7曲線積分與路徑的無(wú)關(guān)性

1、7.4 曲線積分與路徑的無(wú)關(guān)性曲線積分與路徑的無(wú)關(guān)性一、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義一、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義設(shè)設(shè)D是開區(qū)域，是開區(qū)域， ,P x yQ x y在在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).如果如果D內(nèi)任意兩個(gè)指定點(diǎn)內(nèi)任意兩個(gè)指定點(diǎn)A, B以及在以及在D內(nèi)從點(diǎn)內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)到點(diǎn)B的任的任意兩條曲線意兩條曲線L1，L2有：有：12LLPdxQdyPdxQdy恒成立，恒成立，則稱曲線積分則稱曲線積分 在在D內(nèi)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān),LPdxQdy 二、平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件二、平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件1定理定理、DPQD設(shè) 為單連通域,在 上具有一階連續(xù)設(shè) 為單連通域,在

2、上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則偏導(dǎo)數(shù),則(1)LDPdxQdy 在 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)在 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)(2)0,LPdxQdyLD 閉曲線閉曲線可得如下四個(gè)等價(jià)命題：可得如下四個(gè)等價(jià)命題： (4),DPdxQdyu x y 在 內(nèi)為某一函數(shù)的全微分,在 內(nèi)為某一函數(shù)的全微分,(3)(3),PQDyx 在 內(nèi)在 內(nèi)(4)12,LLPdxQdyPdxQdy12LLPdxQdyPdxQdy 120,LLPdxQdyPdxQdy 0.LPdxQdy (1)(2)(1)(2)證明(2)(3)0.LPdxQdy ,uuPQxy 用定義證明用定義證明( , )M x y00( ,)M x y(, )Nxx y 0M M

3、PdxQdy 當(dāng)起點(diǎn)固定時(shí)只與終點(diǎn)有關(guān)，記當(dāng)起點(diǎn)固定時(shí)只與終點(diǎn)有關(guān)，記000( , )(,)( , )x yM MxyPdxQdyPdxQdyu x y000(, )(,)(, )xx yxyM MMNu xx yPdxQdy (, )( , )( , )xxMNxu xx yu x yP x y dx (, ),(01)P xx yx 中中值值定定理理(,)uPxyx (,)uQ xyy 同同 理理 ：34（ ） （ ）（ ） （ ）,uuPQxy 22,uPuQx yyy xx PQyx 偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 連連 續(xù)續(xù)41（ ） （）()0LDQPPdxQdydxdyxy12LLPdxQdyPdx

4、QdyQPxy 1“” ,DL如果 內(nèi)有一個(gè)洞為包圍這個(gè)“洞”的如果 內(nèi)有一個(gè)洞為包圍這個(gè)“洞”的2L任意閉曲線,為挖掉該“洞”的任意閉曲線,任意閉曲線,為挖掉該“洞”的任意閉曲線,12、LL其中均取逆時(shí)針方向.其中均取逆時(shí)針方向.則則 3,P x yQ x yD定理設(shè)在某復(fù)連通域 內(nèi)具定理設(shè)在某復(fù)連通域 內(nèi)具 D有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且在 內(nèi)恒有有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且在 內(nèi)恒有2解解23.15 Qx 原積分與路徑無(wú)關(guān)原積分與路徑無(wú)關(guān) 例例1 計(jì)算計(jì)算 . .其中其中L224(2)()Lxxy dxxydy (0, 0)O(1, 1)Bsin2xy 為由點(diǎn)為由點(diǎn) 到點(diǎn)到點(diǎn) 的曲線弧的曲線弧 .Py

5、2(2)xxyy 2x 24()xyx 2x PQyx 故故 原式原式 120 x dx 140(1)ydy 解解2()2,Pxyxyyy( )( ),Qyxyxxx 2( ,),P xyxy ( ,)( ),Q xyyx 例例2 設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分 與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān), , 2( )Lxy dxyx dy (1,1)2(0,0)( )xy dxyx dy (0)0 其中其中 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), , 且且 , , 計(jì)算計(jì)算: :PQyx積分與路徑無(wú)關(guān)積分與路徑無(wú)關(guān)，100dx 1.2 2( )xxc 2( )xx ( )2yxxy (0)0 由由0c 知知故故 (1,1)2(0

