平面向量與解三角形

1、第八單元平面向量與解三角形(120分鐘150分)第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.銳角ABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c,若2csin B=b,則角C的大小為A.6B.3C.2D.23解析:由正弦定理得2sin B=bc=sinBsinC,sin C=12,C=6.答案:A2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),則下列結(jié)論中錯誤的是A.uvB.vwC.w=u-3vD.對任一向量AB,存在實數(shù)a,b,使AB=au+bv解析:因為u·v=0,所以uv,顯然wv,因為u與

2、v不共線,所以對任意向量AB,存在實數(shù)a,b,使AB=au+bv.答案:C3.在ABC中,B=3,三邊長a,b,c成等差數(shù)列,且ac=6,則b的值是A.2B.3C.5D.6解析:因為2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac,化簡得b=6.答案:D4.在ABC中,AB=4,ABC=30°,D是邊BC上的一點,且AD·AB=AD·AC,則AD·AB等于A.4B.0C.4D.8解析:由AD·AB=AD·AC,得AD·(AB-AC)=AD·CB=0,即ADCB,所以|AD|=2,B

3、AD=60°,所以AD·AB=4×2×12=4.答案:C5.在ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,若a2+b2=2c2,則cos C的最小值為A.32B.22C.12D.-12解析:cos C=a2+b2-c22ab=a2+b24ab2ab4ab=12,當且僅當a=b時等號成立.答案:C6.設(shè)A(a,1),B(2,b),C(4,3)為坐標平面上三點,O為坐標原點,若OA與OB在OC方向上的投影相同,則a與b滿足的關(guān)系式為A.5a-4b=3B.4a-3b=5C.4a+5b=14D.5a+4b=14解析:由OA與OB在OC方向上的投影相同,可得

4、OA·OC=OB·OC(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3), 即 4a+3=8+3b,4a-3b=5.答案:B7.在ABC內(nèi),角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若bsin B+asin A=csin C,c2+b2-a2=3bc,則B等于A. 3B.23C. 6D.4解析:因為c2+b2-a2=3bc,所以cos A=c2+b2-a22bc=32,所以cos A=32,A=6,因為bsin B+asin A=csin C,所以b2+a2=c2,所以C=2,B=3.答案:A8. 已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y&

5、gt;0,若ab,則log2(x-1)+log2y等于A.1B.2C.3D.4解析:ab,則x-14=2y,(x-1)y=8,log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3.答案:C9.在ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin Acos B,則ABC是A.等腰三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形解析:因為(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C=a2+b2-c22ab=12,所以C=3,因為sin C=2sin Acos B,所以c=2a·a2+c2-b22ac,得a=b,所以A

6、BC是等邊三角形.答案:B10.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若AB·AF=22,則AE·BF的值是A.3B.2C.32D.22解析:如圖所示建立直角坐標系,因為AB=2,BC=2,點E為BC的中點,所以B(2,0),D(0,2),C(2,2),E(2,1),設(shè)F(x,2),則AF=(x,2),AB=(2,0),所以AF·AB=2x=22,所以x=12,AE=(2,1),BF=(12-2,2),所以AE·BF=2(12-2)+2=22.答案:D11.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若ABC

7、的面積為S,且2S=(a+b)2-c2,則tan C等于A.34B.43C.-43D.-34解析:因為2S=(a+b)2-c2,所以absin C=a2+b2-c2+2ab=2abcos C+2ab,所以sin C=2cos C+2,又因為sin2C+cos2C=1,所以sin C=45,cos C=-35,tan C=-43.答案:C12.在平面直角坐標系中,O為坐標原點,設(shè)向量OA=a,OB=b,其中a=(3,1),b=(1,3),若OC=a+b,且01,C點所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是解析:設(shè)點C的坐標為(x,y),由題意知x=3+,y=+3,解得=3x-y8,=3y-x8,代入

8、01,解得y3x,yx,3y-x8.答案:A第卷二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上.13.已知向量|a|=1,|b|=2,a(a-b), 則向量a與b的夾角的大小是 . 解析:因為a(a-b),所以a·a-a·b=0,cos<a,b>=12,<a,b>=3.答案:314.在ABC中,B=30°,AB=23,AC=2,則ABC的面積為. 解析:AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,4=12+BC2-43×32BC,BC2-6BC+8=0,BC=

9、2或BC=4.當BC=2時,S=12·AB·BC·sin B=12×23×2×12=3,當BC=4時,S=12AB·BC·sin B=12×23×4×12=23.答案:3或2315.在ABC中,已知內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,AB=8,BC=5,則ABC外接圓的面積為. 解析:記ABC的外接圓半徑為R,依題意得2B=A+C,因此有B=3,所以AC=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=7,又2R=ACsinB=7sin60°,即R=733,故

