波形估計(jì)最佳線性估計(jì)濾波

1、第四章波形估計(jì)(最正確線性估計(jì)、濾波)參量估計(jì)-靜態(tài)估計(jì)-隨機(jī)參量，非隨機(jī)參量 波形估計(jì)-動(dòng)態(tài)估計(jì)-隨機(jī)過(guò)程線性濾波理論是用來(lái)估計(jì)信號(hào)的波形或系統(tǒng)的狀態(tài)最正確估計(jì)-僅當(dāng)高斯隨機(jī)過(guò)程的特殊情況線性最正確估計(jì)，最正確線性濾波-最小方差準(zhǔn)那么最正確線性濾波要解決的問(wèn)題：給定有用信號(hào)與加性噪聲混合的信號(hào)波形，尋求作用于此混合波形的一種線性運(yùn)算，得到的結(jié)果將是信號(hào)與噪聲的最正確別離。最正確-使估計(jì)的均方誤差最小。維納濾波(Wiener Filtering)-1940平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的最正確線性濾波，必需存儲(chǔ)所用到的全部數(shù)據(jù)，計(jì)算量太大，不適 于實(shí)時(shí)處理。卡爾曼濾波(Kalman Filtering)-196

2、0將狀態(tài)變量引入濾波理論,利用遞推算法，便于實(shí)時(shí)處理，并可處理非平穩(wěn)隨機(jī) 過(guò)程。§ 4 1、線性變換與正交原理一、線性變換估值方(t)為觀測(cè)信號(hào)Z(t )的線性變換，故可寫(xiě)成：2?(t)二 LZ(t) I( 4 - 1)式中算子L叮表示線性變換，估計(jì)準(zhǔn)那么是線性最小均方誤差因此，定義誤差：e(t )= Z(t )- Zt )- -(4 - 2)希望導(dǎo)出估計(jì)準(zhǔn)那么L叮，使以下均方誤差最?。篍 U (t)|2】=E Z( t) - Z? ( t)彳 I - - ( 4- 3)由于變換是線性的，那么對(duì)于所有的常數(shù)a1,a2和過(guò)程乙(t)和Z2(t)有：假設(shè)LJ 和L 2 是兩個(gè)線性變換，即

3、：那么其差的變換也是線性變換，即：L la1Z1 (t)a2Z2(t)丨二 a1LlZ1 t a2LLZ2 t 丨 - -(4 - 4)L1'a1Z1(t) a2Z2(t)丨二 a1L1 l-Z1 t a2L1 'Z2 t 丨- -(4 - 5)L2 la1Z1(t)a2Z2(t)匚 a丄21-Z1 t 】a2L2Z2 t 丨 - -(4 - 6)L * = L 2_ L X 1 _ _ ( 4 _ 7 )將(4-5)和(4-6)代到(4-7)式中，即可證明，對(duì)于線性變換有：E ： L ； = L ' E L-( 4 - 8 )式中算子E 表示數(shù)學(xué)期望。假設(shè)X(t)在區(qū)

4、間ti,tf對(duì)所有的E與Z( E)正交，即：E Z (), X (t )丨=0 , 一 t i , t f - -(4- 9)那么對(duì)于Z( E)的任何線性變換，在區(qū)間E sti,tf對(duì)X(t)也正交。假設(shè)LZ( E)是Z( E) 的線性變換，因?yàn)榫€性變換和期望是可以交換的，故有：E I.Z () 1, X ( t - E ： L I.Z ), X ( t) 1?-L ：E I.Z ( ' ), X ( t - L 0 =0 ,-t i , t f , - - (4 - 10)二、正交原理線性變換L訂是最小均方誤差估值，當(dāng)且僅當(dāng)誤差e(t)在區(qū)間E sti,tf對(duì)Z(E )正交。證明：假

5、假設(shè)所有過(guò)程 Z(t)=Y(t)+V(t)是實(shí)的、平穩(wěn)的?？紤]線性變換 L ，對(duì)所有 E ， LZ( j二Y?(t),于是均方誤差E臥! et)二Y (t) - Y?(t)是最小，那么L,Z() Y?(t) - -(4 - 11 )是最正確估值，且= Ee2(t)匸 EY(t) - L Z( ) j' 0.(4 - 12)考慮線性變換L2 *，對(duì)所有 E ， L 2 'Z( = Y?(t),貝U 誤差E *e2 ( he? () = 丫(t) - Y?(t)對(duì)所有 E 與數(shù)據(jù) Z( E )正交，即：E 'e 2 (t) , Z( ) = E : Y (t Y?(t) ,

