SARS傳播的數(shù)學模型數(shù)學建模全國賽優(yōu)秀論文資料

1、SARS傳播的數(shù)學模型（軒轅楊杰整理）摘要本文分析了題目所提供的早期 SARS傳播模型的合理性與實用性，認為該模 型可以預測疫情發(fā)展的大致趨勢，但是存在一定的不足 .第一，混淆了累計患病 人數(shù)與累計確診人數(shù)的概念；第二，借助其他地區(qū)數(shù)據(jù)進行預測，后期預測結果 不夠準確；第三，模型的參數(shù) L、K的設定缺乏依據(jù)，具有一定的主觀性.針對早期模型的不足，在系統(tǒng)分析了 SARS的傳播機理后，把SARS的傳播 過程劃分為：征兆期，爆發(fā)期，高峰期和衰退期4個階段.將每個階段影響SARS 傳播的因素參數(shù)化，在傳染病 SIR模型的基礎上，改進得到 SARS傳播模型.采 用離散化的方法對本模型求數(shù)值解得到：北京S

2、ARS疫情的預測持續(xù)時間為106 天,預測SARS患者累計2514人，與實際情況比較吻合.應用SARS傳播模型，對隔離時間及隔離措施強度的效果進行分析， 得出結 論：“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”能有效減少累計患病人數(shù)；“嚴格隔離”能有效縮短疫情 持續(xù)時間.在建立模型的過程中發(fā)現(xiàn)，需要認清SARS傳播機理，獲得真實有效的數(shù)據(jù). 而題目所提供的累計確診人數(shù)并不等于同期累計患病人數(shù)，這給模型的建立帶來不小的困難.本文分析了海外來京旅游人數(shù)受 SARS的影響，建立時間序列半?yún)?shù)回歸模 型進行了預測，估算出SARS會對北京入境旅游業(yè)造成23.22億元人民幣損失， 并預計北京海外旅游人數(shù)在10月以前能恢復正常.最后

3、給當?shù)貓罂瘜懥?一篇短文，介紹了建立傳染病數(shù)學模型的重要性.1 .問題的重述SARS (嚴重急性呼吸道綜合癥，俗稱：非典型肺炎)的爆發(fā)和蔓延使我們 認識到，定量地研究傳染病的傳播規(guī)律，為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件， 具 有很高的重要性 現(xiàn)需要做以下工作：(1)對題目提供的一個早期模型，評價其合理性和實用性 .(2)建立自己的模型，說明優(yōu)于早期模型的原因；說明怎樣才能建立一 個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠信息的模型，并指出這樣做 的困難；評價衛(wèi)生部門采取的措施，如：提前和延后5天采取嚴格的隔離措施，估計對疫情傳播的影響.(3) 根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)建立相應的數(shù)學模型，預測SARS

4、對社會經濟的影響.(4)給當?shù)貓罂瘜懸黄ㄋ锥涛模f明建立傳染病數(shù)學模型的重要性.2 .早期模型的分析與評價題目要求建立SARS的傳播模型，整個工作的關鍵是建立真正能夠預測以及 能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型 .如何結合可靠、足夠這兩個要求 評價一個模型的合理性和實用性，首先需要明確：合理性定義要求模型的建立有根據(jù)，預測結果切合實際.實用性定義要求模型能全面模擬真實情況，以量化指標指導實際 .所以合理的模型能為預防和控制提供可靠的信息；實用的模型能為預防和控制提供足夠的信息.2.1 早期模型簡述早期模型是一個SARS疫情分析及疫情走勢預測的模型，該模型假定初始時刻的病例數(shù)為No,平均

5、每病人每天可傳染K個人(K一般為小數(shù))，K代表某種社會環(huán)境下一 個病人傳染他人的平均概率，與全社會的警覺程度、政府和公眾采取的各種措施 有關.整個模型的K值從開始到高峰期間保持不變，高峰期后 10天的范圍內K 值逐步被調整到比較小的值,然后又保持不變.平均每個病人可以直接感染他人的時間為 L大.整個模型的L 一直被定為20. 則在L天之內，病例數(shù)目的增長隨時問t(單位大)的關系是：N(t) No (1 切考慮傳染期限L的作用后，變化將顯著偏離指數(shù)律，增長速度會放慢.采用半模擬循環(huán)計算的辦法，把到達 L大的病例從可以引發(fā)直接傳染的基數(shù)中去掉.2.2 早期模型合理性評價根據(jù)早期模型對北京疫情的分析

