202X屆高考數(shù)學一輪復習7.4空間向量與立體幾何課件

1、7.4空間向量與立體幾何20102019年高考全國卷考情一覽表 考點85考點86考點87考點88考點85利用空間向量求線線角1.(2014全國2,理11,5分,難度)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為(C)考點85考點86考點87考點88解析如圖,以點C1為坐標原點,C1B1,C1A1,C1C所在的直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,不妨設BC=CA=CC1=1,可知點 求異面直線所成角的方法思路:利用直線的方向向量將異面直線所成的角轉化成向量所成的角.即若異面直線a,b的方向向量為a

2、,b,所成的角為,則cos = .考點85考點86考點87考點882.(2012陜西,理5,5分,難度)如圖,在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為(A)解析不妨設CB=1,則CA=CC1=2.由題圖知,A點的坐標為(2,0,0),B點的坐標為(0,0,1),B1點的坐標為(0,2,1),C1點的坐標為(0,2,0). 考點85考點86考點87考點883.(2010大綱全國,文6,5分,難度)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90,AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于(C)A.30 B.45C.

3、60D.90解析不妨設AB=AC=AA1=1,建立空間直角坐標系如圖所示,則B(0,-1,0),A1(0,0,1),A(0,0,0),C1(-1,0,1),考點85考點86考點87考點884.(2018上海,17,14分,難度)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,半徑為2.(1)設圓錐的母線長為4,求圓錐的體積;(2)設PO=4,OA,OB是底面半徑,且AOB=90,M為線段AB的中點,如圖,求異面直線PM與OB所成的角的大小.考點85考點86考點87考點88解(1)圓錐的頂點為P,底面圓心為O,半徑為2,母線長為4, (2)PO=4,OA,OB是底面半徑,且AOB=90,M為線段AB的中點,以

4、O為原點,OA為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),考點85考點86考點87考點885.(2015全國1,理18,12分,難度)如圖,四邊形ABCD為菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一側的兩點,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)證明:平面AEC平面AFC;(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明連接BD,設BDAC=G,連接EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨設GB=1. 由BE平面ABCD,AB=B

5、C,可知AE=EC. 從而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.又ACFG=G,可得EG平面AFC.因為EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點88考點86利用空間向量求線面角1.(2019天津,理17,13分,難度)如圖,AE平面ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求證:BF平面ADE;(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值為 ,求線段CF的長.考點85考點86考點87考點88(1)證明依題意,可以建立以A為原點,分別以 的方向為x軸,y軸,z軸正方

6、向的空間直角坐標系(如圖),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).設CF=h(h0),則F(1,2,h).考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點88 本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.考點85考點86考點87考點882.(2019浙江,19,15分,難度)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1平面ABC,ABC=90,BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F分別是AC,A1B1的中點

7、.(1)證明:EFBC;(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.考點85考點86考點87考點88解方法一:(1)連接A1E,因為A1A=A1C,E是AC的中點,所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC,則A1EBC.又因為A1FAB,ABC=90,故BCA1F.所以BC平面A1EF. 因此EFBC.(2)取BC中點G,連接EG,GF,則EGFA1是平行四邊形.由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四邊形EGFA1為矩形.由(1)得BC平面EGFA1,則平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平面A1

8、BC上的射影在直線A1G上.連接A1G交EF于O,則EOG是直線EF與平面A1BC所成的角(或其補角).考點85考點86考點87考點88方法二:(1)連接A1E,因為A1A=A1C,E是AC的中點,所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC.如圖,以點E為原點,分別以射線EC,EA1為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系E-xyz.考點85考點86考點87考點88 本題主要考查空間點、線、面位置關系,直線與平面所成的角等基礎知識,同時考查空間想象能力和運算求解能力. 考點85考點86考點87考點883.(201

9、8全國1,理18,12分,難度)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把DFC折起,使點C到達點P的位置,且PFBF.(1)證明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.考點85考點86考點87考點88解(1)由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF,垂足為H.由(1)得,PH平面ABFD.考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點884.(2018全國2,理20,12分,難度)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=

