用向量方法解立體幾何地地題目

1、用向量方法求空間角和距離前言：在高考的立體兒何試題中，求角與距離是?？疾榈膯栴}，其傳統(tǒng)的“三步曲”解法：“作圖、 證明、解三角形”，作輔助線多、技巧性強,是教學(xué)和學(xué)習(xí)的難點向量進(jìn)入高中教材，為立體 兒何增添了活力，新思想、新方法與時俱進(jìn)，本專題將運用向量方法簡捷地解決這些問題.1求空間角問題空間的角主要有：異面直線所成的角;直線和平面所成的角;（平面和平面所成的角）二面 角.（1）求異面直線所成的角設(shè)a、乙分別為異面直線3、b的方向向量，則兩異面直線所成的角a =arccos I Iab（2 ）求線面角設(shè)7是斜線1的方向向量，是平面&的法向量, 則斜線與平盹所成的角nl市I（3 ）求二面角方法

2、一：在aN丄/,在0%丄/,其方向如圖，則二面角a-1-p的平面角aba =arccosab方法二設(shè)兀，云是二面角a-l-0的兩個半平面的法向量，其方向一個指向側(cè)，另一個指向外側(cè)，則二面角a-/-0的平面角a二arccosI q II n212.求空間距離問題構(gòu)成空間的點、線、面之間有七種距離，這里著重介紹點面距離的求法，像異面直線間的 距離、線面距離、面面距離都可化為點面距離來求.（1）求點面距離方法一：設(shè)2是平面&的法向量，在q取一點B,則A到a的距離 t/=IABIIcos/2I BCX II n I BG和面EFBD所成的角為冬.4(III) 點Q到面EFBD的距離d等于向量畫在面EF

3、BD的法向量上的投影的絕對值，;I麗;亦 2(1 = =-l/zl 3點評：1 作為本專題的例1,首先選擇以一個容易建立空間直角坐標(biāo)系的多面體一正方體為載體， 來說明空間角和距離的向量求法易于學(xué)生理解.2解決(1)后，可讓學(xué)生進(jìn)一步求這兩條異面直線的距離，并讓學(xué)生體會一下：如果用傳統(tǒng)方 法恐怕很難(不必多講，高考對公垂線的作法不作要求).3完成這3道小題后，總結(jié)：對于易建立空間直角坐標(biāo)系的立兒題，無論求角、距離還是證 明平行、垂直(是前者的特殊情況)，都可用向量方法來解決，向量方法可以人人學(xué)會，它程 序化，不需技巧.例2如圖，三棱柱中，已知A BCD是邊長為1的正方形，四邊形AA8B是矩形，平

4、而人433丄平ffnABCDo(I) 若必=1 ,求直線AB到面DAC的距離.(II) 試問：當(dāng)必的長度為多少時，二面角D-AC-A的大小為6(r?解：(I )如圖建立空間坐標(biāo)系4-補_則 04=(70 DC = (0,1,0)設(shè)面DAC的法向量為兀=（x,y, 1）則 型=DC - q = 0得 77； =（67,0,1）直線AB到面DAC的距離d就等于點A到面DAC的距離,也等于向量麗在面D4C的法向量上的投影的絕對值，ADy/2d =1/2,1 2（II）易得面AAC的法向量 = （-1,1,0）二向量斤兀的夾角為60由 cos“i ”=上 2 = _=得 a = l IIIn2 I2當(dāng)

5、/VV=1時，二面角D-AfC-A的大小為60 .點評：】.通過（I ）,復(fù)習(xí)線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離再轉(zhuǎn)化為一向量在一向量（法向量）投 影的絕對值的解題思路與方法.2. 通過（II）,復(fù)習(xí)面面角轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補角的方法，也可借此機會說明為什么 這兩個角相等或互補，就沒有其他情況.例3.正三棱柱ABC-A/C的所有棱長均為2, P是側(cè)棱側(cè)上任意一點.（I） 求證：直線不可能與平面ACC/】垂直；（II）當(dāng)Bq丄時，求二面角C-B.P-C,的大小. 證明：（I ）如圖建立空間坐標(biāo)系O-勺乂，設(shè)AP = a則 A,C,BP 的坐標(biāo)分別為（0,-1,0）,（0丄0）,（少,0,2）（0,-1衛(wèi)

6、）.AC = （0,2,0）,坊戸=（一館,一l,d - 2）4訕=一2工0,不垂直4C直線Bf不可能與平面ACC垂直.（II）陌=（一餡丄2）,由BG丄B、P,得磅麗=0即 2 + 2（a 2） = 0:.a = 乂 BG 丄 B.C :. BC、丄面CBfBC； = （J 丄2）是面C$P的法向量設(shè)面GBf的法向量為齊=（1, ”z）,由丄J :一 得心（1, JI-2 JJ）,設(shè)二面角C _ B、P - Cx的大小為a則COS 衛(wèi)IBC/ilnl 4.二面角C_B、P_C的大小為arccos點評：1 前面選擇的兩個題，可有現(xiàn)成的坐標(biāo)軸，但本題x、z軸需要自己添加（也可不 這樣建立）.2.

