數(shù)學建模第一次論文研讀報告

1、第一篇第一問：1、（1）CD4濃度未做變換時圖形為：Regression analysis - curve estimation (回歸分析曲線估計)為了使擬合曲線相對平滑，進行變換由于測得的的濃度有0值，而log的真數(shù)必須大于0，故將其加1。具體操作：transformcompute（2）HIV濃度未做變換時圖形為了使擬合曲線相對平滑，進行變換輕度患者二次曲線回歸CD4變化情況：時達到最大。時達到最大。綜上：取重度患者當時達到最大。當時達到最大綜合可知第二問：1、 多因素方差分析由于做主成分分析單位不統(tǒng)一，需要進行歸一化，因此考慮進行多因素方差分析，具體步驟如下：(1)本例數(shù)據(jù)保存為dier

2、wen.txt，將dierwen.txt導入SPSS，General Linear Model -> Univariate的順序打開Univariate主對話框，將nongdu選入Dependent Variable框；將liaofa shijian nianling 選入Fixed Factor框;(2)單擊Model按鈕， 選擇Custom選項，在Buil Term下拉菜單中選擇Main effects，然后在Factor and Covariates中將liaofa shijian nianling liaofa*shijian 引入Model列表框， Sum of squares

3、下拉菜單中選擇Type III， 勾選Include Intercept in mode框，再單擊Continue按鈕返回主對話框;(3)Contrasts對話框選擇默認Plots對話框選擇默認Save對話框選擇默認Options對話框選擇默認(4)單擊Post Hoc按鈕，在Univariate: Post Hoc Multiple Comparisions Observed Means對話框的Factor列表框中選擇變量liaofa shijian nianling liaofa*shijian ，移動到Post Hoc Tests for列表框，并且在Equal Variances As

4、sumed中選擇S-N-K、LSD和Scheffe選項，再單擊Continue按鈕返回主對話框單擊OK按鈕，得到分析結果.得到表格如下：2、 單因素方差分析單獨對療法進行單因素方差分析如下：(1)本例數(shù)據(jù)保存為dierwen.txt，Analyze->Compare Means->One-Way ANOVA的順序打開One-Way ANOVA主對話框，打開dierwen.txt并將其導入SPSS，并將nongdu選入Dependent List框；將liaofa選入Factor框;(2)單擊Contrasts按鈕， 勾選Polynomial復選框，在Degree框中選擇5次方曲線，

5、再單擊Continue按鈕返回主對話框;(3)單擊Post Hoc按鈕，在Equal Variance Assumed復選框勾選LSD和Scheffe等，再單擊Continue按鈕返回主對話框;(4)單擊Options 按鈕，在statistics復選框勾選所有選項，再選中means plots框，最后單擊Continue按鈕返回主對話框;(5)單擊OK按鈕，得到分析結果.3、 確定最佳終止治療時間第三問1、 增量成本效用模型2、 預測第二篇第一問1、考慮首次測試的特殊性較好。從第三篇可以看出年齡對CD4和HIV也具有一定影響，我認為忽略其影響不是特別合理。2、 MATLAB程序clearA=

6、load('3.txt');CD=A(:,3); %第三列為CD4濃度HIV=A(:,5); %第五列為HIV濃度t=A(:,2); %第二列為CD4的測量時間tA=A;23991 0 0 0 0; %在A矩陣中再加入一行i=1;ID=1;C0=;H0=; %從編號為1的開始，while ID<=23990 %編號從1到23990時 i0=i; %此時i0=1 c0=A(i0,3); %c0表示第三列編號為i0的病人CD4濃度的第一個數(shù)值 C0=C0;c0; %把每個病人CD4的初始濃度放在一個矩陣C0里 h0=A(i0,5); %h0表示第三列編號為i0的病人HIV濃度

7、的第一個數(shù)值 H0=H0;h0; %把每個病人HIV的初始濃度放在一個矩陣H0里 while A(i,1)=A(i+1,1) i=i+1; c0=A(i0,3); C0=C0;c0; h0=A(i0,5); H0=H0;h0; end %選出每個病人的初始濃度 ID=A(i+1,1);i=i+1;endX=C0,H0,t,C0.*H0,C0.*t,C0.2,H0.*t,H0.2,t.2;stepwise(X,CD)a=ones(1569,1) C0 H0 t t.2b,bint,r,rint,stats=regress(CD,a) X=C0,H0,t,C0.*H0,C0.*t,C0.2,H0.