10、AC=4,O為AC的中點.(1)證明:PO平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30,求PC與平面PAM所成角的正弦值.考點85考點86考點87考點88解(1)因為AP=CP=AC=4,O為AC的中點, 由OP2+OB2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC. 考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點885.(2018浙江,19,15分,難度)如圖,已知多面體ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)證明:AB1平面A1B1C1;(2)求直線AC1

11、與平面ABB1所成的角的正弦值.考點85考點86考點87考點88故AB1B1C1.因此AB1平面A1B1C1.(2)如圖,過點C1作C1DA1B1,交直線A1B1于點D,連接AD.考點85考點86考點87考點88由AB1平面A1B1C1,得平面A1B1C1平面ABB1,由C1DA1B1,得C1D平面ABB1,所以C1AD是AC1與平面ABB1所成的角. 考點85考點86考點87考點88解法二(1)證明:如圖,以AC的中點O為原點,分別以射線OB,OC為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標系O-xyz.所以AB1平面A1B1C1.考點85考點86考點87考點88(2)設直線AC1與平面ABB1所成

12、的角為. 考點85考點86考點87考點886.(2017北京,理16,12分,難度)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD平面ABCD,點M在線段PB上,PD平面MAC,PA=PD= ,AB=4.(1)求證:M為PB的中點;(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明設AC,BD交點為E,連接ME.因為PD平面MAC,平面MAC平面PDB=ME,所以PDME.因為ABCD是正方形,所以E為BD的中點.所以M為PB的中點.(2)解取AD的中點O,連接OP,OE.因為PA=PD,所以OPAD.又因為

13、平面PAD平面ABCD,且OP平面PAD,所以OP平面ABCD.因為OE平面ABCD,所以OPOE.因為ABCD是正方形,所以OEAD.考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點887.(2016全國3,理19,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)證明:MN平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.考點85考點86考點87考點88又ADBC,故TNAM,四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因為AT平面PAB,MN平面PAB,所以M

14、N平面PAB.(2)解取BC的中點E,連接AE.由AB=AC得AEBC,從而AEAD, 建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz. 考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點888.(2015全國2,理19,12分,難度)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求直線AF與平面所成角的正弦值.考點85考點86考點87考點88解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EMA

15、B,垂足為M,則AM=A1E=4,EM=AA1=8.因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.設n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量, 考點85考點86考點87考點889.(2015上海,理19,12分,難度)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E,F分別是棱AB,BC的中點.證明A1,C1,F,E四點共面,并求直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大小.考點85考點86考點87考點88解如圖,以D為原點建立空間直角坐標系,可得有關點的坐標為A1(2,0,1),C1(0,2,1),E(2,1,0),F(1,2,0),C(0,2,0),D1(0,0

16、,1).考點85考點86考點87考點8810.(2014北京,理17,12分,難度)如圖,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點.在五棱錐P-ABCDE中,F為棱PE的中點,平面ABF與棱PD,PC分別交于點G,H.(1)求證:ABFG;(2)若PA底面ABCDE,且PA=AE,求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長.考點85考點86考點87考點88(1)證明在正方形AMDE中,因為B是AM的中點,所以ABDE.又因為AB平面PDE,所以AB平面PDE.因為AB平面ABF,且平面ABF平面PDE=FG,所以ABFG.(2)解因為PA底面ABCDE,所以PAAB,P

17、AAE.如圖建立空間直角坐標系A-xyz,則令z=1,則y=-1.所以n=(0,-1,1).設直線BC與平面ABF所成角為,則考點85考點86考點87考點88即(u,v,w-2)=(2,1,-2),所以u=2,v=,w=2-2.因為n是平面ABF的法向量,考點85考點86考點87考點8811.(2014福建,理17,12分,難度)在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD.將ABD沿BD折起,使得平面ABD平面BCD,如圖.(1)求證:ABCD;(2)若M為AD中點,求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明平面ABD平面BCD,平面

