新課標全國卷Ⅱ文數

1、2015新課標全國卷(文數) 1.(2015高考新課標全國卷,文1)已知集合A=x|-1<x<2,B=x|0<x<3,則AB等于(A)(A)(-1,3)(B)(-1,0)(C)(0,2)(D)(2,3)解析:集合A=(-1,2),B=(0,3),所以AB=(-1,3).2.(2015高考新課標全國卷,文2)若a為實數,且2+ai1+i=3+i,則a等于(D)(A)-4(B)-3(C)3(D)4解析:因為2+ai1+i=3+i,所以2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,又aR,所以a=4.3.(2015高考新課標全國卷,文3)根據下面給出的2004年至2013年我國二

2、氧化硫年排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結論中不正確的是(D)(A)逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著(B)2007年我國治理二氧化硫排放顯現成效(C)2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢(D)2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關解析:結合圖形可知,2007年與2008年二氧化硫的排放量差距明顯,顯然2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著;2006年二氧化硫的排放量最高,從2006年開始二氧化硫的排放量開始整體呈下降趨勢.顯然A,B,C正確,不正確的是D,不是正相關.4.(2015高考新課標全國卷,文4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)

3、·a等于(C)(A)-1(B)0(C)1(D)2解析:a=(1,-1),b=(-1,2),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.5.(2015高考新課標全國卷,文5)設Sn是等差數列an的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5等于(A)(A)5(B)7(C)9(D)11解析:數列an為等差數列,設公差為d,所以a1+a3+a5=3a1+6d=3,所以a1+2d=1,所以S5=5a1+5×42×d=5(a1+2d)=5.6.(2015高考新課標全國卷,文6)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩

4、余部分體積的比值為(D)(A)18(B)17(C)16(D)15解析:由三視圖可知,該幾何體是一個正方體截去了一個三棱錐,即截去了正方體的一個角.設正方體的棱長為1,則正方體的體積為1,截去的三棱錐的體積為V1=13×12×1×1×1=16,故剩余部分的體積為V2=56,所求比值為V1V2=15.7.(2015高考新課標全國卷,文7)已知三點A(1,0),B(0,3),C(2,3),則ABC外接圓的圓心到原點的距離為(B)(A)53(B)213(C)253(D)43解析:設圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以1+D+F=0,3+3E+F=0

5、,7+2D+3E+F=0,所以D=-2,E=-433,F=1,所以ABC外接圓的圓心為1,233,故ABC外接圓的圓心到原點的距離為1+(233) 2=213.8.(2015高考新課標全國卷,文8)如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著九章算術中的“更相減損術”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為14,18,則輸出的a等于(B)(A)0(B)2(C)4(D)14解析:由題知,a=14,b=18;a=14,b=4;a=10,b=4;a=6,b=4;a=2,b=4;a=2,b=2.所以輸出a=2.9.(2015高考新課標全國卷,文9)已知等比數列an滿足a1=14,a3a5=

6、4(a4-1),則a2等于(C)(A)2(B)1(C)12(D)18解析:設等比數列an的公比為q,a1=14,a3a5=4(a4-1),由題可知q1,則a1q2×a1q4=4(a1q3-1),所以116×q6=414×q3-1,所以q6-16q3+64=0,所以(q3-8)2=0,所以q3=8,所以q=2,所以a2=12,故選C.10.(2015高考新課標全國卷,文10)已知A,B是球O的球面上兩點,AOB=90°,C為該球面上的動點.若三棱錐OABC體積的最大值為36,則球O的表面積為(C)(A)36(B)64(C)144(D)256解析:由題意知當

7、三棱錐的三條側棱兩兩垂直時,其體積最大.設球的半徑為r,則13×12r2·r=36,解得r=6,所以球O的表面積S=4r2=144,選C.11.(2015高考新課標全國卷,文11)如圖,長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點.點P沿著邊BC,CD與DA運動,記BOP=x.將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的函數f(x),則y=f(x)的圖象大致為(B)(A)(B)(C)(D)解析:法一當點P位于邊BC上時,BOP=x,0x4,則BPOB=tan x,所以BP=tan x,所以AP=4+tan2x,所以f(x)=tan x+4+tan2x0x4,可見y=f(x

8、)圖象的變化不可能是一條直線或線段,排除A,C.當點P位于邊CD上時,BOP=x,4x34,則BP+AP=BC2+CP2+AD2+DP2=1+(1-1tanx) 2+1+(1+1tanx) 2.當點P位于邊AD上時,BOP=x,34x,則APOA=tan(-x)=-tan x,所以AP=-tan x,所以BP=4+tan2x,所以f(x)=-tan x+4+tan2x34x,根據函數的解析式可排除D,故選B.法二當點P位于點C時,x=4,此時AP+BP=AC+BC=1+5,當點P位于CD的中點時,x=2,此時AP+BP=22<1+5,故可排除C,D,當點P位于點D時x

9、=34,此時AP+BP=AD+BD=1+5,而在變化過程中不可能以直線的形式變化,故選B.12.(2015高考新課標全國卷,文12)設函數f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,則使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是(A)(A)13,1(B)-,13(1,+)(C)-13,13(D)-,-1313,+解析:函數f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,所以f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數,又當x(0,+)時,f(x)=ln(1+x)-11+x2,f(x)是單調遞增的,故f(x)>f(2x-1)f(|x|)>f(|2x-1|),所以|x|>|2x-1