6、與預測，其先將北京的病例起點定在3月1 日，經過大約59天在4月29日左右達到高峰，然后通過擬合起點和4月20日以后的數(shù)據(jù)定出高峰期以前的 K=0.13913.高峰期后的K值按香港情況變化， 即10大范圍內K值逐步被調整到0.0273.L包為20.由此畫出北京3月1日至5 月7日疫情發(fā)展趨勢擬合圖像以及 5月7日以后的疫情發(fā)展趨勢預測圖像，如 圖1.從圖1可以看出，從4月20日至5月7日模型計算值與同期實際值的擬 合程度比較好，但5月7日后模型計算值(即預測值)隨著日期的增長逐漸偏 離實際值.為了進一步驗證上述分析，對模型計算值曲線和實際值進行殘差分析， 記yi表示第i天實際累計病例,%表示第

7、i大計算累計病例.計算*eiyi?ie - ,i 1,2, ,n其中，用？作為的估計:V (v ?i)做出標準化殘差0.403ULZ0.1? i 1n 2e的分布圖，如圖2：-0.1 -0 2-a.3山4-0.5-D.G506070 eo 9010D LIO 12C(天圖2早期模型的標準化殘差分布圖可以很明顯地看出，在后期，殘差圖上出現(xiàn)明顯的單減規(guī)律性， 預測值高于 實際值，說明預測值確實逐漸偏離實際值.通過以上分析得合理性評價：1從預測準確度上有失合理性，雖然早期模型在擬合前期疫情時擬合程度較 好，但對后期情況的預測出現(xiàn)較大偏差.Z盡管預測準確程度不高，但是該模型確實預測出了整個疫情的發(fā)展趨

8、勢.從這一點上看，該模型還是切合實際的.3)模型選用公布數(shù)據(jù)直接擬合，從而預測后期疫情發(fā)展趨勢，這有悖于模 型本身的含義.因為模型中的N(t)實際代表的是t時刻全社會的累計SARS患者， 而公布數(shù)據(jù)僅為同期的累計確診 SARS患者，顯然前者是大于或等于后者的.如 果把公布數(shù)據(jù)當成實際數(shù)據(jù)處理，這必然導致模型解出現(xiàn)偏差，且解的實際意義不明確.對于這一點，我們將在建立自己的模型時重點關注！2.3 早期模型實用性評價模型的實用性關注的是模型能否真實全面的模擬真實情況，從而用模型指導 實際.這里主要抓住早期模型的參數(shù)設置情況進行實用性評價：Og模型簡單地以高峰期作為分析的臨界點，這似乎對SARS發(fā)展的

9、階段沒有了解透徹.同時，模型沒有提出高峰期的確定方法，整個模型的建立必須有實 際高峰期附近數(shù)據(jù)的支撐.如果僅有疫情爆發(fā)初期的數(shù)據(jù)，該模型就無法預測出疫情中后期發(fā)展的趨勢，模型的實際應用范圍受到限制2參數(shù)K代表某種社會環(huán)境下一個病人每天傳染他人的人數(shù),與全社會的警 覺程度、政府和公眾采取的各種措施有關.在初期，該模型將K固定在一個比較 高的定值，在疫情高峰期過后，在10天內逐步調整K值到比較小，然后保持不 變.但模型并沒有給出K值的具體算法，只是不斷地進行人工調整，具有一定的 主觀性.同時沿用了香港疫情分析中的數(shù)據(jù)來預測北京的情況，可見該模型未對 北京的實際情況進行充分的考慮.3參數(shù)L代表平均每