18、ABD平面BCD=BD,AB平面ABD,ABBD,AB平面BCD.又CD平面BCD,ABCD.(2)解過點B在平面BCD內(nèi)作BEBD,如圖.由(1)知AB平面BCD,BE平面BCD,BD平面BCD,ABBE,ABBD.考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8812.(2014陜西,理17,12分,難度)四面體ABCD及其三視圖如圖所示,過棱AB的中點E作平行于AD,BC的平面分別交四面體的棱BD,DC,CA于點F,G,H.(1)證明:四邊形EFGH是矩形;(2)求直線AB與平面EFGH夾角的正弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明由該四面體的三視圖可知,BDDC

19、,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1,由題設,BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BCFG,BCEH,FGEH.同理EFAD,HGAD,EFHG.四邊形EFGH是平行四邊形.又ADDC,ADBD,AD平面BDC.ADBC.EFFG.四邊形EFGH是矩形.考點85考點86考點87考點88(2)解法一如圖,以D為坐標原點建立空間直角坐標系, 考點85考點86考點87考點88解法二如圖,以D為坐標原點建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E是AB的中點,F,G分別是BD,DC的中點,得 考點8

20、5考點86考點87考點8813.(2013全國1,理18,12分,難度)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)證明:ABA1C;(2)若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明取AB的中點O,連接OC,OA1,A1B.因為CA=CB,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B為等邊三角形,所以OA1AB.因為OCOA1=O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)解由(1)知OCAB,OA1AB.又平面ABC平面AA1B1

21、B,交線為AB,所以OC平面AA1B1B,故OA,OA1,OC兩兩相互垂直.考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8814.(2013湖南,理19,12分,難度)如圖,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA1=3.(1)證明:ACB1D;(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.考點85考點86考點87考點88方法一(1)證明:如圖,因為BB1平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACBB1.又ACBD,所以AC平面BB1D.而B1D平面BB1D,所以ACB1D.(2)解:因為B1C1AD,所以直線B1C1與平面

22、ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為).如圖,連接A1D,因為棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱,且B1A1D1=BAD=90,所以A1B1平面ADD1A1.從而A1B1AD1.又AD=AA1=3,所以四邊形ADD1A1是正方形,于是A1DAD1.故AD1平面A1B1D,于是AD1B1D.考點85考點86考點87考點88由(1)知,ACB1D,所以B1D平面ACD1.故ADB1=90-.在直角梯形ABCD中,因為ACBD,所以BAC=ADB.從而RtABCRtDAB,考點85考點86考點87考點88方法二(1)證明:易知,AB,AD,AA1兩兩垂直.如圖,以A為坐標原點

23、,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.設AB=t,則相關各點的坐標為A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8815.(2010全國,理18,12分,難度)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD中點.(1)證明:PEBC;(2)若APB=ADB=60,求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.考點85考點86考點87考點88解以H為原點,HA,HB,HP

24、分別為x,y,z軸,線段HA的長為單位長,建立空間直角坐標系如圖,則A(1,0,0),B(0,1,0).考點85考點86考點87考點8816.(2010遼寧,理19,12分,難度)已知三棱錐P-ABC中,PA平面ABC,ABAC,PA=AC= AB,N為AB上一點,AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.(1)證明:CMSN;(2)求SN與平面CMN所成角的大小.考點85考點86考點87考點88解設PA=1,以A為原點,射線AB,AC,AP分別為x,y,z軸正向建立空間直角坐標系如圖. 考點85考點86考點87考點88考點87利用空間向量求二面角1.(2019全國1,理18,12分,難度)

25、如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.(1)證明:MN平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.考點85考點86考點87考點88解(1)連接B1C,ME.因為M,E分別為BB1,BC的中點,所以MEB1C,且ME= B1C.又因為N為A1D的中點,所以ND= A1D.由題設知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四邊形MNDE為平行四邊形,MNED.又MN平面EDC1,所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA.以D為坐標原點, 的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標

26、系D-xyz,考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點882.(2019全國2,理17,12分,難度)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點E在棱AA1上,BEEC1.(1)證明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BEB1=90.由題設知RtABE RtA1B1E,所以AEB=45,所以可取n=(0,-1,-1). 考點85考點86考點87

27、考點88考點85考點86考點87考點883.(2019全國3,理19,12分,難度)圖1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.考點85考點86考點87考點88(1)證明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因為AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.

