數(shù)學(xué)思想的滲透的范例教學(xué)微積分基本公式

1、微積分基本公式教學(xué)章節(jié)： 定積分 5.2 微積分基本公式教學(xué)目標(biāo)： 掌握微積分基本公式 .教學(xué)要求： （1）學(xué)會用變限積分的方法構(gòu)造所需函數(shù)；（ 3）能運用變限積分性質(zhì)解決問題；（3）深刻體會牛頓 - 萊布尼茲公式。教學(xué)重點：變限積分，牛頓 - 萊布尼茲公式 .教學(xué)過程：引言定積分bf (x) d x 的計算，當(dāng)目前為止我們只能由定義計算極限an在知 f ( x) 可積情況下按某一 方式劃分和 選取后計 算f ( i )xi ， 再 求極限 。 通常i 1nf ( i )xi 很難計算，即使在等分區(qū)間和選取邊界點情況下亦是如此。例i 1在直線運動的速度為 v(t) C a, b 運動的路程為

2、s(t) ，注意到 s (t)v(t) 亦即 s(t) 是 v(t)的一個原函數(shù)。由定積分的定義可知ba, b 時間段的位移，故v(t) dt 表示直線運動在a亦即 “該定積分等于被積函數(shù)的一個原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量”。這具有普遍性，從而許多定積分的計算就可以轉(zhuǎn)化為不定積分的計算，而避免了計算惱人的注：這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的研究方法：觀察- 猜想- 證明 - 應(yīng)用。一變限積分（一）變（上）限定積分一般地，若函數(shù)f (x) 在 a, b 上可積 ,則可定義a,b 上的一個函數(shù)稱它為變上限的定積分 ，或變上限函數(shù) 。可積函數(shù)用定積分的方法- 變（上）限的定積分法 可以構(gòu)造函數(shù) ：且例 F ( x)x 1

3、 dt ，則 F ( x) 是以 y1 為曲邊，以 1, x 為底邊的曲邊梯形的 “面積 ”。顯1 tt然（ 1） F ( x) 在 1,有定義，且（2）當(dāng)0x 1 時 F ( x) 0; 當(dāng) x 1 時 F ( x)0; 當(dāng) x 1 時 F ( x) 0 。（ 3） F ( x) 在 1,嚴(yán)格增，故有反函數(shù)。y事實上用 變下限的定積分法也可定義a, b 上的一個函數(shù)y1t更一般的若x ,x 在 c , d 連續(xù)，且值域在a, b 內(nèi)，則用 變上下限 的定積分法也可定義 c , d 函數(shù)注：函數(shù)是微積分的研究對象，如何已知函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)是一個重要的問題，之前我o1xt們有初等方法四則運算及符合

4、的方法、極限的方法求導(dǎo)，今又有用積分變限的方法事實上也是極限的方法來構(gòu)造函數(shù)。這是一個極為重要數(shù)學(xué)思想方法，而且按此方法函數(shù)獲得了幾何意義，體現(xiàn)分析與幾何相互滲透。（二）變限函數(shù)性質(zhì)我們研究函數(shù) F ( x)xaf (t) dt 性質(zhì)定理 1若函數(shù) f (x)xf (t) dt 在 a, b 可導(dǎo)，且在 a,b 上連續(xù) ,則變上限函數(shù) F ( x)a它的導(dǎo)函數(shù)證明取 x 使得 xx a , b ，則有l(wèi)imf ()xlimf () f (x) ， 其中 介于 x 與 xx 與之間。x 0xx 0由于 F ( x)xf (t ) dt 可導(dǎo)，自然 F ( x) 在 a,b上也連續(xù)。定理表明連續(xù)函

5、數(shù)的原函數(shù)a是存在的，()x()d就是其一個原函數(shù)。fFxttax 1由定理 1可知 F (x) 是1一個原函數(shù)，由不定積分可知F ( x) 形如例函數(shù) F (x)dtx1tln x c ，又由 F (1)0可知 F ( x)ln x ；又 F ( x)ln x 有反函數(shù) yex ，故 e2 有幾何意義：當(dāng)如圖曲邊梯形面積為2 時， x 的取值。注：利用變限積分思想構(gòu)造函數(shù)成功給出連續(xù)函數(shù)原函數(shù)的存在性，而且把定積分bnlim f ( xx)f ( x) 這兩個完全不同的極限聯(lián)系f (x)d x limf ( i ) xi 與導(dǎo)數(shù) f ( x)a0i 1x 0x起來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)對希望在不同事物之

