機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)習(xí)題及答案

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)習(xí)題及參考答案1-1.簡(jiǎn)述優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式。答：優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)抽象。在明確設(shè)計(jì)變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計(jì)問題就可以表示成一般數(shù)學(xué) 形式。求設(shè)計(jì)變量向量 x x1 x2 L xn T使f(x) min且滿足約束條件hk(x) 0 (k 1,2,Ll)gj(x) 0 (j 1,2,L m)2-1.何謂函數(shù)的梯度？梯度對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)有何意義?答：二元函數(shù)f( x1,x 2)在x°點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的表達(dá)式可以改寫成下面的形式:fd xof , cos 1x1 xof令 f(x0) x2f cos 2 x2 xoT, x1 x2 xo

2、f f cos 1x1 x2 xo cos 2則稱它為函數(shù)f (Xi, x2)在x。點(diǎn)處的梯度(1)梯度方向是函數(shù)值變化最快方向，梯度模是函數(shù)變化率的最大值。(2)梯度與切線方向d垂直，從而推得梯度方向?yàn)榈戎得娴姆ň€方向。梯度f(wàn)(x0)方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負(fù)梯度-f(x0)方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最小方向，即最速下降方向。2-2.求二元函數(shù)f (x% X2) =2x12+x22-2x+x2在x0 0,0T處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值。解：由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的方向，這里用單位向量p表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時(shí)梯度的模 | f (x0)| o求f (x1, x2)在

3、x0點(diǎn)處的梯度方向和數(shù)值，計(jì)算如下:ff x07 4x1 22f2x2 1 x0 1x2f(x0)2 f 2 =一 5x225 1.5-6x1 4x21f4x1 2x22f(x0)1| f(x0)| 飛2-3.試求目標(biāo)函數(shù)f xi,x23xi2 4x1x2 x2在點(diǎn)乂=1,0 T處的最速下降方向，并求沿著該方向移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。解：求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)XiX2則函數(shù)在乂=1,0 T處的最速下降方向是fP f(X0)xifx2 x1 12 x2 06x14x14x22x26x1 14x2 0這個(gè)方向上的單位向量是：P e IP6,4T .(6)2423,2T.13新點(diǎn)是X1X03

4、.132.13新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值1 f(X1)94132 132-4.何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃？(要求配圖)答：一個(gè)點(diǎn)集(或區(qū)域)，如果連接其中任意兩點(diǎn)x1、x2的線段都全部 包含在該集合內(nèi)，就稱該點(diǎn)集為凸集，否則為非凸集。函數(shù)f(X )為凸集定義域內(nèi)的函數(shù)，若對(duì)任何的01及凸集域內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1、x2,存在如下不等式：f X1 1x2f x11x2稱f (x)是定義在圖集上的一個(gè)凸函數(shù)。對(duì)于約束優(yōu)化問題若f(x)、gj(x)j=1,2,.,m 都是凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。3-1,簡(jiǎn)述一維搜索區(qū)間消去法原理。(要配圖)答：搜索區(qū)間(a, b)確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找 到極小

5、點(diǎn)的數(shù)值近似解。假設(shè)搜索區(qū)間(a, b)內(nèi)任取兩點(diǎn)a1, b1 ,a1b,并計(jì)算函數(shù)值f (a1)，f (b)。將有下列三種可能情形；1) f (a1)«f (b1)由于函數(shù)為單谷，所以極小點(diǎn)必在區(qū)間(a, b)內(nèi)2) f (a。f (b)，同理，極小點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間(as b)內(nèi)3) f (a。=f (b)，這是極小點(diǎn)應(yīng)在(a1，b1)內(nèi)3-2,簡(jiǎn)述黃金分割法搜索過(guò)程及程序框圖。1b (ba)2 a (ba)其中，為待定常數(shù)。3-3,對(duì)函數(shù)f()2 ,當(dāng)給定搜索區(qū)間55時(shí)，寫出用黃金分割法求極小點(diǎn) 的前三次搜索過(guò)程。(要列表)黃金分割法的搜索過(guò)程序號(hào)aaia?bYi比較Y20-55<

