高等數(shù)學(xué)第12章課后習(xí)題答案(科學(xué)出版社)

1、 習(xí)題 12.11. 判斷下列方程是幾階微分方程:.解 (1) 是一階線性微分方程; (2) 是一階非線性微分方程; (3) 是二階非線性微分方程; (4) 是二階非線性微分方程.2. 指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解：（1），； （2），；（3），； （4），解 (1) 是; (2) 是; (3) 不是; (4) 不是二階非線性微分方程.3. 驗證函數(shù)(C為任意常數(shù))是方程的通解, 并求滿足初始條件的特解.解 要驗證一個函數(shù)是否是方程的通解，只要將函數(shù)代入方程，看是否恒等，再看函數(shù)式中所含的獨立的任意常數(shù)的個數(shù)是否與方程的階數(shù)相同.將求一階導(dǎo)數(shù),得把和代入方程左邊得 因方程兩邊恒等

2、,且中含有一個任意常數(shù),故是題設(shè)方程的通解.將初始條件代入通解中，得 從而所求特解為 4寫出由下列條件確定的曲線所滿足的微分方程.(1) 一曲線通過原點，并且它在處的切線斜率等于;(2) 一曲線通過點，它在兩坐標軸間的任一切線段均被切點所平分.解：由題意，解：設(shè)該曲線的方程為，為其上任意一點，該點處的切線斜率為，過該點的切線方程為。令，解得切線的縱截距，由題意，則得該曲線滿足的微分方程：以及初值條件。習(xí) 題 12-21求下列微分方程的通解：（1）； （2）； （3）； （4）答案1(1) ； (2)； (3) ； (4) ； 2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）；（2），；（3）（4

3、），；（5），；（6），；答案:(1) ； (2)；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；3. 設(shè)一物體的溫度為100，將其放置在空氣溫度為20的環(huán)境中冷卻. 試求物體溫度隨時間的變化規(guī)律.答案: (物體冷卻的數(shù)學(xué)模型).4. 有高為1米的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面積為1平方厘米. 開始時容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面的高度(水面與孔口中心間的距離)隨時間的變化規(guī)律. (水從孔口流出的流量為)答案: 5. 某車間體積為12000立方米, 開始時空氣中含有0.1%的C0, 為了降低車間內(nèi)空氣中C0的含量, 用一臺風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機通入含0.

4、03%的C0的新鮮空氣, 同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機開動6分鐘后, 車間內(nèi)C0百分比降低到多少?答案: 故6分鐘后，車間內(nèi)的百分比降低到 習(xí)題12-31求下列微分方程的通解：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）；（6）；答案 ：(1) ；(2) ； (3) ； (4) ； (5) ;（6）2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1），； （2） ；（3），； （4），；（5），；（6） 答案 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ；(5) ； （6）3求解方程 是的已知函數(shù).解 原方程實際上是標準的線性方程，其中直接代入通解公式，得通解4. 質(zhì)量為的質(zhì)點受

5、力的作用沿軸作直線運動. 設(shè)力僅是時間的函數(shù): 在開始時刻時 隨著時間的增大, 此力均勻的減少, 直到時, 如果開始時質(zhì)點位于原點, 且初速度為零, 求這質(zhì)點的運動規(guī)律.解 設(shè)在時刻質(zhì)點的位置為由牛頓第二定律，得質(zhì)點運動的微分方程 (1)由題設(shè), 隨增大而均勻地減少,又于是方程(1)可以寫成 (2)其初始條件為在方程(2)式兩端積分,得代入初始條件得于是將條件代入上式,得于是所求質(zhì)點的運動規(guī)律5 求的通解.解 兩端除以得令得解得故所求通解為6求方程的通解.解 以除方程的兩端,得即 令則上述方程變?yōu)?解此線性微分方程得 以代得所求通解為 習(xí)題12-41. 判別下列方程中哪些是全微分方程, 并求全

