數(shù)學(xué)高中必修五解三角形

1、第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理正弦定理【典型題剖析】考察點(diǎn)1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【點(diǎn)撥】 本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形內(nèi)角和定理及正弦定理的變形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應(yīng)用。例2在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值范圍?！军c(diǎn)撥】 此題可先運(yùn)用正弦定理將a+b表示為某個(gè)角的三角函數(shù)，然后再求解。解：C=30°，c=+，由正弦定理得： a=2(+)sinA,b=2(+)s

2、inB=2(+)sin（150°-A）.a+b=2(+)sinA+sin(150°-A)= 2(+)·2sin75°·cos(75°-A)= cos(75°-A) 當(dāng)75°-A=0°，即A=75°時(shí)，a+b取得最大值=8+4； A=180°-(C+B)=150°-B,A150°，0°A150°,-75°75°-A75°，cos75°cos(75°-A)1， cos75°=×=+

3、.綜合可得a+b的取值范圍為(+,8+4>考察點(diǎn)2：利用正弦定理判斷三角形形狀例3在ABC中，·tanB=·tanA，判斷三角形ABC的形狀。【點(diǎn)撥】通過(guò)正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的關(guān)系判斷ABC的形狀。解：由正弦定理變式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，.為等腰三角形或直角三角形?！窘忸}策略】“在ABC中，由得A=B”是常犯的錯(cuò)誤，應(yīng)認(rèn)真體會(huì)上述解答過(guò)程中“A=B或A+B=”的導(dǎo)出過(guò)程。例4在ABC中，如果，并且B為銳角，試判斷此三角形的形狀?！军c(diǎn)撥】通過(guò)正弦定理把邊的形式轉(zhuǎn)化為角的形式，利用兩角差的正弦公式來(lái)判斷ABC的形狀。解：.又B為銳

4、角，B=45°.由由正弦定理，得,代入上式得：考察點(diǎn)3：利用正弦定理證明三角恒等式例5在ABC中，求證.【點(diǎn)撥】觀察等式的特點(diǎn)，有邊有角要把邊角統(tǒng)一，為此利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為.證明：由正弦定理的變式得：同理【解題策略】在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，然后利用三角知識(shí)去解決，要注意體會(huì)其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。例6在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，C=2B，求證.【點(diǎn)撥】本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應(yīng)用.證明：【解題策略】有關(guān)三角形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性質(zhì)?？疾禳c(diǎn)4：求三角形的面積例7在ABC中，a,b,c分別是三

5、個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若,求ABC的面積S.【點(diǎn)撥】先利用三角公式求出sinB,sinA 及邊c，再求面積。解：由題意，得B為銳角，由正弦定理得【解題策略】在ABC中，以下三角關(guān)系式在解答三角形問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到，要記準(zhǔn)、記熟，并能靈活應(yīng)用， 例8已知ABC中a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，ABC的外接圓半徑為12，且,求ABC的面積S的最大值。【點(diǎn)撥】本題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應(yīng)用。解：【解題策略】把三角形的面積公式和正弦定理相結(jié)合，通過(guò)討論三角函數(shù)值的取值，求得面積的最大值?？疾禳c(diǎn)5：與正弦定理有關(guān)的綜合問(wèn)題例9已知ABC的內(nèi)角A,B極其對(duì)邊a,b滿足求內(nèi)角C【點(diǎn)撥

6、】本題主要考察解三角形中的正弦定理、和差化積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考察運(yùn)算能力、分析能力和轉(zhuǎn)化能力。解法1：（R為ABC的外接圓半徑），又A,B為三角形的內(nèi)角，當(dāng)時(shí)，由已知得綜上可知，內(nèi)角.解法2：由及正弦定理得，從而即又0A+B，【解題策略】切化弦、邊化角是三角關(guān)系化簡(jiǎn)的常用方法，熟練運(yùn)用三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵。例10在ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且c=10,，求a,b及ABC的內(nèi)切圓半徑?！军c(diǎn)撥】欲求邊，應(yīng)將已知條件中的邊角統(tǒng)一，先求角再求邊。解：變形為又ABC是直角三角形。由解得【解題策略】解此類問(wèn)題應(yīng)注意定理與條件的綜合應(yīng)用。-易錯(cuò)疑難辨析易錯(cuò)點(diǎn) 利用正弦定理解題時(shí)，

