絕對(duì)值不等式

1、1絕對(duì)值不等式重點(diǎn)：形如|ax+b|vc,|ax+b|>c(c>0)的不等式.難點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想解不等式，在解決含有字母系數(shù)的不等式時(shí)，如何進(jìn)行分類(lèi)討論 例題講解：例1.解下列關(guān)于x的不等式：<1>|x|<2<2>|x|<a<3>|x-3|<2<4>|2-3x|>4分析:解含有絕對(duì)值號(hào)的不等式關(guān)鍵問(wèn)題是如何去掉絕對(duì)值號(hào)，從代數(shù)形式考慮可利用絕對(duì)值的定義，從幾何意義入手可利用數(shù)軸上點(diǎn)的距離，如果再深入考慮還可利用函數(shù)圖象去解決問(wèn)題X<0i jf v 2解:<1>|x|<2可化為下面兩

2、個(gè)不等式組：>0八2或 的解為OW x<2的解為-2<x<0 |x|<2 的解為-2<x<2.或從絕對(duì)值的幾何意義去考慮-2 0 2 x|x|<2,即到原點(diǎn)距離小于2的所有點(diǎn)， |x|<2 的解為:-2<x<2.<2> 當(dāng) a>0 時(shí),|x|<a 的解為:-a<x<a.Y Q a x當(dāng)a=0時(shí),|x|<a無(wú)解.當(dāng)a<0時(shí),|x|<a無(wú)解.原不等式的解當(dāng) a>0 時(shí)，為-a<x<a.當(dāng)aw0寸,為空集.<3>由原不等式可得:-2<x-3<

3、;2 同加3得:1<x<5.<4>由原不等式可得:2-3x>4或2-3x<-4.2解得原不等式的解為：X<- 1或x>2.小結(jié):例 1中從|x|<2到|x|<a應(yīng)注意|x|<2中2所能代表的一類(lèi)數(shù)，將2換成a以后，右邊變成了一個(gè)代數(shù)式，可代表 任意實(shí)數(shù)，這時(shí)由|x|<2所得結(jié)論能否推廣到兇<a,是必須考慮的問(wèn)題.有些學(xué)生認(rèn)為awo時(shí)無(wú)解就只寫(xiě)a>0時(shí)的情況即可，應(yīng)該認(rèn)識(shí)到無(wú)解也是不等式的解的一種情況.另外由|x|<a到|x-3|<2,必須樹(shù)立換元的思想，通過(guò)換元將復(fù)雜形式化為簡(jiǎn)單的形式，通過(guò)換元又可

4、將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題去解決.例1中的幾個(gè)問(wèn)題若換個(gè)角度從函數(shù)圖象去考慮也可得到如下解法.解:<1>欲解 |x|<2.作出y=|x|的圖象，-/刊！r/i1 1 -2D2兔再作出直線(xiàn)y=2交y=|x|圖象于點(diǎn)A,B.此時(shí)|x|<2的解即y=|x|的縱坐標(biāo)小于2時(shí)的橫坐標(biāo)的取值范圍 |x|<2 的解為-2<x<2.<2><3>略.<4> 欲解 |2-3x|>4.作出y=|2-3x|圖象，作出y=4交y=|2-3x|圖象于A,B兩點(diǎn).要求|2-3x|>4的解即y=|2-3x|圖象的縱坐標(biāo)大于 4時(shí)的橫坐標(biāo)

5、的取值.2將 y=4 代入 y=|2-3x| 求出 A(- 1 ,4)B(2,4).2原不等式的解為：x<- 1或x>2.注:雖然初三學(xué)過(guò)一些函數(shù)及其圖象的知識(shí)，但在解決新問(wèn)題時(shí)能夠應(yīng)用這些函數(shù)及圖象知識(shí)，對(duì)剛?cè)敫咭坏膶W(xué)生而言比較困難，但數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)逐步滲透.例2.解下列關(guān)于x的不等式：<1>|2x-1|<a<2>|ax-2| < 1解:<1>當(dāng)a>0時(shí)，原不等式化為：-a<2x-1<a-a1 +a解得：<x<- 當(dāng)a=0時(shí),無(wú)解. 當(dāng)a<0時(shí),無(wú)解.1-a

