通解。特征方程的兩個(gè)根 微分方程的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根 一對(duì)共軛復(fù)根 例1 求微分方程 的通解. 解 所給微分方程的特征方程為解此方程得兩個(gè)不同的實(shí)根為 ，因此微分方程的通解為 其中為任意常數(shù).例2 求微分方程的通解.解 所給微分方程的特征方程為解此方程得兩個(gè)根為 ，因此微分方程所求通解為其中為任意常數(shù).例3 求微分方程滿足初始條件的特解.解 所給微分方程的特征方程為解此方程得兩個(gè)根為 ，因此微分方程所求通解為因，得；又因，得，于是所求的特解為二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程及其解法由第四節(jié)可知，方程 (1

27、)的通解的結(jié)構(gòu)為相應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與非齊次線性微分方程的特解之和；我們剛解決了二階常系數(shù)齊次線性方程通解的求法，因而現(xiàn)在只需討論如何求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的方法。方程（1）的特解的形式顯然與右端的函數(shù)有關(guān)，而且對(duì)一般的函數(shù)來討論方程（1）的特解是非常困難的，在此我們只對(duì)兩種常見的情形進(jìn)行討論. 類型1. 型在中，是常數(shù)，是的一個(gè)次多項(xiàng)式，即由于右端函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與次多項(xiàng)式的乘積，而指數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式的乘積的導(dǎo)數(shù)仍是這一類型的函數(shù)，因此我們推測(cè)方程（1）的特解也應(yīng)是(其中是待定的某個(gè)次數(shù)的多項(xiàng)式)把其代入方程（1）中，得約去，整理得 （7）于是根據(jù)是否為方程(1)的特征方程

28、的特征根有以下三種情形：(1) 如果，即不是特征方程的根.由于是一個(gè)次多項(xiàng)式，欲使（7）式的兩端相等，那么必是一個(gè)次的多項(xiàng)式，可設(shè)為 （8）將(8)代入(7)式，比較等式兩端的同次冪的系數(shù)，可得到含有的未知數(shù)的個(gè)線性方程組，解此方程組可得到這個(gè)待定的系數(shù)，最后得到特解 (9)(2) 如果，且，即是特征方程的單根.由于是一個(gè)次多項(xiàng)式，欲使（7）式的兩端相等，那么必是一個(gè)次的多項(xiàng)式，故可設(shè)用情形（1）相同的方法可得到次的多項(xiàng)式中的個(gè)待定的系數(shù)，得到特解為 (10)(3) 如果，且，即是特征方程的二重根.由于是一個(gè)次多項(xiàng)式，欲使（7）式的兩端相等，那么必是一個(gè)次的多項(xiàng)式，故可設(shè)用情形（1）相同的方法

29、可得到次的多項(xiàng)式中的個(gè)待定的系數(shù)，于是特解為 (11)綜上所述，可總結(jié)此類型的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的求法待定系數(shù)法.結(jié)論1 如果方程(1)的右端函數(shù)，其中是常數(shù)，是的一個(gè)次多項(xiàng)式，則方程(1)具有形如的特解，其中是與同次的一個(gè)次多項(xiàng)式，而的取值如下來確定：如果不是特征方程的根，?。蝗绻翘卣鞣匠痰膯胃?，取；如果是特征方程的重根，取.例4 下列微分方程具有樣形式的特解？（1）； （2）；（3）.解 三方程都是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，且右端函數(shù)類型是.（1）因不是其相應(yīng)的齊次微分方程的特征方程的根，故方程具有形如的特解；（2）因是其相應(yīng)的齊次微分方程的特征方程的單根，故方程具有

30、形如的特解；（3）因是其相應(yīng)的齊次微分方程的特征方程的重根，故方程具有形如的特解；例5 求微分方程 的通解.解 該微分方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，且右端函數(shù)類型是，故只要先求相應(yīng)齊次的通解及非齊次的一個(gè)特解即可. 該方程相應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為 它的兩個(gè)根為，則該方程相應(yīng)的齊次方程的通解為因?yàn)榉匠逃叶撕瘮?shù)中的，是特征方程的單根，所以可設(shè)原方程的一個(gè)特解為將及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入原方程，消去；或記，把及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入（7）式，再化簡(jiǎn)整理，得 比較該等式兩端同次冪的系數(shù)，得解得.這樣,原方程的一個(gè)特解為從而，得到原方程的通解為其中為任意常數(shù).例5 求微分方程滿足初始條件的特解