8、*t,H0.2,t.2;stepwise(X,HIV)aa=ones(1569,1) H0 t t.2;b,bint,r,rint,stats=regress(HIV,aa)3、 結果：b = -125.9014 1.0582 26.7680 6.1818 -0.0973b = 0.4322 0.7884 -0.16190.00334、 預測：利用Excel將t=0時的CD4和HIV濃度篩選出來，求平均值C0=85.898，H0=5.027 y=-125.9014+89.6533+116.1745+6.1818.*t-0.0973.*t.2plot(t,y,'o')title(

9、'CD4隨時間的變化曲線')y=0.4322+3.9633-0.1619.*t+0.0032.*t.2plot(t,y,'o')title('HIV隨時間的變化曲線')y=(79.9264+6.1818.*t-0.0973.*t.2)./(4.3955-0.1619.*t+0.0032.*t.2);plot(t,y,'o')title('CH隨時間的變化曲線')第三篇第一問1、 利用單因素方差分析求平均濃度和方差23725-255-24.8為異常數(shù)據(jù)，應剔除。利用SPSS里的analyseMean命令可以得到以下結

10、果： 注：畫藍線處與答案差距較大2、 U檢驗法（1）原理：檢驗假設：;：;選取統(tǒng)計量在為真的條件下： 對給定的，選取，, ,故 ,這表明在為真的條件，是一小概率事件，由此可以得出如下判定方法：計算的試驗值；若，則拒絕原假設,接受；否則接受原假設。其中：檢驗假設：;： (事先算出樣本觀察值,才提這樣檢驗問題)選取統(tǒng)計量在為真的條件下 對給定的，選取，,故 ,這表明在為真的條件下，是一小概率事件，由此可以得出如下判定方法：計算的試驗值；若，則拒絕原假設,接受；否則接受原假設。（2） 具體計算：注意：計算時，和指的是第段時間的平均濃度和人數(shù)，而和指的是第段時間內的平均濃度和標準差。1-5 中的CD4

11、同理可計算得：時間段（周）CD4顯著性HIV顯著性1512.4344顯著提高-56.4170顯著提高695.0669顯著提高-5.988顯著提高10253.1832顯著提高-0.9735顯著提高26401.3897無顯著性0.6743顯著提高40以上-3.2979無顯著性1.7731無顯著性第二問1、 雙因子方差分析Analysecompare meanmeans排序：4132432142313421總：4321年齡12CD4顯著性CD4顯著性31-402.5574顯著提高7.7937顯著提高41-50-1.8190無顯著性1.0612無顯著性50以上2.6073顯著提高4.1988顯著提高年

12、齡34CD4顯著性CD4顯著性31-406.6576顯著提高3.5821顯著提高41-50-1.8592無顯著性0.8223無顯著性50以上4.0046顯著提高1.8371顯著提高時間1234CD4顯著性CD4顯著性CD4顯著性CD4顯著性8-1.4200無0.8136無2.2960有4.2571有16-2.2089無-2.5289無-1.4527無0.3698無24-2.4363無-3.0108無-3.1955無-2.7784無32-0.3975無0.9124無0.8863無0.2426無40-1.6445無-1.8817無-0.2126無-0.4267無第四篇第一問：1、 lagrange