6、 Z( j 0 .( 4 - 13 )誤差e1(t)可用e2(t)表示，如e“(t)二 Y (t) - LjZ1二 Y (t)L2 !z :- L2 I.Z :- L1 I.Z二 e2(t) L2 'Z 1- L1 I.Z 1=e2(t) L lZ '丨-(4 - 14 )由式(4-7)差的變換也是線性變換。將式(4-14)代入式(4-12)，由最正確估值，線性 均方誤差變成：；m二E 7 Y ( t)- L1 Z(')I2f=E'2 ( t )-L Z( )I2f=E le 2 (t J 2 E le 2 ( t ), L Z )1 E Il Z () I2

7、】.(4-15)因?yàn)閑2(t)對(duì)數(shù)據(jù)Z( E )正交，也就對(duì)LZ( E )正交，如方程(4-9)所示，于是E 'e2(t), LZ () = 0.( 4 - 16 )那么最小均方誤差簡(jiǎn)化為：5 = Ee；(t) 1 E XLZ ( ) I2.( 4 - 17 )其中 e e2 (t) 為估計(jì)值L 2【J的均方誤差。因此= Ee；(t)l E)LZ( )Fx Ee；(t)(4-18)當(dāng)且僅當(dāng)非負(fù)值E "LZ () l2 為零，即：L“ LJLJJ二 0 - -(4- 19)這就證明了上述正交原理；對(duì)于誤差與數(shù)據(jù)正交，線性變換導(dǎo)致最小均方誤差線 性估計(jì)值，反之亦然。維納濾波器的推

8、導(dǎo)可以用正交原理的方法，也可采用其他的方法，如變分法等。§ 4-2維納濾波(平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的最正確線性濾波) 濾波的條件及要求：有用信號(hào)s(t)是隨機(jī)過(guò)程+加性噪聲n(t)輸入x(t)并假設(shè)s(t),n(t)是聯(lián)合寬平穩(wěn)的，具有的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)(或?qū)?yīng)的譜密度函數(shù))；濾波器是線性時(shí)不變的h(t) H(® )輸出是寬平穩(wěn)的，即穩(wěn)態(tài)濾波的含義。理論上可認(rèn)為輸入信號(hào)x(t)是在t=-%時(shí)參加的，因此，在任何有限時(shí)刻t，輸出y(t)是寬平穩(wěn)的。選取濾波器的h(t)H( 3)，使估計(jì)的均方誤差最小。:<0 平滑，：=0濾波、去噪，:>0 預(yù)測(cè)。 濾波器的理想輸出為s

9、(t+ ：)，估計(jì)的誤差為: e(t)=s(t+： )-y(t) (4-20)用變分法：估計(jì)誤差的平方為：e2(t)二 s2(t ：) - 2s(t ： )y(t) y2(t) - -(4- 21qQ而 y(t)二 _h(u)x(t - u)du -(4 - 22 )代入上式，兩邊取數(shù)學(xué)期望，得到均方誤差：E e2h(u)h(v) Rx(v - u)dudv-h(u)Rsx +u)du + Rs(0) (423)_JDO式中：Rs-s(t)的自相關(guān)函數(shù)Rx-x(t)=s(t)+n(t)的自相關(guān)函數(shù)Rs,x-s(t)和x(t)之間的互相關(guān)函數(shù)假設(shè)信號(hào)s(t)和噪聲n(t)不相關(guān)，且噪聲均值為零，

10、即En(t)=0 ，那么有:Rx = RsRs,x =RnRs-(4 _24)維納濾波就是要求出(4-23)式中的h(u)，使得Ee2(t) 1最小，為此可以利用變分法求解。令沖擊響應(yīng)為: h(u)+ ；. (u) (4-25)h(u)最正確沖擊響應(yīng)(u)任意擾動(dòng)函數(shù)-小的擾動(dòng)因子當(dāng)->0，沖擊響應(yīng)->h(u)最正確沖擊響應(yīng)。于是我們可以將式(4-25)代入(4-23)式中，那么有:h(u)十八(u) h(v)十八(v) Rx(v u)dudv(u)Rs,x(：u)duRs(0)(4 - 26)_iqO oC- 2h(u)；aO容易看出e e2( t】是的函數(shù)，當(dāng)=0時(shí)取最小值，故

11、可求 E *e2 (t )-0 .(;-0改寫(xiě)積分變量后，可得：oO-oO4 - 27 )Rs,x(：(I) I下面分別就物理不可實(shí)現(xiàn) 此式的求解問(wèn)題 一、 物理不可實(shí)現(xiàn)(非因果)維納濾波器qQ"Ih (u ) Rx C - u )du d = 0 .( 4 - 28 ) cO(非因果)和物理可實(shí)現(xiàn)(因果)的兩種情況，來(lái)討論h () = 0 ,： 0( 4 - 29 )所謂非因果的維納濾波器，是指不僅要利用過(guò)去的數(shù)據(jù)也要求利用未來(lái)的數(shù)據(jù)，故只可用于事后的數(shù)據(jù)分析，不適合實(shí)時(shí)處理。(4-29)式說(shuō)明對(duì)hf )和 () 均沒(méi)有任何限制。故(4-28)式唯一可能的解，就是式中方括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)為

