最短路徑問題專項(xiàng)練習(xí)

1、最短路徑問題專項(xiàng)練習(xí)共13頁，全面復(fù)習(xí)與聯(lián)系最短路徑問題一、具體內(nèi)容包括：螞蟻沿正方體、長方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食問題；AB線段（之和）最短問題；二、原理：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短。（構(gòu)建“對稱模型”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化）1最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CACB最短，這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求如圖所示，點(diǎn)A，B分別是

2、直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CACB最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B，則點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C，連接AC，BC，BC，證明ACCBACCB.如下：證明：由作圖可知，點(diǎn)B和B關(guān)于直線l對稱，所以直線l是線段BB的垂直平分線因?yàn)辄c(diǎn)C與C在直線l上，所以BCBC，BCBC.在ABC中，ABACBC，所以ACBCACBC，所以ACBCACCB.【例1】 在圖中直線l上找到一點(diǎn)M，使它到A，B兩點(diǎn)的距離和最小分析：先確定其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，然后連接對稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，與直線l的交點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)解：如圖所示：(1)作點(diǎn)

3、B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B；(2)連接AB交直線l于點(diǎn)M.(3)則點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)點(diǎn)撥：運(yùn)用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問題.2.運(yùn)用軸對稱解決距離最短問題運(yùn)用軸對稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離和最小這個(gè)核心，所有作法都相同警誤區(qū) 利用軸對稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法解決這類最值問題時(shí)，要認(rèn)真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求

4、，審題不清導(dǎo)致答非所問3利用平移確定最短路徑選址選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上如果兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成線段的差最大，如果兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個(gè)點(diǎn)的對稱點(diǎn)來解決解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問題時(shí)，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱?，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題 【例2

5、】 如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水(1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？分析：(1)到A，B兩點(diǎn)距離相等，可聯(lián)想到“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”，又要在河邊，所以作AB的垂直平分線，與EF的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)(2)要使廠部到A村、B村的距離之和最短，可聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間線段最短”，作A(或B)點(diǎn)關(guān)于EF的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與B點(diǎn)，與EF的交點(diǎn)即為所求解：(1)如圖1，取線段AB的中點(diǎn)G，過中點(diǎn)G畫AB的垂線，交EF于P，則P到A，B的距離相等也可分別以A、B為圓心，以大

6、于AB為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線，與EF的交點(diǎn)P即為所求(2)如圖2，畫出點(diǎn)A關(guān)于河岸EF的對稱點(diǎn)A，連接AB交EF于P，則P到A，B的距離和最短【例3】 如圖，從A地到B地經(jīng)過一條小河(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？思路導(dǎo)引：從A到B要走的路線是AMNB，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移MN到AC，從C到B應(yīng)是余下的路程，連接BC的線段即為最短的，此時(shí)不難說明點(diǎn)N即為建橋位置，MN即為所建的橋解：(1)如圖2，過點(diǎn)A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬(2

7、)連接BC與河岸的一邊交于點(diǎn)N.(3)過點(diǎn)N作河岸的垂線交另一條河岸于點(diǎn)M.則MN為所建的橋的位置4生活中的距離最短問題由兩點(diǎn)之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運(yùn)用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉(zhuǎn)化在一條線段上，從而解決這個(gè)問題，運(yùn)用軸對稱性質(zhì)，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段，如圖，AOBOAC的長所以作已知點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)是解決這類問題的基本方法【例4】 (實(shí)際應(yīng)用題)茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖

8、果，然后到D處座位上，請你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？圖a圖b解：如圖b.(1)作C點(diǎn)關(guān)于OA的對稱點(diǎn)C1，作D點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D1，(2)連接C1D1，分別交OA，OB于P，Q，那么小明沿CPQD的路線行走，所走的總路程最短5.運(yùn)用軸對稱解決距離之差最大問題利用軸對稱和三角形的三邊關(guān)系是解決幾何中的最大值問題的關(guān)鍵先做出其中一點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，然后連接對稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，所得直線與對稱軸的交點(diǎn)，即為所求根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值破疑點(diǎn) 解決距離的最值問題的關(guān)鍵運(yùn)用軸對稱變換及三角形三邊關(guān)系是解決一些距離的最值問題的有效方法【例5】

9、 如圖所示，A，B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)，在l上找一點(diǎn)C，使點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距離之差最大 分析：此題的突破點(diǎn)是作點(diǎn)A(或B)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A(或B)，作直線AB(AB)與直線l交于點(diǎn)C，把問題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來解決解：如圖所示，以直線l為對稱軸，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A，AB的連線交l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求理由：在直線l上任找一點(diǎn)C(異于點(diǎn)C)，連接CA，CA，CA，CB.因?yàn)辄c(diǎn)A，A關(guān)于直線l對稱，所以l為線段AA的垂直平分線，則有CACA，所以CACBCACBAB.又因?yàn)辄c(diǎn)C在l上，所以CACA.在ABC中，CACBCACBAB，所以CACBCACB.點(diǎn)撥：根據(jù)軸對稱的

10、性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法三、例題：例1、如右圖是一個(gè)棱長為4的正方體木塊，一只螞蟻要從木塊的點(diǎn)A沿木塊側(cè)面爬到點(diǎn)B處，則它爬行的最短路徑是 。ABCD如右圖是一個(gè)長方體木塊，已知AB=3,BC=4,CD=2，假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn)A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn)D處，則螞蟻爬行的最短路徑是 。張村李莊ABL例2、如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河邊什么地方可使所用的水管最短。如圖，直線L同側(cè)有兩點(diǎn)A、B，已知A、B到直線L的垂直距離分別為1和3，兩點(diǎn)的水平距離為3，要在直線L上找一個(gè)點(diǎn)P，使PA+PB的和最小。請?jiān)趫D中找出點(diǎn)P的位置

