山東建筑大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)答案

1、第一章 行列式1.利用對角線法則計(jì)算下列三階行列式：（1）（2）2.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù)：（1）2 4 1 3；（2）1 3 2 4 ；（3）1 3 2.解（1）逆序數(shù)為3. （2）逆序數(shù)為.（3）逆序數(shù)為.3.寫出四階行列式中含有因子的項(xiàng).解 由定義知，四階行列式的一般項(xiàng)為，其中為的逆序數(shù)由于已固定，只能形如，即1324或1342.對應(yīng)的分別為或和為所求.4.計(jì)算下列各行列式：解(1) =0(2)=(3) = = 5、證明：(1) (2) (3) = (4) 用數(shù)學(xué)歸納法證明假設(shè)對于階行列式命題成立，即 所以，對于階行列式命題成立.6、計(jì)算下列各行列式（為階行列式

2、）： (1), 其中對角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0; 解=an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 將第一行乘(-1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n-1. (3) (4) 由此得遞推公式： 即 而 得 (5)=7.用克萊姆法則解下列方程組：解 9.有非零解？解 ，齊次線性方程組有非零解，則即 , 得 不難驗(yàn)證，當(dāng)該齊次線性方程組確有非零解.第二章 矩陣及其運(yùn)算1已知兩個(gè)線性變換求從變量到變量的線性變換。解 由已知 所以有 2設(shè)求及.解 .3計(jì)算； 解：. 解：。4設(shè),求.解 ; 利用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)時(shí),顯然成立

3、,假設(shè)時(shí)成立,則時(shí)由數(shù)學(xué)歸納法原理知:.5設(shè)求.解 首先觀察, 由此推測 (*)用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)時(shí),顯然成立. 假設(shè)時(shí)成立，則時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法原理知: (*)成立.6設(shè)都是階對稱陣,證明是對稱陣的充要條件是.證明：由已知： 充分性：即是對稱矩陣.必要性：.7設(shè), ，問：(1)嗎?(2)嗎?(3)嗎?解 (1), . 則 (2) 但故(3) 而 故 8舉反例說明下列命題是錯(cuò)誤的:（）若,則;（）若,則或;（）若,且, 則.解 (1)取, ,但(2)取, ,但且(3)取, , . 且 但.9已知線性變換求從變量到變量的線性變換。解：所以即.10求下列方陣的逆陣： 解：, . . 解： 故存在

4、從而 .（3） 解： 由對角矩陣的性質(zhì)知 .11解矩陣方程： 解： 解：.12、利用逆陣解線性方程組： .解：解、(1)方程組可表示為 故 從而有 .13、設(shè)（為正整數(shù)）,證明：.證明：一方面， 另一方面，由有 故兩端同時(shí)右乘就有.14、設(shè), 求.解由可得故.15、設(shè), 其中, 求.解故所以 而 故 .16.設(shè)矩陣可逆，證明其伴隨陣也可逆，且。證 因=，由的可逆性及，可知可逆，且；另一方面，由伴隨陣的性質(zhì)，有=.用左乘此式兩邊得=,比較上面兩個(gè)式子，即知結(jié)論成立。17、設(shè)階方陣的伴隨陣為,證明: 若,則； .證明 (1)用反證法證明假設(shè)則有.由此得.這與矛盾，故當(dāng)時(shí), 有.(2)由于取行列式得

5、到: 若 則若由(1)知此時(shí)命題也成立故有.18.設(shè)，求。解 由于所給矩陣方程中含有及其伴隨矩陣，因此仍從公式=著手。為此，用左乘所給方程兩邊，得，又，=2AB-8E=8E=4E.注意到=,是可逆矩陣，且=,于是4=.19、設(shè),求 及及.解 ， 令 , . 則. 故. . . .第三章 矩陣的初等變換與線性方程組1. 把下列矩陣化為行最簡形： 解(下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )(下一步: r2¸(-4), r3¸(-3) , r4¸(-5). )(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . 2. 利用矩陣的初等變換，

6、求下列方陣的逆： 解, 故逆矩陣為. (2) 解 故逆矩陣為.3. 設(shè), , 求X使AX=B. 解 因?yàn)?, 所以 .4. 求作一個(gè)秩是4的方陣，使它的兩個(gè)行向量.解 用已知向量容易構(gòu)成一個(gè)有4個(gè)非零行的5階下三角矩陣: ,此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量.5. 求下列矩陣的秩,并求一個(gè)最高階非零子式. 解 (下一步: r1«r2. )(下一步: r2-3r1, r3-r1. )(下一步: r3-r2. ), 矩陣的, 是一個(gè)最高階非零子式. 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. )(下一步: r3-3r2. ), 矩陣的秩是3, 是一個(gè)最高階非零

