大學數(shù)學：第1章 第5節(jié)微分

1、第五節(jié)微分 學習要求學習要求了解微分的概念以及導數(shù)了解微分的概念以及導數(shù) 與微分的關系與微分的關系 掌握微分的計算方法掌握微分的計算方法 微分的概念微分的概念例例1 求求 在點在點 處的微分。處的微分。2yx2x 解解 因為函數(shù)增量為因為函數(shù)增量為222224yxxx 而而20lim0 xxx 所以所以224xd xx dyAx 設函數(shù)設函數(shù) 在點在點 的鄰域內(nèi)有定義，給的鄰域內(nèi)有定義，給 以以 的增量，的增量，若函數(shù)增量若函數(shù)增量 可表示為可表示為 ，其中其中 是不依賴于是不依賴于 的常數(shù)，的常數(shù)， 是比是比 高階的無窮小，高階的無窮小，則稱函數(shù)在點則稱函數(shù)在點 處可微，處可微， 是函數(shù)在是

2、函數(shù)在 處的處的微分微分，記作，記作 ，即即( )fx0 x0 xx00()()yfxxfx ()A xoxAA xx()oxx0 xdy0 x可微與可導的關系可微與可導的關系可微可微 可導可導證明證明 如果函數(shù)如果函數(shù) 在在 點可微點可微( )f x0 x則函數(shù)增量可表示為則函數(shù)增量可表示為yA xox 所以所以0()fxA反過來，如果函數(shù)反過來，如果函數(shù) 在在 點可導點可導( )f x0 x則則00lim()xyfxx 所以所以 0oxyAAxxx 則有則有00() lim0 xyfxx 所以所以0()yf xxx 所以，如果函數(shù)所以，如果函數(shù) 在在 點可微點可微( )f x0 x結論：結

3、論：可導可導 可微，可微，且且 0()dyfxx一般形式一般形式( )d xx ( )dyfx dx基本微分公式基本微分公式與基本導數(shù)公式一一對應與基本導數(shù)公式一一對應1( )0()()ln( )xxxxd cd xxdxd aaadxd ee dx22221(arcsin )11(arccos )11(arctan )11(cot )1dxdxxdxdxxdxdxxd arcxdxx22(tan )sec(cot )csc(sec )sec tan(csc )csc cotdxxdxdxxdxdxxxdxdxxxdx 1(log)ln1(ln )adxdxxadxdxx(sin )cos(c

4、os )sindxxdxdxxdx2()()()( )(0)uvuvcucuuvu vuvuu vuvvvv2()()()( )(0)d uvdudvd cucdud uvvduudvuvduudvdvvv微分的四則運算法則微分的四則運算法則()()( )d uvuv dxu vuv dxvduudv( )u vuv dxu vdxuv dxvdxdv u dxdu導數(shù)運算導數(shù)運算微分運算微分運算證明證明復合函數(shù)的微分法則和微分形式不變性復合函數(shù)的微分法則和微分形式不變性( )( ) ( )( )( )xyf uug xyf g xdyy dxfu g x dx 設及都可導, 則復合函數(shù)的微分

5、為( )gx dxdu因為，所以( )dyf u dusin(21),yxdy求21ux( )dyf u ducosuducos(21(21xdx）cos(21 2xdx）2cos(21)xdx例例2解解令令 ( )dyfu du 無論無論 是是自變量還是中間變量自變量還是中間變量，微分公式，微分公式 總是成立的，這一性質(zhì)稱為微分的形式不變形?？偸浅闪⒌模@一性質(zhì)稱為微分的形式不變形。u則則 1 3cos ,xyexdy求1 3(cos )xdyd ex1 31 3cos()(cos )xxxd eedx1 31 3(cos )(1 3 )( sin)xxx edxexdx()d uvvduu

6、dv在括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)，使等式成立在括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)，使等式成立(1)()dxd x(2)()cos2dxdx1(3)()25ddxx22x1sin22x1ln 255x例例3解解1 33cossinxexx dx 1(1)()dd xx1(2)()ddxx21(3)()1ddxx2 xln xarctan x22222221(1)112 ()11xxxxxxdydeexee d xdxee2ln(1),xyedy求例例4解解在括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)，使等式成立在括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)，使等式成立復合函數(shù)的微分復合函數(shù)的微分例例5 求橢圓求橢圓 在點在點 處的切線方程。處的切線方程。221

7、169xy3 32,2解解 將方程兩邊同時微分，得將方程兩邊同時微分，得11220169xdxydy可得可得916dyxdxy 所以切線斜率為所以切線斜率為23 3293164xyxKy 切所以，所求切線方程為所以，所求切線方程為3 33224yx 即即348 30 xy 利用微分的形式不變性利用微分的形式不變性求隱函數(shù)的導數(shù)更為方便。求隱函數(shù)的導數(shù)更為方便。微分的幾何意義微分的幾何意義MNxyo0 x( )yf xQ0()f x0()f xx0 xxxyPdy0tan()QPMQx fxdy 在點在點M的附近，的附近， 可以用切線段近似代替曲線段。可以用切線段近似代替曲線段。以直代曲以直代曲

8、dy當當 是曲線是曲線 上的縱坐標的增量時，上的縱坐標的增量時， 就是曲線就是曲線的切線上的縱坐標的相應增量。的切線上的縱坐標的相應增量。y( )yf x微分在近似計算中的應用微分在近似計算中的應用000()()()f xxf xfxx 0()ydyfxx 000()()()yf xxf xfxx 000( )()()()fxfxfxxx00( )()0,yf xxfxx如果在點 的導數(shù)且很小時，0 xxx 令，則( )(0)(0)fxffx00 x 取，則以直以直 代曲代曲( )fx 近似計算中用近似計算中用 的線性函數(shù)的線性函數(shù)來近似表達函數(shù)來近似表達函數(shù)x000()()()fxfxxx例例6 計算計算 的近似值，精確到的近似值，精確到0.01。0tan46解解 令令 ( )tanf xx00454x01180 x 0tan46tan41804tantan4180 xx21 sec1.0354180 則則所以所以工程中常用的近似公式（當工程中常用的近似公式（當|x|x|很小時）很小時）111nxxn sin xxtan xx1xex ln(1)xx1.051 0.0511(0.05)2 1.0