10、個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限，在此期 限后失去傳染作用，可能的原因是被嚴格隔離、病愈不再傳染和死去等等.該模型把L的值固定為20,而實際的L應該隨疫情發(fā)展趨勢變化而變化，固定 L勢 必使模型只能片面模擬真實情況.綜上，早期模型的一部分分析脫離了實際，而且在整個模型的建立和求解中 人工干預過多，實際應用范圍受到了限制，實用性不強 .3 . SARS傳播過程的分析由于早期模型缺少對SARS傳播過程的系統(tǒng)分析，所以，要建立真正能預測 病情發(fā)展的模型，應該首先對整個傳播過程有一個全面而詳盡的分析.SARS的傳播大致經歷了 4個過程，相關描述可按照 Kink于1986年提出 的危機“四階段說

11、”.第一階段是征兆期.在SARS傳播初期，由于SARS感染者需要經歷一定時 間才表現(xiàn)出臨床癥狀，所以在病毒實際上已經廣泛傳播的情況下， 政府和公眾并 未引起注意.在這個時期，攜帶病毒的傳播源沒受到控制，平均傳播期長，但整 個社會的發(fā)病率還較低.第二階段是迅速爆發(fā)期和蔓延期.當公眾發(fā)現(xiàn)感染者不斷增加時，恐慌情緒 增加，政府隨即采取多種措施，但由于對病毒傳播的特點不清楚， 并未收到預期 效果.在這個時期，傳播源的平均傳播期依然較長，整個社會的發(fā)病率突然猛增 .第三個階段是高峰期.當高強度的措施實施后，病毒擴散速度實際已經被控 制，發(fā)病人數(shù)保持穩(wěn)定，處在一個高平臺階段 .在這個時期，有效隔離措施的產

12、 生，大大縮短了平均傳染期，但由于病患基數(shù)較大，社會發(fā)病率依然很高.第四個階段是衰退期和有效控制期.在高平臺現(xiàn)象一段時間以后，控制措施 的作用開始顯現(xiàn)，患病人數(shù)開始下降，進入控制時期 .在這個時期，平均感染期 最短，社會發(fā)病率低.疫情進入了 4個階段的最后時期.有了以上的分析，建立的模型就應該體現(xiàn) 4個不同時期下疫情的發(fā)展過程，并能夠在此基礎上準確預測疫情變化情況，提出切實可行的控制措施 .考慮在經 典傳染病SIR模型基礎上，通過機理分析，加入合理的實際因素，建立適合SARS 的分段微分方程模型，稱為SARS傳播的SIR改進模型.4 . SARS傳播的SIR改進模型4.1 模型的假設1 . S

13、ARS的持續(xù)期不太長，可以忽略在 SARS持續(xù)期內的城市人口的自然出生 率和自然死亡率.2 .被SARS感染后經治療康復的人群在 SARS流行期不會被再次感染.3 .病人被嚴格隔離、治愈或者死亡后，不再有感染作用 .4 .不考慮人口的流動，僅僅在一個城市范圍內研究SARS疫情的發(fā)展過程.4.2模型的符號定義S(t):易感類人群占城市人口總數(shù)的比例.I(t)：傳染類人群占城市人口總數(shù)的比例.R(t):排除類人群占城市人口總數(shù)的比例.(t):SARS患者的就診率 器*f的SARSt時刻全社會SARS患者總數(shù):單位時間內一個傳染者與他人的接觸率.L :平均傳染期.4.3 傳播機理分析針對早期模型的不

14、足，需要在模型的合理性和實用性方面進行改進 .考慮在 經典傳染病模型SIR的基礎上，通過機理分析，用實際因素來描述SARS的傳播 過程.為了簡化模型，這里不考慮人口的流動帶來的影響， 僅僅在一個封閉城市中 研究SARS的傳播機理.那么，整個社會人群可以分為 3類：S類：稱為易感類，該類成員沒有染上傳染病，但缺乏免疫能力，可以被染 上傳染病.I類：稱為傳染類，該類成員已經染上傳染病，而且可以傳染給S類成員.R類：稱為排除類或恢復類，R類成員或者是I類成員被嚴格隔離、治愈， 或者死亡等.I類成員轉化為R類后，立刻失去傳染能力.S(t)、I(t)、R分別表示t時刻上述3類成員占城市人口總數(shù)的比例.對

