測(cè)度論基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)

1、測(cè)度論根底知識(shí)總結(jié)1集合論1.1集合與根本運(yùn)算概念：具有一定性質(zhì)的對(duì)象構(gòu)成的全體不嚴(yán)格定義。中間含有的對(duì)象叫元素。全集：要研究的問(wèn)題涉及到的最大集合?？占簺](méi)有任何元素的集合。表達(dá)方法：X集合元素X|x應(yīng)該有的性質(zhì)元素與集合的關(guān)系：xA, x?A集合之間的關(guān)系只有包含或者不包含假設(shè)對(duì)于任意元素 xA, xB那么A包含于B證明就用這個(gè)方法，A是B的子集AB 那么為B的真子集包含的特殊情況相等：A=B就是A包含于B同時(shí)B包含于A真子集：A包含于B但AMB集合的運(yùn)算 單個(gè)元素的幕集2X對(duì)于一個(gè)集合X,它的幕集2X表示所有其子集為元素構(gòu)成的集合。這種以集合為元素的集合，也叫集合族。 兩個(gè)集合的運(yùn)算交：

2、AnB=x| x 6A 且 xB并：A UB=x| x CA 或 x B差：AB或?qū)懗?A-B=x| x A 且 x?B補(bǔ)：AC=UA U是問(wèn)題要研究的全集于是有等式 ab=a nBC積：直積AX B=(x,y)| x CA且yB 把A、B中元素構(gòu)成有序?qū)?多個(gè)元素的運(yùn)算多個(gè)交？入giA入表示所有以入為角標(biāo)的集合的并，要求入 I,稱(chēng)為指標(biāo)集。類(lèi)似有多個(gè)并注：可以是無(wú)窮個(gè)1【例】An x| x> , A=x| x>0，那么 A=?n=1 Ann集合的分析相關(guān)性質(zhì) 上限集：一列集合An，定義上限集為？n=1 ?k=n Ak。類(lèi)似于數(shù)列的上極限。 下限集：一列集合An，定義下限集為？n=

3、1 ?k=n Ak。類(lèi)似于數(shù)列的下極限。 集合列的極限：當(dāng)上限集等于下限集時(shí)極限存在，就是上限集或下限集。 單調(diào)集合列：假設(shè)始終有An包含于An+1 ,也就是集合越來(lái)越大，那么為遞增集合列；反之，假設(shè)始終有An+1包含于An ,那么為遞減列。假設(shè)An為遞增列，那么有極限lim An =? n=1 An ；假設(shè)為遞減列，那么有l(wèi)im An =? n=1 An。ngng映射定義：X、Y是兩個(gè)集合，對(duì)任意x欣，存在唯一的y=f(x) Y與之對(duì)應(yīng)，那么對(duì)應(yīng)法那么f為X 到Y(jié)的一個(gè)映射，記為f:X tY。像集：對(duì)于X的一個(gè)子集A，像集f(x)| x A記為f(A)，顯然包含于Y原像集：對(duì)于Y的一個(gè)子集B

4、,原像集x| x A且f(x) B記為f-1 (B)滿(mǎn)射：?jiǎn)紊?f(X)=Y,即Y中所有兀素都是像X中不冋兀素一定對(duì)應(yīng) Y中不冋的像雙射:既是單射又是滿(mǎn)射。雙射是一一對(duì)應(yīng)的映射。逆映射：對(duì)于雙射，建立一種Y到X的雙射，將像映射到原像上。記為f-1 ：Yt X復(fù)合映射：f：XT Y, g:YT乙它們的復(fù)合g o f:XT乙寫(xiě)成g(f(X)-函數(shù)，一個(gè)？n維實(shí)數(shù)向量到 R實(shí)數(shù)上的映射性質(zhì)映射與交并運(yùn)算順序可交換性對(duì)于f：XT Y, X假設(shè)干個(gè)子集A a, Y假設(shè)干個(gè)子集B af(UA a) = Uf(Aa)f-1 ( UBa)=Uf-1 (B af( nA a包含于只有這一個(gè)不一定等于！ ！Q f

