導(dǎo)數(shù)討論含參單調(diào)性習(xí)題含詳解答案

1、1設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，函數(shù)與在處的切線互相垂直，求的值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍；（3）是否存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)恒成立？若存在，求出滿足條件的實數(shù)；若不存在，請說明理由2已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：；（3）當(dāng)時，判斷函數(shù)零點的個數(shù)，并說明理由3已知函數(shù)（其中，）.（1）當(dāng)時，若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，是否存在實數(shù)，使得當(dāng)時，不等式恒成立，如果存在，求的取值范圍，如果不存在，說明理由（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，）.4已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）若存在兩個極值點，求證：無論實數(shù)取什

2、么值都有.5已知函數(shù)（為常數(shù)）是實數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù).（1）求的值；（2）若在及所在的取值范圍上恒成立，求的取值范圍；（3）討論關(guān)于的方程的根的個數(shù).6已知函數(shù)，其中.（1）若和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且函數(shù)的最小值為，求的最小值.7已知函數(shù).（1）如是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值并討論的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的極值點，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍（注：已知常數(shù)滿足）.8已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時，求證：時，；（2）試討論函數(shù)的零點個數(shù)9已知是自然對數(shù)的底數(shù),.（1）設(shè),當(dāng)時, 求證：在上單調(diào)遞增；（2）若,求實數(shù)的取值范圍.10已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)

3、在區(qū)間的最小值；（2）若討論函數(shù)在的單調(diào)性；（3）若對于任意的求的取值范圍。參考答案1（1）;（2）；（3）【解析】試題分析：(1)本小題主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率；當(dāng)時，可知在處的切線斜率，同理可求得，然后再根據(jù)函數(shù)與在處的切線互相垂直，得，即可求出結(jié)果(2)易知函數(shù)的定義域為，可得，由題意，在內(nèi)有至少一個實根且曲線與x不相切，即的最小值為負(fù)，由此可得，進(jìn)而得到，由此即可求出結(jié)果. (3)令，可得，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且在區(qū)間內(nèi)必存在實根，不妨設(shè)，可得，(*)，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，將(*)式代入上式，得使得對任意正實數(shù)恒成立，即要求恒成立，然后再根據(jù)基本

4、不等式的性質(zhì)，即可求出結(jié)果試題解析：(1)當(dāng)時，在處的切線斜率，由，得，(2)易知函數(shù)的定義域為，又，由題意，得的最小值為負(fù)，(注：結(jié)合函數(shù)圖象同樣可以得到)，；(3)令，其中，則，則，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且在區(qū)間內(nèi)必存在實根，不妨設(shè)，即，可得，(*)則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，將(*)式代入上式，得根據(jù)題意恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，代入(*)式，得，即，又，存在滿足條件的實數(shù)，且點睛:對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法, 一般通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后再構(gòu)造輔助函數(shù)，利用恒成立；恒成立，即可求

5、出參數(shù)范圍.2（1）當(dāng)時， 在上為減函數(shù)；當(dāng)時， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2） 證明見解析；（3）一個零點，理由見解析.【解析】試題分析：（1）討論函數(shù)單調(diào)性，先求導(dǎo)，當(dāng)時，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時，解可得，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)，當(dāng)時，所以是增函數(shù)，得證；（3）判斷函數(shù)的零點個數(shù)，需要研究函數(shù)的增減性及極值端點，由（1）可知，當(dāng)時，是先減再增的函數(shù)，其最小值為，而此時，且，故恰有兩個零點，從而得到的增減性，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，從而在兩點分別取到極大值和極小值，再證明極大值，所以函數(shù)不可能有兩個零點，只能有一個零點試題解析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)得，當(dāng)時，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時