7、出現(xiàn)漏解或增解【易錯(cuò)點(diǎn)辨析】本節(jié)知識(shí)在理解與運(yùn)用中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：（1）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)，出現(xiàn)漏解或增解；（2）在判斷三角形的形狀時(shí)，出現(xiàn)漏解的情況。例1（1） 在ABC中，（2） 在ABC中，【錯(cuò)解】（1） 由正弦定理得（2） 由正弦定理得【點(diǎn)撥】（1）漏解，由（0°B180°）可得因?yàn)閎a,所以兩解都存在。（2）增解。由（0°B180°）可得，因?yàn)閎a,根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角可知BA,所以不符合條件，應(yīng)舍去?！菊狻浚?）由正弦定理得又0°B180°（經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意）（2）由正弦定理得又0&

8、#176;B180°ba,根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角可知BA，不符合條件，應(yīng)舍去，。易錯(cuò)點(diǎn) 忽略三角形本身的隱含條件致錯(cuò)【易錯(cuò)點(diǎn)解析】解題過(guò)程中，忽略三角形本身的隱含條件，如內(nèi)角和為180°等造成的錯(cuò)誤。例2在ABC中，若求的取值范圍。【錯(cuò)解】由正弦定理得【點(diǎn)撥】在上述解題過(guò)程中，得到了后，忽略了三角形的內(nèi)角和定理及隱含的均為正角這一條件。【正解】由正弦定理可知0°B45°，1.13，故13.-高考真題評(píng)析例1（2010·廣東高考）已知a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若則【命題立意】本題主要考察正弦定理和三角形中大邊對(duì)大角的性質(zhì)

9、，解題的關(guān)鍵是確定角C的值?！军c(diǎn)撥】在ABC中，又，故，由正弦定理知又ab，因此從而可知，即。故填1.【名師點(diǎn)評(píng)】解三角形相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)靈活掌握邊角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)邊角互化。例2（2010·北京高考）如圖1-9所示，在ABC中，若則【命題立意】本題考查利用正弦定理解決三角形問(wèn)題，同時(shí)要注意利用正弦定理得到的兩解如何取舍。【點(diǎn)撥】由正弦定理得，C為鈍角，B必為銳角，故填1【名師點(diǎn)評(píng)】在范圍內(nèi)，正弦值等于的角有兩個(gè)，因?yàn)榻荂為鈍角，所以角B必為銳角，防止忽略角的范圍而出現(xiàn)增解ABC1圖1-9例3（2010·湖北高考）在ABC中，則等于（ ） 【命題立意】本題考查正弦定理及同角三角函數(shù)

10、基本關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是確定角B的范圍?！军c(diǎn)撥】由正弦定理得，B為銳角。，故選D【名師點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角形性質(zhì)大邊對(duì)大角準(zhǔn)確判斷角B的范圍，從而確定角B的余弦值。例4（2010·天津高考）在ABC中，（1）求證 ；（2）若，求的值?！久}立意】本題主要考察正弦定理、兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察基本運(yùn)算能力。證明：（1）在ABC中，由正弦定理及已知，得。于是即因?yàn)锽-C，從而B(niǎo)-C=0，所以B=C .解：（2）由和（1）得，故又02B，于是從而，。所以【名師點(diǎn)評(píng)】（1）證角相等，故由正弦定理化邊為角。（2）在（1）的基礎(chǔ)上找角A與角B

11、的函數(shù)關(guān)系，在求2B的正弦值時(shí)要先判斷2B的取值范圍。知能提升訓(xùn)練 學(xué)以致用1、在ABC中，下列關(guān)系式中一定成立的是（ ）A B. =C. D. 2、（2011·山東模擬）ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，則c等于（ ）A.1 B.2 C. D.3、（2011·廣東模擬）在ABC中，則等于（ ）A B. C. D.4、在ABC中，若，則ABC是（ ）A直角三角形 B.等邊直角三角形C鈍角三角形 D.等腰直角三角形5、在銳角ABC中，若C=2B，則的范圍是（ ）A B. C. D.6、在ABC中，則，滿足此條件的三角形有（ ）A0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè)