5、(A a)不等于的例子：A=1 , B=-1, f(x)=|x|，貝U f(A AB)#f(A) n(B)f-1 (nBa)=nf-1 (B a)用集合相等定義可證明。集合的勢(shì)對(duì)等：如果集合 A和B之間可以建立雙射，那么 A對(duì)等于B。記為AB性質(zhì)：A到B有單射t A與B子集對(duì)等A到B有滿(mǎn)射t B與A子集對(duì)等 AB, BC,貝U AC傳遞性 AC, BD，貝U AX BCX D判定：康托一伯恩斯坦定理假設(shè)集合X與Y的一個(gè)真子集對(duì)等而且 Y與X的一個(gè)真子集對(duì)等，那么XY基數(shù)：有限個(gè)元素的集合為元素個(gè)數(shù)。勢(shì)：假設(shè)兩個(gè)集合對(duì)等，那么定義它們的勢(shì)相等。在有限個(gè)元素的情況下，勢(shì)就是基數(shù)。無(wú)限個(gè)元素的情況下

6、，定義自然數(shù)集的勢(shì)是？。阿列夫0。A的勢(shì)用|A|表示。假設(shè)A與B的一個(gè)子集對(duì)等，那么|A| W|B|，假設(shè)與B的真子集對(duì)等，那么可數(shù)集可數(shù)集：與自然數(shù)集對(duì)等的稱(chēng)為可列集，元素有限的集合和可列集統(tǒng)稱(chēng)可數(shù)集。性質(zhì)：任何無(wú)窮集合都包含可列子集 可數(shù)集的子集還是可數(shù)集 兩個(gè)可數(shù)集的交、并還是可數(shù)集 可數(shù)集和可數(shù)集的直積還是可數(shù)集定理：有理數(shù)集是可列集，實(shí)數(shù)不是可列集。有理數(shù)可列證明就把每一個(gè)有理數(shù)p/q映射到(p,q)點(diǎn)，那么有理數(shù)和ZX N對(duì)等。實(shí)數(shù)不可列證明方法有多種，可用閉區(qū)間 套定理、有限覆蓋定理、十進(jìn)制小數(shù)展開(kāi)等方法定義實(shí)數(shù)的勢(shì)是 c=?1-定理：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的間斷點(diǎn)集是可數(shù)集證明思路：不妨設(shè)單

7、調(diào)遞增。間斷點(diǎn)x0左右必有界，否那么不單調(diào)。 f(xO-O)和f(xO+O)之間必有有理數(shù)rx0，而且x0不同的話(huà)每個(gè)區(qū)間(f(xO-O),f(xO+O)不會(huì)相交，否那么不單 調(diào)。所以間斷點(diǎn)和有理數(shù)子集rxO建立雙射，是可數(shù)的。不可數(shù)集性質(zhì)：一個(gè)集合子集不可數(shù)，那么它不可數(shù) A不可數(shù)，B可數(shù)，那么 AAUB維歐式空間極其簡(jiǎn)單的性質(zhì)定義向量與運(yùn)算：略這局部詳見(jiàn)線(xiàn)性代數(shù)或者解析幾何書(shū)定義的向量及運(yùn)算加、減、模、內(nèi)積、距離等。一些常用的集合：開(kāi)球：B(x,r)以x為球心，r為半徑的球內(nèi)部就是y ?n|d(x,y)<rd(x,y)是x、y的距離 閉球：上面改為 d(x,y)wr有界集：包含于一個(gè)