6、微分方程的通解: (1) (2) (3) (4) ；(5)y(x-2y)dx-x2dy=0; (6)(x2+y2)dx+xydy=0. 答案: (1) (x2-y)dx-xdy=0; 解 這里P=x2-y, Q=-x . 因為 ,所以此方程是全微分方程, 其通解為 , 即 . (2) (xcos y+cos x)y¢-ysin x+sin y=0; 解 原方程變形為(xcos y+cos x)dy-(ysin x+sin y)dx=0. 這里P=-(ysin x+sin y), Q=xcos y+cos x. 因為 ,所以此方程是全微分方程, 其通解為 , 即 xsin y+ycos

7、 x=C. (3)eydx+(xey-2y)dy=0; 解 這里P=ey, Q=xey-2y. 因為 ,所以此方程是全微分方程, 其通解為 , 即 xey-y2=C. (4) 解 原方程是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為 (5) y(x-2y)dx-x2dy=0; 解 這里P=y(x-2y), Q=-x2. 因為 , , 所以此方程不是全微分方程. (6)(x2+y2)dx+xydy=0. 解 這里P=x2+y2, Q=xy. 因為 , , 所以此方程不是全微分方程. 2. 利用觀察法求出下列方程的積分因子, 并求其通解: (1) (x+y)(dx-dy)=dx+dy; (2) ydx

8、-xdy+y2xdx=0; (3) y2(x-3y)dx+(1-3y2x)dy=0;(4) xdx+ydy=(x2+y2)dx; (5) (x-y2)dx+2xydy=0; (6)2ydx-3xy2dx-xdy=0. 答案: (1)(x+y)(dx-dy)=dx+dy; 解 方程兩邊同時乘以得 , 即d(x-y)=dln(x+y), 所以為原方程的一個積分因子, 并且原方程的通解為 x-y=ln(x+y)+C. (2)ydx-xdy+y2xdx=0; 解 方程兩邊同時乘以得 , 即, 所以為原方程的一個積分因子, 并且原方程的通解為 . (3)y2(x-3y)dx+(1-3y2x)dy=0;

9、解 原方程變形為 xy2dx-3y3dx+dy-3x2dy=0, 兩邊同時乘以并整理得 , 即, 所以為原方程的一個積分因子, 并且原方程的通解為 . (4)xdx+ydy=(x2+y2)dx; 解 方程兩邊同時乘以得 , 即, 所以為原方程的一個積分因子, 并且原方程的通解為 x2+y2=Ce2x. (5)(x-y2)dx+2xydy=0; 解 原方程變形為 xdx-y2dx+2xydy=0, 兩邊同時乘以得 , 即, 所以為原方程的一個積分因子, 并且原方程的通解為 , 即xln x+y2=Cx. (6)2ydx-3xy2dx-xdy=0. 解 方程兩邊同時乘以x得 2xydx-x2dy-

10、3x2y2dx=0, 即yd(x2)-x2dy-3x2y2dx=0, 再除以y2得 , 即所以為原方程的一個積分因子, 并且原方程的通解為 . 3. 驗證是微分方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的積分因子, 并求下列方程的通解: 解 方程兩邊乘以得 , 這里, . 因為, 所以是原方程的一個積分因子. (1)y(x2y2+2)dx+x(2-2x2y2)dy=0; 解 這里f(xy)=x2y2+2, g(xy)=2-2x2y2 , 所以 是方程的一個積分因子. 方程兩邊同乘以得全微分方程 , 其通解為 , 即 , 或. (2)y(2xy+1)dx+x(1+2xy-x3y3)dy=0. 解

11、 這里f(x y)=2x y+1, g(x y)=1+2x y-x3 y3 , 所以 是方程的一個積分因子. 方程兩邊同乘以得全微分方程 , 其通解為 , 即 . 4. 用積分因子法解下列一階線性方程: (1)xy¢+2y=4ln x; 解 原方程變?yōu)? 其積分因子為 ,在方程的兩邊乘以x2得 x2y¢+2xy=4x ln x, 即(x2y)¢=4xln x, 兩邊積分得 , 原方程的通解為. (2)y¢-tan x×y=x. 解 積分因子為, 在方程的兩邊乘以cos x得 cos x×y¢-sin x×y =xc