6、，解可得，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2） ，設(shè)，則，易知當(dāng)時，；（3）由（1）可知，當(dāng)時，是先減再增的函數(shù)，其最小值為，而此時，且，故恰有兩個零點，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，在兩點分別取到極大值和極小值，且，由知，但當(dāng)時，則，不合題意，所以，故函數(shù)的圖象與軸不可能有兩個交點函數(shù)只有一個零點3（1）；（2）存在，且.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的定義域是，得到 ，分 和兩種情況討論討論二次函數(shù)恒成立的問題，得到的取值范圍；（2） ，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，若能滿足當(dāng)時，當(dāng)滿足函數(shù)的最小值大于0，即得到 的取值范圍.試題解析：（1）由題 當(dāng)時，知，則是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時

7、，只有對于，不等式恒成立，才能使為單調(diào)函數(shù)，只需，解之得或，此時.綜上所述，的取值范圍是 （2），其中.（）當(dāng)時，于是在上為減函數(shù)，則在上也為減函數(shù).知恒成立，不合題意，舍去. （）當(dāng)時，由得，列表得0最大值若，即，則在上單調(diào)遞減.知，而，于是恒成立，不合題意，舍去.若，即.則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，要使在恒有恒成立，則必有則，所以 由于，則，所以.綜上所述，存在實數(shù)，使得恒成立.【點睛】導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若 就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 ，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可轉(zhuǎn)化為 .

8、4（1）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;（2）見解析.【解析】試題分析: （1）先求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)在定義域上零點情況，本題實質(zhì)研究在上零點情況：當(dāng)方程無根時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個相等實根時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個不等實根時，比較兩根與定義區(qū)間之間關(guān)系，再確定單調(diào)區(qū)間，（2）先由（1）知，且兩個極值點滿足.再代入化簡得,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性證明不等式.試題解析:（1）函數(shù)的定義域為.，記，判別式.當(dāng)即時，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)或時，方程有兩個不同的實數(shù)根，記，顯然（）若，圖象的對稱軸，.兩根在區(qū)間上，可知當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以在

9、區(qū)間上遞增.（）若，則圖象的對稱軸，.，所以，當(dāng)時，所以，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)或時，所以，所以在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知當(dāng)時，沒有極值點，當(dāng)時，有兩個極值點，且.，又，.記，則，所以在時單調(diào)遞增，所以，所以.5（1）；（2）；（3）詳見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義可得，再根據(jù)恒等式定理可得.（2）由函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，得其導(dǎo)函數(shù)恒非正，即最小值，而在恒成立等價于，從而有對恒成立，再根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性可得只需端點處函數(shù)值非負(fù)即可，解不等式組可得的取值范圍（3）研究方程根的個數(shù)，只需轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，交點個數(shù)，先根

10、據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，再根據(jù)二次函數(shù)上下平移可得根的個數(shù)變化規(guī)律試題解析：（1）是奇函數(shù)，則恒成立，即，.（2）由（1）知，又在上單調(diào)遞減，且對恒成立，即對恒成立，在上恒成立，即對恒成立，令，則，而恒成立，.（3）由（1）知，方程為，令，當(dāng)時，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在上為減函數(shù)；當(dāng)時，而，函數(shù)、在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，當(dāng)，即時，方程無解；當(dāng)，即時，方程有一個根；當(dāng)，即時，方程有兩個根.點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意

11、分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.6（1）的最小值為.（2）.【解析】試題分析：（1）由在上恒成立在上單調(diào)遞減當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)工具得的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性的取值范圍是；（2）由 ，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)工具得，再根據(jù)單調(diào)性設(shè)在上遞減的最小值為.試題解析： （1），在上恒成立，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，由，得，由，得.的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，解得，綜上，的取值范圍是.（2），由得到，設(shè)，當(dāng)時，；當(dāng)時，.從而在上遞減，在上

12、遞增.當(dāng)時，即，在上，遞減；在上，遞增.，設(shè)，在上遞減.；的最小值為.考點：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)的最值；3、函數(shù)與不等式.【方法點晴】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)與不等式，涉及分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型. 利用導(dǎo)數(shù)處理不等式問題.在解答題中主要體現(xiàn)為不等式的證明與不等式的恒成立問題.常規(guī)的解決方法是首先等價轉(zhuǎn)化不等式，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值來解決，當(dāng)然要注意分類討論思想的應(yīng)用.7（1），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】試題分析：（1）由是函數(shù)的極值點，得可