12、7、在ABC中，若A：B：C=3：4：5，則：等于（ ）A3：4：5 B.2:C. 1:2 D.: :8、（2011·浙江模擬）在ABC中，則此三角形的最大邊長(zhǎng)為（ ）A B. C. D.9、在ABC中則。10、（2011·山東模擬）在ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，若，則角A的大小為。11、在ABC中已知cm，cm，如果利用正弦定理解三角形有兩解，那么的取值范圍是。12、如圖1-10所示，ACD是等邊三角形，ABC是等腰直角三角形，BD交AC于E，AB=2.（1）求的值；（2）求AE的長(zhǎng)。圖1-1013、在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，求證。1

13、4、在ABC中，求及三角形的面積。15、已知方程的兩根之積等于兩根之和，且為ABC的內(nèi)角，分別為的對(duì)邊，判斷ABC的形狀。16、在ABC中，（1）求角C的大??；（2）若ABC的最大邊長(zhǎng)為，求最小邊的長(zhǎng)。 余弦定理典型題剖析考察點(diǎn)1： 利用余弦定理解三角形例1：已知ABC中，求A，C和?！军c(diǎn)撥】解答本題可先由余弦定理列出關(guān)于邊長(zhǎng)的方程，首先求出邊長(zhǎng)，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的邊和角。解法1：由正弦定理得，解得或6.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由正弦定理得解法2：由，知本題有兩解。由正弦定理得，或，當(dāng)時(shí)，由勾股定理得：當(dāng)時(shí)，ABC為等腰三角形，?！窘忸}策略】比較兩種解

14、法，從中體會(huì)各自的優(yōu)點(diǎn)，從而探索出適合自己思維的解題規(guī)律和方法。三角形中已知兩邊和一角，有兩種解法。方法一利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系列出方程，利用解方程的方法求出第三邊的長(zhǎng)，這樣可免去判斷取舍的麻煩。方法二直接運(yùn)用正弦定理，先求角再求邊。例2：ABC中，已知，求A，B，C【點(diǎn)撥】解答本題可由余弦定理求出角的余弦值，進(jìn)而求得各角的值。解法1：由余弦定理得：。因?yàn)樗?。因?yàn)樗砸驗(yàn)樗越夥?：由解法1知，由正弦定理得，因?yàn)?，所以BC，所以角C應(yīng)該是銳角，因此。又因?yàn)樗浴窘忸}策略】已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時(shí)，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防

15、止增解或漏解?？疾禳c(diǎn)2： 利用余弦定理判斷三角形的形狀例3：在ABC中，已知且，試判斷ABC的形狀?！军c(diǎn)撥】本題主要考察利用正弦定理或余弦定理判斷三角形的形狀，從問(wèn)題的已知條出發(fā)，找到三角形邊角之間的關(guān)系，然后判斷三角形的形狀。解法1：（角化邊）由正弦定理得，由，得。又由余弦定理的推論得。即。又為等邊三角形。解法2：（邊化角）又，又A與B均為的內(nèi)角，A=B.又由，得，即由余弦定理得，而0°C180°，又為等邊三角形?！窘忸}策略】已知三角形關(guān)系中的邊角關(guān)系式判斷三角形的形狀，有兩條思考路線：一是化邊為角，求出三個(gè)角之間的關(guān)系式；二是化角為邊，求出三條邊之間的關(guān)系式，種轉(zhuǎn)化主要

16、應(yīng)用正弦定理和余弦定理。例4：已知鈍角三角形ABC的三邊求k的取值范圍?！军c(diǎn)撥】由題意知ABC為鈍角三角形，按三角形中大邊對(duì)大角的原則，結(jié)合a,b,c的大小關(guān)系，故必有C角最大且為鈍角，于是可有余弦定力理求出k的取值范圍。解：0，解得-2k6.而k+k+2k+4，k2.故2k6.故k的取值范圍是【解題策略】應(yīng)用三角形三邊關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意大邊對(duì)大角?？疾禳c(diǎn)3：利用余弦定理證明三角形中的等式問(wèn)題例5在中，a,b,c分別是角A，B，C的對(duì)邊，（1）求證（2）求證【點(diǎn)撥】本題考察余弦定理及余弦定理與二倍角公式的綜合應(yīng)用。證明：（1）左邊右邊，故原式成立。（2）左邊右邊，故原式成立?！窘忸}策略】（1）小題