13、線性插值法并求總體濃度變化量：思路：根據(jù)插值后的數(shù)據(jù)，由第四周所有病人的平均濃度減去第0周所有病人的平均濃度即為濃度平均變化量。（1）CD4clearclca=xlsread('1.xls');%修改編號，23777，23780，23990.把2370改為23778，23990改為23779;d=a(any(isnan(a(:,2),2),:);x,y=size(d);b=;B=cell(356,1);%創(chuàng)建單元數(shù)組，使23424編號5行5列為B的第一個元素t=1;k=0;for s=23424:23779 b=; k=0;%循環(huán)一次后把23424清空，用于存放下個。行清零 f

14、or i=1:x if d(i,1)=s%判斷編號 k=k+1;%行 for j=1:y%列 b(k,j)=d(i,j);%第一次把23424編號的信息賦過去 end end end Bt,1=b;%23424編號結束，把23424整個病人的信息賦給B t=t+1;%B跳到下行end x1=; y1=; xi=0 4 8 24 40; Y1=0 4 8 24 40; for i=1:356 br=Bi,1;%i=1，br就是23424的信息 xx,yy=size(br); for j=1:xx x1=x1,br(j,2); y1=y1,br(j,3); end yi1=interp1(x1,y

15、1,xi,'','extrap'); Y1=Y1;yi1; x1=;y1=; end d=; e=; f=; g=; h,z=size(Y1);%Y1是療法1 for i=2:h%Y1第一行是周數(shù)0 4 8 24 40，所以從第二行開始 d=d,Y1(i,2)-Y1(i,1)%每一行就是每一個病人了，第8周-第0周存放在d里 e=e,Y1(i,3)-Y1(i,2) f=f,Y1(i,4)-Y1(i,3) g=g,Y1(i,5)-Y1(i,4) end lingzhisi=mean(d) sizhiba=mean(e) bazhiersi=mean(f) ersi

16、zhisishi=mean(g)程序運行結果：lingzhisi = 46.4729sizhiba = 22.3361bazhiersi = 19.9800ersizhisishi = 11.8334（2） HIVclearclca=xlsread('1.xls');%還是把原始數(shù)據(jù)后面幾個編號改下，使編號連續(xù)d=a(any(isnan(a(:,4),2),:);%對hiv插值，所以把hiv那幾行為nan的刪了x,y=size(d);b=;B=cell(356,1);t=1;k=0;for s=23424:23779 b=;k=0; for i=1:x if d(i,1)=s

17、k=k+1; for j=1:y b(k,j)=d(i,j); end end end Bt,1=b; t=t+1;endx2=;y2=;xi=0 4 8 24 40;Y2=0 4 8 24 40;for i=1:356 if i=94&i=250%因為有兩個病人值測了cd4，沒測hiv.所以s循環(huán)等于這個病人的時候.B就為空了.導出的時候就要判斷這兩個病人%這里一個兩個&都可以 br=Bi,1;xx,yy=size(br);%取出每個病人的信息 for j=1:xx x2=x2,br(j,4);y2=y2,br(j,5);%把周數(shù)和濃度賦給x2，y2 end yi2=inte

18、rp1(x2,y2,xi,'','extrap');%interp1是個插值函數(shù)，extrap是外插的意思，是省略插值方法 Y2=Y2;yi2;%最后的結果 x2=;y2=;%清空存放上個病人的信息 endendY2 %得出表二的程序 %得出hiv A=Y2%±í?cd4b1=;b2=;b3=;b4=; for i=2:355 a1=A(i,2)-A(i,1); a2=A(i,3)-A(i,2); a3=A(i,4)-A(i,3); a4=A(i,5)-A(i,4); b1=b1 a1; b2=b2 a2; b3=b3 a3; b4=b4 a