10、ABC的外接圓的面積是R2=493.答案:49316.如圖所示圓O的半徑為2,A、B是圓上兩點且AOB=23,MN是一條直徑,點C在圓內(nèi)且滿足OC=OA+(1-)OB(0<<1),則CM·CN的最小值為. 解析:因為OC=OA+(1-)OB(0<<1),所以C在線段AB上,因為CM·CN=(OM-OC)·(ON-OC)=OC2-(OM+ON)·OC+OM·ON=OC2-4,所以當OCAB時取得最小值,(CM·CN)min=1-4=-3.答案:-3三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出必要的文

11、字說明、證明過程及演算步驟.17.(本小題滿分10分)已知向量a,b滿足:|a|=4,|b|=3,且(2a+3b)·(2a-b)=61.(1)求a·b的值;(2)求向量a與b的夾角.解析:(1)由(2a+3b)·(2a-b)=61,得4a2+4a·b-3b2=61.又|a|=4,|b|=3,可得a·b=6.6分(2)設(shè)向量a與b的夾角為,則cos =a·b|a|b|=64×3=12,可知向量a與b的夾角為60°.10分18.(本小題滿分12分)已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t為正實數(shù),x=a+(t2

12、+1)b,y=-1ka+1tb.(1)若xy,求k的最大值;(2)是否存在k,t,使xy?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.解析:x=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=(-1k-2t,-2k+1t).(1)若xy,則x·y=0,即(-2t2-1)(-1k-2t)+(t2+3)(-2k+1t)=0,整理得,k=tt2+1=1t+1t12,當且僅當t=1t,即t=1時取等號,kmax=12.6分(2)假設(shè)存在正實數(shù)k,t,使xy,則(-2t2-1)(-2k+1t)-(t2+3)(-1k-2t)=0,化簡得t2+1k+1t=0,即t3+t+

13、k=0.因為k,t是正實數(shù),故滿足上式的k,t不存在,所以不存在k,t,使xy.12分19.(本小題滿分12分)在ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若b-12c=acos C.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面積為23,且2abcos C-bc=a2+c2,求a.解析:(1)根據(jù)正弦定理可知,b-12c=acos C可化為sin B-12sin C=sin Acos C,因為sin B=sin(A+C),所以sin(A+C)-12sin C=sin Acos C,整理可得cos Asin C=12sin C,即cos A=12,因為0<A<,所以A=3.6分(2)因

14、為2abcos C-bc=a2+c2,所以2ab·a2+b2-c22ab-bc=a2+c2,即a2+b2-c2-bc=a2+c2,得b2-2c2-bc=0,b=2c,因為SABC=23=12bcsin A=34bc,得bc=8,所以解得b=4,c=2,所以a2=b2+c2-2bccos A=16+4-2×4×2×12=12,所以a=23.12分20.(本小題滿分12分)在ABC中,角A,B,C所對邊分別為a,b,c,且1+tanAtanB=2cb.(1)求角A;(2)若m=(0,-1),n=(cos B,2cos2C2),試求|m+n|的最小值.解析:(

15、1)1+tanAtanB=2cb1+sinAcosBsinBcosA=2sinCsinB,即sinBcosA+sinAcosBsinBcosA=2sinCsinB,所以sin(A+B)sinBcosA=2sinCsinB,cos A=12.因為0<A<,所以A=3.6分(2)m+n=(cos B,2cos2C2-1)=(cos B,cos C),所以|m+n|2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2(23-B)=1-12sin(2B-6).因為A=3,所以B+C=23,B(0,23).從而-6<2B-6<76.當sin(2B-6)=1,即B=3時,|m+n|2取

16、得最小值12.所以,|m+n|min=22.12分21.(本小題滿分12分)在ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足(2a-c)BA·BC=cCB·CA.(1)求角B的大小;(2)若BA-BC=6, 求ABC面積的最大值.解析:由題意(2a-c)cos B=bcos C,根據(jù)正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),即2sin Acos B=sin A,cos B=22,所以B=4.6分(2)因為BA-BC=6,所以CA|=6,即b2=6,根

17、據(jù)余弦定理b2=6=a2+c2-2ac,有基本不等式可知6=a2+c2-2ac2ac-2ac,即ac3(2+2),所以SABC的最大值為12acsin B=3(2+2)2×22=3(22+2)4,即當a=c時,ABC的面積的最大值為3(2+1)2.12分22.(本小題滿分12分)在某海域,以點E為中心的7海里以內(nèi)海域是危險區(qū)域,點E正北55海里處有一個雷達觀測站A,某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距402海里的位置B,經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+(其中cos =52626,0<<90°),且與點A相距1013海里的位置C.(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時);(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛,判斷它是否會進入危險水域,并說明理由.解析:(1)由題知AB=402,AC=1013,BAC=,0<<90°,cos =52626,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos =(402)2+(1013)2-2×402×1013×52626=500,所以BC=105,所以船的行駛速度為10523=155(海里/小時).6分(2)如圖所示,設(shè)直線AE與BC的延長線相交于Q,在ABC中,由余弦定理得cos B