第2章流變學(xué)基本概念

1、第第2章章 流變學(xué)的基本概念流變學(xué)的基本概念1. 應(yīng)變應(yīng)變 (Strain)1.1 各向同性的壓縮和膨脹各向同性的壓縮和膨脹 以一個(gè)立方柱體為例：以一個(gè)立方柱體為例： 起始各邊長(zhǎng)為起始各邊長(zhǎng)為a，b，c；膨脹后各邊長(zhǎng)分膨脹后各邊長(zhǎng)分別為別為a，b，c (如圖如圖2-1)。xyz圖圖 2-1 各向同性膨脹各向同性膨脹 a=a =a/a b=b =b/b c=c =c/c 1, 試樣膨脹；試樣膨脹；1，試樣被壓縮；試樣被壓縮； 稱為稱為伸縮比伸縮比； 3則可表示體積的變化。則可表示體積的變化。 在變形很小的情況下，在變形很小的情況下， 接近接近1。 =1+ = -1=(a-a)/a=(b-b)/b

2、=(c-c)/c 1 是邊長(zhǎng)變化量與原始長(zhǎng)度之比。是邊長(zhǎng)變化量與原始長(zhǎng)度之比。 0，試樣膨，試樣膨脹；脹； 0，試樣被壓縮。，試樣被壓縮。 體積的變化分?jǐn)?shù)體積的變化分?jǐn)?shù)( V/V)，V是原始體積，是原始體積， V是體積的變化量。是體積的變化量。 V/V = 3-1=(1+ )3-1=3 +3 2+ 3由于由于 1，故：，故： V/V 3 即體積的分?jǐn)?shù)改變即體積的分?jǐn)?shù)改變( V/V )是邊長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)變化是邊長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)變化( )的三倍。的三倍。 各向同性膨脹是均勻的變形，物體內(nèi)任何體積各向同性膨脹是均勻的變形，物體內(nèi)任何體積單元都變化單元都變化 3倍。倍。1.2 拉伸和單向壓縮拉伸和單向壓縮 在拉伸中

3、，試樣在拉伸方向的長(zhǎng)度增加而在另在拉伸中，試樣在拉伸方向的長(zhǎng)度增加而在另外兩個(gè)方向上的長(zhǎng)度縮短。外兩個(gè)方向上的長(zhǎng)度縮短。 以一個(gè)矩形的試樣為例：以一個(gè)矩形的試樣為例：矩形邊長(zhǎng)分別為矩形邊長(zhǎng)分別為l,b,c(l,b,c(如圖如圖2-2) )圖圖 2-2 試樣拉伸試樣拉伸拉伸后拉伸后, 邊長(zhǎng)分別變?yōu)檫呴L(zhǎng)分別變?yōu)閘, b, c: l=l b=b c=c 稱為稱為伸長(zhǎng)比伸長(zhǎng)比。體積變化分?jǐn)?shù)為：。體積變化分?jǐn)?shù)為： V/V= 2-1 如形變較小，則有：如形變較小，則有： =1+ 1 =1- 1 =(l-l)/l; =(b-b)/b=(c-c)/c 為長(zhǎng)度的分?jǐn)?shù)增量，為長(zhǎng)度的分?jǐn)?shù)增量， 為側(cè)邊長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)減量。

4、為側(cè)邊長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)減量。體積變化分?jǐn)?shù)：體積變化分?jǐn)?shù)： V/V=(1+ )(1- )2-1由于由于 1， 1， 0， 0壓縮時(shí)，壓縮時(shí)， 1， 0， 0 這種變形是均勻的。即試樣內(nèi)任一體積單元這種變形是均勻的。即試樣內(nèi)任一體積單元都經(jīng)歷完全相同的變形。都經(jīng)歷完全相同的變形。圖圖 2-3 簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)1.3 簡(jiǎn)單剪切和簡(jiǎn)單剪切流動(dòng)簡(jiǎn)單剪切和簡(jiǎn)單剪切流動(dòng)在簡(jiǎn)單剪切中，試樣的變形如圖在簡(jiǎn)單剪切中，試樣的變形如圖2-3所示。所示。/ddt =w/l=tan 稱為剪切應(yīng)變。如應(yīng)變很小，可近似認(rèn)為稱為剪切應(yīng)變。如應(yīng)變很小，可近似認(rèn)為 = 對(duì)液體而言：對(duì)液體而言：2. 應(yīng)力應(yīng)力(Stress) 受力物

