專題平面向量常見題型與解題指導(dǎo)

1、實(shí)用文檔平面向量常見題型與解題指導(dǎo)一、考點(diǎn)回顧1、本章框圖2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。2、掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律。3、掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則及運(yùn)算律，理解兩個(gè)向量共線的充要條件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題， 掌握向量垂直的條件。6、掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形。8、通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運(yùn)用所

2、學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。 3、熱點(diǎn)分析 對(duì)本章內(nèi)容的考查主要分以下三類：1 .以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì).此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題.2 .以解答題考查圓錐曲線中的典型問題.此類題綜合性比較強(qiáng)，難度大，以解析幾何中的常規(guī)題為主3 .向量在空間中的應(yīng)用（在 B類教材中）.在空間坐標(biāo)系下，通過向量的坐標(biāo)的表示，運(yùn)用計(jì)算的方法研究 三維空間幾何圖形的性質(zhì).在復(fù)習(xí)過程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針.本章考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本.因此,掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵 .分析近幾年來的高考試題，有關(guān)平面向量部分突出考查了向量的基本

3、運(yùn)算。對(duì) 于和解析幾何相關(guān)的線段的定比分點(diǎn)和平移等交叉內(nèi)容，作為學(xué)習(xí)解析幾何的基本工具，在相關(guān)內(nèi)容中會(huì)進(jìn)行 考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重點(diǎn)。總而言之，平面向量這一章的學(xué)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)，強(qiáng)化 運(yùn)算，重視應(yīng)用?？疾榈闹攸c(diǎn)是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。4、復(fù)習(xí)建議由于本章知識(shí)分向量與解斜三角形兩部分，所以應(yīng)用本章知識(shí)解決的問題也分為兩類：一類是根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對(duì)向量進(jìn)行運(yùn)算，并能運(yùn)用向量知識(shí)解決平面幾何中的一些計(jì)算和證明問題；另一類 是運(yùn)用正、余弦定理正確地解斜三角形，并能應(yīng)用解斜三角形知識(shí)解決測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離問題。在解決關(guān)于向量問題時(shí)，一是要善于運(yùn)用向量的平移、伸

4、縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種 運(yùn)算，進(jìn)一步加深對(duì)“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并體會(huì)用向量處理問題的優(yōu)越性。二是向量的坐 標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過向量法和坐標(biāo)法的運(yùn)用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思 想在解決數(shù)學(xué)問題上的作用。在解決解斜三角形問題時(shí)，一方面要體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會(huì)解斜三角形是 重要的測(cè)量手段，通過學(xué)習(xí)提高解決實(shí)際問題的能力。標(biāo)準(zhǔn)文案二、常見題型分類題型一：向量的有關(guān)概念與運(yùn)算此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，在復(fù)習(xí)中要充分理解平面向量的相關(guān)概念，熟練掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)管舁、數(shù)量積運(yùn)算，掌握兩向量共線、垂直的充要條件

5、標(biāo)準(zhǔn)文案1 :已知a是以點(diǎn) A(3,1)為起點(diǎn)，且與向量b = ( 3,4)平行的單位向量，則向量 a的終點(diǎn)坐標(biāo)思路分析：與a平行的單位向量,ae=±-|a |方法一：設(shè)向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),則a =(x-3,y+1),則題意可知4 (x -3) +3 (y +1) =0 曲飛 解得(x 3)2 -K y + 1) 2 =1慢5或1-5189 y = "I可，故填(12)或(18 ,- 9 )555 5方法二 與向量b = (-3,4)平行的單位向量是土(-3,4),故可得a = ± (-, ),從而向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y)=55 5a (3, - 1

6、),便可得結(jié)果.點(diǎn)評(píng)：向量的概念較多，且容易混淆，在學(xué)習(xí)中要分清、理解各概念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念例2：已知| a |=1,| b |=1, a與b的夾角為60° , x =2a- b, y=3b- a，則x與y的夾角的余弦是多少?思路分析：要計(jì)算x與y的夾角依需求出岡,|y|,x y的值.計(jì)算時(shí)要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性解：由已知|a|=|b|=1, a與b的夾角a 為 60°，得 a ,要計(jì)算x與y的夾角0,需求出|x|,|y|, x - y 的值.|x|2= x2=(2a b)2=4a2 4a - b+ b2=4 4X +1=3

