勾股定理單元復習與鞏固

1、勾股定理單元復習與鞏固-6月10日知識網絡目標認知學習目標：1、了解勾股定理的歷史，經歷勾股定理的探索過程；2、理解并掌握直角三角形中邊角之間的關系；3、能應用直角三角形的邊角關系解決有關實際問題重點：勾股定理及其逆定理的應用難點：勾股定理及其逆定理的應用知識要點梳理知識點一：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題知識點二：勾

2、股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關系a2+b2c2，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形應注意：（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關系，若c2a2+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則ABC為銳角三角形）。知識點三：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。知識點四：互

3、逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導1勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。3勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯 誤。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關系：a2+b2c2，那么這個三角形是直 角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法5.應用勾股定理的逆定理判定

4、一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加 深對“數形結合”的理解經典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設未知數，再根據勾股定理列出方程，求出未知數的值進而求面積。解析：設此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據題意得： （3x）2+（4x）2202 化簡得x216； 直角三角形的面積×3x×4x6x296總結升華：直角三角形邊的有關計算中，常常要設未知數，然后用勾股定理列方程（組）求解。舉一反

5、三【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。 【答案】如圖，等邊ABC，作ADBC于D 則：BDBC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合） ABACBC2（等邊三角形各邊都相等） BD1 在直角三角形ABD中，AB2AD2+BD2， 即：AD2AB2BD2413 ADSABCBC·AD注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為a?！咀兪?】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。【答案】設此直角三角形兩直角邊長分別是x，y，根據題意得：由（1）得：x+y7，（x+y）249，x2+2xy+y249 (3)(3)(2)，得：xy12直角三角

6、形的面積是xy×126（cm2）【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。思路點撥：首先要確定斜邊（最長的邊）長n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長為n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（n+3）2化簡得：n24n±2，但當n2時，n+11<0，n2總結升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。【變式4】以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是（ ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，

7、40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷，對數據較大的可以用c2a2+b2的變形：b2c2a2（ca）（c+a）來判斷。例如：對于選擇D，82（40+39）×（4039），以8，39，40為邊長不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項。【答案】：A【變式5】四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。解：連結ACB=90°，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90°（勾股定理逆定理）S四邊形ABC

8、D=SABC+SACD=AB·BC+AC·CD=36類型二：勾股定理的應用2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30°，點A處有一所中學，AP160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？ 思路點撥：（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A，實質上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）要求出學校受影響的時間，實質

9、是要求拖拉機對學校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結束影響學校。解析：作ABMN，垂足為B。在 RtABP中，ABP90°，APB30°， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半）點 A到直線MN的距離小于100m,這所中學會受到噪聲的影響。如圖，假設拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學校開始受到影響，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。同理，拖拉機行駛到點D處學校開始脫離影響，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120

10、(m)。拖拉機行駛的速度為 : 18km/h5m/st120m÷5m/s24s。答：拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受影響的時間為24秒。總結升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三【變式1】如圖學校有一塊長方形花園，有極少數人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內走出了一條“路”。他們僅僅少走了_步路（假設2步為1m），卻踩傷了花草。解析：他們原來走的路為3+47(m)設走“捷徑”的路長為xm，則故少走的路長為752(m)又因為2步為1m，所以他們僅僅少走了4步路。

11、【答案】4【變式2】如圖中的虛線網格我們稱之為正三角形網格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。（2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？（3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）?！敬鸢浮浚?）單位正三角形的高為，面積是。（2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積。（3）過A作AKBC于點K（如圖所示），則在RtACK中， ，故類型三：數學思想方法（一）轉化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉化為

12、直角三角形問題來解決3、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。 思路點撥：現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關鍵是線段的轉化，根據直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質，不妨先連接AD解：連接AD因為BAC=90°，AB=AC又因為AD為ABC的中線，所以AD=DC=DBADBC且BAD=C=45°因為EDA+ADF=90°又因為CDF+ADF=90°所以EDA=CDF所以AEDCFD（ASA）所以AE=FC=5同

