數(shù)列概念及等差數(shù)列

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)人教版高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案(講座28)數(shù)列概念及等差數(shù)列一.課標(biāo)要求：1 .數(shù)列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表 示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)；2 .通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念， 探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式；3 .能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體 會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。二.命題走向數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個(gè)客觀性題目和一個(gè)解答題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前

2、n項(xiàng)和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計(jì)算技能要求比較高。預(yù)測07年高考：1 .題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生 活中的實(shí)際問題的解答題；2 .知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題， 還可能涉及部分考察證明的推理題。三.要點(diǎn)精講1.數(shù)列的概念(1)數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作an ,在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，在第二個(gè)位置的叫第 2項(xiàng)，序號為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)(也叫通項(xiàng))記作 an ;數(shù)列的一般形式：a1, a2, a3,，an ,，簡記作 an 。(

3、2)通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列 an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示， 那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。 .1例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式是an = n ( n 7, n N),數(shù)列的通項(xiàng)公式是 an =-n(n N)。說明： an表示數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項(xiàng)，an = f n表示數(shù)列的通項(xiàng)公式； 一1 .n 2k 1一 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)n=，(k Z);1,n 2k不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1, 1.4, 1.41, 1.414,(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號：123456項(xiàng)：456789上面每一項(xiàng)序號與這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看成是一

4、個(gè)序號集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集 N (或它的有限子集) 的函數(shù)f(n)當(dāng)自變量n 從1開始依次取值時(shí)對應(yīng)的一系列函數(shù)值 f (1), f(2), f(3),，f(n),.通常用an 來代替f n ,其圖象是一群孤立點(diǎn)。(4)數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng) 與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動數(shù)列。(5)遞推公式定義：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an 1 (或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。2.等差數(shù)列(1)等差

5、數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表不。用遞推公式表本為 an an 1(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：說明：等差數(shù)列(通?？煞Q為列，d 0為遞減數(shù)列。(3)等差中項(xiàng)的概念：and(n 2)或an 1 an d(n 1)。a1 (n 1)d ；A P數(shù)列)的單調(diào)性：d 0為遞增數(shù)列，d0為常數(shù)定義：如果a, A, b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。其中a, A, b成等差數(shù)列(4)等差數(shù)列的前n和的求和公式:n(a an)2na1血Id。2四.典例解析題型1：數(shù)列概念例1.根據(jù)

6、數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式:(1)1, 3, 5, 7(2)(3)22 1211*232 1312*342 1413*452 151 o 4*5解析:(1) an =2 nan =(n(1)n(3) an=()。n(n 1)點(diǎn)評:例2.數(shù)列an中，已知an1-(n N ),(1)寫出知，2 1(2) 795是否是數(shù)列中的項(xiàng)?3若是，是第幾項(xiàng)?解析:(1) an(nN ),an 1(2)2 令792332.33n 13an2解方程得n15,或 n21010 132 22 dn n 116,1093，每一項(xiàng)序號與這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號到另一個(gè)數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系,對考生的歸納推理能力有較高的

7、要求。.2、，n N , n 15,即79為該數(shù)列的第15項(xiàng)。3點(diǎn)評：該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬。題型2:數(shù)列的遞推公式例3.如圖，一粒子在區(qū)域(x, y) | x 0,y 0上運(yùn)動，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)Bi(0,1),接著按圖中箭頭所示方向在 x軸、y軸及其平行方向上運(yùn)動，且每秒移動一個(gè)單位長度。(1)設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn) An、Bn、Cn時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別為 an、bn、cn ,試寫出an、bn、Cn的通相公式;(2)求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn) P(16,44)時(shí)所需的時(shí)間；(3)粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動，求經(jīng)過 2004秒后，它所處的坐標(biāo)解析：(1)由圖形可設(shè) A(1,0),4