12、os x, 即(cos x×y)¢=xcos x, 兩邊積分得 , 方程的通解為. 習(xí) 題12-51. 求下列各微分方程的通解（1）； （2） ；（3）； （4） ；（5） ； （6） .答案1、（1）（2）（3）（4）（5）（6）2. 求下列各微分方程滿足所給出初始條件的特解（1）, ；（2） ；（3），；(4) ， ;(5), .答案2、(1) (2) （3） （4）(5) 3、 求微分方程滿足 且當時，有界的特解.答案解法1 所給方程不顯含屬型,令則代入方程降階后求解, 此法留給讀者練習(xí).解法2 因為即這是一階線性微分方程，解得因為時，有界,得故由此得及又由已知條件得

13、從而所求特解為4、求滿足下列條件的可微函數(shù) （1） ；（2） 答案4、5 設(shè)有一均勻、柔軟的而無伸縮性的繩索，兩端固定，繩索僅受重力的作用而下垂. 求繩索曲線在平衡狀態(tài)時的方程.解 設(shè)繩索的最低點為取軸通過點鉛直向上，并取軸水平向右，且等于某個定值(這個定值將在以后說明).設(shè)繩索曲線的方程為考察繩索上點到另一點間的一段弧設(shè)其長為假定繩索的線密度為則弧的重量為由于繩索是柔軟的，因而在點處的張力沿水平的切線方向，其大小設(shè)為在點處的張力沿該點處的切線方向，設(shè)其傾角為其大小為(如圖). 因作用于弧段的外力相互平衡，把作用于弧段上的力沿鉛直及水平兩方向解得 兩式相除得 由于代入上式即得 將上式兩端對求導(dǎo)

14、，便得滿足得微分方程 (1)取原點到點的距離為定值即則初始條件為對方程(1)，設(shè)則代入并分離變量得： 由得 即 將條件代入上式，得 于是該繩索的曲線方程為 這曲線叫做懸鏈線.習(xí)題12-61.下列函數(shù)組在其定義域內(nèi)哪些是線性相關(guān)的，哪些是線性無關(guān)的? 答案: (1) 線性相關(guān)(2) 線性無關(guān)(3) 線性無關(guān)(4) 線性無關(guān)2. (1)驗證及都是方程的解. 并寫出方程的通解;(2)驗證是方程的通解.3. 已知是某二階非齊次線性微分方程的三個特解：（1）求此方程的通解；（2）寫出此微分方程；（3）求此微分方程滿足的特解.解 (1) 由題設(shè)知, 是相應(yīng)齊次線方程的兩個線性無關(guān)的解,且是非齊次線性方程的

15、一個特解，故所求方程的通解為，其中(2) 因 所以從這兩個式子中消去即所求方程為 (3) 在, 代入初始條件得從而所求特解為 4. 已知是方程的一個解, 試求方程的通解.解 作變換則有代入題設(shè)方程，并注意到是題設(shè)方程的解,有將代入，并整理,得故所求通解為其中為任意常數(shù). 從而得到對應(yīng)齊次方程的通解為求非齊次方程的一個解將換成待定函數(shù)設(shè)根據(jù)常數(shù)變易法, 滿足下列方程組積分并取其一個原函數(shù)得于是，題設(shè)原方程的一個特解為從而題設(shè)方程的通解為習(xí)題12-71、 求下列微分方程的通解(1) y3y2y0; (2) 3y2y0; (3) y4y0; (4) 4d2x/dt220 dx/dt25x0;(5)

16、; (6) ; (7) ; (8）; (9）y(4) y0;其中 （10）;（11）; (12) (13) (14) y(4)2y(3) y0答案: (1) y3y2y0解 特征方程:r23r20 即：（r1）(r2) 0得特征根: r1-1, r2-2所以線性無關(guān)的特解為: y1e-x ,y2e-2x 所以方程的通解為: yC1e-xC2e-2x(2) 3y2y0解 特征方程: 3r22r0 即: r(3r2) 0 r10, r2-2/3所以 yC1e0xC2e-2/3xC1C2e-2/3x(3) y4y0解 特征方程: r240, r±2i, 所以yC1cos2xC2sin2x(