10、|,解得13<x<1,故選A.13.(2015高考新課標全國卷,文13)已知函數f(x)=ax3-2x的圖象過點(-1,4),則a=. 解析:由題意可知(-1,4)在函數圖象上,即4=-a+2,所以a=-2.答案:-214.(2015高考新課標全國卷,文14)若x,y滿足約束條件x+y-50,2x-y-10,x-2y+10,則z=2x+y的最大值為. 解析:作出可行域如圖中陰影部分所示.在可行域內,斜率為-2的直線經過點C時,z=2x+y取得最大值,此時由x+y-5=0,x-2y+1=0,解得x=3,y=2,所以C(3,2),所以zmax=8.答案:815.(2

11、015高考新課標全國卷,文15)已知雙曲線過點(4,3),且漸近線方程為y=±12x,則該雙曲線的標準方程為. 解析:因為雙曲線的漸近線方程為y=±12x,故可設雙曲線為x24-y2=(>0),又雙曲線過點(4,3),所以424-(3)2=,所以=1,故雙曲線方程為x24-y2=1.答案:x24-y2=116.(2015高考新課標全國卷,文16)已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=. 解析:法一因為y'=1+1x,所以y'|x=1=2,所以y=x+ln x在點(1,1)處的切線方

12、程為y-1=2(x-1),所以y=2x-1.又切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,當a=0時,y=2x+1與y=2x-1平行,故a0,由y=ax2+(a+2)x+1,y=2x-1,得ax2+ax+2=0,因為=a2-8a=0,所以a=8.法二因為y'=1+1x,所以y'|x=1=2,所以y=x+ln x在點(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),所以y=2x-1,又切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,當a=0時,y=2x+1與y=2x-1平行,故a0.因為y'=2ax+(a+2),所以令2ax+a+2=2,得x=-12,代入y=2x-1,得y=-2

13、,所以點-12,-2在y=ax2+(a+2)x+1的圖象上,故-2=a×-122+(a+2)×-12+1,所以a=8.答案:817.(本小題滿分12分)(2015高考新課標全國卷,文17)ABC中,D是BC上的點,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC;(2)若BAC=60°,求B.解:(1)由正弦定理得,ADsinB=BDsinBAD,ADsinC=DCsinCAD.因為AD平分BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DCBD=12.(2)因為C=180°-(BAC+B),BAC=60°,所以sinC=sin(BAC+B)

14、=32cosB+12sinB.由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=30°.18.(本小題滿分12分)(2015高考新課標全國卷,文18)某公司為了解用戶對其產品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶,根據用戶對產品的滿意度評分,得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數分布表.A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數分布表滿意度評分分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數2814106(1)作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散

15、程度(不要求計算出具體值,給出結論即可);B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖(2)根據用戶滿意度評分,將用戶的滿意度分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大?說明理由.解:(1)通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出,B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”;CB表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方

16、圖得P(CA)的估計值為(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(CB)的估計值為(0.005+0.02)×10=0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.19.(本小題滿分12分)(2015高考新課標全國卷,文19)如圖,長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)作EM

17、AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因為長方體被平面分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為10×(6+12)×8210×(4+10)×82=9710×(4+10)×8210×(6+12)×82=79也正確.20.(本小題滿分12分)(2015高考新課標全國卷,文20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,點(2,2)在C上.(1)求C的方程

18、;(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.(1)解:由ca=22,4a2+2b2=1,a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,故橢圓C的方程為x28+y24=1.(2)證明:由題設直線l:y=kx+m(k0,m0),A(x1,y1),B(x2,y2),聯立y=kx+m,x2+2y2-8=0,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2,得AB中點M-2km1+2k2,m1+2k2,則直

19、線OM與直線l斜率乘積為m1+2k2-2km1+2k2·k=-m2km·k=-12,即定值.21.(本小題滿分12分)(2015高考新課標全國卷,文21)已知函數f(x)=ln x+a(1-x).(1)討論f(x)的單調性;(2)當f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時,求a的取值范圍.解:(1)f(x)的定義域為(0,+),f'(x)=1x-a.若a0,則f'(x)>0,所以f(x)在(0,+)單調遞增.若a>0,則當x0,1a時,f'(x)>0;當x1a,+時,f'(x)<0.所以f(x)在0,1a上單調遞增,在

20、1a,+上單調遞減.(2)由(1)知,當a0時,f(x)在(0,+)無最大值;當a>0時,f(x)在x=1a處取得最大值,最大值為f1a=ln 1a+a1-1a=-ln a+a-1.因此f1a>2a-2等價于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,則g(a)在(0,+)上單調遞增,g(1)=0.于是,當0<a<1時,g(a)<0;當a>1時,g(a)>0.因此,a的取值范圍是(0,1).22.(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講(2015高考新課標全國卷,文22)如圖,O為等腰三角形ABC內一點,O與ABC的底邊BC交于M,N

21、兩點,與底邊上的高AD交于點G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點.(1)證明:EFBC;(2)若AG等于O的半徑,且AE=MN=23,求四邊形EBCF的面積.(1)證明:由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分線.又因為O分別與AB,AC相切于點E,F,所以AE=AF,故ADEF.從而EFBC.(2)解:由(1)知,AE=AF,ADEF,故AD是EF的垂直平分線.又EF為O的弦,所以O在AD上.連接OE,OM,則OEAE.由AG等于O的半徑得AO=2OE,所以OAE=30°.因此ABC和AEF都是等邊三角形.因為AE=23,所以AO=4,OE=2.因為OM=OE=2,DM=12MN=3,所以OD=1.于是AD=5,AB=1033.所以四邊形EBCF的面積為12×10332×32-12×(23)2×32=1633.23.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數方程(2015高考新課標全國卷,文23)在直角坐標系xOy中,曲線C1:x=tcos,y=tsin,(t為參數,t0),其中0<.在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:=2sin ,C3:=23cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標;(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的