求導及其應用專題綜合類教師版

1、 專題 導數及其應用(一)、求導公式與求導運算法則（1）基本函數的導數（求導公式）公式1 常數的導數： （c為常數），即常數的導數等于0。 公式2 冪函數的導數： 。 公式3 正弦函數的導數： 。 公式4 余弦函數的導數： 公式5 對數函數的導數：（） ； （） 公式6 指數函數的導數：（） ； （） 。（2）可導函數四則運算的求導法則 設 為可導函數，則有法則1 法則2 ； 法則3 。 （3）利用復合函數的求導法則設函數在點處有導數，函數在點處的對應點處有導數，則復合函數在點處有導數，且，或寫作 (二)導數的應用1、函數的單調性（1）導數的符號與函數的單調性：一般地，設函數 在某個區(qū)間內可導

2、，則若 為增函數；若 為減函數；若在某個區(qū)間內恒有 ，則在這一區(qū)間上為常函數。（2）利用導數求函數單調性的步驟（）確定函數 的定義域； （）求導數 ；（）令 ，解出相應的x的范圍當 時， 在相應區(qū)間上為增函數；當 時 在相應區(qū)間上為減函數。求函數的單調區(qū)間，必須優(yōu)先考慮函數的定義域，然后解不等式（)0（不要帶等號），最后求二者的交集，把它寫成區(qū)間。已知函數的增（減）區(qū)間，應得到（）0，必須要帶上等號。求函數的單調增（減）區(qū)間，要解不等式0，此處不能帶上等號。單調區(qū)間一定要寫成區(qū)間，不能寫成集合或不等式；單調區(qū)間一般都寫成開區(qū)間，不要寫成閉區(qū)間；如果一種區(qū)間有多個，中間不能用“”連接。 2 函數

3、的極值的判定4、求函數的極值（1）設函數在及其附近有定義，如果的值比附近所有各點的值都大（小），則稱是函數的一個極大（?。┲怠＃?）求函數的極值的一般步驟先求定義域,再求導，再解方程（注意和求交集），最后列表確定極值。一般地，函數在點連續(xù)時，如果附近左側>0，右側<0，那么是極大值。一般地，函數在點連續(xù)時，如果附近左側<0，右側>0，那么是極小值。（3）極值是一個局部概念。由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小。并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小。（4）函數的極值點一定出現在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點。而使函數取得最大值、最

4、小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點。（5）一般地，連續(xù)函數在點處有極值 是=0的充分非必要條件。（6）求函數的極值一定要列表。注意：導數為0的不一定是極值點，我們不難從函數 的導數研究中悟出這一點。（3）探求函數極值的步驟：（）求導數 ；（）求方程 的實根及 不存在的點；考察 在上述方程的根以及 不存在的點左右兩側的符號：若左正右負，則 在這一點取得極大值，若左負右正，則 在這一點取得極小值。3、函數的最大值與最小值（1）定理若函數 在閉區(qū)間上連續(xù)，則 在 上必有最大值和最小值；在開區(qū)間 內連續(xù)的函數 不一定有最大值與最小值。（）函數的最值（最大值與最小值）是函數的整體性概念：最大值

5、是函數在整個定義區(qū)間上所有函數值中的最大值；最小值是函數在整個定義區(qū)間上所有函數值中的最小值。（）函數的極大值與極小值是比較極值點附近的函數值得出的（具有相對性），極值只能在區(qū)間內點取得；函數的最大值與最小值是比較整個定義區(qū)間上的函數值得出的（具有絕對性），最大（?。┲悼赡苁悄硞€極大（?。┲担部赡苁菂^(qū)間端點處的函數值。（）若 在開區(qū)間 內可導，且有唯一的極大（?。┲担瑒t這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲怠２襟E：設函數 在 上連續(xù)，在 內可導，則探求函數 在 上的最大值與最小值的步驟如下：（ I ）求 在 內的極值；（ II ）求 在定義區(qū)間端點處的函數值 ， ；（ III ）將 的各極值與 ，