17、4) 4d2x/dt220 dx/dt25x0解 分析此題t 為自變量,x是t的函數(shù),依然是二階常系數(shù)齊次方程特征方程: 4r220r250 即(2r5)20, r1r25/2所以x(C1C2t) e5t/2為所求 (5)求方程的通解.解 所給微分方程的特征方程為其根是兩個不相等的實根，因此所求通解為(6）求方程的通解.解 特征方程為解得故所求通解為(7）求方程的通解.解 特征方程為解得故所求通解為(8)求方程的通解解 特征方程為 特征根為， 所以原方程的通解為(9) y(4) y0解 特征方程: r410 (r21)( r1)( r1）0 r12±i, r31, r4-1所以yC1

18、cosxC2sinxC3exC4e-x為所求（10）求方程的通解.解 特征方程為即特征根是和因此所給微分方程的通解為（11）求方程的通解, 其中解 特征方程為由于特征方程為特征根為因此所給方程的通解為(12) 解 特征方程為即特征根通解為 (13)解 特征方程為即特征根通解為(14) y(4)2y(3) y0解 特征方程: r42r3r2r2(r22r1) r2(r1)20r1r20 r3r41 所以 yC1C2x(C3C4x)ex為所求說明 解二階常系數(shù)齊次線性方程: ypyqy0時,必須能正確的寫出特征方程,求出特征根,盡而求得通解(5)(6)是四階常系數(shù)齊次方程通解中應(yīng)含有4個獨立的任意

19、常數(shù)2. 設(shè)函數(shù)連續(xù)且滿足: 求分析 此題未知函數(shù)Q(x)出現(xiàn)在積分號內(nèi),這樣的方程稱為積分方程在積分方程中,令x適當取值,可以得出未知函數(shù)滿足的初始條件，利用變上限定積分的導(dǎo)數(shù)公式，還可以得到未知函數(shù)滿足的微分方程從而可以把求未知函數(shù)的問題化為求微分方程滿足初始條件的特解的問題解 記: 為(1)，方程兩邊求導(dǎo),得: (2)再求導(dǎo)得: (x)ex(x) 即(x)(x)ex 這是二階常系數(shù)非齊次方程當x0 時 由(1)得: (0)1; 由(2)式, 當x0 時,得: (0)1 此題轉(zhuǎn)化為求(x)(x)ex 滿足(0)1, (0)1的特解由特征方程 r210 r±i (x)C1cosxC

20、2sinx (x)Aex代入 (x)(x)ex 得 2Aexex 設(shè)A1/2 所以*(x)1/2ex 所以(x)C1cosxC2sinx1/2ex (3)(x)C1sinxC2cosx1/2ex (4)將(0)1代入(3) (0)1代入(4)得:1C1+ 1/2 C11/2; 1C2+ 1/2 C21/2 所以(x)1/2(cosxsinxex)為所求答案23. 已知一個四階常系數(shù)齊次線性微分方程的四個線性無關(guān)的特解為求這個四階微分方程及其通解.解 由與可知，它們對應(yīng)的特征根為二重根由與可知，它們對應(yīng)的特征根為一對共軛復(fù)根所以特征方程為即它所對應(yīng)的微分方程為其通解為4.設(shè)圓柱形浮筒，直徑為0.

21、5m，鉛直放在水中，當稍向下壓后突然放開，浮筒在水中上下振動的周期為2s，求浮筒的質(zhì)量略.習(xí)題12-81.下列方程具有什么樣形式的特解?(1) (2) (3) (4).解 (1) 因不是特征方程的根,故方程具有特解形式：(2) 因是特征方程的單根,故方程具有特解形式:(3) 因是特征方程的二重根，所以方程具有特解形式：(4) 因是特征方程的二重根，所以方程具有特解形式：2.求下列方程的一個特解.(1) ； (2) .（1）解 題設(shè)方程右端的自由項為型，其中對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 特征根為由于不是特征方程的根，所以就設(shè)特解為把它代入題設(shè)方程,得 比較系數(shù)得解得于是，所求特解為（2）其對應(yīng)齊次