15、于傳播過程有3條基本假設：Ai：人口總數(shù)為常數(shù) N, N足夠大，可以把變量 S(t)、I(t)、R視為連續(xù)變量，還可進一步假定為連續(xù)可微變量.A2：人群中3類成員均勻分布，傳播方式為接觸性傳播.單位時間內一個傳 染者與他人的接觸率為，則一個傳播者在單位時間內與S類成員的接觸率為S(t),因此，單位時間內I類成員與S類成員的接觸總數(shù)為 N S(t) I (t),這 就是單位時間內I類成員增加的數(shù)量，稱為發(fā)病率，它是S和I(t)的雙線性函數(shù).A3：傳播者的被控制數(shù)正比于傳染者的數(shù)量NI(t),比例系數(shù)為v, v稱為被控制率，則平均傳染期為L 1/v./v為一個傳染者在其傳播期內與其他成員的接觸總數(shù)

16、，稱為接觸數(shù).那么SARS的傳播流程如圖3:易感類NS(t) NSI傳染 傳染類NI(t) vNS控制 排除類NR(t)圖3 SARS傳播流程圖在這個模型中，排除類NR(t)就是已確診SARS患者累計數(shù)，而N 1 S(t) 是全社會累計SARS患者數(shù)，包括已確診的和未被發(fā)現(xiàn)的兩部分.4.4 模型的建立有了以上的機理分析，建立起針對 SARS的改進SIR模型:dS dt dI dt dR dtI RSISIvISvISo0, I 00Ro0該模型中參數(shù) 和v在疫情發(fā)展的各個階段受實際因素影響，會有比較明顯 的變化，現(xiàn)分析如下：1參數(shù) 表示單位時間內一個傳染者與他人的接觸率，其與全社會的警覺程度和

17、政府、公眾采取的各種措施有關，例如，佩戴口罩，減少停留在公共場所的時間,噴灑消毒藥劑，提高隔離強度等都能有效地降低接觸率的值.一般認為，的數(shù)值隨著SARS發(fā)展的4個階段不斷變化.在SARS初期，由于潛伏期的存在和社會對SARS病毒傳播的速度認識不足，政府和公眾并未引 起重視，故 維持在一個較高的數(shù)值；進入爆發(fā)期后，公眾發(fā)現(xiàn)感染者不斷增加， 恐慌情緒增加，隨即采取多種措施，使得到一定的控制，但效果不明顯，此處假設 呈線性形式緩慢衰減；在高峰期，當高強度的控制措施實施后，病毒傳播 的有效接觸率明顯減少，可以認為按天數(shù)呈指數(shù)形式衰減；此后進入衰減期，就維持在一個較低值附近.2參數(shù)v表示傳播者的被控制

18、率.L 1/v稱為平均傳染期，表示一個傳播者在被隔 離或者死亡之前具有傳播能力的平均時間.一般認為，SARS患者經過傳染期L 過后，將隔離治療或者死亡，從I類成員變?yōu)镽類，失去傳播能力.L與政府采取的措施密切相關，例如，盡量早地發(fā)現(xiàn)病患，對疑似病例提前 進行隔離，“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”；提供更廣范圍的醫(yī)療手段，使更多的人接受有 效的治療等，都可以有效地降低平均傳染期 L的長度.因此這里將L直接抽象為 每一時期SARS患者的就診率（t）的函數(shù).平均傳染期L應隨（t）的變化而變化.但是在初期，由于政府對 SARS的認 識不足，并沒有采取有效控制措施，L的變化很小可以近似看作定值，這里我們取SARS病毒

19、最長潛伏期（約19天）為這個定值；在爆發(fā)期，有效控制措施 的逐步加強，使SARS患者的就診率 逐漸增加，而平均傳染期L會逐漸減小 并趨于一個定值，這里我們將 SARS病毒平均潛伏期（約7天）定為L的最小 值；在此后的高峰期以及衰減期，由于控制措施都保持在一定水平，L的值會維持在7天左右.4.5 針對北京疫情求解模型首先采用數(shù)學推導的方法，確定參數(shù)和v,并證明模型有唯一解.1確定和v的關系令一，方程組中（2）得： vdI/1一1 一dSSdI1在病情剛開始時，1 ，由于S是單調減少的，且I（t）最終趨近于0,dSS0則當S 1時，1單調減少趨近于0;當S 1時，I（t）先單調增加達到最大值，然后

