高一數(shù)學(xué)：函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)+例題講解+課堂練習(xí)

1、.第 3 講函數(shù)的單調(diào)性資料x(chóng) ， y 同號(hào)，平均變化率x 0，y增函數(shù)；x ， y 異號(hào)，平均變化率x 0，y減函數(shù)課時(shí)數(shù)量2 課時(shí)（ 120 分鐘）適用的學(xué)生水平? 優(yōu)秀? 基礎(chǔ)較差? 中等理解函數(shù)的單調(diào)性定義，會(huì)根據(jù)函數(shù)圖象寫出單調(diào)區(qū)間并判斷函數(shù)單調(diào)性根據(jù)定義證明給定函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性教學(xué)目標(biāo) （考試要求）能討論簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力重點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性定義，證明給定函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析建議教學(xué)方法數(shù)形結(jié)合，講練結(jié)合教學(xué)內(nèi)容一、知識(shí)梳理單調(diào)性定義設(shè)函數(shù) y f ( x) 的定義

2、域?yàn)?A，區(qū)間 MA .如果取區(qū)間 M 上的任意兩個(gè)值 x 1 , x 2，改變量 x x2x1 0，則當(dāng)yf ( x2 )f (x1 ) 0 時(shí)，就稱函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 M上是增函數(shù)；當(dāng)yf ( x2 )f (x1 ) 0 時(shí)，就稱函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 M上是增函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間M 上是增函數(shù)或是減函數(shù)， 就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間 M 上具有單調(diào)性（區(qū)間M 稱為單調(diào)區(qū)間） ;.提示函數(shù) f ( x) 、g( x) 公共定義域指f ( x) 的定義域與g( x) 的定義域的交集提示這一連串的看似相同的結(jié)論，結(jié)合單調(diào)函數(shù)的圖象不難理解.二、方法歸納在同一單調(diào)區(qū)間上，兩個(gè)增（減）函

3、數(shù)的和仍為增（減）函數(shù)，但單調(diào)性相同的兩個(gè)函數(shù)的積未必是增函數(shù)設(shè) x1 , x2 a,b ，若有（ 1） f (x1 )f (x2 ) 0，則有 f (x)在 a, b 上是增函數(shù)x1x2（ 2） f (x1 )f (x2 ) 0，則有 f (x)在 a, b 上是減函數(shù)x1x2在函數(shù)f (x) 、 g (x) 公共定義域內(nèi)，增函數(shù) f (x)增函數(shù) g( x) 是增函數(shù)；減函數(shù) f (x)減函數(shù) g( x) 是減函數(shù)；增函數(shù) f (x)減函數(shù) g( x) 是增函數(shù)；減函數(shù) f (x)增函數(shù) g( x) 是減函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性常應(yīng)用于如下三類問(wèn)題：（ 1）利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大?。?2）

4、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，常見(jiàn)題型是，已知函數(shù)的單調(diào)性，給出兩個(gè)函數(shù)的大小，求含于自變量中的某個(gè)特定的系數(shù)，這時(shí)就應(yīng)該利用函數(shù)的單調(diào)性“脫”去抽象的函數(shù)“外衣”，以實(shí)現(xiàn)不等式間的轉(zhuǎn)化（ 3）利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的值域，求函數(shù)的最大值和最小值若函數(shù) yf ( x) 在定義域a,b上遞增，則函數(shù)值域?yàn)? f (a) ， f (b) ) ；若函數(shù) yf ( x) 在定義域a,b上遞減 ,則函數(shù)值域?yàn)?(f (b) ， f (a) )；若函數(shù) yf ( x) 在定義域a,b上遞增，則函數(shù)值域?yàn)?f ( a) ， f (b) ；若函數(shù) yf ( x) 在定義域a, b上遞減，則函數(shù)值域?yàn)?f (b)