7、第（1 ）小題是證明題，同樣可用向量方法解答，是特殊情況；本小題也可證明這條直 線與這個面的法向量不平行.例4（卷）如圖，在四棱錐O A3CD中,底而ABCD四邊長為1的菱形，ZABC = -9 Q4丄底面ABCD.OA = 2.M為OA的中點，N為BC的中點（I ）證明：直線MN 平面OCD :（II）求異面直線AB與MD所成角的大小；（III）求點B到平而OCD的距離。解：作AP丄CD于點P,如圖扮別以所在直線為x, y,乙軸建立坐標(biāo)系A(chǔ)（0.0,0）, B（l、0,0）、P（0,至 0）. Q（至至，0）, 0（0,0,2）. M （0,0.1）, （1 並遲，0）,設(shè)平而OCD的法向量

8、為n = (x, z)，則nOP = 0,nOD = 0B N C P y取z = 2M得舁=（04血）_x+t2z = 0VM/Vew=（l-44:.MN 平面OCD設(shè)麗與MD所成的角為0,。,。)恥=(-孚拿-1)ABMDAB MD(3)設(shè)點B到平面OCD的距離為d,則d為面 在向量樸=(0,4,、伍)上的投影的絕對值,OB - n O2由03 = (1,0,-2),得 =所以點B到平而OCD的距離為二 例5 (理18題)如圖，正三棱柱ABCABC的所有棱長都為2, D為CC】中點。(I )求證：ABi丄而ABD；(II) 求二而角A-AQ-B的大?。?III) 求點C到平WA,BD的距離

9、；解：(I )取BC中點O,連結(jié)AO. .ABC為正三角形，./!O丄BC.在正三棱柱ABC A&iG中，平面ABC丄平而BCCQ , :.AD丄平面BCCB(II)設(shè)平面AAD的法向量為w = (x, y, z).VBy而=(-1丄-館)，A4, = (0,2,0)/1AD = O, J-x+y 一辰=0, Jy = 0 ifAA = 0, 2y = 0,-V =-羽z,令遠(yuǎn)=1得=（一點0,1）為平而AAD的一個法向量.迥為平面人BD的法向量.由（I ）知丄平而A/D,二而角A 一 AD 一 B的大小為arccos4（III ）由（II）, 迥為平而 A.BD 法向呈:，.說=（一2,0,

10、0）,刁瓦= （1,2, JJ）.| 氏西 |_2| J2.點 C 到平面 BD 的距離d = J , 1 =-L-L = .AB 2 近 2總結(jié)：通過上面的例子，我們看到向量方法（更確切地講，是用公式：引COS&）解決空間角和距離的作用，當(dāng)然，以上所舉例子，用傳統(tǒng)方法去做，也是可行的，甚至有的 （例2）還較為簡單，用向量法的好處在于克服傳統(tǒng)立兒以純兒何解決問題帶來的高度的技 巧性和隨機性.向量法可操作性強運算過程公式化、程序化，有效地突破了立體兒何教學(xué)和學(xué)習(xí)中的難點，是解決立體兒何問題的重要工具.充分體現(xiàn)出新教材新思想、新方法 的優(yōu)越性.這是繼解析兒何后用乂一次用代數(shù)的方法研究兒何形體的一塊

11、好容，數(shù)形結(jié)合， 在這里得到淋漓盡致地體現(xiàn).1. 計算異面直線所成角的關(guān)鍵是壬移（補形）轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角計算2. 計算直線與平而所成的角關(guān)鍵是能而的垂線找射影，或問量迭（直線上向量與 平而法向量夾角的余角），三余弦公武（最小角定理,COS & = cosq cos2）或先運用 等積法求點到直線的距離后而舌角三角形求解.注：一斜線與平面上以斜足 為頂點的角的兩邊所成角相等n斜線在平面上射影為角的平分線.3. 計算二面角的大小主要有：定義法（先作其平面角后計算大小）、公式法 （cos 字）、11量迭（兩平而法向量的夾角）、等價轉(zhuǎn)換法等等.二而角平而角的主 要作法有：定義法（取點.作垂、構(gòu)角）、三

12、垂線法（兩垂一連，關(guān)鍵是第一垂（過二面角一個而一點，作另一個面的垂線）、垂面法.4. 計算空間距離的主要方法有：定義法（先作垂線段后計算）、等積法、轉(zhuǎn)換（平行 換點、換面）等.5培間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進(jìn)行， 模式是：線線關(guān)系二線面關(guān)系目面面關(guān)系，請重視線而平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系（三 垂線定理及其逆定理）的橋梁作用.注意：書寫證明過程需規(guī).特別聲明：證明計算過程中，若有“中點”等特殊點線，則常借助于“中 位線、重心”等知識轉(zhuǎn)化. 在證明計算過程中常將運用轉(zhuǎn)化思想，將具體問題轉(zhuǎn)化（構(gòu)造）為特殊 幾何體（如三棱錐、正方體、長方體、三棱柱、四棱柱等）中問題，并獲

13、得去解 如果根據(jù)己知條件，在幾何體中有“三條直線兩兩垂直”，那么往往以此 為基礎(chǔ)，建立空間直角坐標(biāo)系，并運用空間向量解決問題.6.求幾何體體積的常規(guī)方法是：公式法、割補法、等積（轉(zhuǎn)換）法、比例（性質(zhì)轉(zhuǎn) 換）法等.練習(xí)：1 .在正四面體S-ABC中，棱長為a, E, F分別為SA和BC的中點，求異面直線BE和SF2所成的角.（arccos ）3折起后BD= 1 ,2在邊長為1的菱形ABCD中，ZABC = 60,將菱形沿對角線AC折起，使求二面角B-AC-D的余弦值.（*）P3 .在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD丄底面，且 / 1PD = AD = a，問平面與平面P3C能否垂直？試說明理由.（不 / 、垂直） 4.在直三棱柱 ABC