12、零，即:_ . h (u) Rx C - u)d = Rs,x (：-4 - 30 )此為弗雷德霍姆(Fredholm)第一類方程，積分區(qū)間為(-：,+ ：),兩端求雙邊拉氏 變換得：H (P)Sx(p)二 Ss,x(P)exp( : p) - -(4 - 31)式中 p = + jSx(p) = LlRx(E)】，Ss,x(P)= LRs,xC )故有：H ( p)Ss,x( p)exp( : p)Sx( p)- - (4 - 32 )當(dāng)信號(hào)與噪聲不相關(guān)(統(tǒng)計(jì)獨(dú)立)時(shí)，由(4-24)式得:H ( p)Ss,x ( P) exp( : p )Ss( P) Sn ( p)代入P = j得非因果維

13、納濾波器的傳輸函數(shù):- (4 - 34)Ss,x( )exp(j)Ss( ) Sn()容易看出SC)較小時(shí)H()較大，而在 Sn() 較大時(shí)H©)較小。此即維納濾波器用來(lái)抑制噪聲復(fù)員信號(hào)的方法。此時(shí)的最小均方誤差為，由(4-23)式：E e2 丄 Rs(0) - .h(u)Rs,x(： u)du對(duì)于最正確沖+ . .h(u) - Rs,x(： u) _h(v)Rx(u - v)dv du.(4 - 35)擊響應(yīng)，應(yīng)滿足(4-30)式，因此上式中方括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)為零，所以最小均方誤 差為：e e2min二 Rs(0)- ；h(u)Rs,x(：u)du.(4-36)二、物理可實(shí)現(xiàn)(因果)維納

14、濾波器原 h(u)+ ；. (u)(4-25)h( ) 7 ()70-(4-37)而0,時(shí) ()可為任意函數(shù)。比照(4-30)式那么有：J 亦(u) Rx (I -u )du = Rs,x (a + i), -閔 v E v +田.(4 一 30 )qQh(u)Rx(iu)du Rsx(a + i)=0,£ 蘭0.(4-38) 此即Wiener-Hopf方程，僅在 - 0成立，求解復(fù)雜求解方法有兩種，頻譜因式分解法，預(yù)白化方法。 頻譜因式分解法：首先定義一個(gè)未知的負(fù)時(shí)間函數(shù)代替(4-38)式的右端a()qQh(u)Rx(- u)du - Rs,x(：J + i)= a(i), _比兩

15、端求雙邊拉氏變換得:H ( P)Sx( p) - Ss,x(P)exp( : p)二 A( p) - -(4 - 41 )現(xiàn)對(duì)譜密度Sx( p)進(jìn)行因式分解得：Sx(p)二 Sx (p)S；(p) - -(4 - 42)Sx ( p)的另極點(diǎn)均在左半平面，對(duì)應(yīng)正時(shí)間函數(shù);S-(p)的另極點(diǎn)均在右半平面，對(duì)應(yīng)負(fù)時(shí)間函數(shù)；故有：H (p)Sx (p)Sx"p) - Ss,x(P)exp( : p)二 A(p).( 4 - 43)H (p)Sx(p)二A( p) Ss,x ( P) exp( S/( p )S7( p )U.( 4 - 44 )對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器，hC ) = 0, ：

16、 0 ；即hC )是正時(shí)間函數(shù),對(duì)應(yīng)的H(p)的另極點(diǎn)都應(yīng)在左半平面,H ( p)Sx(p) 亦然。而)為負(fù)時(shí)間函數(shù)，A(p)的另極點(diǎn)均應(yīng)在右半平面， A(p)/Sx_(p)亦然。同理上 式中右邊第二項(xiàng)也可分成分別對(duì)應(yīng)正負(fù)時(shí)間函數(shù)的兩項(xiàng)H(p)心Xxd正時(shí)間局部-45)先求上式中的逆變換，再求單邊拉氏變換得:H ( p)1Sx ( p)0-pt 占c j Ss,x ( P )e ：p c S：(p)e pt dp dt .( 4 46 )E'e 2 Lin 二 Rs(0)此時(shí)最小均方誤差為:二 h ( ) Rs,x (：)d , 一 0 ( 4 - 47 )物理可實(shí)現(xiàn)h ( . ) =