6、 比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求最小值。4 求出導數在點處的導數,即曲線在點處的切線的斜率,在已知切點坐標和切線斜率的條件下, 求得切線方程為解決切線的相關問題，需抓住以下關鍵點：其一，切點是交點；其二，在切點處的導數是切線的斜率，因此解決此類問題，一般要設出切點，建立關系方程（組）；其三，求切線時要注意“過P點的切線”與“在P點出的切線”的差異；過P點的切線中，點P不一定是切點，也不一定在曲線上；在P點的切線，點P就是切點. (一)、求下列函數的導數（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） 解：（1） （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， （6） 當

7、時， ；當 時， 即 。(1)下列求導運算正確的是(B)A(x+ B(log2x= C(3x=3xlog3e D(x2cosx=2xsinx(2)若f(x)=sincosx,則f()等于（ A ）A、sin B、cos C、sin+cosD、2sin(3) 下列求導運算正確的是（ B ） A、 B、C、=-2x sinx D、點評：為避免直接運用求導法則帶來的不必要的繁雜運算，首先對函數式進行化簡或化整為零，而后再實施求導運算，特別是積、商的形式可以變?yōu)榇鷶岛偷男问?，或根式可轉化為方冪的形式時，“先變后求”的手法顯然更為靈巧。(二) 導數的幾何意義1 曲線在點（1，2）處的切線方程為(A)A

8、B C D 2 曲線在點（0,1）處的切線方程為 3 已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（A ）A1 B2 C3 D44 曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（A） 5 曲線在點P（1，12）處的切線與y軸交點的縱坐標是 (C) A-9 B-3 C9 D156已知函數的圖象在點處的切線方程是，則37 、已知曲線（A） （B） （C） （D） 【答案】D8曲線在點M（，0）處的切線的斜率為(B)A B C D 9 曲線在點處的切線方程為(A)（A） （B） （C） （D）10 曲線在點處的切線與直線和圍成的三角形的面積為(A)（A） （B） （C） （D）11 已知點P在曲線y=

9、上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是(D) （A）0,) （B） （C） （D）12若曲線在點處的切線平行于軸，則 13以正弦曲線y=sinx上一點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是(A)AB CD14、曲線在點M(e,1)處的切線的斜率是_，切線的方程為_，15 .已知直線y=x+1與曲線相切，則的值為( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-216. 若存在過點的直線與曲線和都相切，則等于 A或 B或 C或 D或17 、在平面直角坐標系中，點P在曲線上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為（-2，15）18 曲線在點（0,1

10、）處的切線方程為 19 函數的圖像在處的切線在x軸上的截距為_ 20 若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ A ）A B C D21. 曲線在點 處的切線傾斜角為 22 .對正整數，設曲線在處的切線與軸交點的縱坐標為，則數列的前項和的公式 ，令，求出切線與軸交點的縱坐標為，所以，則數列的前項和.23 設函數，曲線在點處的切線方程為，則曲線 在點處切線的斜率為( A ) A B C D24 曲線在點處的切線方程是 25 若曲線在P點處的切線平行于直線，則P點的坐標為 （1，0） 26 若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為 27 求下列直線的方程： （1）曲線在P(-1,1)處的切線； （2

11、）曲線過點P(3,5)的切線；解：（1） 所以切線方程為（2）顯然點P（3，5）不在曲線上，所以可設切點為，則又函數的導數為，所以過點的切線的斜率為，又切線過、P(3,5)點，所以有，由聯立方程組得，即切點為（1，1）時，切線斜率為；當切點為（5，25）時，切線斜率為；所以所求的切線有兩條，方程分別為9.17 若曲線存在垂直于軸的切線，則實數的取值范圍是 .解析 解析 由題意該函數的定義域，由。因為存在垂直于軸的切 線，故此時斜率為，問題轉化為范圍內導函數存在零點。解法1 （圖像法）再將之轉化為與存在交點。當不符合題意，當時，如圖1，數形結合可得顯然沒有交點，當如圖2，此時正好有一個交點，故有