6、;1-5?>2?<3?>3-4.使用二次插值法求f(x)=sin( x)在區(qū)間2,6的極小點(diǎn)，寫出計(jì)算步驟和迭代公式，給定初始點(diǎn) Xi=2, X2=4, X3=6,e =10-4解:i234Xi24X24X3666yiy2y3XpypI迭代次數(shù)K= 4,極小點(diǎn)為,最小值為 二1一-V3yi-y2 yi -C2 ciCi , C2 , C3 X3 XiX2 XiX2X3xpi /Ci .-(XiX3)2C3收斂的條件:4-I,簡(jiǎn)述無(wú)約束優(yōu)化方法中梯度法、共鈍梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別。答：梯度法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)相互垂直即是相鄰

7、兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說(shuō)在梯度法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過(guò)程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過(guò)程互相垂直，形成“之”字形 的鋸齒現(xiàn)象。從直觀上可以看到，在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降?？墒窃诮咏鼧O小點(diǎn)的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進(jìn)的距離縮短，因而收斂速度減慢。這 種情況似乎與“最速下降”的名稱矛盾，其實(shí)不然，這是因?yàn)樘荻仁呛瘮?shù)的局部性質(zhì)。從局部 上看，在一點(diǎn)附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不 算快。共軻梯度法是共軻方向法中的一種，因?yàn)樵谠摲椒ㄖ忻恳粋€(gè)共軻的量都是依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度而構(gòu)造出來(lái)的，所以稱作共

8、軻梯度法。該方法的第一個(gè)搜索方向取作負(fù)梯度方向，這 就是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對(duì)負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共輾梯度法實(shí)質(zhì)上是對(duì)最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)，故它又被稱作旋轉(zhuǎn)梯度法。鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來(lái)構(gòu)造共軻方向的一種共軻方向法，這種方法是在研究其有正i定矩陣G的一次函數(shù)f(X) -xtGx bTX C的極小化問題時(shí)形成的。 其基本思想是在不用導(dǎo) 2數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造 G的共軻方向。在該算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點(diǎn)和終點(diǎn) 所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原向量組中的第一個(gè)向量，而不管它的“好壞”，這是產(chǎn)生向量組線性相關(guān)的原因所在。因此在改進(jìn)的算法中首先判斷

9、原向量組是否需要替換。如果需要替換， 還要進(jìn)一步判斷原向量組中哪個(gè)向量最壞，然后再用新產(chǎn)生的向量替換這個(gè)最壞的向量，以保證逐次生成共軻方向。4-2,如何確定無(wú)約束優(yōu)化問題最速下降法的搜索方向？答：優(yōu)化設(shè)計(jì)是追求目標(biāo)函數(shù)彳1最小，因此搜所方向d取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向-f(x)。使函數(shù)值在該點(diǎn)附近的范圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法k 1 kkx xf (x ) (k=0, 1,2 ,)k由于最速下降法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱為梯度法 .k.為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索萬(wàn)向 -f(x )能獲得最大的下降值， 其步長(zhǎng)因子a應(yīng)取一維搜 k索的最佳步長(zhǎng)。即有k 1 kkk k

10、f x f x a f (x ) min f x a f (x ) min () k根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件和多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得；k 1 T kk 1 T kf (x ) f(x ) 0或?qū)懗?d d 0由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù) 梯度方向，因此相鄰的兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說(shuō)在最速下降法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小 點(diǎn)靠近的過(guò)程。4-3, 給定初始值x0=-7,11 T,使用牛頓法求函數(shù)f(x1,x2) (x1 2)2 (x1 2x2)2的極小值點(diǎn)和極小值。解：梯度函數(shù)、海賽矩陣分別為2 f3田)2(x1 2) 2(x1 2x2)4(x1