8、(2,0), L , An(n,0),當(dāng)粒子從原點(diǎn)到達(dá)An時(shí)，明顯aa3a53, a1 12a3 20ai 3 4,a35 4,a2a4a6a 1, a3 1, a5 1,a2na2n 31 a1(2n431) 4,5 La2na2n 11,a2na2n 121 4n 。b2na2n 1b2nC2na2 nb2n2(2n 1)2n 4n22(2n 1) = 4n24n2 4n4n。1,C2n即Cn(2),(2n 1) 4n2 2n_2_22n 4n 2n (2n)有圖形知，粒子從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)(2n ' (2n),1)2 (2n 1),P(16,44)時(shí)所需的時(shí)間是到達(dá)點(diǎn)C44所經(jīng)過得時(shí)

9、間 C44 再加(44 16) = 28 秒，18017,取取大得 n=44,(3)由 g n2 n 2004,解得 1所以 t 442 44 28 2008 秒。2經(jīng)計(jì)算，得c44 = 1980<2004,從而粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動，經(jīng)過 1980秒后到達(dá)點(diǎn)C44, 再向左運(yùn)行24秒所到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(20, 44)。點(diǎn)評：從起始項(xiàng)入手，逐步展開解題思維。由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式， 這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點(diǎn)所在。例4. (1)已知數(shù)列 an適合：a12a1ann-,寫出前五項(xiàng)并寫出其通項(xiàng)公式;2(2)用上面的數(shù)列 的前5項(xiàng)。an，通過等式bnanan1構(gòu)

10、造新數(shù)列bn，寫出bn,并寫出bn解：(1) a1a2a4bn2n 1th 13b2(n 1)(n 2)I b4115b5點(diǎn)評：會根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式, 種重要方法，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。1一.21了解遞推公式是給出數(shù)列的又一題型3:數(shù)列的應(yīng)用例5. (05廣東，14)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n 3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f (n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f (4) =當(dāng)n 4時(shí)，f (n) (用n表示)。1答案：5,1(n 1)(n 2)2解析：由圖B可得f (4) 5,由 f(3) 2, f (4) 5, f (5) 9,f

11、(6) 14,可推得n每增加1,則交點(diǎn)增加(n 1)個(gè),(2 n 1)(n 2)1 .f(n) 2 3 4 (n 1)片-(n 1)(n 2)。點(diǎn)評：解決此類問題的思路是先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來處理。例6. (2003京春理14,文15)在某報(bào)自測健康狀況的報(bào)道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白()內(nèi)。軍的(步)3040SO5 口6S收寄姓本相柱肥祭;L10115130J3S13。(J145舒朱佳七章相柱盤工7G'讓00()Eg答案：140 85解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年

12、齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，照此規(guī)律，60歲時(shí)的收縮壓和舒張壓分別為140; 85.點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為背景， 考查了如何把實(shí)際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力 它不需要技能、技巧及繁雜的計(jì)算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識，有效地把數(shù)學(xué)過程實(shí)施為數(shù)學(xué) 思維活動。題型4:等差數(shù)列的概念例7. (2001天津理，2)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S=n2,則an是()A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 答案：B; §解法一：an= g(n 1)Sn1 (n 2)anB.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列1 (n 1)2n 1 (n 2)

13、an=2n 1 (n C N)a2n 1又an+1 an=2為常數(shù)，生工 2豐常數(shù)an2n 1an是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.解法二：如果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列等差數(shù)列。點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列、Sn-1的推理能力.但不要忽略31,等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運(yùn)用遞推式 解法一緊扣定義，解法二較為靈活。an = Sn例8 . ( 2006年江蘇卷)Cn an2an 13an 2 ( n=1,2,3,設(shè)數(shù)列an、bn、Cn滿足：bn九 證明：an為等差數(shù)列的充分必要條件是anCn為等差數(shù)列且bn證明:bn 1 (n=1,2,3, )，1必要性：設(shè)數(shù)列a