28、(2)解作EHBC,垂足為H.因為EH平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC.由已知,菱形BCGE的邊長為2,EBC=60,可求得BH=1,EH= .以H為坐標原點, 的方向為x軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz,考點85考點86考點87考點88因此二面角B-CG-A的大小為30. 考點85考點86考點87考點884.(2018浙江,8,4分,難度)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形,側棱長均相等,E是線段AB上的點(不含端點).設SE與BC所成的角為1,SE與平面ABCD所成的角為2,二面角S-AB-C的平面角為3,則(D)A.123B.321C.132D

29、.231考點85考點86考點87考點88解析當點E不是線段AB的中點時,如圖,點G是AB的中點,SH底面ABCD,過點H作HFAB,過點E作EFBC,連接SG,GH,EH,SF.32.132.當點E是線段AB的中點時,即點E與點G重合,此時1=3=2.綜上可知,132.考點85考點86考點87考點88(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)當三棱錐M-ABC體積最大時,求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值. 考點85考點86考點87考點88解(1)由題設知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因為BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因為M為 上異于C,D的點,且DC為

30、直徑,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標原點, 的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.當三棱錐M-ABC體積最大時,M為 的中點.由題設得設n=(x,y,z)是平面MAB的法向量, 可取n=(1,0,2), 考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點886.(2018北京,理16,14分,難度)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,D,E,F,G分別為AA1,AC,A1C1,BB1的中點,AB=BC= ,AC=AA1=2.(1)求證:AC平面BEF;(2)求二面角

31、B-CD-C1的余弦值;(3)證明:直線FG與平面BCD相交.考點85考點86考點87考點88(1)證明在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,四邊形A1ACC1為矩形.又E,F分別為AC,A1C1的中點,ACEF.AB=BC,ACBE,AC平面BEF.(2)解由(1)知ACEF,ACBE,EFCC1.CC1平面ABC,EF平面ABC.BE平面ABC,EFBE.建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz.考點85考點86考點87考點88(3)證明平面BCD的法向量為n=(2,-1,-4),G(0,2,1),F(0,0,2), FG與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi),FG與平面BCD相交

32、.考點85考點86考點87考點887.(2018天津,理17,13分,難度)如圖,ADBC且AD=2BC,ADCD,EGAD且EG=AD,CDFG且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M為CF的中點,N為EG的中點,求證:MN平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若點P在線段DG上,且直線BP與平面ADGE所成的角為60,求線段DP的長.考點85考點86考點87考點88設n0=(x,y,z)為平面CDE的法向量, 又因為直線MN平面CDE,所以MN平面CDE. 考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點

33、888.(2017全國1,理18,12分,難度)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解在平面PAD內(nèi)作PFAD,垂足為F.考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點88 平面與相交于直線l,平面的法向量為n1,平面的法向量為n2,=,則二面角-l-為或-.

34、設二面角大小為,則|cos |=|cos |= ,如圖.考點85考點86考點87考點889.(2017全國2,理19,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90,E是PD的中點.(1)證明:直線CE平面PAB;(2)點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角M-AB-D的余弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明取PA的中點F,連接EF,BF.因為E是PD的中點,所以EFAD,EF= AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC= AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,C

35、EBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.因為BM與底面ABCD所成的角為45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,考點85考點86考點87考點88設m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則 考點85考點86考點87考點8810.(2017全國3,理19,12分,難度)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的余弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明由題設可得,ABD

36、 CBD,從而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中點O,連接DO,BO,則DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB為二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8811.(2017山東,理17,12分,難度)如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120得到的,G是 的中點.(1)設P是 上的一點,且APB