19、4; endc1=sum(b1)/354c2=sum(b2)/354c3=sum(b3)/354c4=sum(b4)/354c5=c1 c2 c3 c4'程序運行結果：c5 = -1.7818 -0.3281 -0.2353 -0.0897時間段（周）病人CD4濃度平均變化量病人HIV濃度平均變化量0446.4729-1.78184822.3361-0.328182419.9800-0.2353244011.8334-0.08972、MATLAB線性擬合并添加趨勢線（1）CD4 趨勢線，其實質就是對散點的數(shù)據(jù)擬合。Matlab里有這個工具箱，輸入cftool命令即可調出工具箱。先導入數(shù)

20、據(jù)，然后再Fitting里面選擇合適的擬合方程以得到理想的擬合曲線，即你所要的趨勢線。工具箱會給出擬合方程和誤差范圍。Linear model Poly1: f(x) = p1*x + p2Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 1.468 (0.00723, 2.928) p2 = 49.9 (15.22, 84.58)Goodness of fit: SSE: 187.1 R-square: 0.9034 Adjusted R-square: 0.855 RMSE: 9.671Linear model Poly2: f(x) = p1

21、*x2 + p2*x + p3Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = -0.03774 (-0.4966, 0.4211) p2 = 3.119 (-17.4, 23.64) p3 = 39.81 (-118.6, 198.2)Goodness of fit: SSE: 89.43 R-square: 0.9538 Adjusted R-square: 0.8614 RMSE: 9.457可知第42周是y達到最大。（2） HIVLinear model Poly2: f(x) = p1*x2 + p2*x + p3Coefficients

22、 (with 95% confidence bounds): p1 = 0.0009103 (-0.005704, 0.007525) p2 = -0.04544 (-0.3412, 0.2503) p3 = -1.696 (-3.979, 0.5875)Goodness of fit: SSE: 0.01858 R-square: 0.8159 Adjusted R-square: 0.4478 RMSE: 0.1363Linear model Poly3: f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4Coefficients: p1 = -8.622e-05 p2 =

23、0.006725 p3 = -0.1506 p4 = -1.288Goodness of fit: SSE: 2.761e-30 R-square: 1 Adjusted R-square: NaN RMSE: NaNsolve('-0.00025866*x2+0.01345*x-0.1506')ans = 使y最小，取17周。3、 利用Excel（1）CD4（2）HIVsolve('-0.00025866*x2+0.0128*x-0.1498') ans = 使y最小，取第18周。結合表2變化趨勢，取25周。問題二1、思路：先將各個療法分開，然后針對每一個療法

24、，由第8周所有濃度的平均值減去第0周所有濃度的平均值即為CD4濃度平均變化量。治療方案第一個8周內CD4平均濃度變化量第一個8周內CD4平均濃度變化量第一個8周內CD4平均濃度變化量第一個8周內CD4平均濃度變化量第一個8周內CD4平均濃度變化量1-0.1041-0.1794-0.1391-0.1571-0.223720.0285-0.1915-0.2291-0.0831-0.019730.1433-0.3804-0.1303-0.21910.045340.3955-0.1278-0.1124-0.1815-0.0801注：看一個時間段內的平均變化趨勢，即平均值，而不是某個點的。2、 每一種方

25、案的CD4濃度變化趨勢3、 考慮不同年齡段將不同的年齡段和不同的階段分開，這樣可以根據(jù)實際情況在不同階段采用不同的療法，我認為這樣做治療效果較好。問題三：方案療法用藥處方一個療程成本(美元)第1種療法前4周用藥:600mg zidovudine,后4周用藥:400mg didanosine56/2x(1.6+0.85)=68.6第2種療法600mg zidovudine,加2.25mg zalcitabine56x(1.6+1.85)=193.2第3種療法600mg zidovudine,加400mg didanosine137.2第4種療法600mg zidovudine,加401mg di