20、單調減少趨近于0.容易知道,當 S 1時，才滿足SARS的傳播規(guī)律，所以參數(shù)和V的取值必須滿足這個條件.2證明模型有唯一解在初值條件下解微分方程組：dI d 11 - dS SIo So Ro 1得到關系式：1 SI(t) 1 Ro S -ln( )So令t ,由b31 S o 1 Ro S ln() So因為S o ,所以令1 x f(x) 1 Ro x ln( ) So則lim f (x), f (So) 1 R So Io ox o.11 ,，當So 時，由于f (x) o在(o,So)氾圍內有根，因而在(o,)內有根.,1 ,一，當So 2時，因為r'1 xf (x)x當 x

21、工時，f'(x) o,所以 f(1) f(So) Io o,因而 f(x) o 在(o) 內也有根.11注意到當o x 一時，f (x) o,故f(x) o在(o,一)內有唯一根.一一,1所以，S在(o,一)內有唯一解.3a分SARS傳播的4個階段由于SARS的傳播經歷了 4個階段，所以，要以具體的指標劃分這4個階段.因為在4個階段中，日發(fā)病率(t) N S(t) I(t)是一個區(qū)分每個階段特點的 關鍵特征，所以以日發(fā)病率作為劃分的指標.從第一個患者出現(xiàn)日開始： 征兆期：日發(fā)病率在10 (人/天)以下.北京疫情期的前40天.爆發(fā)期：從日發(fā)病率10 (人/天)到日發(fā)病率最大，即 0時.北

22、京疫情期的 dt第40天到第74天.高峰期：從日發(fā)病率最大到患者數(shù)量最大，即5 0時.北京疫情期的第74天到dt第79天.衰退期：患者數(shù)量最大點以后.北京疫情期第79天以后.4定和v根據(jù)北京最終SARS患者總數(shù)2521人以及北京人口總數(shù)（約14000000人）， 得 S 125210.9998 1 ,所以1 -1.14000000 1因為平均傳染期L -,而L是SARS患者就診率（t）的函數(shù)，且L 7,19,v所以，這里設計L函數(shù)為：L 7e1 （t）由政府的控制措施決定，它的變化反映了政府控制措施的力度.根據(jù)實際情況，推導出：00 t 40t 40（t） log10（- 1）40 t 743

23、.781t 74而接觸率與全社會的警覺程度和公眾采取的各種措施有關，根據(jù)實際情況 確定為：0.1260 t 400.12640t7434000.116 74t79330.0672t79確定出所有的參數(shù)后，做出北京各時期累計全社會SARS患者數(shù)和各時期累 計確診SARS患者數(shù)預測圖（圖4）以及北京市預測確診SARS患者累計和實際 確診SARS患者累計對比圖（圖5）.同時得到：北京SARS疫情的預測持續(xù)時間 為106天,預測SARS患者累計2514人.（計算程序見附件1: SIR模型程序）(X)10001ODn累計患者瓢累計他修熟o 日增患者數(shù) 日增碉曲獨zRyH 3月1日4月111日5月劉日E月

24、2yH圖4北京市預測非典病人累計總數(shù)和預測非典病人確診病例累計對比圖圖5北京市預測確診病例累計和實際確診病例累計對比圖5 .改進SIR模型的分析與評價5.1 合理性評價從圖5可以看出，本模型對數(shù)據(jù)的擬合程度非常高，完全克服了早期模型對 后期數(shù)據(jù)預測不準的缺陷.做出標準化殘差分析圖，如圖6:k!|：* ,* : : :f ；一 _ ；_ * *-*H*.；pf.一Xj d %.1* I;*： * E：魁：¥ r;iiiOS 04 12 0 0?-105060706090100 IL。 120g圖6 改進SIR模型的標準化殘差分布圖（實際值一預測值）可以看出，殘差分布比較均勻，殘差平方和

