數(shù)學(xué)模型后習(xí)題集答案解析

1、 數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第二章(1)（2008年9月16日）1 學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.學(xué)生們要組織一個(gè)10人的委員會(huì)，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）. 按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者;（2）. §1中的Q值方法；（3）.dHondt方法：將A、B、C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,相除，其商數(shù)如下表： 1 2 3 4 5ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4將所得商數(shù)從大到小取前10個(gè)（10為席位數(shù)）

2、，在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A、B、C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個(gè)宿舍分配的席位.你能解釋這種方法的道理嗎？如果委員會(huì)從10個(gè)人增至15人，用以上3種方法再分配名額，將3種方法兩次分配的結(jié)果列表比較. 解：先考慮N=10的分配方案， 方法一（按比例分配） 分配結(jié)果為： 方法二（Q值方法）9個(gè)席位的分配結(jié)果（可用按比例分配）為：第10個(gè)席位：計(jì)算Q值為 最大，第10個(gè)席位應(yīng)給C.分配結(jié)果為 方法三（dHondt方法） 此方法的分配結(jié)果為：此方法的道理是：記和為各宿舍的人數(shù)和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人數(shù)，取從而得到的中選較大者，可使對(duì)所有的盡量接近. 再考慮

3、的分配方案，類似地可得名額分配結(jié)果.現(xiàn)將3種方法兩次分配的結(jié)果列表如下：宿舍（1） （2） （3）（1） （2） （3）ABC 3 2 2 3 3 3 4 5 54 4 35 5 56 6 7總計(jì) 10 10 1015 15 152 試用微積分方法，建立錄像帶記數(shù)器讀數(shù)n與轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的數(shù)學(xué)模型.解： 設(shè)錄像帶記數(shù)器讀數(shù)為n時(shí)，錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間為t.其模型的假設(shè)見(jiàn)課本.考慮到時(shí)間內(nèi)錄像帶纏繞在右輪盤上的長(zhǎng)度，可得兩邊積分，得 第二章(2)（2008年10月9日）15速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率與、S、的關(guān)系.解: 設(shè)、S、的關(guān)系為， 其量綱表達(dá)式為

4、:P=, =,=,=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得， ， 其中是無(wú)量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè), 的關(guān)系為,=0.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量綱定理

5、得 . ，其中是無(wú)量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè),， 的關(guān)系為.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運(yùn)動(dòng)中考慮阻力，并設(shè)

6、阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達(dá)式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計(jì)算原型擺的周期.解：設(shè)阻尼擺周期,擺長(zhǎng), 質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為其量綱表達(dá)式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量, , ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變，記模型和原型擺的周期、擺長(zhǎng)、質(zhì)量分別為,；,;,. 又 當(dāng)無(wú)量綱量時(shí)， 就有 .數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1節(jié)存貯模型的總費(fèi)用中增加購(gòu)買貨物本身的費(fèi)用,重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來(lái)的一樣，而在允

7、許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來(lái)結(jié)果減少解：設(shè)購(gòu)買單位重量貨物的費(fèi)用為,其它假設(shè)及符號(hào)約定同課本 對(duì)于不允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為： 令 ， 解得由 ，得與不考慮購(gòu)貨費(fèi)的結(jié)果比較，、的最優(yōu)結(jié)果沒(méi)有變 對(duì)于允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為： 令，得到駐點(diǎn)：與不考慮購(gòu)貨費(fèi)的結(jié)果比較，、的最優(yōu)結(jié)果減少2建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，開(kāi)始的一段時(shí)間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來(lái)的一段時(shí)間只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量的圖形.設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O

8、 貯存費(fèi)為 又 , 貯存費(fèi)變?yōu)?于是不允許缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費(fèi)用（單位時(shí)間內(nèi)）為 . , 得 易得函數(shù)取得最小值，即最優(yōu)周期為： . 相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況. . 此時(shí)產(chǎn)量與銷量相抵消，無(wú)法形成貯存量.第三章2（2008年10月16日）3在3.3節(jié)森林救火模型中，如果考慮消防隊(duì)員的滅火速度與開(kāi)始救火時(shí)的火勢(shì)有關(guān)，試假設(shè)一個(gè)合理的函數(shù)關(guān)系，重新求解模型.解：考慮滅火速度與火勢(shì)有關(guān)，可知火勢(shì)越大，滅火速度將減小，我們作如下假設(shè): ，分母而加的.總費(fèi)用函數(shù)最優(yōu)解為 5在考慮最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題時(shí)設(shè)銷售期為T，由于商品的損耗，成本隨時(shí)間增長(zhǎng)，設(shè)，.又設(shè)單位時(shí)間的銷售量為.今將銷售期分為兩段，每段的價(jià)格