11、 2x2)1442f 124 8 , f 14假設(shè)初始值x0=-7,11 T一 n 76則 f (x ),(1 分)1161414(2分)(4分)x1 x02f 1 f (x0) 2(2 分)1則 f (x1)0，(1 分)X1滿足極值的必要條件，海賽矩陣是正定的，所以是極小點(diǎn)1*11_*/一八、xx，f (x )1。(2分)4-4,以二元函數(shù)f(xi，x2)為例說(shuō)明單形替換法的基本原理。答：如圖所示在平面上取不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)x1, x2, x3,以它們?yōu)轫旤c(diǎn)組成一單純形。計(jì)算各頂點(diǎn)函數(shù)值，設(shè)f (x1) >f (x2) >f (x3),這說(shuō)明x3點(diǎn)最好，x1點(diǎn)最差。為了尋找

12、極小點(diǎn)，一般來(lái)說(shuō)。應(yīng)向最差點(diǎn)的反對(duì)稱方向進(jìn)行搜索，即通過(guò)x1并穿過(guò)x2x3的中點(diǎn)x4的方向上進(jìn)行搜索。在此方向上取點(diǎn)x5使 x5=x4+(x4-x1 )x5稱彳x1點(diǎn)相對(duì)于x4點(diǎn)的反射點(diǎn)，計(jì)算反射點(diǎn)的函數(shù)值f (X5),可能出現(xiàn)以下幾種情形；1) f (x5) <f (x3)即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)好要好，說(shuō)明搜索方向正確，可以往前邁一步， 也就是擴(kuò)張。2) f (x3) <f (x5) <f (x2)即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)差，比次差點(diǎn)好，說(shuō)明反射可行，一反射 點(diǎn)代替最差點(diǎn)構(gòu)成新單純形3) f (x2) <f (x5) <f(x1),即反射點(diǎn)比次差點(diǎn)差，比最差點(diǎn)好，說(shuō)明 x5走

13、的太遠(yuǎn)，應(yīng) 縮回一些，即收縮。4) f(x5)>f(x1),反射點(diǎn)比最差點(diǎn)還差，說(shuō)明收縮應(yīng)該多一些。將新點(diǎn)收縮在 x1x4之間5)f(x)>f(x1),說(shuō)明x1x4方向上所有點(diǎn)都比最差點(diǎn)還要差，不能沿此方向進(jìn)行搜索。5-1,簡(jiǎn)述約束優(yōu)化方法的分類。(簡(jiǎn)述約束優(yōu)化問題的直接解法、間接解法的原理、特點(diǎn)及主要方法。)答：直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題，它的基本思路是在 m個(gè)不等式約束條件0所確定的可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)x ,然后決定可行搜索方向 d,且以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng) 沿d方向1進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)x ,即完成一個(gè)迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，重復(fù)上述搜索過(guò)程，滿足

14、收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向 作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會(huì)越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將由直接解 法中的各種算法決定。直接解法的原理簡(jiǎn)單，方法實(shí)用。其特點(diǎn)是：1)由于整個(gè)求解過(guò)程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因此迭代計(jì)算不論何時(shí)終點(diǎn)，都可以獲得一個(gè)比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。2)若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜?，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不 相同時(shí)，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域內(nèi)選擇幾個(gè)差別較大的初始點(diǎn)分別 進(jìn)行計(jì)算，以便從求得多個(gè)局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解。3)要求可行域?yàn)橛薪绲姆强占?，即在有界可行域?nèi)存在滿

15、足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義。直接解法有：隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、廣義簡(jiǎn)約梯度法等。間接解法有不同的求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進(jìn) 行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn) 化成一個(gè)或一系列的無(wú)約束優(yōu)化問題。再對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無(wú)約束優(yōu)化計(jì)算，從而間接地搜索到原約束問題的最優(yōu)解。間接解法是目前在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用的一種有效方法。其特點(diǎn)是：1)由于無(wú)約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟，已經(jīng)研究出不少有效的無(wú)約束最優(yōu)化方法和程序，使得間接解法有了可靠的基礎(chǔ)。目前，這類算法的計(jì)算效率和數(shù)值穩(wěn)定性也都有了較大提高。2)可以有效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問題。3)間接算法存在的主要問題是，選取加權(quán)因子比較困難，加權(quán)因子選取不當(dāng)，不但影響收斂速度和計(jì)算精度，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗。間接解法有懲罰函數(shù)法和增廣乘子法。5-2.用內(nèi)點(diǎn)法求下