26、danosine,加400mg nevirapine204.4-0.6587=68.6美元/(-0.10414)/10000.45558=(0.6587+0.3825+0.4933+0.4367+0.3067)/5（絕對值相加）第五篇第一問1、亮點：為方便運算，對初始濃度進行分類，有助于后期的分析，使調理更清晰。一、問題一：數(shù)據(jù)的擬合及療效的預測根據(jù)對問題和數(shù)據(jù)的初步分析，我們可以得出以下結論：1） CD4和HIV濃度的變化時非線性的。2） CD4和HIV濃度相互抑制，初始的濃度表現(xiàn)了病人的病情；CD4的濃度不可能無限的上升，HIV濃度不可能無限的下降。隨著CD4的濃度的提高，由于抗藥性的影響

27、，藥物的藥效降低，HIV的抑制作用加強，CD4的濃度的增長速率會減慢，逐漸變?yōu)樨撛鲩L，同時HIV濃度增長率會不斷提高，最后導致病情惡化。根據(jù)以上的分析，我們建立了三個不同的模型分別對數(shù)據(jù)驚醒擬合，并進行F檢驗，比較其優(yōu)劣。1.1模型一：拋物線回歸模型1）首先，根據(jù)病人的初始病情不同分成三類（重度、中度、輕度），并結合臨床醫(yī)學的CD4濃度統(tǒng)計意義，制定分類標準見表1，表示CD4的初始濃度。表1：按CD4初始濃度分類類別分類標準特征III類（重度）病情嚴重極易感染II類（中度）50<急需藥物抑制I類（輕度）>200輕微感染2）對各類病人的濃度變化函數(shù)家去各個病人的初始濃度后，用二次函數(shù)

28、進行回歸 (1)其中、均大于0。3） 引入：，是該類中有效數(shù)據(jù)的病人數(shù)，是第個病人除初始數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)數(shù)。4） 數(shù)據(jù)處理：篩選除去CD4觀測列有空的；去除只有一組觀測數(shù)據(jù)的沒有數(shù)據(jù)；得出、的數(shù)據(jù)；在matlab中輸入：clearA=xlsread('附件1');%篩選除去CD4觀測列有空的chart=A(find(isnan(A(:,2)=0&isnan(A(:,4)=0),:);chart=chart;23991 0 0 0 0; Chart_1=;Chart_2=;Chart_3=;ID=chart(1,1);i=1; n1=0;n2=0;n3=0;%去除只有一組觀測數(shù)

29、據(jù)的沒有C0數(shù)據(jù)while ID<=23990 i0=i; while chart(i,1)=chart(i+1,1) i=i+1; end if chart(i0,2)=0&&i-i0>=1&&chart(i0,3)<=50 Chart_1=Chart_1;chart(i0+1:i,1:2) chart(i0+1:i,3)-chart(i0,3) chart(i0+1:i,4) chart(i0+1:i,5)-chart(i0,5). mean(chart(i0+1:i,3)-chart(i0,3)*ones(i-i0,1) mean(cha

30、rt(i0+1:i,5)-chart(i0,5)*ones(i-i0,1);%重度患者 n1=n1+1; end if chart(i0,2)=0&&i-i0>=1&&chart(i0,3)>50&&chart(i0,3)<=200 Chart_2=Chart_2;chart(i0+1:i,1:2) chart(i0+1:i,3)-chart(i0,3) chart(i0+1:i,4) chart(i0+1:i,5)-chart(i0,5). mean(chart(i0+1:i,3)-chart(i0,3)*ones(i-i0,

31、1) mean(chart(i0+1:i,5)-chart(i0,5)*ones(i-i0,1);%中度患者 n2=n2+1; end if chart(i0,2)=0&&i-i0>=1&&chart(i0,3)>200 Chart_3=Chart_3;chart(i0+1:i,1:2) chart(i0+1:i,3)-chart(i0,3) chart(i0+1:i,4) chart(i0+1:i,5)-chart(i0,5). mean(chart(i0+1:i,3)-chart(i0,3)*ones(i-i0,1) mean(chart(i0+