12、應填或是。28 設曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為,令，則的值為 答案 -2 .29 、.設P為曲線C：上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為 ，則點P橫坐標的取值范圍為（A） A BCD30 函數的圖像在點(ak,ak2)處的切線與軸交點的橫坐標為,其中，若，則的值是_21 _(二)求單調區(qū)間問題1 .函數的單調遞增區(qū)間是 (D)A. B.(0,3) C.(1,4) D. 2 . 函數的單調減區(qū)間為 .，由得單調減區(qū)間為。3 函數的單調遞減區(qū)間為（A）（1,1 （B）（0,1 （C.）1，+） （D）（0，+）【解析】故選B4 若函數f(x)x2ax在是增函數，則a的

13、取值范圍是()A1，0 B1，) C0，3 D3，)D解析 f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立，由于y2x在上單調遞減，所以y<3，故只要a3.5 下列函數中,在上為增函數的是 (B) ABCD6 (C)A在（，）單調增加B在（，）單調減少C在（1，1）單調減少，其余區(qū)間單調增加D在（1，1）單調增加，其余區(qū)間單調減少7 ,分別是定義在上的奇函數和偶函數，當時,，且，則不等式的解集是(D)A(3，0)(3，+)B(3，0)(0，3)C(，3)(3，+)D(，3)(0，3)8 、 函數的單調區(qū)間是 增區(qū)間：減區(qū)間： _；. 10 若f(x)=上是減函數，則b的取值范圍是A.-1

14、，+ B.（-1，+） C.（-，-1） D.（-，-1） 11 若在增函數，則的關系式為是 恒成立， 則12 函數的定義域為，對任意，則的解集為(B)A（，1） B（，+） C（，）D（，+） (三)求極值問題(1) 已知函數f(x)x(ln xax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是()A(，0) B(0，) C(0,1) D(0，) 答案B解析f(x)(ln xax)x(a) ln x12ax(x>0)令f(x)0得2a， 設(x)， 則(x)易知(x)在(0,1)上遞增，在(1，)上遞減，大致圖象如下若f(x)有兩個極值點，則y2a和y(x)圖象有兩個交點， 0<2a<

15、;1，0<a<.2函數在x=_ 2_處取得極小值。3 . 設函數，則（ ） A為的極大值點 B為的極小值點 C為的極大值點 D為的極小值點【解析】，恒成立，令，則 當時，函數單調減，當時，函數單調增， 則為的極小值點，故選D4 設函數f(x)滿足x2f(x)2xf(x)，f(2)，則x0時，f(x)()A有極大值，無極小值B有極小值，無極大值C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值答案D解析由x2f(x)2xf(x)，得f(x)，令g(x)ex2x2f(x)，x0，則g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2·.令g(x)0，得x2.當x2時，g(x)0；0x2時，

16、g(x)0，g(x)在x2時有最小值g(2)e28f(2)0，從而當x0時，f(x)0，則f(x)在(0，)上是增函數，所以函數f(x)無極大值，也無極小值5 設函數，則（ ） A為的極大值點 B為的極小值點C為的極大值點 D為 的極小值點【解析】，令，則 當時，； 當時， 即當時，是單調遞減的；當時，是單調遞增的 所以是的極小值點故選D6已知e為自然對數的底數，設函數f(x)=(ex1)(x1)k(k=1，2)，則A當k=1時，f(x)在x=1處取到極小值B當k=1時，f(x)在x=1處取到極大值C當k=2時，f(x)在x=1處取到極小值D當k=2時，f(x)在x=1處取到極大值【答案解析】