17、 0 , .： 0，故可取消上式- 0條件從而可得與物理不可實(shí)現(xiàn)的維納濾波器相同的結(jié)果；上式還可進(jìn)一步化成具有明顯物理意義的的形式(詳細(xì)推導(dǎo)可見(jiàn)參考文獻(xiàn) 1劉有恒p.363)。E '-e2 min 二 Rs(O) -。： R2s,z(：t)dt.(4 - 48)令© G) = Rs,zG)= Es(t), z(t- £)】 -(4 - 49 )那么 Rs,z (o + I ) = © 2+ E )代入(4-48)式得：E '-e2 Lin 二 Rs(O) -2 C t)dt2二 Rs(O) -()d .(4 - 50 )2由于'(t)是非負(fù)

18、的，因此、最小均方誤差隨著值的增大而單調(diào)地增大。故可得到如下重要結(jié)論：02(t)02( 丁)02(7)a) « >0預(yù)測(cè) b)a = 0濾波 c)av0平滑a) : >0,對(duì)應(yīng)于預(yù)測(cè)情況。其均方誤差要比濾波和平滑的情況為大；當(dāng)。T + °C時(shí)E)e2 h 趨于上限Rs(0)，即無(wú)限時(shí)間預(yù)測(cè)所對(duì)應(yīng)的 均方誤差，等于有用信號(hào) s(t)的均方值。此種情況下，實(shí)際濾波器的輸出 為零y(t)=0,故有：Ee2 丨=Es2 (t : ) = R s ( 0 )由于當(dāng)前信號(hào)與無(wú)限遠(yuǎn)未來(lái)的信號(hào)是不相關(guān)的， 所以不能根據(jù)當(dāng)前信號(hào)來(lái)預(yù)測(cè)無(wú) 限遠(yuǎn)未來(lái)的信號(hào)。b) : <0,對(duì)應(yīng)

19、于平滑情況。相當(dāng)于延時(shí)濾波，所得到的均方誤差較無(wú)延時(shí)濾波：=0為小，即延時(shí)濾波可以提高估計(jì)精度。當(dāng)時(shí)，ee2丨到達(dá)下限；這表示輸入信號(hào)全部參加以后，才開(kāi)始處理和輸出數(shù)據(jù)，因此是利用了全部輸入 信號(hào)的信息，有助于提高估計(jì)精度，使均方誤差到達(dá)下限。事實(shí)上，這種非實(shí)時(shí) 處理的情況，相當(dāng)于物理不可實(shí)現(xiàn)的濾波器。對(duì)于物理不可實(shí)現(xiàn)的濾波器，同理 可以推導(dǎo)出：E e 2 h 二 R s ( 0 )-2 () d . .( 4-51)因此、物理不可實(shí)現(xiàn)濾波器的均方誤差，是物理可實(shí)現(xiàn)濾波器均方誤差的下限。所以、討論較好計(jì)算的物理不可實(shí)現(xiàn)濾波器均方誤差，也是有實(shí)際意義的。三、離散時(shí)間維納濾波器上述物理可實(shí)現(xiàn)維納濾

20、波器，都是在連續(xù)時(shí)間下討論的，其主要問(wèn)題可歸納為：如何對(duì)輸入信號(hào)的過(guò)去歷史進(jìn)行加權(quán)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)當(dāng)前信號(hào)的最正確估計(jì)，最正確準(zhǔn)那么 是均方誤差最小。按照這種思路，可以方便地將維納濾波器推廣到離散情況。 對(duì) 輸入信號(hào)x(t)=s(t)+n(t)進(jìn)行采樣，ti時(shí)刻的數(shù)據(jù)Xi：Xi = x(tj)二 s(tj)n (tj)二 Si山，i = 1,. N (4 - 52 )tN時(shí)刻的輸出樣本yN為以前輸入樣本的線性加權(quán)和：y = Oxk 2 X2. k n x - -(4- 53)其中ki, k 2，k n為權(quán)重序列，那么無(wú)延時(shí)濾波的估計(jì)誤差：eN = SN 一 y N二 Sn -(k*k?X2kzXN)

21、 - (4 - 54 )E=EU-S N(k1 x 1k2X2+.kN X N)12Es2N打k 12 Ex21 k 1 E 12 'X 21 +.k2N Ex N+2 k 1k 2E1X 1 X 2+2k 1 k 3 E1-X 1 X3 1+ +2 k 1k nEl-X 1 X N 1+2 k 2k 3El-x 2 X 3+2k 2 k 4 ELx 2x 41 '".-2 k2 k NEl-X 2 X N+.+2k n_1 k NEIX 1N _1 X n 12 k1 El-x1 S n+2k2 E l-X 2 SN 1+ .2 kN EX NsN 2.( 4均方誤