6、 1 + a當(dāng)a>0時(shí),原不等式的解1 <x< 1 .a WO寸,原不等式無(wú)解.<2>原不等式化為：-1 w ax2 W 1,同加2得:1 w ax< 3.13 當(dāng)a>0時(shí)，二< xW 當(dāng)a=0時(shí),無(wú)解.3 當(dāng) a<0 時(shí)，一:w xW .小結(jié):解含有字母系數(shù)的不等式需要分情況討論，尤其要注意最后分情況表示解時(shí)，有些可以合并成一個(gè)形式表達(dá)，并且討論時(shí)不要有遺漏，也不要有重復(fù)現(xiàn)象出現(xiàn)思考:對(duì)于例2中兩個(gè)問(wèn)題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法應(yīng)如何解決例 3.解不等式：|x-3|+|x+2|>6.分析:<1>解絕對(duì)值不等式關(guān)鍵問(wèn)題是去絕對(duì)值號(hào)

7、，基本方法之一是應(yīng)用定義化為同解的不等式組.<2>要去掉兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)，應(yīng)分別考慮兩個(gè)絕對(duì)值內(nèi)式子的符號(hào)，其關(guān)鍵是兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子取零時(shí)x的值,這兩個(gè)值是兩個(gè)分界點(diǎn).<3>兩個(gè)不同的分界點(diǎn)的 x值，將實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)分為三段，在每一段上都可以去掉兩個(gè)絕對(duì)值號(hào).解:原不等式可化為下面三個(gè)不等式組：sC<-2或-2<x<3.3- "x+2 >6 x>3J-34-X+2 必不等式組的解為不等式組的解為不等式組的解為原不等式的解為5:x<-.:無(wú)解7:X> -.57:X<-或 X> -.注:<1>原不等式的

8、解是不等式組三個(gè)解的并，即三個(gè)不等式組的解之間用或”聯(lián)系.<2>有時(shí)學(xué)生在分情況去絕對(duì)值號(hào)時(shí)常寫(xiě)成以下形式：5當(dāng) x<-2 時(shí),-(x-3)-(x+2)>6, x<-.容易忽略x<-2這個(gè)條件，即兩不等式之間用且”來(lái)聯(lián)系.<3>此不等式也可用數(shù)軸上的點(diǎn)的距離即絕對(duì)值幾何意義去解.只需將|x-3|和|x+2|分別看到數(shù)軸上點(diǎn)到3和到-2兩點(diǎn)的距離，所求|x-3|+|x+2|>6的解即到3和到-2兩點(diǎn)距離之和大于6的點(diǎn)的x值范圍.13例4.如果關(guān)于x的不等式|ax+1| wb勺解是-w xW，求a,b的取值.解:當(dāng) b<0時(shí)，|ax+1|

9、 W無(wú)解.當(dāng) b>0 時(shí)，|ax+1| W化為-bw ax+1w b.則有:-1-bw axw-fl.<1> 當(dāng) a>0 時(shí)，門(mén) w x< _r3原不等式解為-W x< .則有：-1U1a2-13也2>解得：a = -20"2與b>0,a>0不符,舍去.AT b - <2> 當(dāng) a<0 時(shí),.r w XW l!.亠B11 1 a2-1 j_ 嚴(yán)-2由已知?jiǎng)t有：_ e2 解得：爪2<3>當(dāng)a=0時(shí),|ax+1| w只需bl時(shí),x為任意實(shí)數(shù)與已知13-w xW 不符.二 a=-2,b=2.本周小結(jié)：本周主