25、為2.0361，低于初期模型的5.510.通過以上分析得出結論：改進 SIR模型不僅在預測前期病情的時候非常準 確，而且在預測后期病情的時候也沒有出現(xiàn)明顯偏差， 預測值與實際值非常吻合 該模型能對整個病情的發(fā)展做出準確預測，這是該模型優(yōu)于早期模型的方面之5.2 實用性評價對比早期模型實用性方面的不足，對改進 SIR模型分析如下：1星期模型在沒有對SARS的傳播過程進行系統(tǒng)分析的情況下就簡單地以高 峰期作為分析的臨界點，同時，模型并沒有提出高峰期的確定方法， 模型的實際 應用范圍受到限制.而改進SIR模型在分析SARS傳播過程的前提下，依據(jù)日發(fā) 病率把整個傳播過程細分為征兆期， 爆發(fā)期，高峰期和

26、衰退期4個階段，并且考 慮了每個階段影響SARS傳播的實際因素，能夠更好地反映實際因素對 SARS傳 播的影響.2：星期模型預測的僅僅是已確診累計 SARS患者數(shù)，不包括未被發(fā)現(xiàn)的患者 人數(shù)，這樣的做法不能對防治工作提供真正有用的數(shù)據(jù).而改進SIR模型不僅能準確預測已確診累計病例，而且能夠預測未被發(fā)現(xiàn)的患者人數(shù)，可以對防治工作 提供更有用的數(shù)據(jù).卻期模型用參數(shù)K代表一個病人每天傳染他人的人數(shù).模型沒有給出K值的具體算法，只是不斷地進行人工調整，同時沿用了香港疫情分析中的數(shù)據(jù)來預 測北京的情況，未對北京的實際情況進行充分的考慮.而改進SIR模型用參數(shù) 表 示單位時間內一個傳染者與他人的接觸率，并

27、且考慮了4個階段內 的變化情況，給出了 的函數(shù)表達式.4具期模型用參數(shù)L代表平均每個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期 限，并且把L的值固定在20天,就造成了后期預測值明顯偏離實際值的結果. 而改進SIR模型中建立了 L的分段函數(shù)表達式，根據(jù)各個階段的具體影響因素控 制L的大小.這樣，在后期的預測上，也與實際值相當吻合.綜上，改進SIR模型彌補了早期模型的不足，實際應用范圍得到擴大，實用 性強.5.3 建立可靠、優(yōu)良模型的困難要建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模 型，存在著許多的困難，還有許多努力的方向.1缺乏詳盡白1反映SARS疫情的實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)，以及數(shù)據(jù)基礎上

28、的模型參 數(shù)的具體取值.本文的模型計算與分析研究，主要依據(jù)關于北京市的SARS疫情通告的數(shù)據(jù).這些數(shù)據(jù)不包括未被發(fā)現(xiàn)的患者人數(shù)的統(tǒng)計，數(shù)據(jù)的形式不能滿足 模型求解的要求.2需要與流行病學家密切合作，更加合理地設計模型結構與調整參數(shù)，以及 估計并設定比較符合實際的參數(shù)取值，從而完善模型以及模擬結果.3需要研究SARS在不同自然條件和社會條件下的差異性，總結 SARS傳播 與控制的典型地域性模式.6 .分析具體措施對SARS傳播的影響在SARS傳播的實際過程中，有關部門采取了一些控制疫情的措施， 在所有 措施中，隔離開始的時間和隔離的強度是兩個比較關鍵的因素， 究竟這些因素對 疫情傳播能造成怎樣的

29、影響，現(xiàn)分析如下.改變隔離開始的時間通過對L調整實現(xiàn)，減小L的數(shù)值就提前了隔離時間； 而改變隔離的強度通過對 調整實現(xiàn)，減小 的數(shù)值就提高了隔離的強度.以北京的隔離強度為100% ,分別在100%和80%強度下用改進SIR模型 預測不同控制措施下累計病例總數(shù)（人）和疫情持續(xù)總時間（大）.結果如表1 : 開丁、 始隔、時離、工間強L度提前5天延后5天提前20天隔離強度100%1458 人/90 天4170 人/112 天304人/69天隔離強度80%2057 人/167 天5807 人/205 天446 天/125 天表1不同控制措施下的結果分析表1,得出結論：1在相同隔離強度下，發(fā)現(xiàn)隔離開始的