17、C 當k=1時，方程f(x)=0有兩個解，x1=0，x2=1，由標根法可得f(x)的大致圖象，于是選項A，B錯誤；當k=2時，方程f(x)=0有三個解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由標根法可得f(x)的大致圖象，易知選項C正確。0101k=1k=2（7） 若函數在處取極值，則 3 (8) 若連續(xù)函數在閉區(qū)間上有惟一的極大值和極小值，則(D)A極大值一定是最大值，極小值一定是最小值B極大值必大于極小值C極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值D極大值不一定是最大值，極小值也不一定是最小值(四) 圖像問題以下四圖，都是同一坐標系中三次函數及其導函數的圖像，其中一定不正確的序號是(C)

18、A、B、C、D、（2）設函數若為函數的一個極值點，則下列圖象不可能為的圖象是3 已知x=1是的一個極值點（1）求的值；（2）求函數的單調增區(qū)間；（3）若對時，f(x)>恒成立，求c的取值范圍解：(1) 因x=1是的一個極值點 即 2+b-1=0b= -1，經檢驗，適合題意，所以b= -1（5分）(2) >0 >0x>函數的單調增區(qū)間為（10分）（3）對時，f(x)>c-4x恒成立即對時，f(x) +4x >c恒成立令=0或（舍）在上單調遞減，在上單調遞增。在x=時取最小值5- C<5-（16分）4 . 設函數，其中為常數（）當時，判斷函數在定義域上的單

19、調性；（）時，求的極值點；（）求證對任意不小于3的正整數，不等式都成立解：（）由題意知，的定義域為， (1分) (2分)當時，函數在定義域上單調遞增 (4分)（）令，得， (6分)時，而，此時：，隨在定義域上的變化情況如下表：減極小值增由此表可知：時，有惟一極小值點， (8分)（）由()可知當時，函數， （10分）此時有惟一極小值點：，且 （13分）， （16分）5 . 已知函數.（1）求函數的單調增區(qū)間；（2）若函數在上的最小值為，求實數的值；（3）若函數在上恒成立，求實數的取值范圍解：（1）由題意，的定義域為，且當時，的單調增區(qū)間為當時，令，得，的單調增區(qū)間為4分（2）由（1）可知，若，則

20、，即在上恒成立，在上為增函數，（舍去）若，則，即在上恒成立，在上為減函數，（舍去）若，當時，在上為減函數，當時，在上為增函數，綜上所述，10分（3），在上恒成立，令，則.，在上恒成立，在上是減函數，即，在上也是減函數，當在恒成立時，16分6 （本小題滿分12分）已知函數，曲線在點處的切線方程為（I）求a，b的值；（II）證明：當x>0，且時，解：（）由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。（）由（）知，所以考慮函數，則所以當時，故當時，當時，從而當7 若函數在處取得極大值或極小值，則稱為函數的極值點。已知是實數，1和是函數的兩個極值點（1）求和的值；（2）設函數的導函數，求的極值點；（3）

21、設，其中，求函數的零點個數【答案】解：（1）由，得。 1和是函數的兩個極值點， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 當時，；當時， 是的極值點。 當或時， 不是的極值點。 的極值點是2。（3）令，則。 先討論關于 的方程 根的情況：當時，由（2 ）可知，的兩個不同的根為I 和一2 ，注意到是奇函數，的兩個不同的根為一和2。當時， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 當時， ，于是是單調增函數，從而。此時在無實根。 當時，于是是單調增函數。又，的圖象不間斷， 在（1 , 2 ）內有唯一實根。同理，在（一2 ，一I ）內有唯一實根。 當時，于是是單調減兩數。又， ，的圖象

22、不間斷，在（一1，1 ）內有唯一實根。因此，當時，有兩個不同的根滿足；當 時有三個不同的根，滿足?，F考慮函數的零點：( i ）當時，有兩個根，滿足。而有三個不同的根，有兩個不同的根，故有5 個零點。( 11 ）當時，有三個不同的根，滿足。而有三個不同的根，故有9 個零點。綜上所述，當時，函數有5 個零點；當時，函數有9 個零點。8 設aR，函數（），其中是自然對數的底數（） 判斷函數在R上的單調性；（） 當時，求函數在1，2上的最小值解： （） 2分由于, 只需討論函數的符號:當a = 0時, ，即，函數在R上是減函數； 4分當a>0時, 由于，可知，函數在R上是減函數； 6分當a<