5、 ， f (a) ；若函數(shù) yf ( x) 在定義域a,b上遞增， 則函數(shù)的最大值為f (b) ，最小值為f ( a) ；若函數(shù) yf ( x) 在定義域a,b上遞減， 則函數(shù)的最大值為f (a) ，最小值為;.f (b) ；三、典型例題精講例 1若 yax 與 yb 在 0,上都是減函數(shù)，對(duì)函數(shù) yax 3bx 的單x調(diào)性描述正確的是 ()A. 在,上是增函數(shù)B.在0,上是增函數(shù)C. 在,上是減函數(shù)D. 在,0 上是增函數(shù)， 在 0,上是減函數(shù)解析:由函數(shù)yax在0,上是減函數(shù)，得0a ，又函數(shù) yb在 0,上是減函數(shù)，得b 0，x于是，函數(shù) ax3 ， bx 在,上都是減函數(shù)， 函數(shù) ya

6、x3bx 在,上是減函數(shù)，故選【技巧提示】熟悉函數(shù)yax ， yax 3 ， ybx ， yb 的符號(hào)的關(guān)系，就能正確的描述由它們組合而成的函數(shù)的單調(diào)性例 2求函數(shù)f ( x)x1x3 的最大值Cb的單調(diào)性與a 、x提示利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域這是求函數(shù)的值域的又一種方法解析：由 f ( x)x1x34，xx 13知函數(shù) f (x)x 1x3在其定義域3，+上是減函數(shù)所以 f ( x)x1x3 的最大值是 f (3)2 【技巧提示】顯然由x1x 34使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化，x 1x 3當(dāng)然函數(shù)定義域是必須考慮的又例已知 x0,1，則函數(shù) yx 21x 的值域是.解析：yx21x 在 x0,1上單調(diào)

7、遞增，函數(shù) yx21x 的值域是f (0), f (1)即21,3;.提示關(guān)于復(fù)合函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，可由學(xué)生先初步了解，待學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)時(shí)，逐步積累，再總結(jié)提示討論給定函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性，通常利用單調(diào)性的定義。作差，變形，判別符號(hào)是常規(guī)步驟。資料f (x)baxx(a 0,b0) 被稱為對(duì)號(hào)函數(shù)對(duì)號(hào)函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象是雙曲線， y 軸和直線 yax 是其漸近線.再例 求函數(shù) yx12x 的值域解析：yx12x在定義域1 ,上是增函數(shù)，2函數(shù)yx12x 的值域?yàn)?,2例 3函數(shù) f ( x) 在 R 上為增函數(shù)，求函數(shù)yf ( x1) 單調(diào)遞減區(qū)間解析：令 ux1 ，則 u

8、在 ( , 1 上遞減，又函數(shù) f ( x) 在 R 上為增函數(shù)， 函數(shù) yf ( x1) 單調(diào)遞減區(qū)間為 ( , 1 .【技巧提示】這是一個(gè)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的例子，同時(shí)又含有抽象函數(shù)只要知道函數(shù) x 1 的單調(diào)性， yf ( x 1) 與 x1 的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間相同如果變函數(shù)f ( x) 在 R 上為減函數(shù)，那么函數(shù)yf ( x1)的單調(diào)性與函數(shù)x 1 的單調(diào)性相反，即函數(shù) y f ( x1) 單調(diào)遞增區(qū)間為 ( , 1 .又例設(shè)函數(shù) f ( x) 在 R 上為減函數(shù)，求函數(shù)yf (1) 單調(diào)區(qū)間x再例設(shè)函數(shù) f ( x) 在 R 上為增函數(shù)，且f (x) 0，求證函數(shù)y1在 Rf (

9、x)上單調(diào)遞減例 4試判斷函數(shù) f ( x)axb(a0, b0)在 0,上的單調(diào)性x并給出證明 .解析：設(shè) x1x2 0，f x1f x2x1x2ax1 x2b由于 x1x2 0x1x2故當(dāng) x1 , x2b ,時(shí) fx1fx20 ，此時(shí)函數(shù) fx在b ,aa上增函數(shù)，同理可證函數(shù)f x在 0,b上為減函數(shù) .a;.【技巧提示】f ( x) axb(a0, b0) 是一種重要的函數(shù)模型，要引起足夠x的重視 事實(shí)上， 函數(shù) fxaxb0, b 0的增函數(shù)區(qū)間為ba,xa和b ,，減函數(shù)區(qū)間為0,b 和b ,0但注意本題中不能說(shuō) f xaaa在,bb ,上為增函數(shù)，在 0,bb ,0上為減函數(shù)