11、，并計(jì)算PA+PB的最小值。張村李莊要在河邊修建一個(gè)水泵站，向張村、李莊鋪設(shè)管道送水，若張村、李莊到河邊的垂直距離分別為1Km和3Km，張村與李莊的水平距離為3Km，則所用水管最短長度為 。四、練習(xí)題（鞏固提高）（一）1、如圖是一個(gè)長方體木塊，已知AB=5,BC=3,CD=4，假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn)A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn)D處，則螞蟻爬行的最短路徑是 。ABABABCDA第3題第2題第1題2、現(xiàn)要在如圖所示的圓柱體側(cè)面A點(diǎn)與B點(diǎn)之間纏一條金絲帶（金絲帶的寬度忽略不計(jì)），圓柱體高為6cm，底面圓周長為16cm，則所纏金絲帶長度的最小值為 。3、如圖是一個(gè)圓柱體木塊，一只螞蟻要沿圓柱體的表面從A點(diǎn)爬

12、到點(diǎn)B處吃到食物，知圓柱體的高為5 cm，底面圓的周長為24cm，則螞蟻爬行的最短路徑為 。4、正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DNMN的最小值為 。 第4題 第5題 第6題 第7題5、在菱形ABCD中，AB=2， BAD=60°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為 。6、如圖，在ABC中，ACBC2，ACB90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則ECED的最小值為_ _。7、AB是O的直徑，AB=2，OC是O的半徑，OCAB，點(diǎn)D在AC上，AD = 2CD，點(diǎn)P是半徑OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+P

13、D的最小值為_ _。（二）8、如圖，點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)分別為C、D，連接CD，交OA于M，交OB于N，若CD18cm，則PMN的周長為_。9、已知，如圖DE是ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交BC于E，且AC5，BC8，則AEC的周長為_。10、已知，如圖，在ABC中，ABAC，BC邊上的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，AC8，ABE的周長為14，則AB的長 。11、如圖，在銳角ABC中，AB4，BAC45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是_12、在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，2），B（4，2）兩點(diǎn)，現(xiàn)另

14、取一點(diǎn)C（1，n），當(dāng)n = 時(shí)，AC + BC的值最小 第11題 第14題 第15題13、ABC中，C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,過AB邊上一點(diǎn)P作PEAC于E，PFBC于 F，E、F是垂足，則EF的最小值等于 14、如圖，菱形ABCD中，AB=2, BAD=60°，點(diǎn)E、F、P分別是AB、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值為_.15、如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？16、一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，

15、4）（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PCPD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)（三）16、如圖，已知AOB內(nèi)有一點(diǎn)P，試分別在邊OA和OB上各找一點(diǎn)E、F，使得PEF的周長最小。試畫出圖形，并說明理由。17、如圖，直線l是第一、三象限的角平分線實(shí)驗(yàn)與探究：（1）由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），請?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5，3）、C（2，5）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B、C的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：B 、C ；歸納與發(fā)現(xiàn)：（2）結(jié)合以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l

16、的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；運(yùn)用與拓廣：（3）已知兩點(diǎn)D（1，3）、E（1，4），試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)18、幾何模型：條件：如圖，A、B是直線L同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在直線L上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小方法：作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，則的值最小（不必證明）模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形的邊長為2，為的中點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)連結(jié)，由正方形對稱性可知，與關(guān)于直線對稱連結(jié)交于，則的最小值是_；（2）如圖2，的半徑為2，點(diǎn)在上，是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；OABPRQ圖3（3）如圖3，AOB=45°，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是O

17、A、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長的最小值OABC圖2PABECBD圖1ABPl19、問題探究（1）如圖，四邊形是正方形， ，為邊的中點(diǎn)，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（2）如圖，若四邊形是菱形， ，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；ADBCADBCEPACDB問題解決（3）如圖，若四邊形ABCD是矩形， ，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；20.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），連結(jié)0A，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段OB.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BOC的周

18、長最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（注意：本題中的結(jié)果均保留根號）解：（1）過點(diǎn)B作BD軸于點(diǎn)D，由已知可得：OB=OA=2，BOD=60。.在RtOBD中，ODB=90。，OBD=30。.OD=1，DB=點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，）.（2）設(shè)所求拋物線的解析式為，由已知可得：解得：所求拋物線解析式為（3）存在.由配方后得：拋物線的對稱軸為=1.（也寫用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出）OB=2，要使BOC的周長最小，必須BC+CO最小.點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于直線=1對稱，有CO=CA. BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA.當(dāng)A、C、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C為直線AB與拋物線對稱軸的交點(diǎn)時(shí)，BC+

19、CA最小，此時(shí)BOC的周長最小.設(shè)直線AB的解析式為解得： 直線AB的解析式為當(dāng)=1時(shí)， 所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）.21、DOxyBEPAC如圖，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式（2）把ABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由（3）試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得FBD的周長最小，若存在，請寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）由題意知解得， -3分（列出方程組給1分，解出給2分）拋物線的解析式為 -4分（2）設(shè)點(diǎn)A（，0），B（，0），則，解得 -5分 OA1，OB3又tanOCBOCB