37、E,求CBP的大小;(2)當AB=3,AD=2時,求二面角E-AG-C的大小.考點85考點86考點87考點88解(1)因為APBE,ABBE,AB,AP平面ABP,ABAP=A,所以BE平面ABP,又BP平面ABP,所以BEBP,又EBC=120.因此CBP=30.(2)解法一:取 的中點H,連接EH,GH,CH.因為EBC=120,所以四邊形BEHC為菱形,所以取AG中點M,連接EM,CM,EC,則EMAG,CMAG,所以EMC為所求二面角的平面角. 在BEC中,由于EBC=120,由余弦定理得EC2=22+22-222cos 120=12,所以EC=2 ,因此EMC為等邊三角形,故所求的角

38、為60.考點85考點86考點87考點88解法二:以B為坐標原點,分別以BE,BP,BA所在的直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設n=(x2,y2,z2)是平面ACG的一個法向量. 因此所求的角為60. 考點85考點86考點87考點8812.(2017天津,理17,12分,難度)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90,點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.(1)求證:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知點H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ,求線段AH的長.考點85考點

39、86考點87考點88依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).因為MN平面BDE,所以MN平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)為平面CEM的一個法向量.設n2=(x,y,z)為平面EMN的法向量,考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8813.(2016全國1,理18,12分,難度)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60.(1)證明:平面ABEF平面

40、EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明由已知可得AFDF,AFFE,所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.(2)解過D作DGEF,垂足為G,由(1)知DG平面ABEF.以G為坐直角坐標系G-xyz.由(1)知DFE為二面角D-AF-E的平面角,故DFE=60,則|DF|=2,|DG|= ,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, ).由已知,ABEF,所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDC=CD,故ABCD,CDEF.由BEAF,可得BE平面EFDC,考點85考點86考

41、點87考點88考點85考點86考點87考點8814.(2016全國2,理19,12分,難度)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,AB=5,AC=6,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF= ,EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置,OD= .(1)證明:DH平面ABCD;(2)求二面角B-DA-C的正弦值.考點85考點86考點87考點88所以OH=1,DH=DH=3.于是DH2+OH2=32+12=10=DO2,故DHOH.又DHEF,而OHEF=H,所以DH平面ABCD.考點85考點86考點87考點88(2)解如圖,以H為坐標原點, 的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標系

42、H-xyz.則H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),設m=(x1,y1,z1)是平面ABD的法向量, 所以可取m=(4,3,-5).設n=(x2,y2,z2)是平面ACD的法向量,所以可取n=(0,-3,1). 考點85考點86考點87考點8815.(2016山東,理17,12分,難度)在如圖所示的圓臺中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O的直徑,FB是圓臺的一條母線.(1)已知G,H分別為EC,FB的中點.求證:GH平面ABC;考點85考點86考點87考點88(1)證明設FC中點為I,連接GI,HI.在CEF中,因為點G是CE

43、的中點,所以GIEF.又EFOB,所以GIOB.在CFB中,因為H是FB的中點,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因為GH平面GHI,所以GH平面ABC.考點85考點86考點87考點88(2)解連接OO,則OO平面ABC.又AB=BC,且AC是圓O的直徑,所以BOAC.以O為坐標原點,建過點F作FM垂直O(jiān)B于點M, 考點85考點86考點87考點8816.(2016浙江,理17,12分,難度)如圖,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值

44、.考點85考點86考點87考點88(1)證明延長AD,BE,CF相交于一點K,如圖所示.因為平面BCFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因為EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點,則BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解如圖,延長AD,BE,CF相交于一點K,則BCK為等邊三角形.取BC的中點O,則KOBC,又平面BCFE平面ABC,所以,KO平面ABC.以點O為原點,分別以射線OB,OK的方向為x,z的正方向,建立空間直角坐標系O-xyz.考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8817.(2015