7、 ,2|y|2= y2=(3b-a)2=9b2-6b a+a2=9-6X 1+1=7.2x y=(2a b) - (3b a)=6a b 2a2 3b2+ a b=7a , b 2a23b2 =7 x23=,又x y=|x|y|cos Q 即一3 =53 x J7 cos 8 cos2. 21=-14點(diǎn)評(píng)：本題利用模的性質(zhì)|a|2=a2,在計(jì)算x,y的模時(shí)，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得：如圖所示，設(shè) AB=b, AC = a, AD =2a,/BAC=60。.由向量減法的幾何意義，得BD = AD AB =2ab.由余弦定理易得| BD |= J3 ,即|x|= V3 ,同理可得|y

8、|= 77 .題型二：向量共線與垂直條件的考查例1 .平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn) A(3, 1) , B( 1,3),若點(diǎn)C滿足OC = aQA + POB ,其中ot, pCR且o(+P=1,求點(diǎn)C的軌跡方程。.解：(法一)設(shè) C(x,y),則 OC、(x,y),由 OC =(x,y)=染,1)+ 個(gè)1,3)=(3 “-8 o+3 3)x = 3a - Py =ot +3P(可從中解出份又< o+ 3= 1 消去 a> 3 得 x+2y-5=0(法二) 利用向量的幾何運(yùn)算，考慮定比分點(diǎn)公式的向量形式，結(jié)合條件知:A, B, C三點(diǎn)共線，故點(diǎn) C的軌跡方程即為直線 A

9、B的方程x+ 2y- 5=0,例2.已知平面向量a=(J3, 1), b = (l , 亙).(1)若存在實(shí)數(shù)k和t,便得x=a+(t23)b,y= ka+tb,22且xy,試求函數(shù)的關(guān)系式k = f(t); (2)根據(jù)(1)的結(jié)論，確定k = f的單調(diào)區(qū)間.思路分析：欲求函數(shù)關(guān)系式 k=f(t),只需找到k與t之間的等量關(guān)系，k與t之間的等量關(guān)系怎么得至"求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有哪些方法?(導(dǎo)數(shù)法、定義法)導(dǎo)數(shù)法是求單調(diào)區(qū)間的簡(jiǎn)捷有效的方法?解：(1)法一：由題意知t2 -2、. 3 - 3 . 3t2 -2.3-2x=( ,),y= ( t 33 k,1+ k),又 x_Ly22故x y

10、=上6二321x ( t v3 k) 十 2.3t2 -2.3-2.3X t+k) = 0.2整理得：t3-3t-4k = 0,即 k=1t33t44法二：; a=(、,'3, 1), b=( 一 , -),. a =2, b=1且a_Lb22. x±y,x y=0,即一k a 2 + t(t2 3) b 2=0, . t33t 4k = 0,即 k= 113-1t44(2)由(1)知：k=f(t) = - t3- 3t ，k，= f，(t) = 3t33, 4444令 k , v 0 得一1 vtv 1；令 k，> 0 得 tv 1 或 t>1.故k= f(t)

11、的單調(diào)遞減區(qū)間是(一1,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(一00, 1)和(1,十8).點(diǎn)評(píng)：第(1)問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的(但運(yùn)算過程大大簡(jiǎn)化，值得注意).第(2)問中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用例3:已知平面向量a=(J3, - 1), b = ( ,、2),若存在不為零的實(shí)數(shù)k和角a ,使向量C = a +(sin22a 3)b, d = - k a + (sin a ) b ,且c

12、，d ,試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：由條件可得：k= ( sin a )2 M- 1< sin a <1,42161，當(dāng)sina=1時(shí)，k取最大值1; Sina =1時(shí)，k取最小值一 一.，-1 I I又 kw0 ，k的取值范圍為 ,0) U (0,1.2很好地考查了向量與三角函數(shù)、點(diǎn)撥與提示：將例題中的t略加改動(dòng)，舊題新掘，出現(xiàn)了意想不到的效果, 不等式綜合運(yùn)用能力.例4：已知向量a=(1,%；2),b = (七2,1),若正數(shù)k和t使得向量.21 "x=a+(t +1)bWy = ka+,b垂直，求 k 的取小值.21解：x _ y = x y = 0即a(t 1)b