7、子式.6. 解下列齊次線性方程組： 解 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有A=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). 解 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有A=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)).7. 寫出一個(gè)以為通解的齊次線性方程組. 解 根據(jù)已知, 可得 , 與此等價(jià)地可以寫成, 或 , 或 , 這就是一個(gè)滿足題目要求的齊次線性方程組.非齊次線性方程組.8 解下列非齊次線性方程組： 解 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=, 于是,即(k1, k2為任意常數(shù)). 解 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù))9

8、. 當(dāng)l取何值時(shí)有解？并求出它的解. 解. 要使方程組有解, 必須(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2. 當(dāng)l=1時(shí), , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 當(dāng)l=-2時(shí), , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)).10. 設(shè).問l為何值時(shí), 此方程組有唯一解、無解或有無窮多解? 并在有無窮多解時(shí)求解. 解B=要使方程組有唯一解, 必須R(A)=R(B)=3, 即必須(1-l)(10-l)¹0,所以當(dāng)l¹1且l¹10時(shí), 方程組有唯一解.要使方程組無解, 必須R(A)<R(B), 即必須(1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)&

9、#185;0,所以當(dāng)l=10時(shí), 方程組無解. 要使方程組有無窮多解, 必須R(A)=R(B)<3, 即必須 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0, 所以當(dāng)l=1時(shí), 方程組有無窮多解.此時(shí)，增廣矩陣為B, 方程組的解為 ,或 (k1, k2為任意常數(shù)).線性代數(shù)期中復(fù)習(xí)答案一、選擇題（1）設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0, 其中A,B均為矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 則Ax=0與Bx=0同解.以

10、上命題中正確的是(A) . (B) .(C) . (D) . B 【分析】 本題也可找反例用排除法進(jìn)行分析，但 兩個(gè)命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住 與 ，迅速排除不正確的選項(xiàng).【詳解】 若Ax=0與Bx=0同解，則n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命題成立，可排除(A),(C)；但反過來，若秩(A)=秩(B)， 則不能推出Ax=0與Bx=0同解，如，則秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題不成立，排除(D),故正確選項(xiàng)為(B). (2) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(A) 不存在. (

11、B) 僅含一個(gè)非零解向量.(C) 含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量. (D) 含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量. B 【分析】要確定基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù), 實(shí)際上只要確定未知數(shù)的個(gè)數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】 因?yàn)榛A(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)=, 而且根據(jù)已知條件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從而基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量, 即選(B).（3）設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必須(A) 當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), .(C) 當(dāng)時(shí), . (D) 當(dāng)時(shí), . D 【分析】 利用矩陣與等價(jià)的充要條件: 立即可得.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí), , 又與等價(jià), 故, 即, 從而選 (D). 二、填空題（1） 設(shè)三階方陣A,B滿足

12、，其中E為三階單位矩陣，若，則 .【分析】 先化簡分解出矩陣B，再取行列式即可.【詳解】 由知， ，即 ，易知矩陣A+E可逆，于是有 再兩邊取行列式，得 ，因?yàn)?, 所以 .（2）設(shè)矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 .【分析】 可先用公式進(jìn)行化簡【詳解】 已知等式兩邊同時(shí)右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再兩邊取行列式，有 ，而 ，故所求行列式為（3） 設(shè)，其中為三階可逆矩陣,則【分析】 將的冪次轉(zhuǎn)化為的冪次, 并注意到為對角矩陣即得答案.【詳解】因?yàn)? .故, .（4）已知矩陣，且的秩，則_-3_（5）已知線性方程組有解，則_-1_三. 證明R(A)=1的充分必要條件是

13、存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT. 證明 必要性. 由R(A)=1知A的標(biāo)準(zhǔn)形為 , 即存在可逆矩陣P和Q, 使 , 或. 令, bT=(1, 0, ×××, 0)Q-1, 則a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因?yàn)閍與bT是都是非零向量, 所以A是非零矩陣, 從而R(A)³1. 因?yàn)?1£R(A)=R(abT)£minR(a), R(bT)=min1, 1=1, 所以R(A)=1. 四、設(shè)階矩陣和滿足條件： 證明：是可逆矩陣，其中是階單位 已知矩陣，求矩陣 解： 由等式，得，即因此矩陣可逆

14、，而且 由知，即 五、 當(dāng)、為何值時(shí)，線性方程組有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出有無窮多組解時(shí)的通解 解：將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣： 所以， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)線性方程組有唯一解 當(dāng)，時(shí)，此時(shí)線性方程組無解 當(dāng)，時(shí)，此時(shí)線性方程組有無窮多組解 此時(shí)，原線性方程組化為因此，原線性方程組的通解為或者寫為第四章向量組的線性相關(guān)性1設(shè), 求及.解 2. 設(shè)其中, ,求.解 由整理得3設(shè),證明向量組線性相關(guān).證明 設(shè)有使得則(1) 若線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù),; ; ; ;由不全為零,知不全為零,即線性相關(guān).(2) 若線性無關(guān), 則 由 知此齊次方程存在非零解. 則線性相關(guān).綜合得證.