17、利用余弦定理將角化為邊。（2）小題先降冪，然后利用余弦定理將角化為邊。例6在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c。（1）求證（2）求證【點(diǎn)撥】本題考察余弦定理及余弦定理與兩角和差正弦公式的綜合應(yīng)用證明：（1）由得；。又故原式成立。（2）左邊右邊。故原式成立?？疾禳c(diǎn)4：正余弦定理的綜合應(yīng)用例7：在中，已知【點(diǎn)撥】本題主要考察正、余弦定理的綜合應(yīng)用。解：a0,c0,正弦定理得或.由知ab,若則與已知矛盾。【解題策略】本題邊未知，已知一角，所以考慮使用余弦定理得a，c的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理求注意特殊角的三角函數(shù)值，如：例8：設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（1）求A的大小；（2）求的

18、值?！军c(diǎn)撥】本題考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的綜合應(yīng)用。解：（1）由余弦定理得所以（2）。例9：設(shè)得到內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求邊長(zhǎng)a；（2）若的面積S=10，求的周長(zhǎng)?！军c(diǎn)撥】本題考察正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及同腳三角函數(shù)關(guān)系式的綜合應(yīng)用。解：（1）已知將兩式相除，有又由知0，則，則（2）由得由得。故。【解題策略】把已知兩個(gè)關(guān)系式相除是本題的難點(diǎn)，也是解決此題的關(guān)鍵，相除之后出現(xiàn)，使用正弦定理使問(wèn)題得到順利解決。易錯(cuò)疑難解析易錯(cuò)點(diǎn) 利用余弦定理判斷三角形的形狀時(shí)出現(xiàn)漏解情況【易錯(cuò)點(diǎn)辨析】在等式兩邊同時(shí)約去一個(gè)因式時(shí)，需要十分小心，當(dāng)該因式恒正或恒負(fù)時(shí)可以

19、約去，一定要避免約去可能為零的因式而導(dǎo)致漏解。例1：在中，已知試判斷的形狀。【錯(cuò)解】由余弦定理得：故為直角三角形?！军c(diǎn)撥】利用余弦定理把已知等式中角的形式轉(zhuǎn)化為邊的形式，其思路是正確的，但是在等式變形中約去了可能為零的因式，產(chǎn)生了漏解的情況，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤?！菊狻坑捎嘞叶ɡ淼茫夯?。為等腰三角形或直角三角形。易錯(cuò)點(diǎn) 易忽略題中的隱含條件而導(dǎo)致錯(cuò)誤【易錯(cuò)點(diǎn)辨析】我們?cè)诮忸}時(shí)要善于應(yīng)用題目中的條件，特別是隱含條件，全面、細(xì)致地分析問(wèn)題，如下列題中的ba就是一個(gè)重要條件。例2：在中，已知求。【錯(cuò)解】由余弦定理，得由正弦定理，得又0°A180°，或.【點(diǎn)撥】注意到已知條件中這一隱含條

20、件，則，顯然是不可能的?！菊狻坑捎嘞叶ɡ?，得又由正弦定理，得ba，BA.又0°A180°，高考真題評(píng)析例1：（2011.山東模擬）在中，D為BC邊上一點(diǎn)，若則【命題立意】本題主要考察余弦定理與方程組的應(yīng)用?！军c(diǎn)撥】如圖1-13所示，設(shè)則再設(shè)則在中，由余弦定理得。在中，由余弦定理得。由得解得（負(fù)值舍去），故填。【名師點(diǎn)評(píng)】根據(jù)題意畫出示意圖由CD=2BD,AC=AB,設(shè)出未知量，在兩個(gè)三角形中分別利用余弦定理，然后聯(lián)立方程組求解。圖1-13例2：（2010.天津高考）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若則A等于（ ）A30° B.60° C.1

21、20° D.150°【命題立意】本題考察正、余弦定理的綜合應(yīng)用，考察分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?！军c(diǎn)撥】由根據(jù)正弦定理得代入得即，由余弦定理得又0°A180°，故選A【名師點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用正弦定理把已知條件中轉(zhuǎn)化成邊b，c的關(guān)系，再代入已知得a，b的關(guān)系，利用余弦定理變形形式求角的余弦值。例3：（2010.北京高考）某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽（如圖1-14所示），它由腰長(zhǎng)為1，頂角為a的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為（ ）A. B.C. D. 【命題立意】本題考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面積公式和圖形的分割求和等知識(shí)?！军c(diǎn)撥