13、* (-ka -b) = 0_2_2 t 1 212=-ka b a b - k(t 1)a b = 0t t a=(1,/2),b=(-V2,1),|a|='3, |b|=V3t 11 _ab = 、；2 + J2 ,代入上式一3k+3=t+2 2t t當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即t=1時(shí)，取“=”號(hào)，即 k的最小值是2.t題型三：向量的坐標(biāo)運(yùn)算與三角函數(shù)的考查向量與三角函數(shù)結(jié)合，題目新穎而又精巧，既符合在知識(shí)的“交匯處”構(gòu)題，又加強(qiáng)了對(duì)雙基的考查 例 7.設(shè)函數(shù) f (x)= a b,其中向量 a= (2cosx , 1), b= (cosx, J3 sin2x), x C R. (1)若

14、f(x)= 1 J3 且 x C 土，33Tj,求x; (2)若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c= (m , n) ( m < 3)平移后得到函數(shù) y=f(x)的圖象，求實(shí)數(shù)m、n的值.思路分析：本題主要考查平面向量的概念和計(jì)算、平移公式以及三角函數(shù)的恒等變換等基本技能，解：(1)依題設(shè)，f(x)= (2cosx, 1) (cosx,43 sin2x)= 2cos2x+ 3z sin2x= 1 + 2sin(2x+ ) f3由 1 +2sin(2x+ )=1 v3 ,得 sin(2x+ )= .二 二 二 二5 二二 二二.一 & WxW , . 1 2 2x+ v ,2x+

15、-=, 即 x=-.(2)函數(shù)y= 2sin2x的圖象按向量c= (m , n)平移后得到函數(shù) y= 2sin2(x- m)+n的圖象，即函數(shù) y=f(x) 的圖象.,_ _n、. I I n由(1)得 f (x) = 2sin2(x +)+1 m < , m = - - , n= 1. 12212實(shí)用文檔點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)的圖像按向量平移，可以看成是C上任一點(diǎn)按向量平移，由這些點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所組成的圖象是C',明確了以上點(diǎn)的平移與整體圖象平移間的這種關(guān)系，也就找到了此問題的解題途徑.一般地，函數(shù)y=f(x)的圖象按向量a= (h , k)平移后的函數(shù)解析式為y k=f(xh)、例

16、8：已知a=(cos% sina),b=(cossin * (。必力勸，(1)求證：a+ b與a-b互相垂直；(2)若ka+ b 與a-kb的模大小相等(kC R且kw。)，求3 a解：(1)證法一：a = (cos a, sin a) ,b= (cossin $a+ b= ( cos 0+ cos sin a+ sin 6 ,a-b= ( cos c-cos 8 sin - sin 6(a+b) (a-b)= (cos o+cos 8 sin 於 sin 6 , (cos o-cos 3, sin 紡 sin 6 =cos2 紡cos2 /sin2 維 sin2 3=0(a+b)±

17、 (a-b)證法二：a= (cos o, sin a) ,b= (cossin 6|a|= 1, |b|= 1(a+b) (- a-b)= a2-b2= |a白b|2=0. (a + b)± (a-b)證法三：a= (cos a, sin a) ,b= (cos sing)|a|= 1, |b|= 1,記 OA=a, OB=b,則 |OA|= |OB |=1,又并3, O、A、B三點(diǎn)不共線.由向量加、減法的幾何意義， 可知以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形 OACB是菱形，其中0C=a+ b, BA =a-b,由菱形對(duì)角線互相垂直，知(a+ b)± (a-b)(2)解：由已知得

18、|ka+b|與|a-kb|,又 |ka+ b|2= (kcoso+cos 3)2+(ksin o+sin 3)2=k2+1+2 kcos( 3力，|ka+ b|2= (cos 紡kcos 32+(sin a-ksin 睚k2+1-2kcos( 3 *2kcos( 3 0= -2 kcos( 3)又, kw 0cos( 3- o) = 0- 0< a< 兀 0< 3必兀 - 3=2注：本題是以平面向量的知識(shí)為平臺(tái)，考查了三角函數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，同時(shí)也體現(xiàn)了向量垂直問題的多種證明方法，常用的方法有三種，一是根據(jù)數(shù)量積的定義證明，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來證明，三是利用向量運(yùn)算的幾何意