10、,aaaa在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“”和“或”又例：求函數(shù) yx25 的最小值x 24解析：由 yx25x 241u1g u , u2,用單x 24x24u調(diào)性的定義法易證g u1在 2,上是增函數(shù)，易求函數(shù)x25 的yuux 24最小值為 5 為所求2再例：已知函數(shù) fxx 22 xa , x1,.若對(duì)于 x1, f ( x)x 0恒成立，試求 a 的取值范圍 .解析：由 f (x) x22xaxa2, x1,.xx當(dāng) a 0 時(shí)，f xxa2顯然有 f ( x) 0在 1.恒成立；xa 0 時(shí)，由 fxx22xaa2, x1,知其為增函數(shù)，只需xxxf ( x)

11、 的最小值 f(1) 3 a 0, 解之， a 3.當(dāng) a 3 時(shí)， f ( x) 0 在 1,上恒成立 .例 5已知 f (x) 是定義在 R上的增函數(shù)， 對(duì) x R有 f ( x) 0，且 f (10) 1，設(shè) F (x) = f ( x)1，討論 F ( x) 的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論f ( x)解析：在R 上任取 x1 、 x2 ，設(shè) x1 x2 ， f ( x2 ) f ( x1 ) ，;.F ( x2 ) F ( x1 ) f ( x2 )11f ( x2 ) f ( x1 )f ( x1 ) f (x2 )f ( x1 ) 11,f (x1 ) f (x2 ) f ( x) 是

12、R 上的增函數(shù)，且f (10) 1，當(dāng) x 10時(shí) 0 f ( x) 1，而當(dāng) x 10 時(shí) f (x) 1； 若 x1 x2 10，則 0 f ( x1 ) f ( x2 ) 1， 0 f ( x1 ) f ( x2 ) 1，110，f ( x1 ) f ( x2 ) F (x2 ) F ( x1 ) ； x2 x1 10，則 f ( x2 ) f ( x1 ) 1 ， f ( x1 ) f ( x2 ) 1 ，110，f ( x1 ) f ( x2 ) F ( x2 ) F (x1 ) ；綜上， F (x) 在（， 10）為減函數(shù)，在（10，）為增函數(shù).【技巧提示】該題屬于判斷抽象函數(shù)的單

13、調(diào)性問(wèn)題，用單調(diào)性定義解決是關(guān)鍵例 6已知 1a1 ，若 f ( x)ax22x1在區(qū)間 1， 3上的最大值為3M (a) ，最小值為 N ( a) ，令 g (a)M (a)N (a) （ 1）求函數(shù) g (a) 的表達(dá)式；（ 2）判斷函數(shù) g (a) 在區(qū)間 1， 1上的單調(diào)性，并求g (a) 的最小值3解析：（ 1） 1a1 函數(shù) fx 的圖像為開(kāi)口向上的拋物線，且對(duì)稱軸3為 x11,3.a1 fx 有最小值N (a)1.a111M af 1a 1；當(dāng) 2 3時(shí)， a , f (x) 有最大值a32;.當(dāng) 11 2 時(shí)， a ( 1 ,1,f ( x) 有最大值 M （ a） f(3)

14、9a 5；a2a1(1a1),232g (a)a1 (19a6a1).a2（2）設(shè) 1a1a21 , 則32g (a1 ) g (a2 )( a1a2 )(11)0,g(a1)g(a2 ),a1 a2g (a)在1,1 上是減函數(shù)32設(shè) 1a1a21,則 g(a1 )g(a2)(a1 a2 )(91 )0,g(a1 )g(a2 ),2a1a2g (a)在 (1 ,1 上是增函數(shù)當(dāng) a1時(shí)， ga 有最小值1 2122【技巧提示】當(dāng)知道對(duì)稱軸為 x1,3后，要求 f ( x)ax22x 1在區(qū)a間 1，3上的最大值為M (a) ，最小值為N (a) ，就必須分類討論本題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想有