9、固定，記作.求的最優(yōu)值，使銷售期內(nèi)的總利潤(rùn)最大.如果要求銷售期T內(nèi)的總售量為，再求的最優(yōu)值. 解：按分段價(jià)格，單位時(shí)間內(nèi)的銷售量為 又 .于是總利潤(rùn)為=, 得到最優(yōu)價(jià)格為:在銷售期T內(nèi)的總銷量為于是得到如下極值問(wèn)題： 利用拉格朗日乘數(shù)法，解得：即為的最優(yōu)值.第三章3（2008年10月21日）6. 某廠每天需要角鋼100噸，不允許缺貨.目前每30天定購(gòu)一次，每次定購(gòu)的費(fèi)用為2500元.每天每噸角鋼的貯存費(fèi)為0.18元.假設(shè)當(dāng)貯存量降到零時(shí)訂貨立即到達(dá).問(wèn)是否應(yīng)改變訂貨策略？改變后能節(jié)約多少費(fèi)用？解：已知：每天角鋼的需要量r=100(噸);每次訂貨費(fèi)2500（元）;每天每噸角鋼的貯存費(fèi)0.18（元

10、）.又現(xiàn)在的訂貨周期T30（天）根據(jù)不允許缺貨的貯存模型：得：令 ， 解得： 由實(shí)際意義知：當(dāng)（即訂貨周期為）時(shí)，總費(fèi)用將最小. 又300100k =35333100k（353.33100k）（300100k）5333.故應(yīng)改變訂貨策略.改變后的訂貨策略（周期）為T=，能節(jié)約費(fèi)用約5333元.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第四章（2008年10月28日）1. 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,一件甲產(chǎn)品用原料1千克, 原料5千克；一件乙產(chǎn)品用原料2千克, 原料4千克.現(xiàn)有原料20千克, 原料70千克.甲、乙產(chǎn)品每件售價(jià)分別為20元和30元.問(wèn)如何安排生產(chǎn)使收入最大？解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件，相應(yīng)的利潤(rùn)為S

11、則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為： max S=20x+30y s.t. 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問(wèn)題，現(xiàn)用圖解法進(jìn)行求解可行域?yàn)椋河芍本€：x+2y=20, :5x+4y70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：20x+30y=c在可行域內(nèi) 平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí)， xS取最大值. 由 解得 此時(shí) 20350（元）2. 某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤(rùn)如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤(rùn)（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運(yùn)所受限制是體積不超過(guò)24立方米，重量不超過(guò)13百斤.試問(wèn)這兩種貨物各托運(yùn)多少箱，使得所獲利潤(rùn)最大，并求出最大利

12、潤(rùn).解:設(shè)甲貨物、乙貨物的托運(yùn)箱數(shù)分別為,所獲利潤(rùn)為則問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表示為 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問(wèn)題. 用圖解法求解. 可行域?yàn)椋河芍本€ 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí)，取最大值由 解得 . 3某微波爐生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃在下季度生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的微波爐.已知每臺(tái)甲型、乙型微波爐的銷售利潤(rùn)分別為3和2個(gè)單位.而生產(chǎn)一臺(tái)甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個(gè)單位,所需工時(shí)分別為4和2個(gè)單位.若允許使用原料為100個(gè)單位,工時(shí)為120個(gè)單位,且甲型、乙型微波爐產(chǎn)量分別不低于6臺(tái)和12臺(tái).試建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型,確定生產(chǎn)甲型、乙型微波爐的臺(tái)數(shù),使獲利潤(rùn)最大并求出最大利潤(rùn).解：設(shè)