8、開(kāi)球的集合。分析相關(guān)的概念 點(diǎn)列的極限點(diǎn)： 風(fēng)在k趨于g時(shí)與定點(diǎn)x的距離趨向于0,那么x為Xk極限點(diǎn)。聚點(diǎn)和導(dǎo)集：假設(shè)對(duì)于xk，點(diǎn)xo為圓心的任何開(kāi)球內(nèi)都有無(wú)數(shù)個(gè) xk中的點(diǎn)，那么xo為xk 聚點(diǎn)。一個(gè)集合A的所有聚點(diǎn)構(gòu)成的集合叫 A的導(dǎo)集，記為A'假設(shè)xo A且不是A的聚點(diǎn) 那么為A的孤立點(diǎn)，孤立點(diǎn)集記為 AA'注：聚點(diǎn)未必屬于集合，比方0,1所有有理數(shù)構(gòu)成的集合聚點(diǎn)是 0,1中所有數(shù)，包括無(wú)理數(shù)。 但是定義孤立點(diǎn)屬于集合。定理：假設(shè)x0是點(diǎn)集A的聚點(diǎn)，貝U A中存在一個(gè)點(diǎn)列趨向x0。內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)記為A°：存在一個(gè)以它為球心有一個(gè)開(kāi)球包含在A中邊界點(diǎn)記為？A：以

9、它為圓心有一個(gè)所有開(kāi)球不包含在A中，但都有A中的點(diǎn)用幾何圖像很好理解定理：AAA=?AA用集合相等的定義證出A=A° U (?A AA)用幾何圖像很好理解閉包A的閉包定義為 A與A'的并。稱(chēng)A在A的閉包中稠密。閉包在幾何圖像上可以理解為一個(gè) 圖形加上它的邊界組成的封閉圖形有假設(shè)干性質(zhì)，略2.3 n維歐式空間中的集合閉集：閉包等于自己的集合。開(kāi)集：閉集的補(bǔ)集。閉集性質(zhì)：有限個(gè)閉集并還是閉集，任意個(gè)閉集交還是閉集。無(wú)限個(gè)閉集并可能是開(kāi)集，比方 ？寫(xiě)：，1專(zhuān)=(0,1)開(kāi)集類(lèi)似：有限個(gè)開(kāi)集交還是開(kāi)集，任意個(gè)開(kāi)集并還是開(kāi)集。為集和Gg集。F。集：可數(shù)個(gè)閉集的并。Gg集：可數(shù)個(gè)開(kāi)集的交

10、。性質(zhì)：F。集的補(bǔ)集是Gs集注意：一個(gè)集合有可能既是 Gg集又是F。集！比方半開(kāi)半閉區(qū)間。與矩體的關(guān)系矩體：假設(shè)干個(gè) R上的區(qū)間直積。半開(kāi)半閉矩體就是假設(shè)干個(gè)前開(kāi)后閉區(qū)間的直積。性質(zhì)：開(kāi)集一定是可列個(gè)互不相交的半開(kāi)半閉矩體的并?？低屑疌。開(kāi)始是0,1區(qū)間，然后挖掉中間的三分之一開(kāi)區(qū)間得到0,1/3U2/3,1，再把每個(gè)區(qū)間挖掉中間1/3的開(kāi)區(qū)間，如此往復(fù)，無(wú)數(shù)次的極限就是康托集?？低屑瘜?duì)應(yīng)三進(jìn)制小數(shù) 0.XXXXX中只有0,2數(shù)字，沒(méi)有1數(shù)字的小數(shù)。這個(gè)結(jié)論可以從每 次區(qū)間的端點(diǎn)都保存在集合里來(lái)得到性質(zhì)：康托集是非空有界閉集。 勢(shì)是?i。 是完全集C=C' 沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)。代數(shù)和博雷爾集 0

11、代數(shù)：設(shè)F是X的一些子集構(gòu)成的集合，而且 ？ F;假設(shè)A F那么XA F;假設(shè) 一列集合A. F,那么？莒An F。那么稱(chēng)F是X的一個(gè)(代數(shù)。 博雷爾集：n維歐式空間的一切開(kāi)集的最小o代數(shù)中的集合。2.4連續(xù)函數(shù)定義：設(shè)f是集合E上面的實(shí)值函數(shù)，假設(shè)對(duì)任一點(diǎn)x0 E，任何?> 0，均存在g使得x B(xo g時(shí)|f-f(xo)|< ?，那么f為E上連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與微積分中一元函數(shù)類(lèi)似，不詳述。特殊判定方法： 對(duì)于任何t ? x| f>t , xE(記為E(f>t)是開(kāi)集，那么f在E上連續(xù)。大于號(hào)可換為大于等于、小于、小于等于。 假設(shè)R任意開(kāi)集在f的原像是開(kāi)集，那

