三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布

1、編輯ppt1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布除正態(tài)分布外，還有數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布除正態(tài)分布外，還有三個(gè)非常有用的連續(xù)型分布，即三個(gè)非常有用的連續(xù)型分布，即 2分布分布t 分布分布F分布分布 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大分布( (都是連續(xù)型都是連續(xù)型) ). .它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系. .在本章中特別要求掌握對(duì)正態(tài)分布在本章中特別要求掌握對(duì)正態(tài)分布、 2分布分布、t分布分布、F分布分布的一些結(jié)論的熟練運(yùn)用的一些結(jié)論的熟練運(yùn)用. . 它們它們是后面各章的基礎(chǔ)是后面各章的基礎(chǔ). .第四節(jié)第四節(jié) 三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布編輯ppt22（

2、卡方）（卡方）分布分布 0,1XN定義定義1:1:設(shè)總體設(shè)總體 ， 是是 的一的一個(gè)樣本個(gè)樣本, ,則統(tǒng)計(jì)量則統(tǒng)計(jì)量 X12,.,nXXX222212nXXX的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 函數(shù)。為）（其中)0(01tdxextxt則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量 服從自由度為服從自由度為n n的的 分布，分布，記作記作222212nXXX222( )n0 x00 x)2(21)(2122xnnexnxf編輯ppt30 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖圖5-4f(y)其圖形隨自由度的其圖形隨自由度的不同而有所改變不同而有所改變. .分布密

3、度函數(shù)的圖形分布密度函數(shù)的圖形2( )n注：自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，注：自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)， dfn編輯ppt4性質(zhì)性質(zhì)1 1： 2 2分布的數(shù)學(xué)期望與方差分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)設(shè) 2 2(n)，則，則E( 2)=n，D( 2)=2n.性質(zhì)性質(zhì)2 2： 2 2分布的可加性分布的可加性設(shè)設(shè)22221122( ),(),nn 且且2212, 相互獨(dú)立相互獨(dú)立，則則2221212()nn編輯ppt5dtexnnPxnxtn22222212lim),(3有則對(duì)任意實(shí)數(shù)：設(shè)性質(zhì).2 ,2）（于正態(tài)分布分布近似的很大時(shí)，自由度為這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明當(dāng)nnNnn編輯ppt6定理定理1 設(shè)設(shè)(X1，X

4、2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn 證明證明 由已知，有由已知，有XiN( ， 2)且且X1，X2，Xn相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，則則(0,1)iXN 且各且各iX 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，由定義由定義1 :得得2221212()( ).nniiiiXXn 編輯ppt7 定理定理3 :3 : 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體為來(lái)自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則(1) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； X222122()(1)(1)niiXXnSn (2)(4.1)(4.1)式的自由度

5、為什么是式的自由度為什么是n- -1？從表面上看，從表面上看，21()niiXX 是是n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和，的平方和，iXX 但實(shí)際上它們不是獨(dú)立的，但實(shí)際上它們不是獨(dú)立的，它們之間有一種線性約束關(guān)系：它們之間有一種線性約束關(guān)系：11()nniiiiXXXnX =0這表明，當(dāng)這個(gè)這表明，當(dāng)這個(gè)n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量中有個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量中有n- -1個(gè)取值給定時(shí)，剩下個(gè)取值給定時(shí)，剩下的一個(gè)的取值就跟著唯一確定了，故在這的一個(gè)的取值就跟著唯一確定了，故在這n項(xiàng)平方和中只有項(xiàng)平方和中只有n- -1項(xiàng)是獨(dú)立的項(xiàng)是獨(dú)立的. .所以所以(4.1)式的自由度是式的自由度是n- -1.編輯ppt8

6、 定理定理3 3： 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體為來(lái)自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則(1) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； X222122()() 11(niiXnSXn (2)(4.1)與以下補(bǔ)充性質(zhì)的結(jié)論比較：與以下補(bǔ)充性質(zhì)的結(jié)論比較： 性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn 編輯ppt9其幾何意義見(jiàn)圖其幾何意義見(jiàn)圖5-5所示所示.其中其中f(x)是是 2-分布的概率密度分布的概率密度.f(x)xO 2( )n 圖圖5-5顯然，在自由度顯然，在

7、自由度n取定以后，取定以后， 的值只與的值只與 有關(guān)有關(guān). 2( )n 2 2分布的分布的 上側(cè)分位點(diǎn)上側(cè)分位點(diǎn)上側(cè)分位點(diǎn)。分布的為的點(diǎn)滿(mǎn)足條件稱(chēng)）（對(duì)于給定的正數(shù)：設(shè)定義)()()()(,10),(222)(22222nndxxfnPnn編輯ppt10例如，當(dāng)例如，當(dāng)n=21， =0.05時(shí)，由附表時(shí)，由附表3(P254)可查得，可查得，20.05(21) 32.67即即 2(21)32.670.05.P 編輯ppt11二、二、t t分布分布定義定義3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XN(0，1)，Y 2(n) ，且且X與與Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量相互獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量 XTYn 服從自由度為服從自由度為

8、n的的t分布分布， 記作記作t分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為T(mén) t(n).1221()2( )(1), ()( )2nntf ttnnn 其圖形如圖其圖形如圖5-6所示所示(P106)， 其其形狀類(lèi)似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布形狀類(lèi)似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度的圖形的概率密度的圖形.當(dāng)當(dāng)n較大時(shí)，較大時(shí)， t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.編輯ppt12定理定理4設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體為來(lái)自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量的樣本，則統(tǒng)計(jì)量證證由于由于與與S 2相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且 X(0,1),XUNn 222(1)(1)nSn 由定義由定義3得得22 (1

9、)(1)(1)XnXTt nSnnSn 1)-t(n/nSXT編輯ppt13定理定理5 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn1)和和(Y1，Y2，Yn2) 分分別是來(lái)自正態(tài)總體別是來(lái)自正態(tài)總體N( 1 ， 2)和和N( 2 ， 2)的樣本，且的樣本，且它們相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量它們相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量121212() (2)(5.10)11nXYTt nnSnn 其中其中22112212(1)(1),2nnSnSSnn 、21S22S分別為兩總體的樣本方差分別為兩總體的樣本方差.編輯ppt142)-nt(n11)(3)2() 1() 1() 1() 1(),1() 1(1 , 0)(X21212121222222

10、21122221222222122211221221知再由定義分布的性質(zhì)知相互獨(dú)立，由與且）（證明：由例知nnSYXTnnSnSnSSnSnnSnNnnYn編輯ppt15t t 分布的分布的 上側(cè)分位點(diǎn)上側(cè)分位點(diǎn)對(duì)于給定的對(duì)于給定的 (0 45時(shí)，如無(wú)詳細(xì)表格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，如無(wú)詳細(xì)表格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布代替正態(tài)分布代替t分布查分布查t (n)的值的值. 即即t (n)u ， n45. 一般的一般的t分布臨界值表中，詳列至分布臨界值表中，詳列至n=30，當(dāng)，當(dāng)n30就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)來(lái)近似來(lái)近似.編輯ppt18三、三、F F分布分布服從第一自由度為服從第一自由度為n1，第二自由度為，第二自由度為n2的的F分布，分布，定義定義5.5 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 2(n1)、Y 2(n2)，且，且與相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量 12X nFY n 記作記作FF(n1，n2).概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)11211222(1),0( )0,0nnnnAyyyf yny 其中其中11212122()2() ,() ()22nnnnAnnn 其圖形見(jiàn)圖其圖形見(jiàn)圖5-9.(P108) 編輯ppt191X性質(zhì)性質(zhì)：若：若X