13、得得值，由導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系得其單調(diào)區(qū)間；（2）由題意知，設(shè)，知得單調(diào)遞增，即是在上的唯一零點，得，使得即可，結(jié)合，得參數(shù)范圍.試題解析：（1）是函數(shù)的極值點，.，.令，在上單調(diào)遞增，.當(dāng)，；當(dāng)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，當(dāng)時，取極小值.（2），設(shè)，則.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.是函數(shù)的極值點，是在上的唯一零點，.，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有最小值.恒成立，.，.考點：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；（3）恒成立問題.【方法點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最大值和最小值問題，以及對于不等式恒成立問題，解決不等式恒成立問題的常用方

14、法是轉(zhuǎn)化為最值恒成立.考查函數(shù)的單調(diào)性，由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減；考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段.通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或即可，利用導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合單調(diào)性求出或即得解.8（1）見解析；（2）當(dāng)時，有兩個零點；當(dāng)時；有且僅有一個零點【解析】試題分析：（1）首先將代入函數(shù)解析式，然后令，再通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性，從而使問題得證；（2）首先求得，然后求得時的值，再對分類討論，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值，即可得出函數(shù)零點的個數(shù)試題解析：（1）當(dāng)時，令（），則，當(dāng)時，此時函數(shù)遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，（2），令，得，（i）當(dāng)時，由得當(dāng)時，此時，函數(shù)為增函

15、數(shù)，時，時，故函數(shù)，在上有且只有一個零點；（ii）當(dāng)時，且，由知，當(dāng)，此時，；同理可得，當(dāng)，；當(dāng)時，；函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為故，當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)，有且只有一個零點；又，構(gòu)造函數(shù)，則，易知，對，函數(shù)，為減函數(shù)，由，知，構(gòu)造函數(shù)（），則，當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，則，當(dāng)時，而由知又函數(shù)在上遞增，由和函數(shù)零點定理知，使得綜上，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點考點：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)零點存在性定理；3、函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系【技巧點睛】函數(shù)的單調(diào)性是使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的根本，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間的分界點

16、就是函數(shù)的極值點，在含有字母參數(shù)的函數(shù)中討論函數(shù)的單調(diào)性就是根據(jù)函數(shù)的極值點把函數(shù)的定義域區(qū)間進(jìn)行分段，在各個分段上研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性，也確定了函數(shù)的極值點，這是討論函數(shù)的單調(diào)性和極值點情況進(jìn)行分類的基本原則9(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系推證；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識求解.試題解析：（1）.關(guān)于單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞增.（2）設(shè),則.設(shè),則在內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)時,. 即,當(dāng)時,.當(dāng)時, 在內(nèi)單調(diào)遞增. 當(dāng),時, 即.當(dāng)時, 由得關(guān)于單調(diào)遞增, 當(dāng)時, 單調(diào)遞減. 設(shè),則,即.當(dāng)時, 不成立.綜上, 若的取值范圍.考點：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等方面的有關(guān)知識的綜合運(yùn)用【易錯點晴】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問題的重要而有效的工具.本題就是以含參數(shù)的兩個函數(shù)解析式為背景,考查的是導(dǎo)數(shù)知識在研究函數(shù)單調(diào)性和極值等方面的綜合運(yùn)用和分析問題解決問題的能力.本題的第一問是推證函數(shù)在上單調(diào)遞增；第二問中借助導(dǎo)數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求在不等式恒成立的前提下實數(shù)的取值范圍.求解借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,運(yùn)用分類整合的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分類推證,進(jìn)而求得實數(shù)的取值范圍,從而使得問題簡捷巧妙獲解.10（1）（2）時，增區(qū)間，時，減區(qū)間，增區(qū)間（3）【解析】試題分析：（1）先求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