冪函數(shù)老師版

1、 冪函數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：（，、，且）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：（，、，且）一、冪函數(shù)的定義一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪孫函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).如等都是冪函數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù).二、冪函數(shù)的圖像冪函數(shù)隨著的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類記憶的方法熟練掌握，當(dāng)?shù)膱D像和性質(zhì)，列表如下從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過點，除原點外，任何冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過第四象限 時，冪函數(shù)圖像過原點且在上是增函數(shù) 時，冪函數(shù)圖像不過原點且在上是減函數(shù) 任何兩個冪函數(shù)最多有三個公共點奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)Oxy

2、OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy三、冪函數(shù)基本性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；（2）0時，冪函數(shù)的圖象都通過原點，并且在0，+上，是增函數(shù)（3）0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù).規(guī)律總結(jié)1在研究冪函數(shù)的性質(zhì)時，通常將分式指數(shù)冪化為根式形式，負(fù)整指數(shù)冪化為分式形式再去進行討論；2對于冪函數(shù)y，我們首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性，由此確定圖象的位置，即所在象限，其次確定曲線的類型，即0，01和1三種情況下曲線的基本形狀，還要注意0，±1三個曲線的形狀；對于冪函數(shù)在第一象限的圖象的大致情況可以用口訣來記憶：“正拋負(fù)雙

3、，大豎小橫”，即0（1）時圖象是拋物線型；0時圖象是雙曲線型；1時圖象是豎直拋物線型；01時圖象是橫臥拋物線型經(jīng)典例題透析類型一、求函數(shù)解析式例1.已知冪函數(shù)，當(dāng)時為減函數(shù)，則冪函數(shù)_解析：由于為冪函數(shù)，所以，解得，或當(dāng)時，在上為減函數(shù)；當(dāng)時，在上為常數(shù)函數(shù)，不合題意，舍去故所求冪函數(shù)為總結(jié)升華：求冪函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，弄明白冪函數(shù)的定義是關(guān)鍵類型二、比較冪函數(shù)值大小例2.比較下列各組數(shù)的大小.(1)與； (2)與.解:(1)由于冪函數(shù)(x>0)單調(diào)遞減且，.(2)由于這個冪函數(shù)是奇函數(shù). f(-x)=-f(x)因此，而(x>0)單調(diào)遞減，且， .即.總結(jié)升華：(1)各

4、題中的兩個數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個冪函數(shù)的兩個不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷.(2)題(2)中，我們是利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問題.當(dāng)然，若直接利用x<0上冪函數(shù)的單調(diào)性解決問題也是可以的.舉一反三【變式一】比較，的大小.思路點撥：先利用冪函數(shù)的增減性比較與的大小，再根據(jù)冪函數(shù)的圖象比較與的大小.解：在上單調(diào)遞增，且，.作出函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖象，易知.故.例3.已知冪函數(shù)， ， ， 在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1，C2，C3，C4，(如圖)，則n1，n2，n3，n4，0，1的大小關(guān)系?解:應(yīng)為n1<n2<0<n3&

5、lt;1<n4.總結(jié)升華：對于冪函數(shù)的圖象，其函數(shù)性質(zhì)的正確把握主要來源于對圖象的正確處理，而冪函數(shù)的圖象，最重要的是搞清第一象限的圖象類型及分布；反過來，也能通過第一象限的圖象判斷指數(shù)的取值范圍.舉一反三【變式一】（2011 陜西文4） 函數(shù)的圖像是（ ） 思路點撥：已知函數(shù)解析式和圖像，可以用取點驗證的方法判斷解：取，則，選項B，D符合；取，則，選項B符合題意類型三、求參數(shù)的范圍例4.已知冪函數(shù)的圖象與軸都無交點，且關(guān)于軸對稱，求的值，并畫出它的圖象解：圖象與軸都無交點， ，即又，冪函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，或當(dāng)時，函數(shù)為，圖象如圖1；當(dāng)時，函數(shù)為，圖象如圖2舉一反三【變式一】若，求實數(shù)a

6、的取值范圍.解法1：， 考察的圖象，得以下四種可能情況:(1) (2) (3) (4)分別解得:(1). (2)無解. (3). (4).a的取值范圍是.解法2：畫出的圖象，認(rèn)真觀察圖象，可得:越接近y軸，y值越大，即|x|越小，y值越大，要使， 即， 解得:.總結(jié)升華：以上兩種方法都是運用函數(shù)的單調(diào)性，但顯然第二種方法更好.而這種方法的應(yīng)用，必須對圖象的特征有深刻的認(rèn)識.可見，能很好地運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要途徑.類型四、討論函數(shù)性質(zhì)例5.求函數(shù)y=的定義域.解:原函數(shù)可化為 y= x-2，3)(3，+).總結(jié)升華：正確判斷函數(shù)的定義域是完成函數(shù)的圖象，討論函數(shù)的性質(zhì)的前提，必須加以

7、重視.例6.討論函數(shù)的單調(diào)性.解:可看作是由與u=x2-2x-3復(fù)合而成，中，u(0，+). x2-2x-3>0， 得到x>3或x<-1.當(dāng)x>3時，u=(x-1)2-4， 隨著x的增大u增大，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)，y隨著u的增大而減小，即時，是減函數(shù)，而時，原函數(shù)為增函數(shù).總結(jié)升華：1.復(fù)合函數(shù)的討論一定要理清x，u，y三個變量的關(guān)系.2.對于這樣的冪函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合，要先考慮冪函數(shù)的定義域?qū)ψ宰兞縳的限制.舉一反三【變式一】討論函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性解：（1）是正偶數(shù)，是正奇數(shù)函數(shù)的定義域為（2）是正奇數(shù)，且定義域關(guān)于原點對稱是上的奇函數(shù)（3），且是正奇數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增指對冪函數(shù)試題1. 已知冪函數(shù)f ( x )圖像過點（2，），則f ( 4 ) = 2. 函數(shù)與的函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則 3.求函數(shù)的值域.解：令，則，故，所以4、 設(shè)，則的大小關(guān)系是 a>b>c 5.，則 _ 6、若函數(shù)的反函數(shù)是，且在1，2