22、差為：55 )維納濾波的目的是求權(quán)重序列 kk2,kN使得均方誤差2'2 1E Bn '到達(dá)最小值。分別令 E n對(duì)ki , k2 ,. kN的偏導(dǎo)數(shù)為零,就可以得到n個(gè)求解ki, k2，kN的聯(lián)立方程，如式(4-56)所示。假定信號(hào)與噪聲的自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)，貝U式中數(shù)學(xué)期望也，故可解出k1, k.k NEX21 El-x1 x2 1I E 2X1 】 EX：】aa_EXn x J EXn X2 1Exe 1 kiEX2 Xn 】I k?am. * ExN I _-kN _EXiSn 1E【x 2 s nm_ E l-xn Sn(4-56)此即維納濾波器的形式解。當(dāng)樣本數(shù)

23、N有限時(shí)，對(duì)于非實(shí)時(shí)處理而言，這種方法仍不失為一種可行的濾波方法。但是、對(duì)于實(shí)時(shí)處理來(lái)說(shuō)，顯得不切實(shí)際。因?yàn)椋?隨著樣本數(shù)的增加，計(jì)算量迅速增大。如N->(N+1), N X N階協(xié)方差矩陣一->(N+1) X (N+1)階矩陣，要解N+1個(gè)聯(lián)立方程，計(jì)算量猛增。而且、還無(wú)法預(yù)見(jiàn)哪些數(shù)據(jù)是以后不需要了可以去掉；新、老數(shù)據(jù)同樣重要，只好保存所有的數(shù)據(jù), 故不能實(shí)時(shí)處理；且也難以推廣到多變量同時(shí)估計(jì)的情況。且看一個(gè)比擬算法優(yōu)劣的簡(jiǎn)單例子假定一常值信號(hào)+噪聲Z=m+ni求樣本均值作為常值信號(hào)的估計(jì)方法一、存儲(chǔ)所有觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算步驟如下：存儲(chǔ)Zi計(jì)算均值估計(jì)n?i 二存儲(chǔ)Z2計(jì)算均值估計(jì)n

24、?2 二存儲(chǔ)Z3計(jì)算均值估計(jì)n?3 二存儲(chǔ)Zn計(jì)算均值估計(jì)n? n =2、測(cè) Z23、測(cè) Z34、測(cè) Zn1、測(cè) ZiZ!(Zi Z2 Z3)/3(Z 1-.- Z N ) / N(ZZ2)/2方法二、每次新的估計(jì)僅由上一次估計(jì)及新的觀測(cè)樣本構(gòu)成而與過(guò)去的觀測(cè)樣本 無(wú)關(guān)。計(jì)算步驟如下：1、測(cè)乙計(jì)算均值估計(jì)n?i = Zi存儲(chǔ)r?i清洗Zi2、測(cè)Z2計(jì)算n? 2R+ P2存儲(chǔ)傀清洗Z2, mLz3存儲(chǔ) n?3清洗乙，n?223、測(cè) Z3 計(jì)算 n? 3 二 一 n? 2 +3依次類推那么有：N、測(cè)Zn計(jì)算n?存儲(chǔ)n?N 清洗Zn, n?N -i .顯然兩種方法計(jì)算結(jié)果相同，是完全等價(jià)的；但是方法

25、二要比方法一簡(jiǎn)單、優(yōu)越; 無(wú)需存儲(chǔ)過(guò)去老的數(shù)據(jù)，僅用前一次的估計(jì)值與新的觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算新的估計(jì)- 遞推算法。方法一那么要存儲(chǔ)過(guò)去的所有數(shù)據(jù)，每觀測(cè)一個(gè)新的數(shù)據(jù)，都需要和過(guò) 去所有的數(shù)據(jù)一起來(lái)計(jì)算新的估計(jì)值。離散時(shí)間維納濾波器酷似方法一，而卡爾 曼濾波那么相當(dāng)于后者遞推算法一引入了狀態(tài)變量和狀態(tài)方程。§ 4- 3卡爾曼濾波最正確線性濾波-II維納濾波問(wèn)題即求濾波器的沖擊響應(yīng)， 使估計(jì)的均方誤差最??；實(shí)際是如何最好 地加權(quán)過(guò)去的輸入數(shù)據(jù)，以決定當(dāng)前的輸出，其權(quán)重就是沖擊響應(yīng)。但離散維納 濾波求解繁瑣，計(jì)算量大難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理以及多個(gè)變量同時(shí)估計(jì)。 i960年后, 航天等應(yīng)用使人們探索新的