13、安排生產(chǎn)甲型微波爐件,乙型微波爐件,相應(yīng)的利潤(rùn)為S.則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為： max S=3x +2y s.t. 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問(wèn)題 用圖解法進(jìn)行求解可行域?yàn)椋河芍本€：2x+3y=100, :4x+2y120 及x=6,y=12組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：3x+2y=c在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí), S取最大值. 由 解得 . 3100.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第五章1（2008年11月12日）1.對(duì)于5.1節(jié)傳染病的模型，證明： （1）若，然后減少并趨于零；單調(diào)減少至 （2）解：傳染病的模型（14）可寫成 （1） （2） 4在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效

14、系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問(wèn)乙方取勝時(shí)的剩余兵力是多少,乙方取勝的時(shí)間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開(kāi)始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時(shí)刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時(shí)的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開(kāi)始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為第五章2（2008年11月14日）中心室, 排除6. 模仿5.4節(jié)建立的二室模型來(lái)建立一室模型（只有中心室），在快

15、速靜脈注射、恒速靜脈滴注（持續(xù)時(shí)間為）和口服或肌肉注射3種給藥方式下求解血藥濃度，并畫出血藥濃度曲線的圖形. 解: 設(shè)給藥速率為 (1)快速靜脈注射: 設(shè)給藥量為 則(2)恒速靜脈滴注(持續(xù)時(shí)間為): 設(shè)滴注速率為解得 (3) 口服或肌肉注射: 3種情況下的血藥濃度曲線如下：(1)(2)(3)Ot 第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5節(jié)香煙過(guò)濾嘴模型中, (1) 設(shè)求 (2) 若有一支不帶過(guò)濾嘴的香煙,參數(shù)同上,比較全部吸完和只吸到處的情況下，進(jìn)入人體毒物量的區(qū)別.解， (2) 對(duì)于一支不帶過(guò)濾嘴的香煙,全部吸完的毒物量為只吸到處就扔掉的情況下的毒物量為4在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型（3

16、）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問(wèn)乙方取勝時(shí)的剩余兵力是多少,乙方取勝的時(shí)間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開(kāi)始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時(shí)刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時(shí)的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開(kāi)始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1節(jié)捕魚模型中，如果漁場(chǎng)魚量的

17、自然增長(zhǎng)仍服從Logistic規(guī)律，而單位時(shí)間捕撈量為常數(shù)h(1)分別就，這3種情況討論漁場(chǎng)魚量方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定狀況(2)如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，其結(jié)果與6.1節(jié)的產(chǎn)量模型有何不同解：設(shè)時(shí)刻t的漁場(chǎng)中魚的數(shù)量為，則由題設(shè)條件知：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為記(1).討論漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性：由，得 即 ，(1)的解為：當(dāng)，(1)無(wú)實(shí)根，此時(shí)無(wú)平衡點(diǎn)；當(dāng)，(1)有兩個(gè)相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為.， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定；當(dāng)，時(shí)，得到兩個(gè)平衡點(diǎn)：， 易知： ， ， ，平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，平衡點(diǎn)穩(wěn)定x(2)最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為即 ， 易得 此時(shí) ，但這個(gè)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定這是與6.1節(jié)的產(chǎn)量

18、模型不同之處要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場(chǎng)魚量，且盡量接近，但不能等于2.與Logistic模型不同的另一種描述種群增長(zhǎng)規(guī)律的是Gompertz模型：其中r和N的意義與Logistic模型相同設(shè)漁場(chǎng)魚量的自然增長(zhǎng)服從這個(gè)模型，且單位時(shí)間捕撈量為討論漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度和漁場(chǎng)魚量水平解：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記 令，得 ，平衡點(diǎn)為 . 又， 平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)不穩(wěn)定. 0 最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為：由前面的結(jié)果可得 ，令得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度從而得到最大持續(xù)產(chǎn)量，此時(shí)漁場(chǎng)魚量水平3設(shè)某漁場(chǎng)魚量(時(shí)刻漁場(chǎng)中魚的數(shù)量)的自然增長(zhǎng)規(guī)律為：其中為固有增長(zhǎng)率