12、么f在E上連續(xù)?！伴_(kāi)集可換為“閉集。2.5 n維歐式空間的完備性定理有柯西收斂準(zhǔn)那么、閉集套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)原理，類(lèi)似于R的情況，不詳細(xì)表達(dá)。3. 勒貝格測(cè)度勒貝格外側(cè)度勒貝格測(cè)度的定義開(kāi)矩體的體積n 維歐式空間中的開(kāi)矩體I=(X1,X2 Xn )|X1 (a1,b1),X2 (a2,b2)Xn (a n,bn)= (a1,b1)X (a2,b2)x-x (an,bn) (an,bn)都是 R 中的開(kāi)區(qū)間定義它的體積 |I|=| a1-b 1| x | a2 - b2| X-X | an - bn|勒貝格外側(cè)度對(duì)于任意n維歐式空間的集合 E,總有可數(shù)個(gè)開(kāi)矩體可以將其覆蓋。定義E外側(cè)度為

13、可數(shù)個(gè)覆蓋它的開(kāi)矩體體積和的下確界，記為m?(E)。性質(zhì)： 非負(fù)性：m?(E)A 0 平移不變性：m?(E)= m?(E+x), E+x為把集合E向右平移X。 子集的外側(cè)度：假設(shè) Ei包含于E2，那么m?(Ei)w m?(E2) 集合的并的外側(cè)度：n維歐式空間中，m?! Ek)<J1 m?(Ek) 一些集合外側(cè)度的例子： m?(?)=0 單個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合外側(cè)度為0。 可數(shù)集的外側(cè)度是 0定義：外側(cè)度為0的集合稱(chēng)為零測(cè)集。 平面2為歐式空間上的任意直線(xiàn)外側(cè)度為 0即直線(xiàn)面積是 0 開(kāi)矩體與它的閉包外側(cè)度相等，都等于它的體積。而且還等于有一局部邊界的矩體的外側(cè)度可測(cè)集勒貝格測(cè)度 可測(cè)集：如果

14、對(duì)于一個(gè)n維歐式空間中的集合 E,任意n維歐式空間中的集合 T,都有m?(T)= m?(EAT)+ m?(EC AT)，那么稱(chēng)E為可測(cè)集。n維歐式空間中的所有可測(cè)集的全體記為 M(?)。理解：就是用任意一個(gè)集合 T去“檢驗(yàn)這個(gè)E,與E相交的局部外側(cè)度和 E以外局部的外 側(cè)度加起來(lái)還等于原來(lái) T的外測(cè)度，那么E就是一個(gè)“可以用常理理解的集合，不至于太“奇怪，這樣的集合E叫做可測(cè)集。這個(gè)概念不要記錯(cuò)注1:不可測(cè)集一定是存在的，但是要舉出不可測(cè)集的例子非常麻煩，要有很多鋪墊，所以 略去。注2:條件可以減弱，只要把任意集合T換成任意開(kāi)矩體I成立即可。證明略。可測(cè)集例子： 零測(cè)集可測(cè)，顯然測(cè)度為0 開(kāi)矩

15、體可測(cè)勒貝格測(cè)度：當(dāng)一個(gè)集合 E是可測(cè)集的時(shí)候，它的外側(cè)度定義為它的勒貝格測(cè)度，簡(jiǎn)稱(chēng)測(cè) 度，記為m(E)?？蓽y(cè)集族M(?)是n維歐式空間上的(代數(shù) 空集可測(cè) 假設(shè)E可測(cè)，那么EC可測(cè) 假設(shè)一列集合An可測(cè)，那么？ An可測(cè)勒貝格測(cè)度的性質(zhì) 可列可加性：假設(shè)一列可測(cè)集合An兩兩不交，那么m(?n=i An) = m=1 m(A n) 上連續(xù)：假設(shè)遞增集合列 An都可測(cè)那么m(limA n) = limm(An)nxn 下連續(xù)：假設(shè)遞減集合列 An都可測(cè)，而且？?測(cè)度有限，那么m (limA n) = lim m( An) nx 、注：康托集可測(cè)，測(cè)度為 0。證明很容易，因?yàn)榭低屑且恍﹨^(qū)間的極限