31、.解 該方程相應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為 它的兩個(gè)根為，則該方程相應(yīng)的齊次方程的通解為因?yàn)榉匠逃叶撕瘮?shù)中的，是特征方程的單根，所以可設(shè)原方程的一個(gè)特解為將及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入原方程，消去；或記，把及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入（7）式，再化簡(jiǎn)整理，得 .所以原方程的一個(gè)特解為從而，得到原方程的通解為其中為任意常數(shù).因，可得解得.所以原方程滿足初始條件的解為.類型2. 或型對(duì)于此種類型的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，即要求形如 (12) (13) (14)這樣的方程的特解.由歐拉公式知道，(12)式與(13)式的右端函數(shù)是的實(shí)部和虛部，如果我們求出了方程 (15)的一個(gè)特解，不妨設(shè)為，由第四節(jié)定理

32、5可得方程(12)與方程(13)的一個(gè)特解分別為和，即方程(15)的特解的實(shí)部就是方程(12)的特解，方程(15)的特解的虛部就是方程(13)的特解對(duì)應(yīng)方程(14)只需利用第四節(jié)的定理4即可求出該方程的特解，具體方法：先把方程(14)的右端函數(shù)化為函數(shù)與之和，由定理4可知方程(14)的特解是方程 (16)的特解與方程 (17)特解之和，而方程(16)、方程(17)的特解求法完全與方程(12)、方程(13)相類似討論至此，我們只需求出方程 (15)的特解即可，參考類型1即得具體方法.結(jié)論2 如果方程的右端函數(shù)為，其中是實(shí)常數(shù)，是的一個(gè)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，則方程(15)具有形如的特解，其中是與同次的一

33、個(gè)次多項(xiàng)式，而的取值如下來確定：如果不是特征方程的根，取；如果是特征方程的單根，取.結(jié)論3 如果方程的右端函數(shù)為其中是實(shí)常數(shù)，、是的一個(gè)次、次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，則方程(15)具有形如的特解，其中、是的次多項(xiàng)式，其中而的取值如下來確定：如果（或）不是特征方程的根，?。蝗绻ɑ颍┦翘卣鞣匠痰膯胃?，取.例6 求 的通解.解 （1）先求本題方程相應(yīng)齊次方程的通解本題方程相應(yīng)齊次方程的特征方程為故特征根為，所以本題方程相應(yīng)齊次方程的通解為（2）再先求原方程的一個(gè)特解為求原方程的特解，我們先求方程 (16)的特解，再取該方程特解的實(shí)部解即為原方程的特解. 因不是特征方程的根，故設(shè)方程(16)的特解為將及其一階

34、、二階導(dǎo)數(shù)代入原方程，消去；或記，把及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入（7）式，再化簡(jiǎn)整理，得比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得解得.這樣,方程（16）的一個(gè)特解為 從而，得到原方程的一個(gè)特解為（3）原方程的通解為其中為任意常數(shù).例7 求 的通解.解 （1）先求本題方程相應(yīng)齊次方程的通解本題方程相應(yīng)齊次方程的特征方程為故特征根為，所以本題方程相應(yīng)齊次方程的通解為（2）再先求原方程的一個(gè)特解為求原方程的特解，我們先求方程 (17)和 (18)的特解，為求方程(18)的特解我們先求方程 (19)的特解，再取該方程特解的虛部解即為方程（18）的特解. 因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母试O(shè)方程(17)的特解為代入方程（17），得

35、（也可直接觀察得到）. 因不是特征方程的根，故設(shè)方程(19)的特解為將其代入方程（19），消去；或記，把及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入（7）式，再化簡(jiǎn)整理，得故方程（19）的特解為取其虛部解即為方程（18）的特解為從而，得到原方程的一個(gè)特解為（3）原方程的通解為其中為任意常數(shù).10.6 差分方程 到現(xiàn)在為止，我們所研究的變量基本上屬于連續(xù)變化的類型.但在經(jīng)濟(jì)與管理及其它實(shí)際問題中，許多數(shù)據(jù)都是以等間隔時(shí)間周期統(tǒng)計(jì)的.例如，銀行中的定期存款是按所設(shè)定的時(shí)間等間隔計(jì)息，外貿(mào)出口額按月統(tǒng)計(jì)，國(guó)民收入按年統(tǒng)計(jì)，產(chǎn)品的產(chǎn)量按月統(tǒng)計(jì)等等.這些量也是變量，通常稱這一類的變量為離散型變量.描述離散型變量之間的變化關(guān)系

