平面幾何中的向量方法

1、 2.5 平面向量應(yīng)用舉例2.5.1 平面幾何中的向量方法1.1.能運(yùn)用向量的知識解決一些簡單的平面解析幾何問題能運(yùn)用向量的知識解決一些簡單的平面解析幾何問題; ;2.2.利用數(shù)量積解決長度、角度、垂直等問題利用數(shù)量積解決長度、角度、垂直等問題; ;3.3.建立直角坐標(biāo)系利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決長度、角度、建立直角坐標(biāo)系利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決長度、角度、垂直等問題垂直等問題. .( (重點(diǎn)、難點(diǎn)）重點(diǎn)、難點(diǎn)） 由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景景, ,平面幾何圖形的許多性質(zhì)平面幾何圖形的許多性質(zhì), ,如平移、全等、相似、長度、如平移、全等、

2、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題，下面我們通過可用向量方法解決平面幾何中的一些問題，下面我們通過幾個(gè)具體實(shí)例，說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用幾個(gè)具體實(shí)例，說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用. .1.1.長方形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關(guān)系？長方形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關(guān)系？對角線長度的平方對角線長度的平方= =兩鄰邊的平方和兩鄰邊的平方和. .平行四邊形有類似的數(shù)量關(guān)系嗎？平行四邊形有類似的數(shù)量關(guān)系嗎？探究一（長度問題）探究一（長度問題） 思考思考1 1 如圖

3、，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCDABCD中，已知中，已知AB=2AB=2， AD=1AD=1，BD=2BD=2，那么對角線，那么對角線ACAC的長是否確定？的長是否確定？確定確定A AB BC CD D思考思考2:2:在平行四邊形在平行四邊形ABCDABCD中，設(shè)向量中，設(shè)向量 則則向量向量 等于什么？向量等于什么？向量 等于什么？等于什么？ ABa ，ADbACDB DBab,ACab. 2222222,4,24,24,1.2abababaa bbaa bba b 由得=4即（）:2,1,-23,? aba ba bAC利用如何求思考等于多少？22222|()226.ACababaa

4、 bbaa bb 例例1.1.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖如圖2.5-12.5-1， 你能發(fā)現(xiàn)平行四邊你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關(guān)系嗎？形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關(guān)系嗎？A AB BC CD DACAB AD,DBAB AD, ,.ABa ADbACab DBab 設(shè)，則圖圖2.5-12.5-1222() ()2(1)ACAC ACababa aa bb ab baa bb 2222(2)DBaa bb 同理222222(1)(2)2()2(). 得 ACDBabABAD注意這種求注意這種求模的方法

5、模的方法 平行四邊形兩條對角線長的平方和等于兩條鄰邊長平行四邊形兩條對角線長的平方和等于兩條鄰邊長的平方和的兩倍的平方和的兩倍. . 如果不用向量方法，你能證明上述結(jié)論嗎？如果不用向量方法，你能證明上述結(jié)論嗎？ （1 1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2 2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3 3）把運(yùn)算結(jié)果）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素成幾何元素. .用

6、向量方法解決平面幾何問題的用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲三步曲”：提升總結(jié)提升總結(jié)幾何問題向量化幾何問題向量化 向量運(yùn)算關(guān)系化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化向量關(guān)系幾何化例例2.2.如圖如圖2.5-22.5-2，ABCDABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E E、F F分別是分別是ADAD、DCDC邊的邊的中點(diǎn)，中點(diǎn)，BEBE、BFBF分別與分別與ACAC交于交于R R、T T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)ARAR、 RTRT、TCTC之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？A AB BD DE EF FR RT TC C猜想：猜想：AR=RT=TCAR=RT=TC圖圖2.5-22.5-2ABa,ADb,ARr,ACa

7、b. 解設(shè)：則由于由于 與與 共線，故設(shè)共線，故設(shè)因?yàn)橐驗(yàn)锳RA C rn(a b),nR，又因?yàn)橛忠驗(yàn)?共線，共線，所以設(shè)所以設(shè)EREB 與1ERmEBm(ab).2 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以ARAEER ，11rbm (ab).221122()()因此，n abbm ab 1EBABAEab,2 m1(nm)a(n)b0.2即a, b 向 量不 共 線 ,nm0m1n0 .2，nm.1解得：=3111ARAC,TCAC,RTAC.333ATRTTC. 所以同理于是故 利用待定系數(shù)法，結(jié)合向量共線定理和平面向量基利用待定系數(shù)法，結(jié)合向量共線定理和平面向量基本定理，將問題轉(zhuǎn)化為求本定理，將問題轉(zhuǎn)化為

8、求m m、n n的值，是處理線段長度關(guān)的值，是處理線段長度關(guān)系的一種常用手段系的一種常用手段. .提升總結(jié)提升總結(jié)例例3.3.若正方形若正方形OABCOABC的邊長為的邊長為1 1，點(diǎn)，點(diǎn)D D、E E分別為分別為ABAB、BCBC的的中點(diǎn)，試求中點(diǎn)，試求cosDOE.A AB BC CO Oxy解：解：以以O(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)AOA、OCOC所在所在的直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的直角的直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系，分析：分析：建立坐標(biāo)系，利用向量的坐建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角標(biāo)運(yùn)算求夾角.探究二（角度問題）探究二（角度問題）E ED D11(1),(,

9、1)2211(1),(,1)22DEODOE 則，cos1111422.55522OD OEDOEOD OE 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)形式，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)形式，可使解題思路明確，過程簡潔可使解題思路明確，過程簡潔. .提升總結(jié)提升總結(jié)1.ABCDAB BC=0AB=DCABCD .A. B.C. D. 在四邊形中，且，則四邊形是（）平行四邊形矩形菱形正方形BAB=DCABCDAB BC=0ABBCABC=90.ABCD. 由可知，四邊形為平行四邊形，又，即四邊形解：為矩形析OBOC) OBOC-2OA)=0(OBOAOC-OA)0CB (ABAC)0CB (2

10、AM)0(MBCCBAMABC. (，CB，解，為的中點(diǎn))，為等腰：三角形析2 22OABC(OBOC) (OBOC2OA)0ABCA.B.C.D. .( 01濟(jì)南高一檢測)是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且則三角形的形狀為（ ）等腰三角形 等邊三角形直角三角形 以上皆錯(cuò)A AABCO3.3.如圖所示，已知如圖所示，已知O O，ABAB為直徑，為直徑，C C為為O O上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn). .求證求證ACB=90ACB=90. .分析：分析：要證要證ACB=90ACB=90，只需證向，只需證向 量量 ，即，即 ACCB AC CB 0. 證明：證明：設(shè)設(shè) 則則 由此可得：由此可得：AOa,OCb, ACab,CBa b. AC CBabab 2222abab220rr即即 ，ACB=90ACB=90. .0AC CB abABCO（r r是圓的半徑）是圓的半徑）. .1.1.用向量方法證明幾何問題時(shí)用向量方法證明幾何問題時(shí), ,首先選取恰當(dāng)?shù)幕资紫冗x取恰當(dāng)?shù)幕?/p>