16、 故測(cè)度為 0 的集合不一定可數(shù)，康托集不可數(shù)卻測(cè)度為0?？蓽y(cè)集的性質(zhì) 假設(shè)E是可測(cè)集，那么任給？> 0存在一個(gè)開(kāi)集 G包含E,且m(E/F)< ? 假設(shè)E是可測(cè)集，那么任給？> 0存在一個(gè)閉子集F且m(E/F)< ?證明思路：分情況討論有界與無(wú)界證明，有界時(shí)用定義的開(kāi)矩體證明，無(wú)界時(shí)En = E nB(0, n)，開(kāi)集Gn包含En且差集測(cè)度任意小，G=? n=i G。對(duì)于取補(bǔ)集再用證。 假設(shè)E是可測(cè)集，那么存在 包含E且與E差集測(cè)度為0。這個(gè)Gg集稱(chēng)為E的包。 假設(shè)E是可測(cè)集，那么存在F。包含于E且與E差集測(cè)度為0。這個(gè)F。集稱(chēng)為E的F。核。 證明較簡(jiǎn)單，用直接證。取

17、 ？=1/n構(gòu)造集合列。3.2 測(cè)度的公理化定義 概率測(cè)度空間設(shè)X是非空集，F(xiàn)是X上的。代數(shù)，假設(shè)存在把 F子集映射為非負(fù)實(shí)數(shù)的函數(shù)耳滿(mǎn)足： 解)=0 ； 假設(shè)F中集合列An兩兩不交，就有 (I? n=i An)=耳=1卩(A) 那么稱(chēng) 內(nèi)(X,F上的一個(gè)測(cè)度，稱(chēng)(X,F，M為一個(gè)測(cè)度空間。 很容易驗(yàn)證勒貝格測(cè)度滿(mǎn)足上述性質(zhì)，故是一個(gè)特殊的測(cè)度。性質(zhì) 單調(diào)性：假設(shè) A包含于B那么MA)W KB) 次可加性：K?k：iEk)Wl£i卩際) 上、下連續(xù)性同勒貝格測(cè)度概率假設(shè)上述測(cè)度遜滿(mǎn)足卩(F)=1，那么稱(chēng)為一個(gè)概率測(cè)度，簡(jiǎn)稱(chēng)概率，記為P。上述集合X記為Q,稱(chēng)為樣本空間，實(shí)際表示隨機(jī)試驗(yàn)

18、結(jié)果構(gòu)成的集合；Q內(nèi)的元素為根本領(lǐng)件。概率滿(mǎn)足測(cè)度的所有性質(zhì)。在下面的討論中不涉及一般測(cè)度空間的性質(zhì)，只涉及勒貝格測(cè)度和少量概率的相關(guān)問(wèn)題。4. 勒貝格可測(cè)函數(shù)廣義實(shí)數(shù)將看成兩個(gè)數(shù)參加實(shí)數(shù)系中，稱(chēng)為廣義實(shí)數(shù)。定義土*的性質(zhì)和運(yùn)算 任意實(shí)數(shù)X, a<X<+8 略假設(shè)干符合直觀(guān)意義的運(yùn)算，比方+8 + (+8 )= +8等加減乘除運(yùn)算 無(wú)意義的運(yùn)算+8-(+8)、±8- ±8 0X ±8有意義，規(guī)定為0,為了今后證明的方便廣義實(shí)值函數(shù)把n維歐式空間的點(diǎn)映射到廣義實(shí)數(shù)的函數(shù)。4.2 可測(cè)函數(shù)定義：對(duì)于可測(cè)集 E上定義的函數(shù)f,如果對(duì)于任意實(shí)數(shù) t, E(f&

