八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)4.2一次函數(shù)與正比例函數(shù)例題與講解素材北師大版

1、2一次函數(shù)與正比例函數(shù)【堪聞如曲甚翻灘1 .一次函數(shù)的定義若兩個(gè)變量x,y之間的關(guān)系式里出!丕巫y=kx+b(k,bJrW,kwo)的形式，則稱y是電一次函數(shù)(x是自變量).談重點(diǎn)一次函數(shù)的條件函數(shù)是一次函數(shù)必須符合下列兩個(gè)條件：(1)關(guān)于兩個(gè)變量x,y的次數(shù)是1;(2)必須是關(guān)于兩個(gè)變量的整式.【例1】下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是().A.y=7x2?B.y=x9C.y=錯(cuò)誤！未定義書簽。？D.y=f(1,x+1)解析：AXx的次數(shù)是2,不是1,所以它不是一次函數(shù).BV符合一次函數(shù)的一般形式.Cx含有自變量x的代數(shù)式不是整式，所以不是一次函數(shù).Dx答案：B2 .正比例函數(shù)的定義對(duì)于一次函數(shù)y=

2、kx+b,當(dāng)b=0,即y=kx(k為常數(shù)，且kw0)時(shí)，我們稱y是x的正比例函辨誤區(qū)一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系需要注意的是正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況，特殊之處在于b=0,且kW0,因此，正比例函數(shù)定是一次函數(shù)，但一次函數(shù)并不一定是正比例函數(shù).【例2】下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是().A . y = 2 xC.y二一2x2?B.y=2x+1D.y一錯(cuò)誤解析:AV符合正比例函數(shù)的一般形式.BXb=1w。，所以它不是止比例函數(shù).CXx的次數(shù)是2,不是1,所以它不是止比例函數(shù).Dx含有自變量x的代數(shù)式不是整式，所以它不是正比例函數(shù).答案：A辨誤區(qū)正比例函數(shù)的判斷要判斷一個(gè)函數(shù)是否是正比例函數(shù)，首先

3、看它是否為一次函數(shù)，也就是能否轉(zhuǎn)化為y=kx+b(kw0)的形式；其次要清楚正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，函數(shù)解析式能否轉(zhuǎn)化為y=kx(kw0)的形式.3 .根據(jù)條件列一次函數(shù)關(guān)系式列函數(shù)關(guān)系式是培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和抽象思維能力的一種方法，解決這類問題的基本思路為：首先要認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞，找出問題中的變量并用字母表示，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式.點(diǎn)技巧如何列函數(shù)關(guān)系式列關(guān)系式時(shí)，一定要先知道兩個(gè)變量，并且弄清誰是自變量.【例3】甲、乙兩地相距30km,某人從甲地以每小時(shí)4km的速度走了th到達(dá)丙地，并繼續(xù)向乙地走.(1)試分別確定甲、丙兩地距離Si(km)及丙、乙兩地距離S2(km)與時(shí)間t(

4、h)之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)它們是什么函數(shù).分析：路程二速度X時(shí)間，S2=30si.解：(1)Si=4t,S2=30-4t.(2)兩個(gè)函數(shù)都是一次函數(shù)，而si=4t還是正比例函數(shù).點(diǎn)評(píng)：此類題目把求函數(shù)關(guān)系式的問題轉(zhuǎn)化為列代數(shù)式的問題，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型問題.基X方米其就助?4.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別若兩個(gè)變量x,y之間的關(guān)系可以表示成y=kx+b(k,b為常數(shù)，kw0)的形式，則稱y是x的一次函數(shù)，特別地當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù)，顯然正比例函數(shù)是一次函數(shù)，而一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況.區(qū)別：正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例

5、函數(shù)；正比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點(diǎn)及經(jīng)過兩個(gè)象限，但一次函數(shù)一般不經(jīng)過原點(diǎn)，通常情況下要經(jīng)過三個(gè)象限.聯(lián)系：兩種函數(shù)的圖象都是一條直線；兩種函數(shù)的增減性相同；當(dāng)b=0時(shí),一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為正比例函數(shù)，因此正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例.【例4-1在下列函數(shù)中，x是自變量，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？(1)y=3x；(2)y=錯(cuò)誤！未定義書簽。；(3)y=3x+1;(4)y=x分析：這類判斷題，應(yīng)嚴(yán)格按照有關(guān)函數(shù)的定義，看函數(shù)是不是可以表示為規(guī)定的形式.解：一次函數(shù)是（1）y=3x和（3）y=3x+1.其中（1）y=3x還是正比例函數(shù)，（2）、（4）既不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù).【例4-2已知

6、正比例函數(shù)中自變量每增加一個(gè)單位，函數(shù)值就減少2個(gè)單位，求函數(shù)的解析式.分析：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx（kw。）,要求出待定系數(shù)k,必須有x與y的一組對(duì)應(yīng)值，所以關(guān)鍵是要將已知條件轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值.因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，y=0,所以我們可以根據(jù)題意，給出一對(duì)特殊值：當(dāng)x=1時(shí)，y=-2.這就是我們需要的等量關(guān)系.解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx（kw0）,根據(jù)題意，當(dāng)x=l時(shí)，y=-2.代入函數(shù)解析式，得2=k。故所求函數(shù)解析式為y=-2xoQ思維拓展何斯府川柘，-5.用一次函數(shù)解決實(shí)際問題函數(shù)與我們的生活息息相關(guān),生活中的許多問題可以通過函數(shù)得以解決，如何才能正確地確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系式

7、呢?具體地說和列一元一次方程解應(yīng)用題基本相似,即弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系,找到能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等的關(guān)系,根據(jù)這個(gè)相等的數(shù)量關(guān)系式,列出所需的代數(shù)式,從而列出兩個(gè)變量之間的關(guān)系式.辨誤區(qū)寫解析式，定自變量的范圍通常確定一個(gè)函數(shù),不僅要確定這個(gè)函數(shù)的解析式，還要確定這個(gè)函數(shù)的自變量的取值范圍.【例5】一天老王騎摩才e車外出旅游，剛開始行駛時(shí)，油箱中有油9L,行駛了1h后發(fā)現(xiàn)已耗油1。5L.(1)求油箱中的剩余油量Q(L)與行駛的時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量t的取值范圍；(2)如果摩托車以60km/h的速度勻速行駛，當(dāng)油箱中的剩余油量為3L時(shí)，老王行駛了多少千米?分析：根據(jù)油箱中原有油9L,1h耗油1。5L,則th耗油1.5tL,得到行駛th后油箱中剩余油量為