19、,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時(shí)間捕撈量為常數(shù).1求漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn),并討論其穩(wěn)定性;2試確定捕撈強(qiáng)度,使?jié)O場(chǎng)單位時(shí)間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,求此時(shí)漁場(chǎng)魚量水平.解：1變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當(dāng)時(shí)，（1）無(wú)實(shí)根，此時(shí)無(wú)平衡點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，（1）有兩個(gè)相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； 當(dāng)時(shí)，得到兩個(gè)平衡點(diǎn)： ， 易知 ， ， 平衡點(diǎn)不穩(wěn)定 ，平衡點(diǎn)穩(wěn)定. 2最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為： 即 ， 易得 此時(shí) ，但這個(gè)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場(chǎng)魚量,且盡量接近,但不能等于. 數(shù)學(xué)模型第七章作業(yè)（2008年12月

20、4日）1 對(duì)于7.1節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問(wèn)題：（1）因?yàn)橐粋€(gè)時(shí)段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會(huì)影響到下一時(shí)段的價(jià)格，所以第時(shí)段的價(jià)格由第和第時(shí)段的數(shù)量和決定，如果仍設(shè)仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比較.2已知某商品在時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.3 已知某商品在時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第七章（200

21、8年12月4日）2 對(duì)于7.1節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問(wèn)題：（1）因?yàn)橐粋€(gè)時(shí)段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會(huì)影響到下一時(shí)段的價(jià)格，所以第時(shí)段的價(jià)格由第和第時(shí)段的數(shù)量和決定，如果仍設(shè)仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比較.（2）若除了由和決定之外，也由前兩個(gè)時(shí)段的價(jià)格和確定.試分析穩(wěn)定平衡的條件是否還會(huì)放寬.解：（1）由題設(shè)條件可得需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)分別為： 在點(diǎn)附近用直線來(lái)近似曲線，得到 由（2）得 （1）代入（3）得 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 特征根為當(dāng)時(shí)，則有特征根在單位圓外，設(shè)，則 即平衡穩(wěn)定的條件為與的結(jié)果一致.（2）此時(shí)需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)在處附近的直線近似表達(dá)式分別

22、為： 由（5）得， 將（4）代入（6），得 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為代數(shù)方程（7）無(wú)正實(shí)根，且不是（7）的根.設(shè)（7）的三個(gè)非零根分別為，則對(duì)（7）作變換： 則 其中 用卡丹公式：其中求出，從而得到，于是得到所有特征根的條件.2已知某商品在時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點(diǎn)，在點(diǎn)附近可以用直線來(lái)近似表示曲線和： -（1） -（2）從上述兩式中消去可得 ， -（3）上述（3）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)

23、線性非齊次差分方程.為了尋求點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（3）對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（4）當(dāng)8時(shí)，顯然有 -（5）從而 2，在單位圓外下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 故點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為 3 已知某商品在時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點(diǎn)，在點(diǎn)附近可以用直線來(lái)近似表示曲線和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述

24、（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（4）當(dāng)8時(shí)，顯然有 -（5）從而 2，在單位圓外下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 故點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為 數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第八章（2008年12月9日）1 證明8.1節(jié)層次分析模型中定義的階一致陣有下列性質(zhì)：（1） 的秩為1，唯一非零特征根為；（2） 的任一列向量都是對(duì)應(yīng)于的特征向量. 證明： （1）由一致陣的定義知：滿足，于是對(duì)于任意兩列，有，.即列與列對(duì)應(yīng)分量成比例.從而對(duì)作初等行變換可得： B這里.，

25、從而秩再根據(jù)初等行變換與初等矩陣的關(guān)系知：存在一個(gè)可逆陣，使，于是C易知C的特征根為（只有一個(gè)非零特征根）.又，與C有相同的特征根，從而A的非零特征根為，又對(duì)于任意矩陣有.故A的唯一非零特征根為.（2）對(duì)于A的任一列向量，有 的任一列向量都是對(duì)應(yīng)于的特征向量.7. 右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結(jié)果，作為競(jìng)賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當(dāng)方法排出5位選手的名次.21345解：這個(gè)5階競(jìng)賽圖是一個(gè)5階有向Hamilton圖.其一個(gè)有向Hamilton圈為3.所以此競(jìng)賽圖是雙向連通的. 等都是完全路徑. 此競(jìng)賽圖的鄰接矩陣為 令，各級(jí)得分向量為， ， ， 由此得名次為5，1（4），2