22、】三角形的底邊長(zhǎng)為故選A?！久麕燑c(diǎn)評(píng)】此題難度較低，該八邊形由4個(gè)等腰三角形和一個(gè)正方形組合而成，應(yīng)用余弦定理求正方形的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵。例4：（2010.安徽高考）設(shè)是銳角三角形，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)，且。（1）求角A的值；（2）若，求b，c（其中bc）【命題立意】本題考察兩角和的正弦公式，同腳三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，余弦定理，向量的數(shù)量積等知識(shí)。解：（1）因?yàn)樗?。又A為銳角，所以（2）由得由（1）知所以cb=24.由余弦定理知將及代入，得，+×2，得，所以。因此 c，b是一元二次方程的兩個(gè)根，解此方程并由bc知c=6，b=4.【名師點(diǎn)評(píng)】（1）題三角

23、形的六個(gè)元素均未知，只能從已知條件出發(fā)，把方程右邊關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，得（2）題考察了構(gòu)造方程求跟的能力。 例5：（陜西高考）如圖1-15所示，在中，已知B=45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的長(zhǎng)?！久}立意】本題主要考察利用正弦定理和余弦定理解三角形，同時(shí)考察運(yùn)算求解能力。解：在中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得 在中，正弦定理得圖1-15【名師點(diǎn)評(píng)】已知的三邊，則由余弦定理先求的余弦值，再求角，即可求的補(bǔ)角，在中，已知兩角一邊用正弦定理求解即可。例6：（2010.江蘇高考）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若求的值?！久?/p>

24、題立意】本題考察三角函數(shù)的化簡(jiǎn)及正、余弦定理的綜合應(yīng)用。解：由得化簡(jiǎn)整理得將切化弦，得根據(jù)正、余弦定理得所以【名師點(diǎn)評(píng)】整理通式的常用方法是通分，出現(xiàn)，這樣的形式時(shí)應(yīng)考慮向余弦定理靠攏。知能提升訓(xùn)練 學(xué)以致用1、（2011.山東模擬）中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，則c等于（ ）A B.3 C. D.2、如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么他的頂角的余弦值為（ ）A B. C. D.3、在不等邊三角形中，a為最大邊，且，則A的取值范圍是（ ）A B. C D.4、在中，則的形狀為 （ ）A直角三角形 B等腰三角形或直角三角形C正三角形 D等腰直角三角形 5、在中，下列結(jié)論；若，則為

25、鈍角三角形 若=，則A=60°若，則為銳角三角形 若A:B:C=1:2:3,則a：b：c=1:2:3其中正確的個(gè)數(shù)是 （ ）A1 B.2 C.3 D.46、（2011.廣東模擬）在中， 分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知?jiǎng)t角A等于7、的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c設(shè)向量p， ，若p q，則C的大小為8、在銳角三角形中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a,b,c，已知。（1）求的值（2）若，求的值9、（2011.山東模擬）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a,b,c，且（1）求角A的大小；（2）若角BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為，求的面積10、在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a,b,c且

26、（1）求角B的大??；（2）若求的面積。11、在中，：，求的三個(gè)內(nèi)角。12、在試判斷的形狀。13、已知三角形的一個(gè)內(nèi)角為60°，面積為，周長(zhǎng)為，求此三角形的各邊長(zhǎng)。14、（2011.濟(jì)寧模擬）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a,b,c ，已知（1）求的值；（2）設(shè)求的值15、如圖1-18所示，半圓的直徑長(zhǎng)為2，A為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，B為半圓周上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊，向圓外作等邊三角形，則B點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形的面積最大？并求出這個(gè)最大面積。圖1-181.2應(yīng)用舉例典型題剖析考察點(diǎn)1：測(cè)量距離問(wèn)題例1：某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米以后，望見(jiàn)塔在東北方向，若

27、沿途測(cè)得塔的最大仰角為30°求塔高?！军c(diǎn)撥】依題意畫圖，如圖1-23所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD=40米，此時(shí)DBF=45°，從C到D測(cè)塔的仰角，只有B到CD最短時(shí)，仰角才對(duì)大，這是因?yàn)锳B為定值，要求出塔AB。必須先求出BE，而要求BE需先求BD（或BC）。解：如圖1-23所示當(dāng)時(shí)，測(cè)的塔的最大仰角為30°，即，在 BDC中，CD=40，BCD=30°，DBC=135°。由正弦定理得在中，在中，故所求的塔高為米?！窘忸}策略】（1）依據(jù)提議畫圖是解決三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵。本例中，既有方位角（它是在水平面上所成的角），又有仰角（