36、的數(shù)學(xué)模型稱為離散型模型.對(duì)離散型模型求解就可以得到離散型變量的運(yùn)行規(guī)律.差分方程是研究經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等學(xué)科中的一種最常見的離散型模型.本節(jié)將介紹差分方程的基本概念、差分方程的解的概念等，差分方程解的基本定理及其一階常系數(shù)線性差分方程的解法等等；與微分方程的基本概念、微分方程的解的概念，微分方程解的基本定理及其解法非常類似，可仿照微分方程的知識(shí)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。 差分的概念及性質(zhì)設(shè)因變量是自變量的函數(shù)，如果函數(shù)是連續(xù)且可導(dǎo)的，則因變量對(duì)自變量的變化率可用來刻畫；但對(duì)離散型的變量我們不可能再用來刻畫，這是常用在規(guī)定時(shí)間上的差商來刻畫的變化率.如果選擇（往往代表一個(gè)月、一年等），則可以近似代表變量的

37、變化率.定義1 設(shè)函數(shù)，簡(jiǎn)記為，即；自變量取離散的等間隔正整數(shù)值時(shí)相應(yīng)的函數(shù)值可以排列成一個(gè)序列當(dāng)自變量由改變到時(shí)，相應(yīng)的函值之差稱為函數(shù)在點(diǎn)的一階差分，簡(jiǎn)稱差分，記作，即注釋：由于函數(shù)的函數(shù)值是一個(gè)序列，按一階差分的定義，差分就是該序列的相鄰兩值之差.當(dāng)函數(shù)的一階差分為正值時(shí)，表明該序列是增加的，而且差分值越大，表明序列增加得越快；當(dāng)一階差分為負(fù)值時(shí)，表明序列是減少的.例如：設(shè)某公司經(jīng)營(yíng)一種商品，第月初的庫(kù)存量是時(shí)間的函數(shù)=，第月調(diào)進(jìn)和銷出該商品的數(shù)量分別是和，則到下個(gè)月的月初，即第個(gè)月的月初的庫(kù)存量就是則庫(kù)存量的差分為.例1 已知（為常數(shù)），求.解 由差分的定義=可得常數(shù)的差分為零.例2

38、已知（其中且），求.解 由差分的定義=可得指數(shù)函數(shù)的差分等于該指數(shù)函數(shù)乘于一個(gè)常數(shù).由一階差分的定義，容易得到差分的四則運(yùn)算法則（1）；（2）；（3）；（4）；=在此僅給出(4)式的證明，其余的讀者可以自己證明. =類似可證由一階差分的定義方式，我們可以定義函數(shù)的高階差分.定義2 函數(shù)在的一階差分的差分稱為函數(shù)在的二階差分，記作，即 依次可定義函數(shù)在的二階差分的差分為函數(shù)在的三階差分，記作，即 依此類推，函數(shù)在的階差分定義為 上式表明，函數(shù)在的階差分是該函數(shù)的個(gè)函數(shù)值的一個(gè)線性組合.例3 設(shè)，求，.解 由定義即得 一般地，次的多項(xiàng)式函數(shù)的階差分為常數(shù)，次的多項(xiàng)式函數(shù)的階以上的差分則為零.例4

39、設(shè)，求.解 由差分的運(yùn)算法則，得 10.6.2 差分方程的基本概念先看一個(gè)實(shí)例.設(shè)是初始存款（時(shí)的存款），年利率，如以復(fù)利計(jì)息，試確定年末的本及利之和.在此問題中，如將時(shí)間（以年為單位）看作自變量，則本利和是的函數(shù)：，即問題所求.雖然不能直接寫出函數(shù)，但由常識(shí)可以得出相鄰兩個(gè)函數(shù)值之間的關(guān)系式， （1）如用在的差分來表示，則上式可變?yōu)椋?（2）由（1）式可算出年末的本利和為， （3）在（1）式和（2）式中，因含有未知函數(shù)，所以都是函數(shù)的方程；又因在方程（1）中含有兩個(gè)未知函數(shù)的函數(shù)值和，在方程（2）中含有未知函數(shù)的差分，像這樣的函數(shù)方程即為差分方程.在方程（2）中，僅含未知函數(shù)的函數(shù)值的一階差

40、分；在方程（1）中，未知函數(shù)的下標(biāo)最大值與最小值的差為，即，因而方程（1）或方程（2）為一階差分方程.（3）式是在之間的函數(shù)關(guān)系式，就是所求的未知函數(shù)，它顯然滿足差分方程（1）或（2），故稱此函數(shù)為差分方程的解.定義3 含有未知函數(shù)的差分或含有自變量及幾個(gè)不同點(diǎn)的未知函數(shù)值的方程，稱為差分方程.差分方程中實(shí)際所含差分的最高階數(shù)或未知函數(shù)下標(biāo)的最大值與最小值的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù).如 是一個(gè)差分方程；另一方面，由函數(shù)差分的定義，任意階函數(shù)的差分都可以表示為函數(shù)在不同點(diǎn)的函數(shù)值的線性組合，因此上述差分方程又可分別表示為和.此方程為二階差分方程.階差分方程的一般形式可表示為 （4）或 （5）或