10、要內(nèi)容是含絕對(duì)值的不等式，應(yīng)掌握基本方法，注重?cái)?shù)形結(jié)合.本周參考練習(xí)：解下列關(guān)于x的不等式：<1>3|2x-1|v|2x-1|+ 1<2>(1+|x |)(| 2x+1|-4)>0葉 2|1<3>一一 W06#v4> "J/ _匚”.>8#<1>分析：首先移項(xiàng)合并，然后求解。<2>分析：首先觀(guān)察不等式，不難發(fā)現(xiàn)3<5>|x-2|+|x+2|v10.本周練習(xí)參考答案答案為：-<x< -(1+|x|)是非負(fù)的，所以(|2x+1|-4)必須大于0。5解(|2x+1|-4)>0 就可以

11、了。答案：x> 1 或 XV- 1<3>分析：首先觀(guān)察原不等式，不難得到分母是大于0的，所以只需要解分子 W0就可以了。107<4>分析：不等式兩邊直接平方就可以了。 答案：XA 1或XW<5>分析：首先尋找零點(diǎn)，就是|x-2|=0和|x+2|=0,得到x=2和x=-2。然后分x<-2和-2WxW和2<x三個(gè)區(qū)間分別去掉絕對(duì)值符號(hào)求解。答案：-5VXV5.在線(xiàn)測(cè)試A組測(cè)試（每小題10分）1. 求不等式的解|2-x|> 9 （）A. x 上1 威X“ B. JT<-7 廣 C.x>4 廠(chǎng) D.x<82不等式V的解是（）

12、13x<0®1 <x<：-C.£juB._D._3.解不等式1 -'j A. x<-6或 x>3 或 1<x<2B. x>3 或 1<x<24.求不等式的（1+|x|）（|2x+1|-4）>0解（）3355A.x> 2B. x> 2 或 x<- 2c. x<- 2C. x>4 或 1<x<2D. x>6 或 1<x<2D. x<-18#B組測(cè)試（每小題15分）1.不等式 |x-2|+|x+2|<10的解是（)4kA.x>5“

13、B.x<2rC. -5<x<5廠(chǎng)D. x>7C.a w xw a+1rD.a-1 w xW a2. 解關(guān)于x的不等式 x2-2ax w -a 2+1()rrA a-1 w x w a+1B.a+1 w x w a-13. 解不等式二“，-'L ' J （）A.x>2B.x=-2 或 1©勺 r C.D.x=-24. 解不等式："'I （）a.-2"勺或43罰b.-2<x<1c.4<k7#答案與解析9A 組答案：1、A 2、A 3、A 4、BB 組答案：1、C 2、A 3、B 4、AA組解析：解

14、答1 : 2-x > 9或2-x _-9，分別解這兩個(gè)不等式就可以了應(yīng)選A解答2 :.原不等式可以化為：然后求解應(yīng)選A解答3 :原不等式可以化為：5x-6<x2刃-6>然后解這個(gè)方程組就可以了 應(yīng)選A就可以解答4 :首先觀(guān)察不等式，不難發(fā)現(xiàn)(1 + |x|)是非負(fù)的，所以(|2x+1|-4) 必須大于0。解(|2x+1|-4)>0了 .應(yīng)選BB組解析：解答1:首先尋找零點(diǎn)，就是|x-2|=0 和|x+2|=0，得到x=2和x=-2。然后分x<-2和-2 < x< 2和2<x三個(gè)區(qū)間分別去掉絕對(duì)值符號(hào)求解。應(yīng)選C解答2 :原不等式等價(jià)于 x2-2a

15、x+a2-1 < 0.2即(x-a)-1 < 0(x-a-1)(x-a+1)< 0.a+1>a-1,原不等式的解集為 a-1 < x w a+1. 應(yīng)選A.解答3:<=>H：z + 2)<?-4<7+2x+2r-4>-(+2)?+x-2>0O'空x2-x-6<0x £ 或 X i 1=>'-2<j<3=-'應(yīng)選B.解答4:原不等式O3<|2x-5|<9«-9<2x-5<-W<2x-5<9j -1 ' 1應(yīng)選 A.絕對(duì)值