15、4. 設(shè),且向量組線性無關(guān),證明向量組線性無關(guān).證明 設(shè)則因向量組線性無關(guān),故 因?yàn)?故方程組只有零解.則. 所以線性無關(guān)5. 設(shè)向量組線性無關(guān)，向量可由向量組線性表示，而向量不能由向量組線性表示.證明:個(gè)向量必線性無關(guān).證明6. 當(dāng)為何值時(shí)，向量組，線性相關(guān).解 由所以當(dāng)時(shí)，所以.7. CCBC8. (1).線性相關(guān)；(2).；(3).線性相關(guān)；(4).線性無關(guān)。9. 求下列向量組的秩，并求一個(gè)最大無關(guān)組： 解線性相關(guān).由秩為2,一組最大線性無關(guān)組為.10. 利用初等變換求矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.解 所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)

16、組，。11. 已知向量組，與向量組，具有相同的秩，且可由向量組線性表示，求的值.解 因?yàn)榫€性無關(guān)，而，所以線性相關(guān)，且向量組的秩為2，所以向量組的秩也為2.由于可由線性表示，故可由線性表示，即線性相關(guān).于是有 ，解得，另外，解得.故 ，.12. DC13. 由 所生成的向量空間記作 ，由所生成的向量空間記作 ，試證: .證明 設(shè), 任取中一向量,可寫成,要證,從而得由得上式中,把看成已知數(shù),把看成未知數(shù) 有唯一解同理可證: () 故14. 驗(yàn)證為的一個(gè)基，并把，用這個(gè)基表示.解 由于即矩陣的秩為3. 故線性無關(guān)，則為的一個(gè)基.設(shè)，則 故設(shè)，則 故線性表示為 15. 求下面齊次線性方程組的基礎(chǔ)解

17、系與通解. 解(1)所以原方程組等價(jià)于 取得 ; 取得.因此基礎(chǔ)解系為，通解為。16. 設(shè)，求一個(gè)矩陣，使，且.解由于,所以可設(shè). 則由 可得, , 解此非齊次線性方程組可得唯一解，故所求矩陣17. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個(gè)解向量，且，求該方程組的通解。解 由于矩陣的秩為3，一維故其對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)向量，且由于均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得為其基礎(chǔ)解系向量，故此方程組的通解：，18求下列非齊次方程組的通解. 解:通解為19. DBCAD第五章 相似矩陣及二次型1. 試用施密特法把向量組正交化.解：根據(jù)施密特正交化方法:令，

18、, ，故正交化后得 2. 判斷下列矩陣是不是正交陣，并說明理由:(1) (2)解： (1)第一個(gè)行向量非單位向量, 故不是正交陣(2) 該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣3. 設(shè)為n維列向量, , 令, 求證: H是對稱的正交陣.證明 因?yàn)?HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T =E-2(xT)TxT=E-2xxT, 所以H是對稱矩陣. 因?yàn)?HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT) =E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT) =E-4xxT+4x(xTx)xT =E-4xxT+4xxT =E, 所以H是正交矩陣.4. 設(shè)與都是階正

19、交矩陣, 證明：（1）也是正交陣；（2）也是正交陣.證明（1）因?yàn)槭请A正交陣，故， 所以 故也是正交陣正交. 正交.（2） 因?yàn)槭请A正交陣，故，故也是正交陣5. 求下列矩陣的特征值和特征向量:(1) (2).并問它們的特征向量是否兩兩正交?解：(1) . 故的特征值為當(dāng)時(shí),解方程,由 , 得基礎(chǔ)解系所以是對應(yīng)于的全部特征值向量當(dāng)時(shí),解方程,由, 得基礎(chǔ)解系所以是對應(yīng)于的全部特征向量,故不正交(2).故的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程，由, 得基礎(chǔ)解系故是對應(yīng)于的全部特征值向量.當(dāng)時(shí),解方程，由, 得基礎(chǔ)解系故是對應(yīng)于的全部特征值向量當(dāng)時(shí)，解方程，由 , 得基礎(chǔ)解系故是對應(yīng)于的全部特征值向量， ， 所以兩