6、間建立聯(lián)系的思想。例如又體現(xiàn)在積分中值定理亦是微分中值定理其中 F ( x)xf (t) dt ，且有 F ( x) f ( x) 。ax例 1 設(shè) fx 在 0,內(nèi)連續(xù)，且 fx0 ，證明 F ( x)0xt f (t )dt在 0,f (t)d t0內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。xxt f (t)dtxxt f (t )dtx f (x)f (t)d t f ( x)f (x)證明F (x)000x2x2f (t )dt0f (t )d t0f ( x)( x) f () x0，其中 (0x) ， 故 F ( x) 在 0,內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。x2f (t)d t0例 2 設(shè) f ( x), g ( x

7、)在 a,b 上連續(xù)，且 g ( x)0 ，試證至少存在一點(a , b) 使bf ( x)d xf ()abg()g( x)d xa證明法一令F (x)xbxbg( x)d x ，g( x)d xf ( x)d xaf ( x)dxaaa因 f ( x), g ( x)在 a, b上連續(xù)，則 F (x) 在 a, b可導(dǎo)，且 F (a)0F (b) ，故由羅爾定理知少存在一點( a, b) 使 F ( )0, 即g( )bf ( x)dx f ( )b0g( x)dx（ * ）aab(a , b)，故由（ * ）可得又( )dg( )ba0，其中g(shù) x xa法二令 F ( x)xG (x)x

8、在 a,b 可導(dǎo) ，又f (t )d t,g(t )d t , 則 顯然 有 F (x) 、 G ( x)aaG ( x) g ( x) 0,故由 Cauchy 定理知至少存在一點(a , b) 使即二牛頓 -萊布尼茲公式定理2 （牛頓 -萊布尼茲公式） 設(shè) f (x) 在 a, b上連續(xù)， F ( x) 是 f (x)在 a, b 上的任一個原函數(shù)，則由定理 1知x也是 f ( x)在 a, b 上的一個原函數(shù)，故證明f (t)d ta從而有F (b)baf (t )dt c ， F (a)f (t )dt caa故注：在未有牛頓 - 萊布尼茲公式之前要計算像12 d x 現(xiàn)在看來極為簡單問

9、題也耗費阿x0基米德這樣天才的不少心血。而有牛頓- 萊布尼茲公式后計算一大類定積分bf x dx ，轉(zhuǎn)化a為求 fx 的原函數(shù)，亦即求f xdx ，而計算 fx dx 有一系列計算方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)對算法的追求，體現(xiàn)了人類智慧的榮耀，從而定積分n中惱人的和式 limf ( i )xi及極限運算。例0 i 11nsinilimn cos i1困難，現(xiàn)在esin x cosx d xe0n 0i 1nn在牛頓 - 萊布尼茲公式之前，微分和積分是各自獨立發(fā)展的，牛頓- 萊布尼茲公式向我們展示微分學(xué)中微分的逆運算不定積分和積分學(xué)中的積分有如此緊密( 這也是為什么我們把微分學(xué)中微分的逆運算稱為不定積分的原因

10、) ，微分和積分不再各自發(fā)展而是統(tǒng)一在一起成為數(shù)學(xué)分析，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對事物內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一的追求。例3計算（1）3dx,（2）51 x22cos x sin xdx ，10（3）e21dx ，（4）1x x1dx 。ex ln x0dx733解（1）1 x2arctanx1arctan3 arctan( 1)3(4)121（2） 2 cos5 xsin xdxcos6 x |021066e212ln 2（ 3）dx ln ln x |eeex ln x125（ 4） x x 1dxx 1 20523|102 8 4x 1 2315利用牛頓 -萊布尼茲公式公式我們可以獲得變限函數(shù)的求導(dǎo)公式：設(shè) f

11、( x) 在a, b 上 連續(xù) ，x ,x在 c , d 可 導(dǎo)， 且值 域在a, b 內(nèi) ，則( x)f (t )dt 可導(dǎo)，且(x)特別地db，d xf ( t ) dtf ( x)xd( x)f (x) (x) ，dxf (t )d ta事實上設(shè) F ( x) 是 f ( x) 一個原函數(shù)，則故1e t 2例 4 求 limcosxx2x0解 令 F ( x)1e t 2dtdt , 則 F (x) 是連續(xù)函數(shù)，故cos x1e t 2dt0 型，故由洛必達(dá)法則可得即 lim cos x2是x0x0例 5確定常數(shù)a,b, c 的值 ,使xt 2 )d txln(11 0 0解limln(1t 2 )d tli