23、;0時, 解得，且在區(qū)間和區(qū)間上，函數是增函數；在區(qū)間上，函數是減函數綜上可知：當a0時，函數在R上是減函數；當a<0時, 函數在區(qū)間上是增函數；在區(qū)間上是減函數；在區(qū)間上是增函數（） 當時，,所以, 函數在區(qū)間1，2上是減函數，其最小值是9 已知函數（1）設曲線在處的切線與直線垂直，求的值（2）若對任意實數恒成立，確定實數的取值范圍（3）當時，是否存在實數，使曲線C：在點處的切線與軸垂直？若存在，求出的值，若不存在，說明理由解：（1）， 因此在處的切線的斜率為，又直線的斜率為， （）1， 1.（2）當0時，恒成立， 先考慮0，此時，可為任意實數； 又當0時，恒成立，則恒成立， 設，則，

24、當(0,1)時，0，在(0,1)上單調遞增，當(1,)時，0，在(1,)上單調遞減，故當1時，取得極大值， 實數的取值范圍為 （3）依題意，曲線C的方程為，令，則設，則，當，故在上的最小值為， 所以0，又，0，而若曲線C：在點處的切線與軸垂直，則0，矛盾。所以，不存在實數，使曲線C：在點處的切線與軸垂直.10 . 已知函數f(x)=x2xalnx (1)當時，恒成立，求的取值范圍； (2)討論在定義域上的單調性； 解：由 恒成立,得:在時恒成立 當時 -2分 當時即，令 , -4分 時 ,在時為增函數， 在時為減函數 -7分(2)解：f(x)=x2xalnx，f(x)=2x1=，x0（1）當=

25、18a0，a時，f(x)0恒成立，f(x)在（0，+）上為增函數-9分（2）當a時當0a時， f(x)在上為減函數，f(x)在上為增函數 -11分當a=0時，f(x)在（0，1上為減函數，f(x)在1，）上為增函數 -13分當a0時，故f(x)在（0，上為減函數， f(x)在，）上為增函數 - 11 . 已知函數，其中，且函數在上是減函數，函數在上是增函數（1）求函數，的表達式；（2）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍 （3）求函數的最小值，并證明當，時解：（1）對任意的恒成立，所以，所以；同理可得；（4分）（2），且函數在上是減函數，函數在上是增函數所以時， （6分）有條件得，；（8分）（3

26、），當時，當時，當時，在遞減，在遞增（12分）當時，；，所以，時成立；（16分）12 已知是實數，函數. 求函數f(x)的單調區(qū)間； 設g(x)為f(x)在區(qū)間上的最小值.（i）寫出g(a)的表達式；（ii）求的取值范圍，使得.解：函數的定義域為，（） （2分）若，則，有單調遞增區(qū)間 （3分）若，令，得，當時，當時， （5分）有單調遞減區(qū)間，單調遞增區(qū)間 （6分）解:(i)若，在上單調遞增，所以 （7分）若，在上單調遞減，在上單調遞增，所以 （9分）若，在上單調遞減，所以 （10分）綜上所述， （12分）（ii）令若，無解 （13分）若，解得 （14分）若，解得 （15分）故的取值范圍為 （1

27、6分）13 . 設常數，函數.（1） 令，求的最小值，并比較的最小值與零的大小；（2） 求證：在上是增函數；（3）求證：當時，恒有解（）， ， 2分，令，得， 4分列表如下：20極小值在處取得極小值，即的最小值為 6分，又， 8分證明（）由（）知，的最小值是正數，對一切，恒有， 10分從而當時，恒有， 11分故在上是增函數 12分證明（）由（）知：在上是增函數， 當時， 13分 又， 14分，即， 15分故當時，恒有 1614 已知函數，若曲線和曲線都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線（）求，的值（）若2時，求的取值范圍?！窘馕觥浚ǎ┯梢阎?，而=，=，=4，=2，=2，=2；4分（）由