26、算法?？柭鼮V波是對(duì)維納濾波的一次突破，用狀態(tài) 空間模型代替相關(guān)函數(shù)，時(shí)域微分方程、遞推算法，非平穩(wěn)等卡爾曼濾波的主要特征：1、隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間模型，矩陣表示，可同時(shí)估計(jì)多變量2、觀測(cè)數(shù)據(jù)提出遞推算法，便于實(shí)時(shí)處理。一、 隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間模型狀態(tài)變量:動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的t = to時(shí)刻初始狀態(tài)以及t - to時(shí)的輸入的情況 下，確定此動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的一組最少數(shù)目的變量。狀態(tài)方程：狀態(tài)變量所滿足的一維微分方程。 狀態(tài)變量舉例回路電流i=X1電容電荷q電容電壓v=X2=q/C滿足微di+dtRi方RCd t假設(shè)利用X1 X2作為狀態(tài)變量，那么可化成兩個(gè)一階微分方程:RxRx上式即狀態(tài)變量所滿足的兩個(gè)一階

27、微分方程-狀態(tài)方程。 _巴LC寫(xiě)成矩陣形式為:假設(shè)取電阻R兩端的電壓 或?qū)懗删仃囆问降妮敵龇匠?y作為輸出變量：y=Ri=Rxi般情況以X1, x2 ,XN表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量，那么狀態(tài)方程:X1 1-x 29=.X N 一-a n 1a 11a 21a 12a 22N 1bnb 21b 12b 22bbb輸出方程也可表示為:y ic11c 12c i nx iy 2c21C22c 2 Nx2mgg+gmy LcL1Cl2c L NxN以上狀態(tài)方程可簡(jiǎn)記為：X二 A XB UY二 C XX=N x 1,U =M x 1,Y =L x 1,A=N x N,B =N x M,C =L x N.此即隨

28、機(jī)過(guò)程y(t)的連續(xù)狀態(tài)模型。其中X 是狀態(tài)變量矢量，U是策劃噪聲矢量-其M個(gè)分量都是白噪聲過(guò)程。此模型的含義是：可以認(rèn)為隨機(jī)過(guò)程 y(t)是以白噪聲輸入到某個(gè)線性系統(tǒng) 的結(jié)果；而狀態(tài)變量可以看作是為了得到y(tǒng)(t)而引用的中間變量。一般說(shuō)來(lái)，并非所有的隨機(jī)過(guò)程都可以用上述狀態(tài)模型來(lái)描述； 然而、實(shí)際應(yīng)用中確實(shí)有許多隨機(jī)過(guò)程可歸結(jié)為上述狀態(tài)模型。特別是具有有理功率譜密度的隨機(jī)過(guò)程都可歸結(jié)為上述狀態(tài)模 型。其典型推導(dǎo)過(guò)程如下：首先對(duì)隨機(jī)過(guò)程y(t)的有理功率譜密度Sy(p)進(jìn)行因式分解，即:Sy(p)二 Sy(p)S；(p)(4 - 57)Sy ( P)的另、極點(diǎn)在左半平面，對(duì)應(yīng)正時(shí)間函數(shù)；sy(

29、p)的另、極點(diǎn)在右半平面，對(duì)應(yīng)負(fù)時(shí)間函數(shù)u(t)形成濾波器_里* H(p>Sy(p) '然后取Sy(p)作為形成濾波器的傳輸函數(shù)，那么單位白噪聲(譜為1) u(t)通過(guò)該形成濾波器后，輸出即為所求的隨機(jī)過(guò)程 y(t)其有理功率譜密度Sy(p)為形成濾波器的傳輸函數(shù)模平方：H 2 )1 - |s；2 )| 二 s；) s；2 )二 Sy ( )sy(廠 Sy() - -(4 - 58 )傳輸函數(shù)H(p)就可以按照狀態(tài)空間分析方法，由傳輸函數(shù)導(dǎo)出狀態(tài)方程，從而得出 y(t)的狀態(tài)模型。例4-2一隨機(jī)過(guò)程y(t)其功率譜為Sy(jw)16Sy( j )二 44216416代入P二j ，

30、得：C1616S y ( p)= P 4 4 P 21 - p3,V p3Sy(P)二 Sy (P)S；(P)P2 2P 44P2 - 2P 4H ( P)_ Sy ( p)_ p2 2P 4此即形成濾波器的傳輸函數(shù)，于是可由傳輸函數(shù)求狀態(tài)方程。那么有：丫(pH (P)U (P p2 . 2(PP) 4有拉氏變換:丫( P )L !-y (t) 1, ,U ( p )二 L 'u (t) 1(P 22 P 4)Y ( p ) = 4U ( p)求拉氏反變換可得狀態(tài)變量應(yīng)滿足的微分方程:=I+IM2 一-4-2 一* 一'1 一yXi0X 1IX 21.4011 U ®