13、理：AF=BE=12在RtAEF中，根據勾股定理得：，所以EF=13。總結升華：此題考查了等腰直角三角形的性質及勾股定理等知識。通過此題，我們可以了解：當已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時，應通過適當的轉化把它們放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法4、如圖所示，已知ABC中，C=90°，A=60°， 求、的值。思路點撥：由，再找出、的關系即可求出和的值。解：在RtABC中，A=60°，B=90°-A=30°，則，由勾股定理，得。因為，所以，。總結升華：在直角三角形中，30°的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半。舉一反三：【

14、變式】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的長。解：因為ADE與AFE關于AE對稱，所以AD=AF，DE=EF。因為四邊形ABCD是矩形，所以B=C=90°，在RtABF中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，所以。所以。設，則。在RtECF中，即，解得。即EF的長為5cm。中考題萃一、填空題1.（甘肅省白銀市）已知等腰三角形的一條腰長是5，底邊長是6，則它底邊上的高為_2.（江西?。┤鐖D，已知點F的坐標為(3，0)，點A、B分別是某函數圖象與x軸，y軸的交點，點P是此圖像上的一動點，設點P的橫坐標為x，PF的長為d，

15、且d與x之間滿足關系：d=5-x(0x5),則結論：AF=2； BF=5； OA=5； OB=3中，正確結論的序號是_.3.（永州）一棵樹因雪災于A處折斷，測得樹梢觸地點B到樹根C處的距離為4米，ABC約45°，樹干AC垂直于地面，那么此樹在未折斷之前的高度約為_米（答案可保留根號）4.（湖州市）利用圖（1）或圖（2）兩個圖形中的有關面積的等量關系都能證明數學中一個十分著名的定理，這個定理稱為_，該定理的結論其數學表達式是_5.（荊州市）如圖所示的長方體是某種飲料的紙質包裝盒，規(guī)格為5×6×10(單位：)，在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13， 小孔到圖中邊A

16、B距離為1，到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設插入吸管后露在盒外面的管長為h，則h的最小值大約為_.（精確到個位，參考數據：）二、選擇題1.（荊門大綱）園丁住宅小區(qū)有一塊草坪如圖所示，已知米，米，米，米，且，這塊草坪的面積是（）A米 B米 C米 D米2.（山西呂梁課改）如圖，分別以直角的三邊為直徑向外作半圓設直線左邊陰影部分的面積為，右邊陰影部分的面積和為，則（）A B C D無法確定三、解答題（白銀課改）一架長5米的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯子底端距墻底3米如果梯子的頂端沿墻下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動1米嗎？用所學知識，論證你的結論學習成果測評基礎達標一、選擇題

17、1已知ABC中，A=B=C，則它的三條邊之比為（ ）A1：1： B1：2 C1： D1：4：12已知直角三角形一個銳角60°，斜邊長為1，那么此直角三角形的周長是（ ）A B3 C D3下列各組線段中，能夠組成直角三角形的是（ ）A6，7，8 B5，6，7 C4，5，6 D3，4，54下列各命題的逆命題成立的是（ ）A全等三角形的對應角相等B如果兩個數相等，那么它們的絕對值相等C兩直線平行，同位角相等D如果兩個角都是45°，那么這兩個角相等5若等邊ABC的邊長為2cm，那么ABC的面積為（ ）Acm2 B2cm2 C3cm2 D4cm26在RtABC中，已知其兩直角邊長a=

18、1，b=3，那么斜邊c的長為（ ）A2 B4 C2 D7如圖所示，ABC中，CDAB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，則BD的長為（ ）A B C1 D8下面四組數中是勾股數的有（ ）（1）1.5，2.5，2 （2），2（3）12，16，20（4）0.5，1.2，1.3A1組 B2組 C3組 D4組9直角三角形有一條直角邊長為13，另外兩條邊長都是自然數，則周長為（ ）A182 B183 C184 D18510如圖，長方形ABCD中，AB=4，BC=3，將其沿直線MN折疊，使點C與點A重合，則CN的長為（ ）A B C D (第10題) (第12題)二、填空題11已知直角三角形的兩邊分別為3、4，則第三邊為_12你聽說過亡羊補牢的故事嗎？如圖,為了防止羊的再次丟失，小明爸爸要在高0.9m，寬1.2m的柵欄門的相對角頂點間加一個加固木板，這條木板需_m長13如圖所示，某風景名勝區(qū)為了方便游人參觀，計劃從主峰A處架設一條纜車線路到另一山峰C處，若在A處測得EAC=30°，