32、1:i,5)-chart(i0,5)*ones(i-i0,1);%輕度患者 n3=n3+1; end ID=chart(i+1,1);i=i+1;end5） 利用最小二乘法，對二次函數(shù)進行回歸分析在matlab中輸入（以III類為例）：t1=Chart_1(:,2);T1=t1,t1.2;CD1=Chart_1(:,3);b1_c,bint1,r1_c,rint1,stats1_c=regress(CD1,T1); HIV1=Chart_1(:,5);b1_h,bint1,r1_h,rint1,stats1_h=regress(HIV1,T1);得結果如表2表2：拋物線回歸結果類別CD4HIV

33、III類（重度）II類（中度）I類（輕度）6） 對回歸結果進行F檢驗從統(tǒng)計學中的方差分析理論可知，當預測量方差不變時，回歸方差越大，殘差方差越大，即我們認為回歸方差與殘差方差的比值來衡量回歸方程的效果好壞。總平方和：, （2）其中是第個病人的數(shù)據(jù)平均數(shù)，其自由度為?；貧w平方和,其中自由度,統(tǒng)計量遵從自由度為（2, ）的F分布。在matlab中輸入（以III類為例）：fs_1=size(Chart_1,1)-n1;fu_1=2;fq_1=fs_1-fu_1;C0_1=Chart_1(:,6);H0_1=Chart_1(:,7);Q1_cd=sum(r1_c.2);Q1_hiv=sum(r1_h.

34、2);S1_cd= sum(CD1-mean(CD1).2);S1_hiv=sum(HIV1-mean(HIV1).2);U1_cd=S1_cd-Q1_cd;U1_hiv=S1_hiv-Q1_hiv;F1_cd=stats1_c(2);F1_hiv=stats1_h(2);代入數(shù)據(jù)得表3：表3：拋物線模型的F統(tǒng)計量III類（重度）II類（中度）I類（輕度）115.729499.78245.5447125.9950273.767646.60843.853.864.26從檢驗結果來看，1.2模型二：考慮CD4和HIV相互作用模型根據(jù)生物醫(yī)學理論，CD4和HIV在人體內環(huán)境條件下，與種群競爭模型相似

35、，由此對種群競爭模型進行合理簡化。1)利用微分方程建立回歸函數(shù)(3)其中表示CD4濃度在用藥后的自增長率，表示HIV對CD4的裂解作用, 表示HIV在藥物作用下的療效作用。手算解出此常微分方程 （4）其中、是待擬合的參數(shù)；2)非線性回歸確定系數(shù)在matlab中輸入（以III類為例）：global b3t1=Chart_CD1(:,2);X1=H01 t1;hiv1=Chart_CD1(:,5);beta0=1'b1_hiv = nlinfit(X1,hiv1,V_hiv,beta0)b3=b1_hiv;beta1=1 1'cd1=Chart_CD1(:,3);Y1=H01 C0

36、1 t1;b1_cd = nlinfit(Y1,cd1,V_cd,beta1) 得結果見表4：表4：相互作用模型的結果III類（重度）II類（中度）I類（輕度）0.02840.03340.04984.431426.270251.48130.02130.03070.04353）對回歸結果進行F檢驗在matlab中輸入 （以III類為例）：k1=b1_cd(1);k2=b1_cd(2);k3=b3;C_1=k2*H01.*exp(-k3*t1)/(k1+k3)+(C01-k2*H01/(k1+k3).*exp(k1*t1);S1=sum(cd1-mean(cd1).2);Q1=sum(cd1-C_1).2);U1=sum(C_1-mean(cd1).2);f1_s=size(t1,1)-1;f1_u=2;f1_q=f1_s-f1_u;F1=U1*f1_q/(Q1*f1_u);1.3模型三：考慮抗藥性的指數(shù)模型1）根據(jù)生物種群的增長模型，在不考慮有其他物種影響的情況下，建立如下模型 （5）其中、是常數(shù)，表示CD4的自增長速率，反映了藥效的好壞。考慮到生物個體具有抗藥性，設不是常數(shù)，而是一個關于t減少的函數(shù)。2）構