函數(shù)與方程測試題

1、函數(shù)與方程測試題1、 填空題（本大題共14個小題，每小題5分，共計70分，請把答案直接填寫在答題卡相應的位置上。）1設二次函數(shù)y=f(x)的零點為x1=-4，x2=2,圖象經(jīng)過(-3,5)，則f(x)= 。解析 二次函數(shù)的三種常用設法答案f(x)=-(x+4)(x-2)2已知方程2x10x的根x(k，k1)，kZ，則k_.解析設f(x)2xx10，則由f(2)40，f(3)10，所以f(x)的零點在(2,3)內(nèi)答案23已知a是函數(shù)f(x)2xlogx的零點，若0x0a，則f(x0)的值滿足_(與零的關系)解析因為f(x)是(0，)上的增函數(shù)，且f(a)0，于是由0x0a，得f(x0)f(a)0

2、，即f(x0)0.答案f(x0)04若函數(shù)f(x)axb的零點為2，那么函數(shù)g(x)bx2ax的零點是_解析由f(x)axb有零點2，得2ab0(a0)，代入g(x)，得g(x)2ax2axax(2x1)，它有零點x0和x.答案0，5設函數(shù)y(x)xln x(x0)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)，(1，)內(nèi)的零點個數(shù)分別為_解析設yx與yln x，作圖象可知f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)無零點，在(1，)內(nèi)僅有兩個零點答案0,26若函數(shù)f(x)x2axb的兩個零點是2和3，則不等式af(2x)0的解集是_解析f(x)x2axb的兩個零點是2,3.2,3是方程x2axb0的兩根，由根與系數(shù)的關系知

3、f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，解集為.答案7.已知函數(shù)有且只有一個零點,則實數(shù)m的值為 . 解析 由題知:方程只有一個零點.令 方程只有一個正根. 由圖象(圖略)可知 m=-2. 答案 -2 8已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析畫出圖象，令g(x)f(x)m0，即f(x)與ym的圖象的交點有3個，0m1.答案(0,1)9偶函數(shù)f(x)在區(qū)間為0，a(a0)上是單調(diào)，函數(shù)，且f(0)f(a)0，則方程f(x)0在區(qū)間a，a內(nèi)根的個數(shù)是_解析由f(0)f(a)0，且f(x)在0，a(a0)上單調(diào)，知f(x)0在

4、0，a上有一根，又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f(x)0在a,0上也有一根所以f(x)0在區(qū)間a，a內(nèi)有兩個根答案210設函數(shù)f(x)x2axa3，g(x)ax2a.若存在x0R，使得f(x0)0與g(x0)0同時成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析g(x)ax2aa(x2)，當a0時，x2，由f(2)0，得42aa30，a7，舍去；當a0時，x2，由f(2)0，得42aa30，a7.綜上，a(7，)答案(7，)11.若二次函數(shù)中ac0,則函數(shù)的零點個數(shù)是_個解析 令 因判別式故函數(shù)必有兩個零點. 答案 212已知函數(shù)f(x)1x，g(x)1x，設F(x)f(x3)g(x3)，且函數(shù)F(x)的零點均在區(qū)

5、間a，b(ab，a，bZ)內(nèi)，則ba的最小值為_解析由f(x)1xx2x3x2 010，則f(x)0，f(x)為增函數(shù)，又f(0)10，f(1)0，從而f(x)的零點在(1,0)上；同理g(x)為減函數(shù)，零點在(1,2)上，F(xiàn)(x)的零點在(4，3)和(4,5)上，要區(qū)間a，b包含上述區(qū)間(ba)min9.答案913若直角坐標平面內(nèi)兩點P、Q滿足條件：P、Q都在函數(shù)f(x)的圖象上；P、Q關于原點對稱，則稱點對(P，Q)是函數(shù)f(x)的一個“友好點對”(點對(P，Q)與(Q，P)看作同一個“友好點對”)已知函數(shù)f(x)則f(x)的“友好點對”有_個解析根據(jù)題意：“友好點對”，可知，只須作出函數(shù)

6、y2x24x1(x0)的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)y(x0)交點個數(shù)即可如圖，觀察圖象可得：它們的交點個數(shù)是：2.即f(x)的“友好點對”有：2個答案214已知函數(shù)f(x)x2(1k)xk的一個零點在(2,3)內(nèi)，則實數(shù)k的取值范圍是_解析因為(1k)24k(1k)20對一切kR恒成立，又k1時，f(x)的零點x1(2,3)，故要使函數(shù)f(x)x2(1k)xk的一個零點在(2,3)內(nèi)，則必有f(2)f(3)0，即2k3.答案(2,3)二、解答題（本大題共6小題，計90 分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)。）15若函數(shù)f(x)ax2x1有且僅

7、有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍解析(1)當a0時，函數(shù)f(x)x1為一次函數(shù)，則1是函數(shù)的零點，即函數(shù)僅有一個零點(2)當a0時，函數(shù)f(x)ax2x1為二次函數(shù)，并且僅有一個零點，則一元二次方程ax2x10有兩個相等實根14a0，解得a.綜上，當a0或a時，函數(shù)僅有一個零點16關于x的方程mx22(m3)x2m140有兩實根，且一個大于4，一個小于4，求實數(shù)m的取值范圍解析令f(x)mx22(m3)x2m14，依題意得或即或解得m0，即實數(shù)m的取值范圍是.17已知函數(shù)f(x)4xm2x1有且僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出該零點思路分析由題意可知，方程4xm2x10僅有一個實根，再利用換

8、元法求解解析f(x)4xm2x1有且僅有一個零點，即方程(2x)2m2x10僅有一個實根設2xt(t0)，則t2mt10.當0時，即m240，m2時，t1；m2時，t1(不合題意，舍去)，2x1，x0符合題意當0時，即m2或m2時，t2mt10有兩正或兩負根，即f(x)有兩個零點或沒有零點這種情況不符合題意綜上可知：m2時，f(x)有唯一零點，該零點為x0.【點評】 方程的思想是與函數(shù)思想密切相關的，函數(shù)問題可以轉化為方程問題來解決，方程問題也可以轉化為函數(shù)問題來解決，本題就是函數(shù)的零點的問題轉化為方程根的問題19已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3a，如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有零

9、點，求a的取值范圍解析當a0時，函數(shù)f(x)2x3的零點x1,1當a0時，函數(shù)f(x)在1,1上的零點可能有一個與兩個這兩種情況函數(shù)在區(qū)間1,1上只有一個零點，則有或解得1a5或a.函數(shù)在區(qū)間1,1上有兩個零點，則有或解得a或a5.綜上，得a的取值范圍是5，)20(1)m為何值時，f(x)x22mx3m4.有且僅有一個零點；有兩個零點且均比1大；(2)若函數(shù)f(x)|4xx2|a有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍解析(1)f(x)x22mx3m4有且僅有一個零點方程f(x)0有兩個相等實根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1.法一設f(x)的兩個零點分別為x1，x2，則x1x22m，x1x23m4.