28、（）知，設函數=（），=，有題設可得0，即，令=0得，=，=2，（1）若，則20，當時，0，當時，0，即在單調遞減，在單調遞增，故在=取最小值，而=0，當2時，0，即恒成立，(2)若，則=，當2時，0，在(2,+)單調遞增，而=0，當2時，0，即恒成立，(3)若，則=0，當2時，不可能恒成立 綜上所述，的取值范圍為1,.15 已知函數f (x ) = - ln(x + m)（）設x = 0是f (x )的極值點，求m，并討論f (x )的單調性；（）當m 2時，證明f (x ) > 0 .【解】（）f '(x ) = - x = 0是f (x )的極值點 f '(0) =

29、 0 m = 1.此時，f '(x ) = - 在(-1, +)上是增函數，又知f '(0) = 0，所以x (-1, 0)時, f '(x ) < 0；x (0, +)時, f '(x ) > 0.所以f (x )在(-1, 0)上是減函數，在(0, +) 上是增函數.（）如圖所示，當m 2時，x + 1x + m - 1只需證明x + 1，且ln(x + m) x + m - 1再指出“=”不能成立即可.設g (x ) = - (x +1)，g '(x ) = - 1x1 = 0是g (x )的極小值點，也是最小值點，即g (x ) g

30、(0) = 0 x + 1設h (x ) = ln(x + m) - (x + m - 1)h '(x ) = - 1x2 = 1- m是h (x )的極大值點，也是最大值點，即g (x ) h (1- m) = 0 ln(x + m) x + m - 1ln(x + m) f (x ) 0，“=”成立的條件是：x1 = x2 且x + 1 = x + m - 1即m =1且m =2（矛盾） 所以f (x ) > 016. 已知函數（）若在處取得極值，求的值；（）求函數在上的最大值解：（）， 函數的定義域為 在處取得極值，即， 當時，在內，在內，是函數的極小值點 （2） ， x，

31、 ，在上單調遞增；在上單調遞減， 當時， 在單調遞增， ； 當，即時，在單調遞增，在單調遞減，； 當，即時，在單調遞減， 綜上所述，當時，函數在上的最大值是； 當時，函數在上的最大值是；當時，函數在上的最大值是17 . 已知函數.（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）為何值時，函數在區(qū)間上有零點.解：（1） -2分令若，則，的遞增區(qū)間是；-3分若，則方程的兩根，當時，的遞增區(qū)間是 -5分若且，即時，方程的兩根，此時的遞增區(qū)間為和若且即時此時的遞增區(qū)間為 -8分綜上略（2）問題等價于方程=0在上有實根，而=0，令， -10分再令，則當時， 當時，當時，取得唯一的極大值也是的最大值當時， 在上單調遞減當時

32、，故當時，函數在上有零點. -14分18 已知函數的圖象在與x軸交點處的切線方程是（）求函數的解析式； （）設函數的極值存在，求實數m的取值范圍以及函數取得極值時對應的自變量x的值 解：（）由已知，切點為（2，0）故有=0，即4b+c+3=0 .，由已知.得 . 聯立、，解得c=1,b=1于是函數解析式為 .4分（） ，令當函數有極值時，0，方程有實根，由=4（1m）0，得m 1當m=1時，有實根，在左右兩側均有，故函數無極值。m 1時，有兩個實根，當x變化時，、的變化情況如下表：故在m時，函數有極值：當時有極大值；當時有極大值。12分19 . 已知函數f(x)=alnx+x2(a為實常數).(1) 若a=2，求證：函數f(x)在(1，+)上是增函數； (2) 求函數f(x)在1，e上的最小值及相應的x值；