31、u(t)引進(jìn)狀態(tài)變量xim,令y = 4論，禺=X2 (此假定不是唯一)X = X 2x? = -4Xi - 2X2 u那么有；此即前述形式的狀態(tài)模型。實(shí)際上，隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)模型適用的范圍很廣，不僅限于上述有理譜的情況，任何通過(guò)線性微分方程與白噪聲發(fā)生關(guān)系的隨機(jī)過(guò) 程都可以表示成為狀態(tài)模型。 如維納過(guò)程及具有隨機(jī)幅度就相位 的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程等等。狀態(tài)方程的時(shí)域解： 最簡(jiǎn)單的一維狀態(tài)方程(標(biāo)量)x 二 ax bu ( 4 - 59 )dx (t)dt-atax (t) bu (t).( 4 - 60 )兩邊同乘 ee _at dX (t) - ae at x(t) = be u (t).( 4

32、- 61 ) dtde atx(t) = be atu(t)心和*dt兩邊積分得：tttax(t) += beu ) d Tt 0t 0+te x (t) - e " 0 x (t0 ) = be " u ( )d tox(t) = e a (t0)x (10 ) e at be 一3 u ( )dt 0=ea(t-to)x(to )be a (t _)u ( ) d .( 4 - 62 )t 0同理對(duì)于寫(xiě)成矩陣形式的狀態(tài)方程：X 二 A X B U -( 4 - 63 )得：tX (t)二 eA(t_to)X (t0 ) eA(t)B(. )U ( )d ( 4 - 64

33、 )t 0此式有時(shí)又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，式中矩陣eAt是與A同階的矩陣，通常稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并記為 ：J (t)故有：X (t)二：(t - t°)X (t°)(t - )B ( )U ( )d .(4 - 65 ) t0隨機(jī)過(guò)程的離散狀態(tài)模型可從連續(xù)過(guò)程進(jìn)行采樣的方式導(dǎo)出， 詳細(xì)推導(dǎo)可見(jiàn)劉有恒書(shū) p.389。I960年初卡爾曼那么是先提出離 散時(shí)間的卡爾曼濾波的遞推算法，然后再導(dǎo)出連續(xù)形式的算法。XKT = X ( t K 1 ),其中：*WkX X (tK ) K+1,K =(tK+1 t K )*HHHtK -1,二 t j (tK 1 一 )B ( )U ( )d

34、t K、離散時(shí)間卡爾曼濾波的三個(gè)過(guò)程消息過(guò)程、觀測(cè)過(guò)程、估計(jì)過(guò)程相應(yīng)的模型X K 1 二二消息模型：即為前述離散狀態(tài)模型-(4 - 67 )Zk 二 H k X k Vk - -4 - 68 Z K - tK時(shí)刻的觀測(cè)矢量Mx 1,其中：Vk -測(cè)量噪聲矢量Mx1,H K -觀測(cè)矩陣MxN ，及V K = 0時(shí)Z K二X K的變換策劃噪聲矢量 WK和測(cè)量噪聲矢量 Vk各自的協(xié)方差矩陣均已 知，兩者都是零均值，且兩者不相關(guān)，即：TQ K，i = k/EW K W i=-(4-6 9)k 0 ,ik R “ ，i = k/EV K V i=*r x-(4-7 0 )0 , i豐 kEwkVt =0

35、,.Vi , K ( 4 7 1 )】估計(jì)模型：XV對(duì)x K在tK時(shí)刻以前的預(yù)測(cè)估計(jì)先驗(yàn)估計(jì) e/二X k - X?Q預(yù)測(cè)誤差零均值那么對(duì)預(yù)測(cè)誤差的協(xié)方差矩陣為：= EeK-e = EXk - X?KXk - X?KT.4 - 727 -作為卡爾曼濾波最正確線性估計(jì)的出發(fā)點(diǎn)，一般假定Xk和Pk是的，假設(shè)實(shí)際情況下不能確切地求出，但是如果其均值為零的話，那么可令：=0，PK= E X K Xj 有了預(yù)測(cè)估計(jì) XK以后，我們就可以利用tK時(shí)刻的- ?觀測(cè)矢量Zk來(lái)改善對(duì)X K的估計(jì)，tK時(shí)刻的估計(jì)記為 X K，稱為更新估計(jì):二 X?K Kk(Zk - H kXK) - -(4 - 73)Kk 為待

36、定的增益矩陣 式中第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)預(yù)測(cè)估計(jì)；第二項(xiàng)是代表tK時(shí)刻，由觀測(cè)值Zk得到的關(guān)于 XK的 最新信息。而更新估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣為：H k X?K)Pk = E( X k - X?K) - K k ( H k X k Vk(X k - X? K) - K k ( H k x k V K - H K X? K ) T .( 4 - 74 )爾曼濾波的目的也是使估計(jì)誤差的均方值最小，即是使得更新估計(jì)X K為最,同樣是采用維納濾波的準(zhǔn)那么：最小均方誤差。由此即可求解出最正確增益矩陣。推導(dǎo)過(guò)程略，詳見(jiàn)劉有恒書(shū) p.394-396 ):：K = PJHkT(HkPJHkT + 最正確增益矩陣亦稱卡爾