6、,0)( )xy dxyx dy 10ydy (1,1)22(0,0)xy dxx ydy 解解Py Qx 例例3 計(jì)算計(jì)算(sin)(cos)xxLIeymy dxeym dy 22,0,0 xyaxym( ,0)a(0,0)其中其中L為由點(diǎn)為由點(diǎn) 到點(diǎn)到點(diǎn) 的上半圓周的上半圓周(sin)xeymyy cosxeym(cos)xeymx cosxey QPmxyL OA Ddxdym,82am OA , 0 082 am.82am I OAL OAI L OAOA ()DQPdxdyxy 00adx () 0 xem(sin)(cos)xxLIeymy dxeym dy 22Lxy dxxy

7、 dyxy 例4 求,其中 例4 求,其中 1 LL為不包圍原點(diǎn)的任意閉曲線, 取逆時(shí)針方向;為不包圍原點(diǎn)的任意閉曲線, 取逆時(shí)針方向; 2 LL為包圍原點(diǎn)的任意閉曲線, 取逆時(shí)針方向.為包圍原點(diǎn)的任意閉曲線, 取逆時(shí)針方向.D 1 解解LD所圍成的區(qū)域 為單連通域,所圍成的區(qū)域 為單連通域, 220.Lxy dxxy dyxy 22222,QPxxyyxyxy 2 解解,QPDxy 復(fù)連通域,又在 上復(fù)連通域,又在 上1cos ,：sin ,xRLyR 作取逆時(shí)作取逆時(shí) 針方向,針方向,L 220cossinsincossincosRRRRRRdR 2 . 0,0 ,LD因?yàn)?所圍成的閉區(qū)域

8、包含原點(diǎn)所以 為因?yàn)?所圍成的閉區(qū)域包含原點(diǎn)所以 為 122Lxy dxxy dyxy 224,4Lxy dxxy dyIxy 例5 求其中例5 求其中 221,011,0 .Lxy從點(diǎn)沿上半圓到點(diǎn)從點(diǎn)沿上半圓到點(diǎn) 22222844QPxxyyxyxy 解解所以在不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分所以在不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān). 1,0L為了計(jì)算方便，將路徑 換成從點(diǎn)沿上為了計(jì)算方便，將路徑 換成從點(diǎn)沿上 22411,0 ,xy半橢圓周到點(diǎn)半橢圓周到點(diǎn)其參數(shù)方程為:其參數(shù)方程為:1cos ,sin ,0,2xt yt t 從 變到從 變到 011cossinsinco

9、s2sincos22tttttt dt 2244Lxy dxxy dyIxy 2201sincos2tt dt 012dt .2 三、全微分三、全微分 ,P x y dxQ x y dy 對(duì)于表達(dá)式如果存在對(duì)于表達(dá)式如果存在 ,：u x y一個(gè)函數(shù)使得一個(gè)函數(shù)使得 ,du x yP x y dxQ x y dy ,P x y dxQ x y dyu x y 則表達(dá)式稱則表達(dá)式稱函數(shù)函數(shù)為為 ,u x yP x y dxQ x y dy 的全微分,并稱為的全微分,并稱為.的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)當(dāng)條件滿足時(shí)，函數(shù)當(dāng)條件滿足時(shí)，函數(shù)u(x , y)(不計(jì)一常數(shù)不計(jì)一常數(shù))可由可由曲線積分求出，其形

10、式為：曲線積分求出，其形式為：D定理4 設(shè)區(qū)域 是一個(gè)單連通域，函數(shù)定理4 設(shè)區(qū)域 是一個(gè)單連通域，函數(shù) ,P x yQ x yD在 內(nèi)具有一階連續(xù)偏在 內(nèi)具有一階連續(xù)偏PQyx ,P x y dxQ x y dyD 導(dǎo)數(shù)，則在 內(nèi)為導(dǎo)數(shù)，則在 內(nèi)為 ,:u x y某函數(shù)的全微分的充要條件是某函數(shù)的全微分的充要條件是D在 內(nèi)恒成立.在 內(nèi)恒成立. 00( , )(,),B x yA xyP x y dxQ x y dy 000,( ,)( , )xyxyu x yP x y dxQ x y dy000(, )( , ).yxyxuQ xy dyP x y dx或或定義 如果方程定義 如果方程

11、,0P x y dxQ x y dy ,P x y dxQ x y dy 的左邊恰好是某函數(shù)的左邊恰好是某函數(shù) ,u x y 的全微分,則稱方程的全微分,則稱方程 ,0P x y dxQ x y dy為全微分方程.為全微分方程. ,0P x y dxQ x y dy 為全微分方程為全微分方程.PQyx ,0P x y dxQ x y dy若不是全微分方程，若不是全微分方程， ( , ),( , ),0( , )x y P x y dxx y Q x y dyx y 而若而若是全微分方程，叫做方程的一 分因子。是全微分方程，叫做方程的一 分因子。積積 ,0P x y dxQ x y dy若為全微