45、北京,理17,12分,難度)如圖,在四棱錐A-EFCB中,AEF為等邊三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O為EF的中點.(1)求證:AOBE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值.考點85考點86考點87考點88(1)證明因為AEF是等邊三角形,O為EF的中點,所以AOEF.又因為平面AEF平面EFCB,AO平面AEF,所以AO平面EFCB,所以AOBE.(2)解取BC中點G,連接OG.由題設知EFCB是等腰梯形,所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB,又OG平面EFCB,所以OAOG.考點85考點86考點8

46、7考點88考點85考點86考點87考點8818.(2015浙江,理17,12分,難度)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點,D是B1C1的中點.(1)證明:A1D平面A1BC;(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明設E為BC的中點,由題意得A1E平面ABC,所以A1EAE.因為AB=AC,所以AEBC.故AE平面A1BC.由D,E分別為B1C1,BC的中點,得DEB1B且DE=B1B,從而DEA1A且DE=A1A,所以A1AED為平行四邊形.故A1DAE.又因為AE

47、平面A1BC,所以A1D平面A1BC.(2)解以CB的中點E為原點,分別以射線EA,EB為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標系E-xyz,如圖所示.由題意知各點坐標如下:考點85考點86考點87考點88設平面A1BD的法向量為m=(x1,y1,z1),平面B1BD的法向量為n=(x2,y2,z2). 考點85考點86考點87考點8819.(2015福建,理17,12分,難度)如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分別是線段BE,DC的中點.(1)求證:GF平面ADE;(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.考點85考

48、點86考點87考點88(1)證明如圖,取AE的中點H,連接HG,HD,又G是BE的中點,所以GHAB,且GH= AB.又F是CD的中點,所以DF= CD.由四邊形ABCD是矩形,得ABCD,AB=CD,所以GHDF,且GH=DF,從而四邊形HGFD是平行四邊形,所以GFDH.又DH平面ADE,GF平面ADE,所以GF平面ADE.(2)解如圖,在平面BEC內(nèi),過點B作BQEC.因為BECE,所以BQBE.又因為AB平面BEC,所以ABBE,ABBQ.考點85考點86考點87考點88以B為原點,分別以 的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則A(0,0,2),B(0,0,0),E(2

49、,0,0),F(2,2,1).因為AB平面BEC,所以 =(0,0,2)為平面BEC的法向量.設n=(x,y,z)為平面AEF的法向量.考點85考點86考點87考點8820.(2015山東,理17,12分,難度)如圖,在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點.(1)求證:BD平面FGH;(2)若CF平面ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面FGH與平面ACFD所成的角(銳角)的大小.考點85考點86考點87考點88(1)證明在三棱臺DEF-ABC中,由BC=2EF,H為BC的中點,可得BHEF,BH=EF,所以四邊形BHFE為平行四邊形.可得BEHF.在

50、ABC中,G為AC的中點,H為BC的中點,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因為BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)解設AB=2,則CF=1.在三棱臺DEF-ABC中,G為AC的中點,由DF= AC=GC,可得四邊形DGCF為平行四邊形,因此DGFC.又FC平面ABC,所以DG平面ABC.在ABC中,由ABBC,BAC=45,G是AC中點,所以AB=BC,GBGC,因此GB,GC,GD兩兩垂直.以G為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz.考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8821.(2015陜西,理18,12分,難度)如圖,

51、在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD= ,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點,O是AC與BE的交點,將ABE沿BE折起到A1BE的位置,如圖.(1)證明:CD平面A1OC;(2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明在題圖中,因為AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點,BAD= ,所以BEAC,即在題圖中,BEOA1,BEOC,從而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC

52、為二面角A1-BE-C的平面角,所以A1OC= .如圖,以O為原點,建立空間直角坐標系,因為A1B=A1E=BC=ED=1,BCED,考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8822.(2015湖北,理19,12分,難度)九章算術中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽馬P-ABCD中,側棱PD底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作EFPB,交PB于點F,連接DE,DF,BD,BE.(1)證明:PB平面DEF,試判斷四面體DBEF是否為鱉臑.若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結論);若不是,說