37、曼增益矩陣 是否合理來(lái)看：當(dāng)測(cè)量-1- / TRk)(4 - 75)其物理意義，可從各個(gè)變量相對(duì)變化的趨 噪聲增加時(shí)，由式(4-70)可知，即E V kV< 對(duì)=R K -應(yīng)最正確增益矩陣時(shí)的誤差的協(xié)方差矩陣為:(4 - 76 )(I - K K H K )Pk易看出，卡爾曼濾波是具有“反應(yīng)校正作用的，即:測(cè)估計(jì)+校正的新信息=更新估計(jì)估計(jì)已經(jīng)很準(zhǔn)確的時(shí)候，那么PJ就會(huì)很小了，就是增益矩陣 Kk也很小了,時(shí)新的觀測(cè)數(shù)據(jù)Zk的校正作用意義就不大了。假設(shè)Pk= 0那么即:K = 0，這就說(shuō)明X K已經(jīng)到達(dá)準(zhǔn)確值了。下面可寫(xiě)成一個(gè)離散卡爾曼 波的框圖：而可以看出Pk* 起且 始始K值J衛(wèi)-kP

38、 j P此時(shí)也就沒(méi)有新的信息再作更新校正的 預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣計(jì)矩陣j +5環(huán)iKKhHX0最新K .當(dāng)噪聲繼續(xù)增加，直到前面的分析可以看出，當(dāng)測(cè)量噪聲增加時(shí)，最正確增益矩陣下降。再由式(4-76)作用了，迭代終止三、離散時(shí)間卡爾曼濾波的應(yīng)用離散時(shí)間卡爾曼濾波的應(yīng)用非常廣泛，航天、導(dǎo)航、自動(dòng)控制、通信、冶金、電力、化工、氣象、水文、地質(zhì)等領(lǐng)域。美國(guó)阿波羅登月方案，GPS系統(tǒng)，巡航導(dǎo)彈的雷達(dá)信號(hào)處理及控制都是卡爾曼濾波成功應(yīng)用的例子。卡爾曼濾波應(yīng)用的一些限制：二模型問(wèn)題：近似的狀態(tài)模型-估計(jì)的精度，簡(jiǎn)化計(jì)算近似程度-估計(jì)誤差及迭代收斂、發(fā)散二實(shí)時(shí)處理能力：計(jì)算量的大小-改良計(jì)算技術(shù)、減少狀態(tài)的維

39、數(shù)、采用近似的增益矩陣等。發(fā)散問(wèn)題：模型的選擇及有限字長(zhǎng)等問(wèn)題。許多的研究工作繼續(xù)在開(kāi)展進(jìn)行-卡爾曼濾波的生命力。例4-2、 負(fù)載預(yù)測(cè)BSTJ(Bell System Technical Journal)1982No.1 是卡爾曼濾波應(yīng)用于 網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的?？?，其中有一篇是關(guān)于 干線用戶需求量的短期預(yù)測(cè)的文章。3C0C25003C0C23002000 i口干線很供的負(fù)找童 o 年間韶預(yù)測(cè)<500 1137519-99圖9>5 電活干線負(fù)載數(shù)據(jù)口干線提供的負(fù)我量。年間陥預(yù)測(cè)?200019751976197719781979a迷慈線用戶需求量的短期預(yù)測(cè)的文章。 干線負(fù)載數(shù)據(jù)上圖是某條 干線

40、數(shù)年間的負(fù)載數(shù)據(jù)，其中方形點(diǎn)代表 佃75年佃79年實(shí)際負(fù)載數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)曲線是周期性起伏的， 在每年年底至年初期間 負(fù)載到達(dá)頂峰。曲線近似于是在 正弦曲線上疊加一個(gè)逐年線性增長(zhǎng)的趨勢(shì)，正弦局部和線性 局部都有一些噪聲疊加其上。故可采用以下模型擬合系統(tǒng)的 狀態(tài)：線性局部x= fi(t),振蕩局部y+32y= f2(t)fl(t), f2(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的白噪聲過(guò)程，定義狀態(tài)變量：X廠 X,X2 二 X,X3 二 y,X4 二 y由此可以寫(xiě)成以下?tīng)顟B(tài)方程：Xi1 101100 X11 1 101 1-X2 _0000 X2fi(t)X301001X31 1 3 101 .X4.00-©20X4-f2(t)矩陣形式為：Xax u此為連續(xù)時(shí)間的狀態(tài)變量模型。經(jīng)過(guò)用時(shí)間間隔T的抽樣觀測(cè)，可得離散的消息模型：Xk !kXk Wk根據(jù)相應(yīng)的公式可以求出1