26、，3 （選手1和4名次相同）. 注：給5位網(wǎng)球選手排名次也可由計(jì)算A的最大特征根和對(duì)應(yīng)特征向量得到：，數(shù)學(xué)模型作業(yè)（12月16日）解答1.基于省時(shí)、收入、岸間商業(yè)、當(dāng)?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項(xiàng)因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設(shè)渡輪這三個(gè)方案中選一個(gè)，畫出目標(biāo)為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益”的層次結(jié)構(gòu)圖.越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益解：目標(biāo)層 建筑就 業(yè)岸間商 業(yè)當(dāng)?shù)厣虡I(yè)收入省時(shí) 準(zhǔn)則層修隧道建橋梁設(shè)渡輪 方案層 2.簡(jiǎn)述層次分析法的基本步驟. 問(wèn)對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問(wèn)題要分成哪3個(gè)層次？具體內(nèi)容分別是什么？答：層次分析法的基本步驟為：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造成對(duì)比較陣；

27、（3）計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)；（4）計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn) 對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問(wèn)題，用層次分析法一般可分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個(gè)層次. 目標(biāo)層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位1、工作崗位2、工作崗位3等，準(zhǔn)則層一般為貢獻(xiàn)、收入、發(fā)展、聲譽(yù)、關(guān)系、位置等.3用層次分析法時(shí)，一般可將決策問(wèn)題分解成哪3個(gè)層次？試給出一致性指標(biāo)的定義以及n階正負(fù)反陣A為一致陣的充要條件. 答：用層次分析法時(shí)，一般可將決策問(wèn)題分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個(gè)層次； 一致性指標(biāo)的定義為：n階正互反陣A是一致陣的充要條件為：A的最大特征根=n 第九章（2008年12月18日）1

28、在節(jié)傳送帶效率模型中,設(shè)工人數(shù)固定不變.若想提高傳送帶效率D,一種簡(jiǎn)單的方法是增加一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)工作臺(tái)的鉤子數(shù)，比如增加一倍，其它條件不變另一種方法是在原來(lái)放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子，其它條件不變，于是每個(gè)工人在任何時(shí)刻可以同時(shí)觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的，他就可以掛上產(chǎn)品，這種辦法用的鉤子數(shù)量與第一種辦法一樣試推導(dǎo)這種情況下傳送帶效率的公式，從數(shù)量關(guān)系上說(shuō)明這種辦法比第一種辦法好解：兩種情況的鉤子數(shù)均為第一種辦法是個(gè)位置，單鉤放置個(gè)鉤子；第二種辦法是個(gè)位置，成對(duì)放置個(gè)鉤子 由節(jié)的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為當(dāng)較小，時(shí)，有， 下面推導(dǎo)第二種辦法的傳送帶效率公式：對(duì)于個(gè)位置，每

29、個(gè)位置放置的兩只鉤子稱為一個(gè)鉤對(duì)，考慮一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的個(gè)鉤對(duì)任一只鉤對(duì)被一名工人接觸到的概率是； 任一只鉤對(duì)不被一名工人接觸到的概率是；記由工人生產(chǎn)的獨(dú)立性及事件的互不相容性得，任一鉤對(duì)為空的概率為，其空鉤的數(shù)為；任一鉤對(duì)上只掛上件產(chǎn)品的概率為，其空鉤數(shù)為所以一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的個(gè)鉤子中，空鉤的平均數(shù)為 于是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ，未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ）此時(shí)傳送帶效率公式為 近似效率公式：由于 當(dāng)時(shí)，并令，則 兩種辦法的比較：由上知：，當(dāng)時(shí)， 所以第二種辦法比第一種辦法好數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答 第九章（2008年12月23日）一報(bào)童每天從郵局訂購(gòu)一種報(bào)紙，沿街叫賣.已知每100份報(bào)紙報(bào)童全部賣出可獲利7

30、元.如果當(dāng)天賣不掉，第二天削價(jià)可以全部賣出，但報(bào)童每100份報(bào)紙要賠4元.報(bào)童每天售出的報(bào)紙數(shù)是一隨機(jī)變量，其概率分布如下表：售出報(bào)紙數(shù)（百份）012345概率0050.10.250.350.150.1試問(wèn)報(bào)童每天訂購(gòu)多少份報(bào)紙最佳(訂購(gòu)量必須是100的倍數(shù))？解：設(shè)每天訂購(gòu)百份紙，則收益函數(shù)為 收益的期望值為G(n) = + 現(xiàn)分別求出 =時(shí)的收益期望值. G(0)=0；G(1)=×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;G(2)= ();G(3)=() G(4)=() G(5)= 當(dāng)報(bào)童每天訂300份時(shí)，收益的期望值最大.

