特殊角的三角形各邊的關(guān)系

1、淺談特殊角的三角形各邊的關(guān)系以及其面積與各邊的關(guān)系九號(hào)風(fēng)景工作室只要是授完初中教育的人，大家都知道直角三角形各邊的關(guān)系可以由勾股定理可得: 斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和，且其面積等于直角邊之積的二分之一。這里我要探討的問(wèn)題是三角形中已知一個(gè)特殊角（如：30度角，45度角，60度角，120度角，135度角，150度角）及其各邊，那么情形又如何呢？三角形各邊是否也存在著某種特殊關(guān)系呢？其面積是否也與三角形各邊存在著某種直接或接近的關(guān)系呢？下面我們就此問(wèn)題一起來(lái)分析探討論證（30度角，45度角，60度角，120度角，135度角，150度角）的三角形各邊之間以及面積與各邊之間是否存在著某種具體數(shù)量

2、關(guān)系。如圖所示：在ABC中，已知：A=30，a,b,c分別為A，B, C的對(duì)邊，那么三角形各邊a,b,c會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？此三角形的面積又會(huì)與其各邊a,b,c存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？分析：假設(shè)B為鈍角，則過(guò)點(diǎn)C作CDAB且交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，所以： ADC=BDC=90 .在直角三角形ADC中, ADC=90，A=30,所以：CD= AC= b, AD= AC = b. 同時(shí)在直角三角形BDC中, BDC=90,由圖可得：BD=AD-AB= b-c, 由勾股定理可得：BC =BD +DC .即：a =（ b-c） +（ b）?；?jiǎn)可得：a= b - bc+c ，所以：S =AB·

3、CD= c· b= 。 如圖所示：假設(shè)：B為銳角時(shí),是否也能得到同樣的結(jié)論呢？分析：過(guò)點(diǎn)C作CDAB且交AB于點(diǎn)D，所以：ADC=BDC=90。在直角三角形ADC中,ADC=90，A=30所以：CD= AC= b，AD= AC = b. 同時(shí)在直角三角形BDC中, BDC=90，由圖可得：BD=AB-AD= c- b.由勾股定理可得：BC = DC+BD .即：a =（ b）+（c- b）?；?jiǎn)可得：a= b - bc+c， 所以：S =AB·CD= c· b= 。 由上面分析論證可得兩種情形都得到了相同的結(jié)果，由此我們可以得出結(jié)論：有一個(gè)角為30的三角形其各邊的

4、關(guān)系是：30度角所對(duì)的邊的平方等于另兩邊的平方的和與另兩邊的積的 倍的差; 其面積等于30度角兩鄰邊之積的四分之一。要是A為45 角的三角形，它們各邊又有怎樣的關(guān)系呢？其面積與其各邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？如圖所示：在ABC中，已知A=45 ，a,b,c分別為A，B, C的對(duì)邊，那么三角形各邊a,b,c會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？三角形的面積又各邊a,b,c存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？分析：假設(shè)B為鈍角，則過(guò)點(diǎn)C作CDAB且交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，所以： ADC=BDC=90 .在直角三角形ADC中, ADC=90，A=45,所以：AD=CD= b ,由圖可得：BD=AD-AB= b- c .同時(shí)在直角三角形

5、BDC中, 由勾股定理可得：BC =BD +DC .即：a =（b-c） +（b）?；?jiǎn)可得：a= b - bc+c ，所以：S =AB·CD= c· b= 。如圖所示： 假設(shè)：B為銳角時(shí),是否也能得到同樣的結(jié)論呢？分析：過(guò)點(diǎn)C作CDAB且交AB于點(diǎn)D，所以：ADC=BDC=90。在直角三角形ADC中, ADC=90，A=45，所以：AD =CD= b， 同時(shí)在直角三角形BDC中, BDC=90，由圖可得：BD=AB-AD= c-b.由勾股定理可得：BC = DC+ BD，即：a =（ b）+（c- b）?；?jiǎn)可得：a= b - bc+c， 所以：S =AB·CD

6、= c· b= 。由上面分析論證可得兩種情形都得到了相同的結(jié)果，由此我們可以得出結(jié)論：有一個(gè)角為45的三角形其各邊的關(guān)系是：45角所對(duì)的邊的平方等于另兩邊的平方的和與另兩邊的積的倍的差; 其面積等于45角兩鄰邊之積的四分之根號(hào)二。同樣的方法我們來(lái)分析一下60 角的三角形的情況。如圖所示：在ABC中，已知A=60 ，a,b,c分別為A，B, C的對(duì)邊，那么三角形各邊a,b,c會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？三角形的面積又各邊a,b,c存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？分析：假設(shè)B為鈍角，則過(guò)點(diǎn)C作CDAB且交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，所以： ADC=BDC=90 .在直角三角形ADC中, ADC=90，A=60,

7、所以：AD=AC= b,CD=AC= b, 由圖可得： BD=AD-AB= b- c .同時(shí)在直角三角形BDC中, 由勾股定理可得：BC =BD +DC .即：a =（b-c） +（b）?；?jiǎn)可得：a= b - bc+c ，所以：S =AB·CD= c· b= 。 如圖所示：假設(shè)：B為銳角時(shí),是否也能得到同樣的結(jié)論呢？分析：過(guò)點(diǎn)C作CDAB且交AB于點(diǎn)D，所以：ADC=BDC=90。在直角三角形ADC中, ADC=90，A=60，所以：AD =AC= b，CD= AC= b,由圖可得：BD=AB-AD= c- b, 同時(shí)在直角三角形BDC中, 由勾股定理可得：BC = DC

8、+ BD，即：a =（b）+（c- b）。化簡(jiǎn)可得：a= b -bc+c， 所以：S =AB·CD= c· b=。由上面分析論證可得兩種情形都得到了相同的結(jié)果，由此我們可以得出結(jié)論：有一個(gè)角為60的三角形其各邊的關(guān)系是：60角所對(duì)的邊的平方等于另兩邊的平方的和與另兩邊的積的差; 其面積等于60角兩鄰邊之積的四分之根號(hào)三?？梢?jiàn)，特殊角為30度角，45度角，60度角的三角形其各邊確實(shí)存在某種內(nèi)在的關(guān)系，其面積也與特殊角的鄰邊確實(shí)存在著某種內(nèi)在的關(guān)系。要是A為120的角，135的角，150的角的三角形的情況又將如何呢？ 其實(shí)我們可以用同樣的方法去分析論證得出與上面相類似的結(jié)論：如圖所示：在三角形ABC中，若A=120，a,b,c分別為A，B, C的對(duì)邊，則有：a= b +bc+c， S =。（即三角形中120角所對(duì)的邊的平方等于另兩邊的平方的和與另兩邊的積的和; 其面積等于120角兩鄰邊之積的四分之根號(hào)三）如圖所示：在三角形ABC中，若A=135，a,b,c分別為A，B, C的對(duì)邊，則有：a= b+bc+c， S =。（即三角形中135角所對(duì)的邊的平方等于另兩邊的平方的和與另兩邊的積的倍的和; 其面積等于135角兩鄰邊之積的四分之根號(hào)二）如圖所示：在三角形ABC中，若A=150，a,b,c分別為A，B, C的對(duì)邊，則有：a= b+bc+c， S =。