16、不等式【目的】：理解絕對(duì)值的意義、幾何表示及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，掌握一些常見(jiàn)類(lèi)型的絕對(duì)值不等式的解法， 并注意對(duì)數(shù)形結(jié)合方法的使用?！局攸c(diǎn)】：常見(jiàn)類(lèi)型絕對(duì)值不等式的基本解法。【難點(diǎn)】：解法過(guò)程的完整與規(guī)范及數(shù)形結(jié)合的方法的實(shí)施?！臼谡n內(nèi)容】：一、理論依據(jù)：101實(shí)數(shù)絕對(duì)值的定義:11#>0(1) 代數(shù)表達(dá)：若(2) 幾何表達(dá)：數(shù)軸上設(shè) P點(diǎn)表示a,則|a表示數(shù)軸上P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。I 釘 W a 、*T即：2、最簡(jiǎn)絕對(duì)值不等式的解集：(1) |x|v m(m > 0)二匸一二' t 一 幾何意義:#(2) |x>n(n>0) 一 二；廠(chǎng) 一:幾何意義:#幾何意義

17、:#其功能：(1) 是脫掉絕對(duì)值符號(hào)的依據(jù)。(2) 都有著明顯的幾何意義。3、一般絕對(duì)值不等式的解集：定理1不等式 l/(n|<g耳不等式血)</仃)<血) 同解。定理2：不等式.二二'二八；-/ : -u：.'1同解。二、幾種絕對(duì)值不等式類(lèi)型的解法。解含有絕對(duì)值的不等式的關(guān)鍵是將它化為與之同解的不含有絕對(duì)值的不等式，轉(zhuǎn)化的方法主要有三種:(1) 利用上述的同解定理；(2) 兩邊平方；(3) 分情況討論。例i、解不等式k -仁X + 2解：原不等式 於-如x + 2幾何意義：#O-U + 2)< r -4 <2 + 2p2 - 4<x + 2

18、O/ -4 > -(x + 2)(2 + x - 2 > 0x2 - x-6 < 0(z<-2s)Sz> 1x = -2BSl< z < 3令肝FT仍計(jì)2 在同-坐林紳分雎師 與嗣輟飆JW慮12#幾何意義：= P -女 | 乃=6并計(jì)算出丹與乃的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).例2、解不等式5x - * > 6解:|5x- H卜x2 -5x|二原不等式o |x2 -5x|>6O xa - 5x6或F -5x*C - 6ox-女+ 6<0或X -5x-6>0O(x- 2)(x -刃<0或(開(kāi)-6)(盂 + 1)>00*(23U(9T)U

19、©%)'#解：原不等式«>3< |2x-5|<9>-9<2j-5 <-3或九 2托-5<9=兀E C-2JU4f1其幾何意義可由同學(xué)自己出.I斗1例4、解不等式：-法一：（利用同解原理的方法）x + 32x-1兀+32盂-1原不等式法二：（兩邊平方的方法）13#v|2a-1|>0.古丁址十（2x-10二原不等式oR + 3U|”i|將式兩邊平方得疋+ 6賈+ 9 2 4*亠1化簡(jiǎn)為 3? -10x-8i02 1 1二原不等式的解集為:xeL；£）uG4例5、解不等式： - ' -I - 分析：對(duì)于出現(xiàn)了兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，上述三個(gè)最簡(jiǎn)絕對(duì)值不等式的結(jié)果還不能使用，只能用 實(shí)數(shù)絕 對(duì)值的定義”去脫掉絕對(duì)值符號(hào)，把兩個(gè)絕對(duì)值的根，從小到大標(biāo)在數(shù)軸上，兩點(diǎn)把數(shù)軸分成三部分，將 x的取值 分解情況討論，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為 零點(diǎn)分區(qū)討論法”，這樣原不等式與三個(gè)不等式組的并集同解。解：將一_標(biāo)在數(shù)軸上，-2,3把數(shù)軸分成三部分