14、n是公差為d1的等差數(shù)列，則:bn 1b 又Cbn (an 1an 3)bn 1 (n=1,2,3, -)Cn (an 1 an)(an成立；2 (aan 2)= (an 1 an)n 2an 1 )3(an 3，數(shù)列g(shù)為等差數(shù)列。2充分性：設(shè)數(shù)列Cn是公差為d2的等差數(shù)列，且bn(an 3 an 2)= d- d=。，an 2) =6di (常數(shù))(n=1,2,3, ), , Cn an得:Cn Cn 22an 1 3an 2, , Cn 2anbn 1 (n=1,2,3,九2an 3 3an 4 CnCnbn2b(an(cn3ban 2 )2(an 1Cn得：(bn11)2d(cn 12a

15、n 3)3(an :Cn 2) 2d2) 從而有bnan 4)= bn 2bn1 3bn 2(bn 14)0, bn由得：bn 1 bn由此，不妨設(shè)bn d32(bn 2bn2 bm 0, 0 (n=1,2,3,1)3(bn3bn 3九bn 2(n=1,2,3, ),則an故 Cn an 2an 1從而Cn 1一得:4an 13an 2 4an 2an2an 2 3d3 4an 1故 an1anCn 1Cn2(an 1 an ) 2d1 ,、 ， 1 ,-(Cn 1 Cn) d3 -d2 22數(shù)列an為等差數(shù)列。綜上所述：an為等差數(shù)列的充分必要條件 證法二：An = a n+1 - a n,

16、由 b nWb n+1 知 a n - a i 從而 a n+1 - a n> a n+3 - a n+2,即 An> An+2 由 c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, C n+1 =4a C n+1-C n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3( a n+3 An+2An+1+3An+2=d2.由此得An+2+2Ai+3 + 3Ai+2=d2.2bn 2 3bn 3 n 2)00,an 2 d3 (常數(shù))3d32an 5d3汽nd3 (常數(shù))(n=1,2,3, >,是 g為等差數(shù)列且bnn+2 W a n+1 - a n+3 o

17、(n=1,2,3，)n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3 得-a n+2)即2d2d，i(n=1,2,3,九-得(An-An+2)+2(A n+1 - A n+3)+3(A n+2- A n+4)=0因?yàn)?An-An+2> 0 , An+1- A n+3>0, An+2- A n+4>0, 所以由得 Ai-Ai+2=0(n=1,2,3,) o于是由得4An+2An+1=An+1 +2An+2 + 3An+2=d2,從而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2由和得 4An+2An+1=2An+4An+1,故 An+1= A n ,即a n+2- a n+1 =

18、 a n+1 - a n(n=1,2,3,)，所以數(shù)列a n是等差數(shù)列。點(diǎn)評：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時(shí)積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果。題型5:等差數(shù)列通項(xiàng)公式例9. (2006年全國卷I)設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1 a2 a3 15 ,aa2a3 80,貝U an ai2 a13(A. 120B. 105C. 90D. 75解析：a1 a2 a3 153a2 15 a2 5 , 213 80a2 d a2 a2 d80將比 5代入，得d 3,從而加a12a13 3al2 3 a2 10d3 5 30105。選 B。點(diǎn)評：應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將因式

19、轉(zhuǎn)化為只含首項(xiàng)和公差的式子,變元減少，因式就容易處理了。例 10 . ( 1 ) ( 2005 湖南 16)已知數(shù)列l(wèi)og 2(an 1)n* 、 N )為等差數(shù)列，且a13, a39.(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(n)證明1a2a11a3a21.1)的公差為do解析：(1) (I)解：設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an由 a13, a3 9 得 2(logz2 d) log 2 2 logz8,即 d=1。所以 log2(an 1) 1 (n 1)n,即 an2n 1.(II)證明因?yàn)閍n 1 a n1n 12n工2n所以1a2 a11a3 a21 XXA1123nan 1 an 2222111n2