31、 數(shù)模復(fù)習(xí)資料第一章1. 原型與模型原型就是實(shí)際對(duì)象.模型就是原型的替代物.所謂模型, 按北京師范大學(xué)劉來(lái)福教授的觀點(diǎn)：模型就是人們?yōu)橐欢ǖ哪康膶?duì)原型進(jìn)行的一個(gè)抽象.如航空模型、城市交通模型等.模型2. 數(shù)學(xué)模型對(duì)某一實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法,通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)等對(duì)這一實(shí)際問(wèn)題近似刻劃所得的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),稱為此實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)數(shù)學(xué)模型. 例如力學(xué)中著名的牛頓第二定律使用公式來(lái)描述受力物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就是一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型.或又如描述人口隨時(shí)間自由增長(zhǎng)過(guò)程的微分方程.3. 數(shù)學(xué)建模所謂數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)需要針對(duì)實(shí)際問(wèn)題組建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程.更具體地說(shuō),數(shù)學(xué)建模是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定系統(tǒng)或特定問(wèn)題,為

32、了一個(gè)特定的目的,運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法,通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化,建立一個(gè)近似描述這個(gè)系統(tǒng)或問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(數(shù)學(xué)模型),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具以及計(jì)算機(jī)技術(shù)來(lái)解模型,最后將其結(jié)果接受實(shí)際的檢驗(yàn),并反復(fù)修改和完善.數(shù)學(xué)建模過(guò)程流程圖為：實(shí)際問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)確定變量、參數(shù)歸結(jié)數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)地、數(shù)值地 求解模型估計(jì)參數(shù)否 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?用實(shí)例或有關(guān)知識(shí))符合否？是評(píng)價(jià)、推廣并交付使用產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益4.數(shù)學(xué)建模的步驟依次為：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用5.數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類,常見(jiàn)的有：a.按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類 數(shù)學(xué)模型 b.按建模的數(shù)學(xué)方法分類

33、數(shù)學(xué)模型 c.按建模目的來(lái)分類 數(shù)學(xué)模型 d.層次分析法的基本步驟：1.建立層次結(jié)構(gòu)模型2.構(gòu)造成對(duì)比較陣3.計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)4.計(jì)算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗(yàn)e.n階正互反正A是一致陣的充要條件為A的最大特征值為nf.正互反陣最大特征根和特征向量的實(shí)用算法：冪法、和法、根法4在“椅子擺放問(wèn)題”的假設(shè)條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長(zhǎng)方形，其余條件不變.試構(gòu)造模型并求解.解：設(shè)椅子四腳連線呈長(zhǎng)方形ABCD. AB與CD的對(duì)稱軸為軸，用中心點(diǎn)的轉(zhuǎn)角表示椅子的位置.將相鄰兩腳A、B與地面距離之和記為;C、D與地面距離之和記為.并旋轉(zhuǎn).于是，設(shè)就得到.數(shù)學(xué)模型：設(shè)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).若,

34、有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個(gè)連續(xù)函數(shù). 從而是上的連續(xù)函數(shù).由連續(xù)函數(shù)的介值定理：,使.即,使.又因?yàn)?有.故.9 （1）某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達(dá)山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：00回到旅店.某乙說(shuō)，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn).為什么？（2）37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每?jī)芍蜿?duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束.問(wèn)共需進(jìn)行多少場(chǎng)比賽，共需進(jìn)行多少輪比賽.如果是支球隊(duì)比賽呢？解：（1）方法一：以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標(biāo)， 第一天的行程可