5、體截面上內(nèi)力的集度，即單位面積受力物體截面上內(nèi)力的集度，即單位面積上的內(nèi)力。上的內(nèi)力。 t=df/ds由于力是均勻的，應(yīng)力可表示為由于力是均勻的，應(yīng)力可表示為t=f/s。 應(yīng)力的分量可完全描述應(yīng)力的方向、大應(yīng)力的分量可完全描述應(yīng)力的方向、大小和作用面。小和作用面。 應(yīng)力的分量用兩個(gè)下標(biāo)表示。第一個(gè)下應(yīng)力的分量用兩個(gè)下標(biāo)表示。第一個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的作用面，第二個(gè)下標(biāo)則表示應(yīng)標(biāo)表示應(yīng)力的作用面，第二個(gè)下標(biāo)則表示應(yīng)力的方向力的方向( (如圖如圖2-4) )。3. 應(yīng)力的分量表示法和應(yīng)力張量應(yīng)力的分量表示法和應(yīng)力張量 表征應(yīng)力不但要有大小而且還要有方向。表征應(yīng)力不但要有大小而且還要有方向。還有什么呢？還

6、有什么呢？圖圖 2-4 應(yīng)力張量的分量應(yīng)力張量的分量 從圖中可以看出應(yīng)力張量有九個(gè)分量，二個(gè)從圖中可以看出應(yīng)力張量有九個(gè)分量，二個(gè)下標(biāo)字母相同的稱為法向分量；兩個(gè)下標(biāo)字母不下標(biāo)字母相同的稱為法向分量；兩個(gè)下標(biāo)字母不同的分量稱為切向分量。同的分量稱為切向分量。在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中： xxxyxzyxyyyzzxzyzztttttttttt在其它坐標(biāo)系中：在其它坐標(biāo)系中：rrrrzrzzrzzzttttttttttrrrrrrtttttttttt在柱面坐標(biāo)中在柱面坐標(biāo)中應(yīng)力張量用矩陣表示為應(yīng)力張量用矩陣表示為在球面坐標(biāo)中在球面坐標(biāo)中應(yīng)力張量用矩陣表示為應(yīng)力張量用矩陣表示為九個(gè)應(yīng)力分量中有

7、三對(duì)是相等的。九個(gè)應(yīng)力分量中有三對(duì)是相等的。 txy=tyx txz=tzx tyz=tzy應(yīng)力張量中只有六個(gè)是獨(dú)立的。應(yīng)力張量中只有六個(gè)是獨(dú)立的。以簡(jiǎn)單剪切證明：以簡(jiǎn)單剪切證明：txy=tyx圖圖 2-5 簡(jiǎn)單剪切中的應(yīng)力簡(jiǎn)單剪切中的應(yīng)力應(yīng)力分量為應(yīng)力分量為: tyx=f/A 設(shè)物體內(nèi)一個(gè)無(wú)限小的體積單元，邊長(zhǎng)設(shè)物體內(nèi)一個(gè)無(wú)限小的體積單元，邊長(zhǎng)dx，dy，dz(如圖如圖2-6)。作用在頂面上的力為。作用在頂面上的力為tyxdxdz，作用在底面上的力則作用在底面上的力則為為- tyxdxdz。圖圖 2-6 簡(jiǎn)單剪切中力的平衡簡(jiǎn)單剪切中力的平衡這兩個(gè)力產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较虻牧剡@兩個(gè)力產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较虻?/p>

8、力矩tyxdxdydz。 這時(shí)在右面這時(shí)在右面x面上有一個(gè)向上面上有一個(gè)向上(y軸方向軸方向)的力的力txydydz作用著，左面則有一個(gè)向下的力作用著，左面則有一個(gè)向下的力-txydydz作用作用(如圖如圖2-7)。在。在y軸方向上它們是平衡的，但軸方向上它們是平衡的，但它們產(chǎn)生一個(gè)反時(shí)針?lè)较虻牧厮鼈儺a(chǎn)生一個(gè)反時(shí)針?lè)较虻牧豻xydxdydz。這這時(shí)順時(shí)針?lè)较虻目偭貢r(shí)順時(shí)針?lè)较虻目偭豥L為：為： dL=tyxdxdydz-txydxdydz 圖圖 2-7 剪切互等剪切互等 要使該體積單元平衡，總力矩要使該體積單元平衡，總力矩dL必須為必須為0,0,即即: tyx=txy。同理可以證明。同