12、分方程,若為全微分方程, ,u x y則存在函數(shù)使得則存在函數(shù)使得 ,0,du x yP x y dxQ x y dy ,.u x yC ,0u x yCP x y dxQ x y dy為全微分方程為全微分方程的通解.的通解.應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān).xQyP 可得通解如下：可得通解如下：通解為通解為：( , )u x y ,u x y ( , );u x yC 或或000( ,)( , )xyxyP x y dxQ x y dy 000(, )( , )yxyxQ xy dyP x y dx 22，xoyxy dxx ydy 例6驗(yàn)證在平面內(nèi)例6驗(yàn)證在平面內(nèi)，是某函數(shù)的全

13、微分并求出一個(gè)這樣的函數(shù).是某函數(shù)的全微分并求出一個(gè)這樣的函數(shù).2,QPxyxy解解22xy dxx ydy是是 ,u x y某函數(shù)的全微分.某函數(shù)的全微分.000,0,xy取取 ,u x y 200 xxdx 20yx ydy 22.2x y 3232(3)(3)0.xxydxyx y dy求方程求方程的通解的通解解解6,PQxyyx 是全微分方程是全微分方程,( , )u x y 44223,442xyx y例例7 730(0)xxdx 44223.442xyx yC原方程的通解為原方程的通解為 3203yyx y dy 00( , )(,)( , ),x yxyu x yP x y dx

14、Q x y dy 常見的全微分表達(dá)式常見的全微分表達(dá)式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122222 (1)0.xxy dxxydy 的通解的通解解解將方程左端重新組合將方程左端重新組合, ,有有例例8 8 求微分方程求微分方程22220,xdxxxydxxydy2222()()0,d xxyd xxydy222()()0,d xxyd xy原方程的通解為原方程的通解為32222().3xxyC23.1dyxxydxx 求微分方程的通

15、解求微分方程的通解例例9解解 整理得整理得23()(1)0,xxy dxx dy1,PQyx.是全微分方程是全微分方程A. 用曲線積分用曲線積分法法: :()u x,y 2300()(1)xyxxdxx dy,3434xxyxy34()034xxdyd xydd ，34()0.34xxd yxyB. 湊微分法湊微分法: :23()0,dyxdyydxx dxx dxB.湊微分法湊微分法3434xxyxyC23()(1)0,xxy dxx dyC .不定積分不定積分法法: :23,uxxyx 23()uxxy dx 34,34( )xxxyC y( ),uxCyy 1,uxy 又又( )1,xC

16、yx ( )1,Cy ( ),C yy 原方程的通解為原方程的通解為34.34xxyxyC23()(1)0,xxy dxx dy 01,x 例10設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且例10設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且 ,x 試確定使方程試確定使方程 220 xyyx y dxxxy dy為全微分方程,并求此方程的通解.為全微分方程,并求此方程的通解. 2,2,Pxyyx yQxxy 解解使方程為全微分方程的充要條件是使方程為全微分方程的充要條件是QPxy 即得即得 ,01.xxx 且且此方程為一階線性非齊次方程, 其通解為此方程為一階線性非齊次方程, 其通解為 dxdxxexedxC 1,xCex 01,2,

17、C 由由 21.xxex 所以所以代入所給方程得全微分方程代入所給方程得全微分方程 222210.xxyyyedxexxydy ,20,0,2221x yxxu x yyyyedxexxydy ,01.xxx 且且 0221yxexxydy 22.xyexyxyy 因此,方程的通解為因此,方程的通解為22.xyexyxyyC ,20,0,2221x yxxu x yyyyedxexxydy 四、空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件四、空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件定理定理 設(shè)在某曲面單連通域設(shè)在某曲面單連通域G內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù) , ,、, ,、, ,P x y zQ x y zR x y zG在 內(nèi)具有在 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則空間曲線的曲線積分一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則空間曲線的曲線積分LPdx QdyRdz GG在 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān) 或沿 內(nèi)任意閉曲線的曲線在 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān) 或沿 內(nèi)任意閉曲線的曲線 G積分為零的充分必要條件是在 內(nèi)恒有積分為零的充分必要條件是在 內(nèi)恒有0ijkxxxPQR 四個(gè)等價(jià)命題見四個(gè)等價(jià)命題見P201 000, ,