20、兩正交6. 設(shè)為階矩陣, 證明與的特征值相同. 證明: 因?yàn)閨AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT與A的特征多項(xiàng)式相同, 從而AT與A的特征值相同. 7. 設(shè), 證明的特征值只能取1或2. 證明: 設(shè)l是A的任意一個(gè)特征值, x是A的對應(yīng)于l的特征向量, 則 (A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0. 因?yàn)閤¹0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是說l=1或l=2.8.設(shè)是階矩陣的特征值, 證明也是階矩陣的特征值. 證明: 設(shè)x是AB的對應(yīng)于l¹0的特征向量, 則有 (AB

21、)x=lx, 于是 B(AB)x=B(lx), 或 BA(B x)=l(Bx), 從而l是BA的特征值, 且Bx是BA的對應(yīng)于l的特征向量. 9. 已知3階矩陣的特征值為1, 2, 3, 求. 解: 令j(l)=l3-5l2+7l, 則j(1)=3, j(2)=2, j(3)=3是j(A)的特征值, 故 |A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(1)×j(2)×j(3)=3´2´3=18. 10. 設(shè)方陣與相似, 求x , y.解 方陣與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，即 11. 設(shè)A與B都是n階方陣,且,證明AB與BA相似.證明: 則可逆 則與相似12.

22、設(shè)矩陣可相似對角化, 求.解 由,得A的特征值為l1=6, l2=l3=1. 因?yàn)锳可相似對角化, 所以對于l2=l3=1, 齊次線性方程組(A-E)x=0有兩個(gè)線性無關(guān)的解, 因此R(A-E)=1. 由知當(dāng)x=3時(shí)R(A-E)=1, 即x=3為所求. 13. 設(shè)3階方陣A的特征值為;對應(yīng)的特征向量依次為求A.解：因?yàn)椋?，所以?14. 已知是矩陣的一個(gè)特征向量， 試求參數(shù)及特征向量所對應(yīng)的特征值.解： 設(shè)l是特征向量p所對應(yīng)的特征值, 則 (A-lE)p=0, 即, 解之得l=-1, a=-3, b=0. 15. 設(shè)3階實(shí)對稱陣A的特征值為6,3,3, 與特征值6對應(yīng)的特征向量為，求A.解

23、： 設(shè). 由， 知 3是的二重特征值,根據(jù)實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)定理知的秩為1，故利用 可推出 秩為1.則存在實(shí)的使得成立由解得得 16. 試求一個(gè)正交的相似變換矩陣, 將下列對稱陣化為對角陣:(1); 解：故得特征值為當(dāng)時(shí)，由. 解得 . 單位特征向量可取:當(dāng)時(shí),由. 解得. 單位特征向量可取: 當(dāng)時(shí),由.解得 單位特征向量可取: , 得正交陣. . (2) 解：，故得特征值為當(dāng)時(shí)，由. 解得 此二個(gè)向量正交,單位化后,得兩個(gè)單位正交的特征向量; ， 單位化得 當(dāng)時(shí),由. 解得. 單位化得.得正交陣. 17. 設(shè), 求解 由 , 得A的特征值為l1=1, l2=5, l3=-5. 對于l1=1,

24、解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)T. 對于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(2, 1, 2)T. 對于l1=-5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1, -2, 1)T. 令P=(p1, p2, p3), 則 P-1AP=diag(1, 5, -5)=L, A=PLP-1, A100=PL100P-1. 因?yàn)?L100=diag(1, 5100, 5100), , 所以 . 18. 用矩陣記號(hào)表示下列二次型:(1);解： (2).解：19. 求一個(gè)正交矩陣化下列二次型成標(biāo)準(zhǔn)形:(1) ;解：二次型的矩陣為, 故的特征值為當(dāng)時(shí),

25、解方程，由. 得基礎(chǔ)解系 . 取 當(dāng)時(shí)，解方程，由，得基礎(chǔ)解系 . 取當(dāng)時(shí)，解方程，由 得基礎(chǔ)解系 . 取 ，于是正交變換為. 且有 (2) .解：二次型矩陣為 ，故的特征值為當(dāng)時(shí)，可得單位特征向量，當(dāng)時(shí)，可得單位特征向量，當(dāng)時(shí)，可得單位特征向量，于是正交變換為 且有20. 證明:二次型在時(shí)的最大值為方陣A的最大特征值.證明 為實(shí)對稱矩陣，則有一正交矩陣，使得成立其中為的特征值，不妨設(shè)最大，為正交矩陣，則且，故則 其中當(dāng)時(shí)，即即 故得證21.用配方法化下列二次形成規(guī)范形, 并寫出所用變換的矩陣：(1)；解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3; =(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12-y22+y32,所用的變換矩陣為 (2).解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+