53、明理由;考點85考點86考點87考點88(1)證明如圖2,以D為原點,射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系.則DEPC.所以DE平面PBC.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形,即四面體BDEF是一個鱉臑,其四個面的直角分別為DEB,DEF,EFB,DFB.考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8823.(2014全國1,理19,12分,難度)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側面BB1C1C為菱形,ABB1C.(1)證明:AC=AB1;(2)若ACAB1,CBB1=60,AB=BC,求二面角A-A1B

54、1-C1的余弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明連接BC1,交B1C于點O,連接AO,因為側面BB1C1C為菱形,所以B1CBC1,且O為B1C及BC1的中點.又ABB1C,所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO,故B1CAO.又B1O=CO,故AC=AB1.(2)解因為ACAB1,且O為B1C的中點,所以AO=CO.又因為AB=BC,所以BOA BOC.故OAOB,從而OA,OB,OB1兩兩互相垂直.因為CBB1=60,所以CBB1為等邊三角形.又AB=BC,則 考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8824.(2014全國2,理18,12分,難度)如圖,

55、四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明:PB平面AEC;(2)設二面角D-AE-C為60,AP=1,AD= ,求三棱錐E-ACD的體積.考點85考點86考點87考點88(1)證明連接BD交AC于點O,連接EO.因為ABCD為矩形,所以O為BD的中點.又E為PD的中點,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解因為PA平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8825.(2014江西,理19,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,ABC

56、D為矩形,平面PAD平面ABCD.(1)求證:ABPD;(2)若BPC=90,PB= ,PC=2,問AB為何值時,四棱錐P-ABCD的體積最大?并求此時平面PBC與平面DPC夾角的余弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明ABCD為矩形,故ABAD;又平面PAD平面 ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,故ABPD.(2)解過P作AD的垂線,垂足為O,過O作BC的垂線,垂足為G,連接PG.故PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG,考點85考點86考點87考點88考點85考點86考點87考點8826.(2014湖南,理19,12分,難度)如圖,四棱柱ABCD-A

57、1B1C1D1的所有棱長都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O底面ABCD;(2)若CBA=60,求二面角C1-OB1-D的余弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明如圖,因為四邊形ACC1A1為矩形,所以CC1AC.同理DD1BD.因為CC1DD1,所以CC1BD.而ACBD=O,因此CC1底面ABCD.由題設知,O1OC1C.故O1O底面ABCD.(2)解因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,所以四邊形ABCD是菱形,因此ACBD.又O1O底面ABCD,從而OB,OC,OO1兩兩垂直.如圖(b

58、),以O為坐標原點,OB,OC,OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系O-xyz.不妨設AB=2.因為CBA=60,所以OB= ,OC=1,于是相關各點的坐標為O(0,0,0),B1( ,0,2),C1(0,1,2).考點85考點86考點87考點88易知,n1=(0,1,0)是平面BDD1B1的一個法向量.設n2=(x,y,z)是平面OB1C1的一個法向量,考點85考點86考點87考點8827.(2014遼寧,理19,12分,難度)如圖,ABC和BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F分別為AC,DC的中點.(1)求證:EFBC;(2)求

59、二面角E-BF-C的正弦值.考點85考點86考點87考點88(1)證明由題意,以B為坐標原點,在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標系.易得B(0,0,0),A(0,-1, ),D( ,-1,0),C(0,2,0),(2)解平面BFC的一個法向量為n1=(0,0,1).設平面BEF的法向量n2=(x,y,z). 考點85考點86考點87考點88設二面角E-BF-C大小為,且由題意知為銳角,則cos 考點85考點86考點87考點8828.(2014天津,理17,12分,難度)如圖,在四棱錐P-ABCD中,P

60、A底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.(1)證明:BEDC;(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;考點85考點86考點87考點88解依題意,以點A為原點建立空間直角坐標系(如圖),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E為棱PC的中點,得E(1,1,1).考點85考點86考點87考點88不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)為平面FAB的一個法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0).考點85考點86考點87考點8829.(2014安徽,理20,12分,難度)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C