19、gt;t)是可測(cè)集，那么稱(chēng)f在E 上可測(cè)。E可測(cè)函數(shù)全體記為 M(E)。還有一些等價(jià)定義,即把上述大于號(hào)改成大于等于、小于、小于等于都等價(jià)。注：概率論中的“隨機(jī)變量實(shí)際上就是樣本空間上對(duì)于概率測(cè)度來(lái)說(shuō)的可測(cè)函數(shù)。而上述 的可測(cè)函數(shù)是n維歐式空間中相對(duì)于勒貝格測(cè)度而言的。定理：可測(cè)集上定義的連續(xù)函數(shù)可測(cè)。可測(cè)集上的指示函數(shù)X E可測(cè)。X E即E上恒為1,其余為0的函數(shù) R上的單調(diào)函數(shù)可測(cè)。 E假設(shè)為零測(cè)集那么 E上任何函數(shù)可測(cè)。 a,b上定義的間斷點(diǎn)集為零測(cè)集的函數(shù)可測(cè)。性質(zhì)：f為E上可測(cè)函數(shù)，那么 E(f=±旳、E(f<s)均可測(cè)。假設(shè)f在集合列Ei上可測(cè)，那么f在？昌Ei上也

20、可測(cè)。函數(shù)正負(fù)部正負(fù)部概念：對(duì)于函數(shù)f,定義f+=maxf,0要是f大于零那么為f，小于零那么為0，f-=max-f,0。 定理：f可測(cè)那么f+、f-可測(cè)。Ei簡(jiǎn)單函數(shù)：設(shè)E是可測(cè)集，對(duì)于E的有限個(gè)可測(cè)子集Ei、E2Em上定義的指示函數(shù)XX匚的線(xiàn)性組合?(x)=孚1 a X匚稱(chēng)為簡(jiǎn)單函數(shù)。EmEi性質(zhì)：可測(cè)函數(shù)可以表示成假設(shè)干個(gè)兩兩不交子集上指示函數(shù)之和。簡(jiǎn)單函數(shù)可測(cè)。 對(duì)于任意一個(gè)有界非負(fù)可測(cè)函數(shù)f,都存在一個(gè)可簡(jiǎn)單函數(shù)列?n一致收斂到f0任意有界可測(cè)函數(shù)可以劃分為負(fù)部和正部，分別用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近那么非負(fù)條件可以去掉。注：直觀(guān)上面好理解， 將有界函數(shù)值域每次二等分，然后每個(gè)值域區(qū)間可以對(duì)應(yīng)到一

21、個(gè)定義域子集Ei , Ei上面定義最大值的常數(shù)函數(shù)只是函數(shù)的實(shí)數(shù)倍代替，劃分次數(shù)越多越接 近f。可測(cè)函數(shù)四那么運(yùn)算設(shè)f、g是兩個(gè)各自定義域上的可測(cè)函數(shù)，E0為使得它們作下面運(yùn)算有意義的集合那么cf c是常數(shù)、f+g、fg、f/g均在各自的Eo上為可測(cè)函數(shù)。證明思路：cf可測(cè)顯然；對(duì)于f+g用f+g>t等價(jià)于任意有理數(shù) r, f>r且g>t-r;對(duì)于fg先證f2可(f+g) 2 -(f-g)2f/g只證1/g可測(cè)。測(cè)，再用fg=(來(lái)做;44.3可測(cè)函數(shù)列極限的可測(cè)性對(duì)于一列E上的可測(cè)函數(shù)fk, supfk、inffk均可測(cè)進(jìn)而fk上下極限都可測(cè)。幾乎處處成立的命題：指在集合E上，除去零測(cè)集Eo以外，其他地方處處成立的命題假設(shè)E0= ?那么處處成立，記為a.e.Eo注：一個(gè)函數(shù)幾乎處處等于一個(gè)連續(xù)函數(shù)，未必幾乎處處連續(xù)，反例是狄利克雷函數(shù)。由于有理數(shù)集可數(shù)所以有理數(shù)集測(cè)度為0,狄利克雷函數(shù)幾乎處處等于0。但是狄利克雷函數(shù)不但不是幾乎處處連續(xù)，而且是處處都不連續(xù)。可測(cè)函數(shù)列的三種收斂 fk在 E上幾乎處處收斂到f，記為fk t f a.e