9、理可以證明:tyz=tzy, txz=tzx, , 在簡(jiǎn)單剪切中，應(yīng)力張量為在簡(jiǎn)單剪切中，應(yīng)力張量為4. 簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)力張量簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)力張量 4.1 拉伸實(shí)驗(yàn)拉伸實(shí)驗(yàn)xyxyyxyx0t00t0t = t00t = t00000000 txx=f/A 且且 tx=txx, txy, txz=f/A, 0, 0 ty=tyx, tyy, tyz=0, 0, 0 tz=tzx, tzy, tzz=0, 0, 0其應(yīng)力張量：其應(yīng)力張量：xxt00000000t 4.2 各向同性的壓縮各向同性的壓縮 如果應(yīng)力矢量無(wú)論在任何方向上總是與分隔面如果應(yīng)力矢量無(wú)論在任何方向上總是與分隔面垂直垂直，且在某

10、給定點(diǎn)上的大小與分隔面的方向無(wú)且在某給定點(diǎn)上的大小與分隔面的方向無(wú)關(guān)，則說(shuō)明它是各向同性的。關(guān)，則說(shuō)明它是各向同性的。 設(shè)設(shè)n是與分隔面垂直而且方向是向外的一個(gè)單是與分隔面垂直而且方向是向外的一個(gè)單位矢量，這種各向同性的應(yīng)力可表示為位矢量，這種各向同性的應(yīng)力可表示為: tn=-np式中：式中：p為壓力。各向同性的應(yīng)力有時(shí)也叫為壓力。各向同性的應(yīng)力有時(shí)也叫 靜壓靜壓 力。力。 討論一個(gè)無(wú)限小的體積單元在討論一個(gè)無(wú)限小的體積單元在x軸上的力。作軸上的力。作用在右側(cè)面上的力用在右側(cè)面上的力 fxr為為: fxr=-nrP A 式中，式中，nr為單位矢量，方向與右側(cè)面垂直。作用為單位矢量，方向與右側(cè)面

11、垂直。作用在左側(cè)面的力在左側(cè)面的力 fxl為：為： fxl=-nlP A由于由于nl=-nr，所以，所以x軸上的合力：軸上的合力： fxr+ fxl=0圖圖 2-8 各向同性壓縮時(shí)力的平衡各向同性壓縮時(shí)力的平衡 同樣可以證明同樣可以證明y軸和軸和z軸方向也是如此。軸方向也是如此。 在各向同性壓縮實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)力在任何方向都在各向同性壓縮實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)力在任何方向都與作用面垂直而且大小相同，在笛卡爾坐標(biāo)中：與作用面垂直而且大小相同，在笛卡爾坐標(biāo)中： txx=tyy=tzz=pxxxxyyyyzzzzt00p00t00p00t =0t00p0t =0t00p000t00p00t00p應(yīng)力張量為應(yīng)力張量為:

12、圖圖 2-9 接觸力接觸力5. 接觸力接觸力( (內(nèi)力內(nèi)力) ) 接觸力是物體內(nèi)的一部分通過(guò)假想的分隔面接觸力是物體內(nèi)的一部分通過(guò)假想的分隔面作用在相鄰部分上的力。作用在相鄰部分上的力。 設(shè)在物體內(nèi)部有一點(diǎn)設(shè)在物體內(nèi)部有一點(diǎn)Q，分析分析Q點(diǎn)的受力情點(diǎn)的受力情況況(如圖如圖2-9)。 單位面積單位面積 dA上所受到的力為：上所受到的力為： txx=f/A 上述分隔面采用直角坐標(biāo)系的平面，如分隔面上述分隔面采用直角坐標(biāo)系的平面，如分隔面與與z軸平行但與軸平行但與y軸成軸成 角角( ( 不等于不等于900)()(如圖如圖2-10) )。圖圖 2-10 任意分隔面時(shí)的接觸角任意分隔面時(shí)的接觸角圖圖 2

13、-11 應(yīng)力矢量的分解應(yīng)力矢量的分解應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量t 不等于不等于tx, t 分解為兩個(gè)分量：與作分解為兩個(gè)分量：與作用面垂直用面垂直(tn)；與作用面平行；與作用面平行(ts) (如圖如圖2-11) t =txcos =(f/Acos ), 0, 0 tn=t cos ts=t sin t =txxcos tn=txxcos2 ts=txxcos sin 當(dāng)當(dāng) =0時(shí)，時(shí)，tn有最大值有最大值txx，而，而ts有最小值有最小值(0);當(dāng)當(dāng) =450時(shí)，時(shí)，ts有最大值有最大值(txx/2)。圖圖 2-12 應(yīng)變應(yīng)變6. 應(yīng)變張量應(yīng)變張量 物體的變形可以用位移矢量物體的變形可以用位移矢量u來(lái)