15、很好的作用第（ 2）問(wèn)討論一個(gè)分段函數(shù)的單調(diào)性并求最值，也具有一定的典型性四、課后訓(xùn)練1、函數(shù)f ( x)x1 ( x 0) 的單調(diào)性描述，正確的是（）xA 、在 (， )上是增函數(shù)；B 、在 (， 0) (0， )上是增函數(shù)；C、在 (， 1) (1， )上是增函數(shù)；D 、在 (， 1) 和(1， )上是增函數(shù)2、證明函數(shù)f x x 2 在 0，）上是增函數(shù)3、證明函數(shù) y4x1在 1,) 上是增函數(shù)x24、對(duì)于任意 xR ，函數(shù) fx表示x 3，3 x1， x 24x 3 中的較22大者，則f x 的最小值是 _.;.5、已知函數(shù)f (x) 、 g(x) 在 R上是增函數(shù)，求證：f ( g

16、( x) 在 R上也是增函數(shù) .f xx226、已知函數(shù)2x 3 ，那么（）A y fx 在區(qū)間1,1 上是增函數(shù)BCDyfx 在區(qū)間,1 上是增函數(shù)yfx 在區(qū)間1,1上是減函數(shù)yfx 在區(qū)間,1 上是減函數(shù)7、函數(shù)f ( x) 是定義在 0,) 上的單調(diào)遞減函數(shù)，則f (1x2 ) 的單調(diào)遞增區(qū)間是8、函數(shù) y2x 的遞減區(qū)間是；函數(shù) y2x 的3x63x6遞減區(qū)間是9、設(shè) yfx 是 R 上的減函數(shù)，則y fx 3 的單調(diào)遞減區(qū)間為10、求函數(shù)f ( x)x 22ax1在區(qū)間 0,2 上的最值11、若函數(shù)f ( x)x22x2 當(dāng) x t, t1 時(shí)的最小值為 g(t) ，求函數(shù)g (t

17、) 當(dāng) t 3,2時(shí)的最值12、討論函數(shù)f ( x) ax(a0)，在 1 x 1 上的單調(diào)性21x五、參考答案1 D2略13解析：設(shè)x1 x2 ，則f ( x2 ) f ( x1 ) 4 x21 （ 4x11 ）x2x1 4( x2x1 )x1x2 ( x2 x1 )4x1 x 21 ，x1 x 2x1 x2 x2 x10 ， x1 x21 ， f ( x2 ) f (x1 ) 04;. 函數(shù) y4x1在 1 ,) 上是增函數(shù)x24 25證明：設(shè)x1 x2 ，則 f (x1 ) f ( x2 ) 0， g( x1 ) g (x2 ) 0，即 g (x1 ) g ( x2 )于是f ( g (

18、x1 ) f ( g(x2 ) 0 f (g ( x) 在 R上也是增函數(shù) .6 C7 0,18 (,2)和( 2,)(2,29 3,)10解析：函數(shù)f ( x)x 22ax1( xa)2(a21) ，當(dāng) a0時(shí)， f ( x) 在區(qū)間 0,2 上的最小值為fmin (x) f (0) 1f ( x) 在區(qū)間 0,2上的最大值為f max (x) f (2) 34a ；當(dāng)0a1時(shí)， f ( x) 在區(qū)間 0,2 上的最小值為f min ( x) (a 21)f ( x) 在區(qū)間 0,2上的最大值為f max (x) f (2) 34a ；當(dāng)1a2時(shí)， f ( x) 在區(qū)間 0,2 上的最小值為f min ( x) (a 21)f ( x) 在區(qū)間 0,2上的最大值為f max (x) f(0) 1；當(dāng) a2 時(shí)， f ( x) 在區(qū)間上的最小值為f min ( x) f ( 2) 34af ( x) 在區(qū)間 0,2上的最大值為f max (x) f (0) 1；11解析：因?yàn)楹瘮?shù) f ( x)x22x2 ( x1)21當(dāng) t 0 時(shí)，最小值 g(