20、22111 2點(diǎn)評：該題通過求通項(xiàng)公式，最終通過通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律。題型6:等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式例11. ( 1) (2002京皖春，11)若一個(gè)等差數(shù)列前 3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列有(A.13 項(xiàng)(2) (2001全國理, 48,則它的首項(xiàng)是(A.1B.12 項(xiàng)C.11 項(xiàng)D.10 項(xiàng)3)設(shè)數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為 12,前三項(xiàng)的積為 )B.2C.4(3) (2006年全國卷II)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,S3I, I右一=S6D.6-,則3S6S123A.10解析：(1)答

21、案：AB.D.設(shè)這個(gè)數(shù)列有力。S3Sn3alSna1nn= 13(2)答案：B前三項(xiàng)和為12,Sn 3 3d 3nd 6d n(n 1)d23(23ala1nd)3d(n n(n2342)1)d146390一一S3, a+ a2+ a3= 12, . a2= = 43a1 a2a3= 48,=a2=4,aa3=12,a + a3 = 8,把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且 aKa3,.x28x+12=0, Xi=6, X2=2,a1 = 2, a3= 6, .選 B.(3)答案為A;點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和考生分析問題、解決問題的能例12. (1) (2000全國文，18)

22、設(shè)an為等差數(shù)列,$為數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，已Sn知 Sz=7, Si5=75, Tn 為數(shù)列 一n的前n項(xiàng)和，求(2) (1998全國文，25)已知數(shù)列 bn是等差數(shù)列，b1=1, b1+b2+b10=100.(I)求數(shù)列 bn的通項(xiàng)bn；1 、一一(n)設(shè)數(shù)列 a4的通項(xiàng)an=lg (1+)，記S是數(shù)列 an的刖n項(xiàng)和，i比較 Sn bn1與-lgbn+i的大小，并證明你的結(jié)論。解析：(1)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d,則-1Sn=na1 Hn (n1) d. . . S7= 7, S15= 75,27a121d7,a13d1,1即115al105d 75,a17d5,解得 a1=-2, d

23、=1.Sn1=a1 + 一2(n-1) d=- 2+ 1 (n- 1)。2Sn 1Sn1一二，n 2，數(shù)列旦是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為 2,公差為 1,n2Tn= n2n.44(2) (I)設(shè)數(shù)列 bn的公差為d,由題意得b1 1,10(10 1),10bld2100.b 1,解得，bn=2n1.d 2.(n)由 bn=2n-1,知Sn=lg (1+1) +lg (1 + -) + - +lg (1+-)32n 1=lg (1+1)12n 1)1,1lgbn+1=lg 2n 1 .因此要比較 Sn與工lgbn+1的大小，可先比較(1 + 1 )(1 + ) , (1 + 23 2n 1)與42n 1

24、的大小.取 n=1,有(1+1)>21取 n=2,有(1+1)1(1+-)3由此推測(1+1)(1、1+ -)311 +2n-)> J2n 1 .1-若式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定:Sn>glgbn+1。卜面用數(shù)學(xué)歸納法證明式。(i)當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證式成立。(ii)假設(shè)當(dāng)n=k (k) 1)時(shí)，式成立,、，1、 即(1+1) (1 + -) 3 (1+ 1-) > V2k 1 .2k 11、那么，當(dāng) n=k+1 時(shí)，(1+1) (1+-)31(1+)2k 1111+ 2(k 1) 1> .2k 1,1、 2k 1 .、- (1+) = (2k+2)。2k 1 2

25、k 13)22k 1一1 (2k+2) 2-( V12k2k 1224k2 8k 4 (4k2 8k 3)2k 12k 1 (2k 2)2k 1. 2k 3.2(k 1) 1.-1因而(1 1)(1 -) 31)(1 2kL2(k 1)'這就是說式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由(i), (ii)知式對任何正整數(shù)n都成立.1由此證得：Sn> lgbn+1。對一些綜合性的問題要先理清評述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用, 思路再行求解。題型7:等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式例13. (1) (2002上海春，16)設(shè) an (nC N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5<