14、描述。在來(lái)描述。在笛笛卡爾坐標(biāo)卡爾坐標(biāo)中，設(shè)有點(diǎn)中，設(shè)有點(diǎn)P1， 變形前變形前 坐標(biāo)位置為坐標(biāo)位置為(x，y，z)； 變形后變形后 坐標(biāo)變?yōu)樽鴺?biāo)變?yōu)?x+Ux,，y+Uy，z+Uz)變形前點(diǎn)變形前點(diǎn)P1和和P2的相對(duì)位移用矢量表示：的相對(duì)位移用矢量表示： P1P2=dx, dy, dz變形后點(diǎn)變形后點(diǎn)P1和和P2的相對(duì)位移用矢量表示：的相對(duì)位移用矢量表示： P1P2=dx+dUx, dy+dUy, dz+dUz與與P1很接近的點(diǎn)很接近的點(diǎn)P2變形前變形前 坐標(biāo)為坐標(biāo)為(x+dx, y+dy, z+dz) 變形后變形后 坐標(biāo)為坐標(biāo)為(x+dx+Ux+dUx, y+dy+Uy+dUy, z+dz+

15、Uz+dUz)其位移分量為其位移分量為(Ux+dUx,Uy+dUy,Uz+dUz) 變形前后變形前后P1和和P2的相對(duì)位置發(fā)生變化，其變的相對(duì)位置發(fā)生變化，其變化量為化量為dUx，dUy，dUz分別為相對(duì)位移在三個(gè)軸分別為相對(duì)位移在三個(gè)軸上的分量。如果上的分量。如果dx, dy和和dz為無(wú)限小量：為無(wú)限小量： 這里有這里有Ux /x, Ux /y，等九個(gè)分量，可定等九個(gè)分量，可定義如下量：義如下量： 其中，其中，exx表示表示x方向的位移對(duì)方向的位移對(duì)x坐標(biāo)的變化坐標(biāo)的變化率率, ,eyx表示表示x方向的位移相對(duì)于方向的位移相對(duì)于y坐標(biāo)的變化率，稱坐標(biāo)的變化率，稱為切應(yīng)變分量。為切應(yīng)變分量。

16、對(duì)任意的應(yīng)變，可以用對(duì)任意的應(yīng)變，可以用exx, eyy, ezz, exy, eyz, exz六個(gè)應(yīng)變分量來(lái)描述。這樣的定義叫工程應(yīng)變。六個(gè)應(yīng)變分量來(lái)描述。這樣的定義叫工程應(yīng)變。 用張量來(lái)描述變形，張量表示法中的切應(yīng)變用張量來(lái)描述變形，張量表示法中的切應(yīng)變分量定義為工程應(yīng)變的分量定義為工程應(yīng)變的1/2。應(yīng)變的張量表示式：應(yīng)變的張量表示式：xxxyxzyxyyyzzxzyzze1/2e1/2e1/2ee1/2e1/2e1/2ee= =在笛卡爾坐標(biāo)中在笛卡爾坐標(biāo)中 (1) 對(duì)各向同性壓縮的試樣。對(duì)各向同性壓縮的試樣。 設(shè)物體內(nèi)有一點(diǎn)，坐標(biāo)為設(shè)物體內(nèi)有一點(diǎn)，坐標(biāo)為( (x，y，z) )，壓縮，壓縮后坐標(biāo)變?yōu)楹笞鴺?biāo)變?yōu)?x，y，z)，則，則: x=x(1+ ) y=y(1+ ) Z=z(1+ ) 由此可知：由此可知： exx =eyy=ezz= exy=eyz=exz=0(2) 對(duì)拉伸試樣對(duì)拉伸試樣 設(shè)物體內(nèi)有一點(diǎn)，拉伸前的坐標(biāo)為設(shè)物體內(nèi)有一點(diǎn)，拉伸前的坐標(biāo)為( (x，y，z) )，拉伸后的坐標(biāo)變?yōu)槔旌蟮淖鴺?biāo)變?yōu)? (x，y，z)，則，則: x=x(1+ ) y=y(1- )z=z(1- )因此：因此：exx= ； eyy=ezz=-