28、它是在鉛錘面上的角），因而本例的圖形是一個(gè)立體圖形，因此在畫圖時(shí)，要注意運(yùn)用空間想象力進(jìn)行畫圖。（2）由本例可知，方位角是相對(duì)于某地而言，因此在確定方位角時(shí)，必須先弄清是哪一點(diǎn)的方位角，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，方位角是一個(gè)動(dòng)態(tài)角，在理解題意時(shí)要把它看活，否則可能產(chǎn)生偏差。圖1-23例2如圖1-24是曲柄連桿裝示意圖，連桿AC=l，曲柄AB=r，曲柄AB和曲軸BL所成的角為（1）求連桿AC和曲軸BL間的夾角的正弦 （2）當(dāng)取什么值時(shí)，最大？（3）已知BD=a，求滑塊C的位移x圖1-24【點(diǎn)撥】首先應(yīng)分清楚條件中的量，誰(shuí)是變化的誰(shuí)是固定不變的，變化的又是怎樣變化的，BD固定，C點(diǎn)在線段BD上移動(dòng)，AB,

29、AC的長(zhǎng)度不變，A點(diǎn)在以B為圓心，AB為半徑的圓上移動(dòng)。解：（1）在中根據(jù)正弦定理得，（2）根據(jù)題意知為銳角，最大時(shí)，最大。當(dāng)，即時(shí)，最大。（3）根據(jù)正弦定理得位移【解題策略】在理解曲柄連桿的工作原理之后，解此題應(yīng)該不是很困難，在解（3）題時(shí)，應(yīng)注意不是已知量，應(yīng)用r,l及來(lái)表示，否則很容易寫成要引起重視。考查點(diǎn)2 測(cè)量高度問(wèn)題例3地面上有一旗桿OP，為了測(cè)量它的高度h，在地面上選一基線AB，AB=20m，在A點(diǎn)測(cè)得P點(diǎn)的仰角OAP=30°，在B點(diǎn)測(cè)得P點(diǎn)的仰角OBP=45°，又測(cè)得AOB=60°，則旗桿PO的高度h為多少（精確到0.1m）解：在中，在中，在中，由

30、余弦定理，得，解得【解題策略】在解三角形問(wèn)題時(shí)，一定要選擇合適的三角形，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。圖1-25例4：如圖1-26所示，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走a米到B，又測(cè)得山頂P的仰角為，求山高?！军c(diǎn)撥】由圖形知山高為PQ，只要已知PA，就可通過(guò)解求得，而AP，可由正弦定理求出。解：在ABP中，由正弦定理可得故山高PQ為【解題策略】解決本題的關(guān)鍵是利用平面幾何知識(shí)求出和。圖1-26例5：如圖1-27所示，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角54°40，在塔底C處測(cè)得A處的俯角50°1。已知鐵塔BC部分的高為27.3m，求出山高CD(精確到1m)【點(diǎn)撥

31、】根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計(jì)算出AB或AC的長(zhǎng)解：在ABC中，BCA=90°+, ABC=90°-, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，得CD=BD-BC177-27.3=150(m) 答：山的高度約為150米【解題策略】本題的關(guān)鍵是把握俯角的概念，明確已知量與幾何圖形中量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。圖1-27考查點(diǎn)3：測(cè)量角度問(wèn)題例6：如圖1-28所示，一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東75°的方向航行67.5n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32°的方向航行54.0n mile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多

32、少距離(角度精確到0.1°,距離精確到0.01n mile)解：在ABC中，根據(jù)余弦定理得：（n mile）根據(jù)正弦定理，得，答：此船應(yīng)該沿北偏東的方向航行，需要航行約113.15（n mile）圖1-28例7：如圖1-29所示，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里的B處，并以20海里/時(shí)的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船以8海里/時(shí)的速度行駛，應(yīng)沿什么方向，用多少小時(shí)能盡快追上乙船？【點(diǎn)撥】根據(jù)圖意明確已知條件與幾何量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。解：設(shè)用t小時(shí)甲船能追上乙船，且在C 處相遇。在ABC中，由余弦定理得，即或（舍去）由正弦定理，得又ABC=1