41、（6）定義4 若把一個(gè)函數(shù)代入差分方程使其成為恒等式，則稱該函數(shù)為差分方程的解.含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于差分方程的階數(shù)的解，稱此解為差分方程的通解.用來確定差分方程的通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件.通解中的任意常數(shù)被初始條件確定，這樣的解稱為差分方程的特解.例如對(duì)于差分方程，將代入該方程使其恒成立，因而是該方程的解；容易看到（為任意常數(shù)）也是該方程的解，且為通解；如該方程需滿足條件（初始條件），則可確定，此時(shí)是該方程滿足初始條件的一個(gè)特解. 線性差分方程解的基本定理現(xiàn)在我們來討論線性差分方程解的基本定理，將以二階線性差分方程為例，任意階線性差分方程都有類似結(jié)論.二階線性差分方程的一般

42、形式 （7）其中，和均為的已知函數(shù)，且.若,則（7）式稱為二階非齊次線性差分方程；若，即 （8）稱為二階齊次線性差分方程. 對(duì)于線性差分方程易得到以下的結(jié)論：定理1 若函數(shù)，是二階齊次線性差分方程（7）的解，則也該方程的解，其中、是任意常數(shù).定理2(齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)定理) 若函數(shù),是二階齊次線性差分方程（8）的線性無關(guān)的特解，則是該方程的通解，其中、是任意常數(shù).定理3（非齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)定理） 若是二階非齊次線性差分方程（7）的一個(gè)特解，是齊次線性差分方程（8）的通解，則差分方程（7）的通解為定理4 (解的疊加原理) 若函數(shù)，分別是二階非齊次線性差分方程與的特解，則是差分方程的

43、特解.10.6.3 一階常系數(shù)線性差分方程的解法一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 （9）其中常數(shù)，為的已知函數(shù)；當(dāng)不恒為零時(shí)，（9）式稱為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程；當(dāng)時(shí)，即 （10）稱為方程（9）對(duì)應(yīng)的一階常系數(shù)齊次線性差分方程.下面給出它們的解法.一、一階常系數(shù)齊次差分方程的解法對(duì)于一階常系數(shù)齊次差分方程（10），常用的解法有兩種：1.迭代法假設(shè)已知，則由方程（10）依次可得 于是可得，如令是任意常數(shù)，則方程（10）的通解為1. 特征根法注意到方程（10）的特點(diǎn)，即是的常數(shù)倍，而函數(shù)恰好滿足這一特點(diǎn).故不妨設(shè)方程（10）具有形如的特解，其中是非零待定常數(shù).將其代入方程（10）中，有即因

44、，因此是方程（10）的解的充要條件為.所以一階常系數(shù)線性齊次差分方程（10）的非零特解為.從而其通解為 （為任意常數(shù)）稱一次代數(shù)方程 （11）為差分方程（9）或（10）的特征方程；而稱為特征方程的根（簡(jiǎn)稱特征根或特征值）.由上可知，要求方程（10）的通解，只需先寫出其特征方程，求出特征根，即可寫出其通解了.例5 求解差分方程.解 設(shè)，是任意常數(shù),則 于是可得原方程的通解為 （是任意常數(shù)）例6 求差分方程滿足初始條件的解.解 原方程可改寫為，其特征方程為；特征方程的根為，故原方程的通解為 （是任意常數(shù)）將初始條件代入，得；故所求特解為二、一階常系數(shù)非齊次差分方程的解法由定理3可知，一階常系數(shù)非齊次差分方程（9）的通解為該方程的一個(gè)特解和相應(yīng)的齊次方程的通解之和.因相應(yīng)齊次差分方程的通解已經(jīng)解決，因此只需討論非齊次差分方程的特解的求法即可.1.為一般函數(shù)此時(shí)，非齊次差分方程可寫作利用迭代法，可得上式實(shí)際是非齊次差分方程的通解，其第一項(xiàng)是相應(yīng)齊次差分方程的通解，第二項(xiàng)是非齊次差分方程的一個(gè)特解. 令是任意常數(shù)，則該非齊次差分方程的通解為 （為任意常數(shù)） （12）例7 求差分方程的通解.解 由于，；由通解一般式（12）得，該方程的特解為故而所求通解為其中為任意常數(shù). 對(duì)非齊次差分方程的右端項(xiàng)是某些特殊函數(shù)時(shí)，用