22、方程的特征方程為解得特征根為由第六節(jié)定理4知,題設(shè)方程的特解是下列兩個方程的特解的和: (1) (2)因特征方程有重根所以設(shè)方程(1)的特解 將其代入方程并消去整理后得即于是得特解又因特征方程有重根所以設(shè)方程(2)的特解為 求導(dǎo)后代入方程，解出得特解 所以題設(shè)方程的特解為：3.求下列方程的通解. (1) ； (2) ；(3) ；(4) .（5）解 (1) 題設(shè)方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為特征根為于是，該齊次方程的通解為因是特征方程的單根，故可設(shè)題設(shè)方程的特解：代入題設(shè)方程,得比較等式兩端同次冪的系數(shù),得于是，求得題沒方程的一個特解從而，所求題設(shè)方程的通解為 (2) 特征方程為特征根為故對應(yīng)齊

23、次方程的通解為 觀察可得, 的一個特解為的一個特解為為由非齊次線性微分方程的疊加原理知是原方程的一個特解，從而原方程的通解為 (3)對應(yīng)的齊次方程的特征方程為特征根所求齊次方程的通解由于不是特征方程的根，因此方程的特解形式可設(shè)為代入題設(shè)方程易解得故所求方程的通解為(4)求方程的通解.解 對應(yīng)齊次方程的特征方程的特征根為故對應(yīng)齊次方程的通解作輔助方程是單根,故設(shè)代入上式得取虛部得所求非齊次方程特解為從而題設(shè)方程的通解為或型（5）求方程的通解.解 對應(yīng)齊次方程的特征方程的特征根為故對應(yīng)齊次方程的通解作輔助方程不是特征方程的根，故設(shè)代入輔助方程得取實部得到所求非齊次方程的一個特解:所求非齊次方程的通

24、解為4求y4y1/2 (xcos2x)滿足條件: y(0) y(0) 0的特解解 特征方程: r240 r±2i YC1cos2xC2sin2xf1(x)x/2 f2(x)1/2 cos2x 設(shè)y1*Ax+B,將代入y4yx/2 得 04Ax4B1/2x 解出: A1/8 B0 所以y1*1/8 x 設(shè) y2*x(Ccos2xDsin2x) y2*Ccos2xDsin2x2Cx sin2x2Dx cos2xy2*-4Csin2x4Dcos2x4Cx cos2x4Dx sin2x 將y2* y2*y2*代入y4y1/2 cos2x 比較兩邊同次冪系數(shù) 得:C0 D1/8 所以y2*x/

25、8 sin2x所以yC1cos2xC2sin2xx/8x/8 sin2x (1)為原方程的通解為求滿足y(0)y(0)0的特解對通解兩邊求導(dǎo) 得:y2C1sin2x2C2cos2x1/81/8 sin2xx/4 cos2x (2)將y(0)0代入(1), y(0)0代入(2) 得: 0C1 02C21/8 得: C10 C21/16所以y1/16 sin2x1/8 x(1sin2x) 為可求說明 求滿足初始條件的特解時,應(yīng)先求出該方程的通解然后依據(jù)初始條件求出特解在特解的表達式中,不應(yīng)含有任意常數(shù)5.設(shè)函數(shù)滿足求.解 將方程兩端對求導(dǎo)，得微分方程 即特征方程為特征根為對應(yīng)齊次方程的通解為注意到

26、方程的右端且不是特征根，根據(jù)非齊次方程解的疊加原理，可設(shè)特解代入方程定出從而原方程的通解為又在原方程的兩端令得又在原方程的兩端令得定出從而所求函數(shù)為6. 已知函數(shù)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解, 試確定常數(shù)與及該方程的通解. 解法1 將代入原方程得比較兩邊同類項系數(shù)，得方程組 解此方程組,得于是原方程為其通解為解法2 將已知方程的特解改寫為因?qū)?yīng)齊次方程的解應(yīng)是型的,如是對應(yīng)齊次方程的解, 也可能是，因原方程的自由項是而或是原非齊次方程的解,故也是對應(yīng)齊次方程的解(即也是特征方程的根).故原方程所對應(yīng)的齊次方程的特征方程為即于是得將代入方程得原方程的通解為 7. 求歐拉方程的通解.解