33、20°，BAC為銳角，又= ，甲船沿南偏東的方向，用小時(shí)能盡快追上乙船?！窘忸}策略】（1）首先明確題中所給出的各個(gè)角的含義，然后分析題意，分析已知、所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最主要的一步。（2）將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，靈活運(yùn)用正、余弦定理解決問(wèn)題?？疾禳c(diǎn)4：求面積的問(wèn)題例8：在半徑為R的扇形OAB中，圓心角AOB=60°，在扇形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形的最大面積。【點(diǎn)撥】扇形內(nèi)的內(nèi)接矩形有且僅有兩種類型:一種是矩形的一邊與扇形的一條半徑重合，如圖1-30（1）所示；另一種是以扇形的對(duì)稱軸為對(duì)稱軸的矩形，如圖1-30（2）所示，我門分

34、別求出這兩種類型的矩形的最大面積，再取兩者中較大的，就是符合條件的最大面積。圖1-30解：如圖1-30（1）所示，設(shè)PQ=x，MP=y，則矩形的面積S=xy。連接ON，令A(yù)ON=，則y=Rsin。在OMN中，利用正弦定理，得當(dāng)時(shí)，如圖1-30（2）所示，設(shè)PN=x，MN=y，則矩形的面積為，連接ON，令A(yù)ON=。在OPN中，利用正弦定理，得當(dāng)時(shí)，所求的最大面積為?！窘忸}策略】這是一道傳統(tǒng)題，理解扇形的內(nèi)接矩形有且僅有上訴兩種情況是解決本題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)。例9如圖1-31所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4求四邊形ABCD的面積。圖1-31解：連接BD

35、則四邊形ABCD的面積為A+C=180°，在ABD中，由余弦定理，得在CDB中，【解題策略】解斜三角形應(yīng)用題的步驟：（1）讀懂題意，理解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知所求，理清量與量之間的關(guān)系。（2）根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形的模型。（3）選擇正弦定理和余弦定理求解。（4）將三角形的解還原成實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的單位、近似計(jì)算的要求?？疾禳c(diǎn)5：解三角形在日常生活中的應(yīng)用例10一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)一號(hào)機(jī)器人，由A點(diǎn)開(kāi)始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng)，如圖1-32所示，已知若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器

36、人最快可在何處截住足球？圖1-32【點(diǎn)撥】機(jī)器人最快截住足球的地方正是機(jī)器人與足球同時(shí)到達(dá)的地方，設(shè)為C點(diǎn)，利用速度建立AC與BC之間的關(guān)系，再利用余弦定理建立方程解決問(wèn)題。解：設(shè)機(jī)器人最快可在點(diǎn)C處截住足球，點(diǎn)C在線段AD上，連接BC，設(shè)dm, AC=AD-CD=(17-2x)dm在ABC中，由余弦定理得即解得（dm）或（dm）（舍去）該機(jī)器人最快可在線段AD上離A點(diǎn)7dm的點(diǎn)C 處截住足球。【解題策略】解決本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形的模型，在ABC中，已知A=45°，因此，可以利用余弦定理列出方程求解例11如圖1-33所示，公園內(nèi)有一塊邊長(zhǎng)為2a的等邊三角形ABC形狀的

37、三角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上。（1）設(shè)求用表示的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本希望它最短，DE的位置應(yīng)該在哪里？如果DE是參觀路線，則希望它最長(zhǎng)，DE的位置又該在哪里?請(qǐng)予以證明圖1-33【點(diǎn)撥】（1）要用表示，可由面積相等用表示AE，然后由余弦定理表示（2）要求DE的最值，即求函數(shù)的最值，需借助于的單調(diào)性求解。解：（1）在ABC中，D在AB上，在ADE中，由余弦定理得(2)令，則則令當(dāng)時(shí)，任取，0，0，0，在上是減函數(shù)。同理在上是增函數(shù)。又當(dāng)即時(shí)，y有最小值，此時(shí)DEBC，且，當(dāng)或，即或時(shí)，y有最大值，此時(shí)DE為ABC中邊A