26、S5, S6= S7>S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤.的是()A. d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6與&均為Sn的最大值(2) (1994全國理，12)等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為()A.130B.170C.210D.260解析：(1)答案：C;由 S5<Ss得 a1+a2+a3+-+a5<a1+a2+-+a5+a6, /. a6>0,又 S6=S7,a1 + a2+- + a6=a1+a2+-+a6+a7, /. a7=0,由 S7>S8,得as<0,而 C 選項(xiàng)S9>S5,即a6+a7+a8

27、+a9>02(a7+ as)>0,由題設(shè)a7=0, as<0,顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。(2)答案：Cm(m 1)mad 30解法一：由題意得方程組2,c 2m(2m 1) 2ma1d 1002視m為已知數(shù)，解得d 冬，010(m2 2),mm3ma(3m 1)10(m 2) 3m(3m 1) 40S3m 3ma1d 3m 9210。2m22m2解法二：設(shè)前 m項(xiàng)的和為b1，第m+1到2m項(xiàng)之和為b2,第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3, 則b1, b2, b3也成等差數(shù)列。于是 b1=30, b2=100- 30=70,公差 d=70 30=40。b3=b2+d=70+40=110 .

28、前 3m 項(xiàng)之和 S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取 m=1 ,貝U a1 = Si=30, a2=S2S1=70,從而 d=a2a1=40。于是 a3=a2+d=70+40=110. . . S3=a+a2+a3=210。點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對任意變化的自然數(shù) m,題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種變 化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。例 14. (2000 上海，21)在 XOY 平面上有一點(diǎn)列 P1 (a1

29、，b)，P2 (a2, b2),，Pn(an, bn),，對每個(gè)自然數(shù) n,點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000 (旦)x (0vav10=的圖象上，10且點(diǎn)Pn、點(diǎn)(n, 0)與點(diǎn)(n+1, 0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。(I )求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(II)若對每個(gè)自然數(shù) n,以bn, bn+1, bn+2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形，求 a的取值范 I(出)(理)設(shè)Bn=b1, b2-bn (n N).若a取(n)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求 數(shù)列 Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)。(文)設(shè)Cn=lg (bn) (nCN).若a取(n)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列cn前多少項(xiàng)的和最大 ？式說明理由

30、。1.a、n 2斛析：.斛：(I )由題忌， an= n+ , 1 bn= 2000 ()。(n) .函數(shù) y=2000 (亙)x (0vav10)遞減，10，對每個(gè)自然數(shù)n,有bn>bn+1>bn+2則以bn, bn+1, bn+2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1 > bn,即(更)2+ (3 1) >0,1010解得 av 5 (1+ <5 )或 a>5 ( v'5 -1),.5 ( <5 1) v a<10.(出)(理) 5 ( V5 1) < av 10,. 一 7、a-7 , bn = 2000 ()1

31、0數(shù)列 bn是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列.對每個(gè)自然數(shù)n>2, Bn=bnBn-1。 于是當(dāng) bn>1 時(shí)，Bn>Bn 1,當(dāng) bn<1 時(shí)，BnVBn 1,因此，數(shù)列 Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) n滿足不等式bn > 1且bn+1<1。由 bn=2000 (1012 > 1,得 nW 20.8,n-20。、7 n 1(文)5 (寸5 1) vav10,a-7, bn= 2000 ( )27 n 1,1、. 一于zE Cn= lg 2000 (元) 之=3+ lg2 ( n+ ) lg0.7數(shù)列 Cn是一個(gè)遞減的等差數(shù)列.因此，當(dāng)且僅當(dāng)Cn>0,且Cn+1V0時(shí)

32、，數(shù)列 Cn的前n項(xiàng)的和最大。,1、由 Cn=3 + lg2+ (n+萬)lg0. 7>0,得 nW20.8, . n-20。點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知 識，及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法 .五.思維總結(jié)1 .數(shù)列的知識要點(diǎn)：(1)數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N (或它的有限子集 1, 2, 3,n,)上的函數(shù)f (n),當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值：f (1), f (2), f (3),，f (n),。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點(diǎn)構(gòu)成的。(2)對于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列 中各項(xiàng)與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾項(xiàng)的分解中.哪些部分是變 化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中