35、用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點(diǎn),兩天都在時(shí)刻經(jīng)過(guò)地點(diǎn). x d 方法二：設(shè)想有兩個(gè)人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時(shí)出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點(diǎn)記路程,設(shè)從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時(shí)刻走的路程為),同樣設(shè)從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設(shè)山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(>0).由題意知：,.令,則有，由于,都是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即.（2）36場(chǎng)比賽，因?yàn)槌谲婈?duì)外，每隊(duì)都負(fù)一場(chǎng)；6輪比賽，因?yàn)?隊(duì)賽1輪，4隊(duì)賽2輪，32隊(duì)賽5輪. 隊(duì)

36、需賽場(chǎng)，若，則需賽輪.2已知某商品在時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點(diǎn)，在點(diǎn)附近可以用直線來(lái)近似表示曲線和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（5）當(dāng)8時(shí)，顯然有 -（6）從而 2，在單位圓外下面設(shè)，由(5

37、)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 故點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為 3設(shè)某漁場(chǎng)魚量(時(shí)刻漁場(chǎng)中魚的數(shù)量)的自然增長(zhǎng)規(guī)律為：其中為固有增長(zhǎng)率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時(shí)間捕撈量為常數(shù).（1）求漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn),并討論其穩(wěn)定性;（2）試確定捕撈強(qiáng)度,使?jié)O場(chǎng)單位時(shí)間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,并求此時(shí)漁場(chǎng)魚量水平.解：（1）.變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當(dāng)時(shí)，（1）無(wú)實(shí)根，此時(shí)無(wú)平衡點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，（1）有兩個(gè)相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； 當(dāng)時(shí)，得到兩個(gè)平衡點(diǎn)： ， 易知 ， ， 平衡點(diǎn)不穩(wěn)定 ，平衡點(diǎn)穩(wěn)定. （2）最大持

38、續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為： 即 ， 易得 此時(shí) ，但這個(gè)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場(chǎng)魚量,且盡量接近,但不能等于.5某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每件產(chǎn)品需要原材料、能源消耗、勞動(dòng)力及所獲利潤(rùn)如下表所示：品種原材料能源消耗(百元)勞動(dòng)力(人)利潤(rùn)(千元)甲2144乙3625現(xiàn)有庫(kù)存原材料1400千克；能源消耗總額不超過(guò)2400百元；全廠勞動(dòng)力滿員為2000人.試安排生產(chǎn)任務(wù)(生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品各多少件),使利潤(rùn)最大,并求出最大利潤(rùn).解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件，相應(yīng)的利潤(rùn)為S.則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為 模型的求解： 用圖解法.可行域?yàn)椋河芍本€組成的凸五邊形區(qū)域. 直線在此凸五邊形區(qū)域內(nèi)平行

39、移動(dòng). 易知：當(dāng)過(guò)的交點(diǎn)時(shí)，S取最大值. 由 解得：（千元）. 故安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品400件、乙產(chǎn)品200件,可使利潤(rùn)最大,其最大利潤(rùn)為2600千元.6. 某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤(rùn)如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤(rùn)（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運(yùn)所受限制是體積不超過(guò)24立方米，重量不超過(guò)13百斤.試問(wèn)這兩種貨物各托運(yùn)多少箱，使得所獲利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).解:設(shè)甲貨物、乙貨物的托運(yùn)箱數(shù)分別為,所獲利潤(rùn)為則問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表示為 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問(wèn)題. 用圖解法求解. 可行域?yàn)椋河芍本€ 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng)

40、. 易知：當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí)，取最大值由 解得 . 7.深水中的波速與波長(zhǎng)、水深、水的密度和重力加速度有關(guān)，試用量綱分析方法給出波速的表達(dá)式.解：設(shè),， 的關(guān)系為=0.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=LM0T0，=LM0T0，=L-3MT0， =LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱. -4分量綱矩陣為 A= 齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為= = 由量綱定理 得 , , ，其中是未定函數(shù) . 第二章(2)（2008年10月9日15速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率與、S、的關(guān)系.解: 設(shè)、S、的關(guān)系為， 其量綱表達(dá)式為:P=, =,=,=,這

41、里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得， ， 其中是無(wú)量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè), 的關(guān)系為,=0.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ，其中是無(wú)量綱常

42、數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè),， 的關(guān)系為.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運(yùn)動(dòng)中考慮阻力，并設(shè)阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達(dá)式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計(jì)算原型擺的周期.解：設(shè)阻尼擺周期,擺長(zhǎng), 質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為其量綱表達(dá)式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量, , ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變