38、B或邊AC上的中線。易錯(cuò)疑難解析易錯(cuò)點(diǎn) 實(shí)際應(yīng)用錯(cuò)誤【易錯(cuò)點(diǎn)解析】由于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的條件多，文字繁瑣，故對(duì)題意理解不夠、把握不準(zhǔn)，致使常常出錯(cuò)。例1在大河邊上高a米處的A點(diǎn)，測(cè)的得對(duì)岸一鐵塔的頂點(diǎn)M的仰角為，而在河中鐵塔倒影的頂點(diǎn)的俯角為，試求鐵塔的高度。圖1-34【錯(cuò)解】如圖1-34所示設(shè)直線在河面上，點(diǎn)N是鐵塔頂點(diǎn)M在河中的倒影，是MN與的交點(diǎn)，由于鐵塔頂點(diǎn)M與它在河面的倒影關(guān)于河面對(duì)稱，故，且。由點(diǎn)A向MN作垂線，設(shè)垂足為B，令A(yù)B，則由題設(shè)條件知于是在RtABM中，在RtABN中，由于且，即，塔高（米）【點(diǎn)撥】上述錯(cuò)解中，其解題思路其實(shí)是正確的，錯(cuò)誤在于BM與BN的關(guān)系上，由于，故又而

39、不是【正解】在錯(cuò)解中將 “”改寫成“”后，可得，塔高（米）易錯(cuò)點(diǎn) 應(yīng)用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)增解或漏解【易錯(cuò)點(diǎn)解析】在應(yīng)用正弦定理和余弦定理解三角形時(shí)因?yàn)槿切慰赡軙?huì)出現(xiàn)兩解、一解或無(wú)解的情況，所以在求解時(shí)一定要注意驗(yàn)證解的情況，避免出現(xiàn)增解或漏解。例2某觀測(cè)站C在城A的南偏西20°的方向上，由城A出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測(cè)的公路上距C點(diǎn)31km的B處有一人正沿公路向城A走去，走了20km后到達(dá)D處，此時(shí)C、D間距離為21km，這人還要走多遠(yuǎn)才能到達(dá)城A？圖1-35【錯(cuò)解】如圖1-35所示，CAD=60°，在BCD中，由余弦定理得所以在A

40、BC中，在ACD中，由余弦定理，得即所以AD=15或AD=9，所以這個(gè)人還要走15km或9km才能到達(dá)城A?！军c(diǎn)撥】余弦定理中，線段的長(zhǎng)度都帶有平方，故求線段的長(zhǎng)度是可能會(huì)有兩個(gè)值，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是未檢驗(yàn)解是否符合題意。【正解】設(shè)ACD=，CDB=，在CBD中，由余弦定理，得，所以而在ACD中，由正弦定理，得則（km）。所以這人還要走15km才能到達(dá)城A。高考真題評(píng)析例1（2011.湖北模擬）為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛錘平面內(nèi)，（如圖1-36）飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一各方案，包括：（1）指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（

41、用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；（2）用文字和公式寫出計(jì)算M，N,間的距離的步驟?！久}立意】本題考察解三角形的應(yīng)用，熟知正、余弦定理，并應(yīng)用到解決實(shí)際問(wèn)題上。解：方案1：（1）需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角，；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角，；A，B的距離d（如圖1-37所示）圖1-37（2）第一步：計(jì)算AM，由正弦定理得，第二步：計(jì)算AN，由正弦定理得，第三步:計(jì)算MN，由余弦定理得：【名師點(diǎn)評(píng)】本題構(gòu)思新穎，是課本中測(cè)量?jī)蓚€(gè)不能到達(dá)的地方之間的距離的引申拓展。例2（2010.陜西高考）如圖1-38所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)

42、北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20 海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？【命題立意】本題主要考察運(yùn)用正、余弦定理理解三角形，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解三角形的問(wèn)題，同時(shí)考察運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解能力。【解析】由題意知AB5(3)(海里)，DBA90°60°30°，DAB90°45°45°，ADB180°(45°30°)105°.在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)

43、，又DBCDBAABC30°30°60°，BC20 海里，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BD·BC·cosDBC3001 2002×10×20×900，CD30(海里)，則需要的時(shí)間t1(小時(shí))該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)3（2010.福建高考）。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇。（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最

44、高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由?！久}立意】本題主要考察用解三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。圖1-39解：如圖，由（1）得而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，故輪船與小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，設(shè)，OD=，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為和，所以，解得，從而值，且最小值為，于是當(dāng)取得最小值，且最小值為。此時(shí)，在中，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇【名師點(diǎn)評(píng)】將實(shí)際問(wèn)題落實(shí)到幾何圖形中，把實(shí)際量與幾何量建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用三角形和函數(shù)知識(shí)來(lái)求解最值。知能提升訓(xùn)練 學(xué)以致用1、（2011.濰坊模擬）如圖1-40所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C的距離為50m，ACB=45°，CAB=105°后，就可以算出A，B兩點(diǎn)