19、義來證明.題型四：向量運(yùn)算的幾何意義與解析幾何由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶，文科應(yīng)重視由向量運(yùn)算的幾何意義求圓的方程和橢圓方程。例9:設(shè)G、H分別為非等邊三角形 ABC的重心與外心，A(0, 2), B (0, 2)且GM =力一 aB (入C R). ( I )求點(diǎn)C(x, y)的軌跡E的方程；(n)過點(diǎn)(2, 0)作直線L與曲線E交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，設(shè)OP = OM +ON , 是否存在這樣的直線 L,使四邊形OMPN是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由思路分析：(1)通過向量的共線關(guān)系得到坐標(biāo)的等量關(guān)系.(2

20、)根據(jù)矩形應(yīng)該具備的充要條件，得到向量垂直 關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，求得 k的值.解：(1)由已知得,x y、 T T xG(-,-),又GH =，“AB，.- H(,0)3 33 CH=HAx 22(x-)y(2)設(shè)l方程為y=k(x-2),代入曲線22= (-)2 +4即 ' +L =1(x#±2T3)3124E 得(3k2+1) x2-12k2x+12(k2-1)=0標(biāo)準(zhǔn)文案_ 2_212k12(k -1)設(shè)N (x1,y1) M(x2,y2),則x1+x2=-2 ,x1 x2=23k2 13k2 1.OP=ON+OM ,若四邊形OMPN是矩形，則四邊形OMPN是平行四邊形

21、.HON _ OM1- Xi x2+y1 y2=012(k2-1) . 2.12(k2-1)24k22k (2-24)3k2 1 3k2 1 3k2 1=0 得 k=±J3直線 l 為：y= y =±J3(x -2)點(diǎn)評(píng)：這是一道平面幾何、解析幾何、向量三者之間巧妙結(jié)合的問題2例10:已知橢圓方程 ' +y2 =1 ,過B ( 1, 0)的直線l交隨圓于C、D兩點(diǎn)，交直線x= 4于E點(diǎn)，B、4E分CD的比分入1、入2.求證：入1+x 2=0解：設(shè)l的方程為y= k(x+1),代入橢圓方程整理得 (4k2+1) x2+8k2x+ 4(k21)=0.8k2設(shè) C(X1,

22、y2),D( X2, y2),則 xi+X2=2,x1x24k 14k2 -44k2 1由 CB =，-1BD 得(1 x1,y)=*、(x2 +1,yz)x11一 一所以1 Xi = A(X2 + 1), % =-.同理，記 E(Y, yE),CE = %EDX21/口x14行一4-Xi ='2(X2 .4), '2=一'' 1 ：" '''' 2 =x24x1 1x1 4x21x242x1x2 5(x1x2) 8(X2 1)(x2 4)4k2 -4其中2X1X2 5(X1 X2) 8=2 -4k2 1-5學(xué) 8=0,

23、4k 112 - 0.例11:給定拋物線C:y2=4x, F是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A B兩點(diǎn).設(shè)l的斜率為1,求OA與OB 夾角的余弦。解：C的焦點(diǎn)為F (1, 0),直線l的斜率為1,所以l的方程為y=x1,將y=x1代入方程y2=4x,并整理得x2 6x+ 1 = 0實(shí)用文檔設(shè) A (xi, yi) ,B( X2, y2),則有 xi + X2=6, xiX2=1,從而 OA , OB = X1X2+yiy2= 2xi2(Xi+X2)+1 = 3I OA I - I OB I = %；X12 + y12 . ；X2 + y2 = V41 ,cos/OA,ObU OA OB =_4IOA QB41例12.已知點(diǎn) G是ABC的重心,A(0, -1), B(0, 1),在X軸上有一點(diǎn)M,滿足涼尸覺|,拼溫(九CR).求點(diǎn)C的軌跡方程；若斜率為k的直線l與點(diǎn)C的軌跡交于不同兩點(diǎn) P, Q,且滿足|AP|=|AQ|,試求k的取值范圍.分析本題依托向量給出等量關(guān)系，既考查向量的模、共線等基