27、 作變量替換或則題設(shè)方程化為即兩次積分，可求得其通解為代回原來變量，得原方程的通解8. 求歐拉方程的通解.解 作變量變換或原方程化為即 或 (1) 方程(1)所對應(yīng)的齊次方程的特征方程 求得特征根故所以齊次方程的通解設(shè)特解代入原方程得即故所求歐拉方程的通解為9. 設(shè)有方程 求由此方程所確定的函數(shù)解 將方程兩邊對求導(dǎo)，整理后得且有這是歐拉方程,令或?qū)⑺癁槌Ｏ禂?shù)非齊次線性微分方程其通解為故原方程的通解為由初始條件可求得故由題設(shè)方程確定的函數(shù)為本章復(fù)習(xí)題A1. 填空題.（1）微分方程是_二_階微分方程;（2）微分方程x2dy+(3xy-y)dx=0的通解為 ;（3）一曲線過點（e,1），且在此曲線

28、上任一點M(x,y)的法線斜率為，則此曲線方程為 ;（4）設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程的兩個根為，則該二階常系數(shù)齊次線性微分方程為_；（5）微分方程的特解可設(shè)為形如=_.2. 選擇題.（1）下列微分方程是線性微分方程的是（ A ）（A） （B） （C） （D） （2） 滿足方程(A) .（A） （B）為常數(shù)） （C） （D）（3）方程 （C ）A 可化為齊次方程 B 可化為線性方程C A、B都可化 D A、B都不可化（4）是(B )A 可分離變量的微分方程 B 一階齊次微分方程C 一階齊次線性微分方程 D 一階非齊次線性微分方程（5）若與是某個二階齊次線性方程的解,則 ( 、為任意常

29、數(shù))必是該方程的（C ）A 通解 B 特解 C 解 D 全部解3. 求下列微分方程的通解.（1） （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8）（9）； （10）；答案（1） （2） （3）；（4）（5） （6）（7） （8）（9）；（10） 4. 求下列高階微分方程的通解.（1）； （2）；（3） （4） 答案（1）； （2） （3） （4） 5. 求下列微分方程滿足初始條件的特解.（1）；（2）， ， ；（3）；（4）答案（1） （2） （3） （4）6. 設(shè)滿足且答案：7. 位于坐標原點的我艦向位于軸上距原點1個單位的A點處的敵艦發(fā)射制導(dǎo)魚雷，且魚雷永遠對準敵艦，設(shè)敵艦以最大速度到

30、于軸的直線行駛，又設(shè)魚雷的速度是敵艦的5倍，求魚雷的軌跡曲線及敵艦行駛多遠時，將被魚雷擊中？答案： 作出草圖，設(shè)魚雷的軌跡曲線是，經(jīng)過時間，魚雷位于，敵艦位于由于魚雷始終對準敵艦，故有 又魚雷的速度是敵艦速度的5倍，故有即 由，代入式有兩邊關(guān)于，求導(dǎo)得： 初始條件， 令，代入 分離變量得： 即 由初始條件 ，得在式兩邊同乘以 式相加得：兩邊積分，再由，當時，可知當敵艦行個單位距離時，將被魚雷擊中。本章復(fù)習(xí)題B1. 填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分. 把答案填在題中橫線上）（1） 歐拉方程的通解為 .【分析】 歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換化為常系數(shù)線性齊次微分方程即可?！驹斀?/p>

31、】 令，則 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解為 【評注】 本題屬基礎(chǔ)題型，也可直接套用公式，令，則歐拉方程 ，可化為 yi 完全類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P171例6.19, 數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P342第六題.，考研數(shù)學(xué)大串講P75例12. （2） 微分方程滿足的解為 .【分析】直接套用一階線性微分方程的通解公式： ，再由初始條件確定任意常數(shù)即可.【詳解】 原方程等價為，于是通解為 =，由得C=0，故所求解為【評注】 本題雖屬基本題型，但在用相關(guān)公式時應(yīng)注意先化為標準型. 另外，本題也可如下求解：原方程可化為 ，即 ，兩邊積分得 ，再代入初始條件即可得所求解為（3） 微分方程的通解是 ，這是變量可分離方程.（4）微分方程（x2-1）dy+(2xy-cosx)dx=0,y|x=0=1的特解為 .（5）通解為y=C1ex+C2e-2x的微分方程是 .2. 選擇題（本題共5小題，每小題4分，滿