30、時間越早，累計病例總數(shù)就越小.2在相同隔離開始時間下，隔離強度越大，疫情持續(xù)的時間就越短.3綜上，累計病例總數(shù)的大小主要由隔離開始時間的早晚決定；疫情持續(xù)時間的長短主要由隔離強度的大小決定.所以，有關部門采取的措施確實對疫情的控制起到了很大的作用：“早發(fā)現(xiàn),早隔離”能有效減少累計病例總數(shù)；“嚴格隔離”能有效縮短疫情持續(xù)時間.7. SARS對旅游業(yè)的影響SARS的流行會對國民經濟帶來一定的影響.現(xiàn)在題目提供了北京市接待海 外旅游人數(shù)的數(shù)據(jù)，要求根據(jù)這些數(shù)據(jù)，預測SARS對北京市的旅游業(yè)所產生的 影響.7.1 預測正常情況下2003年的旅游人數(shù)旅游業(yè)隨著社會經濟的發(fā)展，會有一個逐年提高的趨勢.如果

31、沒有SARS的 流行，那么，海外旅游人數(shù)會以一定的規(guī)律保持增長的趨勢.現(xiàn)在需要預測正常情況下2003年的旅游人數(shù)，采用季節(jié)性時間序列的半?yún)?數(shù)回歸模型進行預測.一般的半?yún)?shù)回歸模型是指： ( Y g(T )(3)其中(X,T) RP R1為隨機向量或設計點列，T的支撐集為有界閉集，為P 1的未知參數(shù)向量，g()是定義于一有界閉集上的未知函數(shù)，E為隨機誤 差,E( ) 0,E( 2)2 (未知)，且 與X,T相互獨立.對季節(jié)性時間序列資料Xj (i 1,2, ,n;j 1,2, ,l),其中n為年份長度，l為 季節(jié)長度.根據(jù)時間序列資料的加法原理有如下半?yún)?shù)回歸模型Xj bi g(j) j(4)

32、其中b為模型參數(shù)，主要反應時間序列在年度上的增長趨勢.g(j)為未知函數(shù)， 主要反應時間序列在季節(jié)上的效應，E( j) 0,E(i2) 2且j相互獨立.顯然模 型中不應包含常數(shù)項，因為常數(shù)項可包含在季節(jié)效應中.在對旅游人數(shù)的估計時，因為采用了 19972002年的數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計， 所以年份長度n 6,而季節(jié)上的效應實際上就是每個月的效應， 季節(jié)長度l 12. 參數(shù)估計如下：(O巴b看為已知時g( j)的最小二乘估計為使(Xj bi g(j)2最小的解，即n 1乳)Xj b -(5)2其中，XjXj/n,即為所有數(shù)據(jù)在季節(jié)點j上的均數(shù).顯然g(j)也是g(j)的一個臨近估計.2> (5)

33、代入(4)后b的最小二乘估計為使 (Xj bi (Xj b4)2最小i j jj 2一 n 1 一.的解.作變換XijXj Xj,i i 2-則 i XjgT(6)2估計為n l:(XjI i 1 j 1b)2l i 2在小樣本條件下，誤差的總體方差?21nl l將北京海外旅游人數(shù)19972002年的數(shù)據(jù)代入式(5)、(6)、(7),得至U： b? 1.82452 ?0.0044?(j) (4.5642,13.2808,12.5142,17.2142,17.9975,16.3975,16.0808,21.0808,20.7475,21.5808,18,1642,12.4642)根據(jù)這些參數(shù)，預

34、測正常情況下2003年的旅游人數(shù)(計算程序見附件2:時間序 列程序)，結果如表2 (單位：萬人)：月123456789101112份人數(shù)15.417.125.330.030.829.228.933.933.634.431.025.3表2正常情況下2003旅游人數(shù)預測1997-2003年旅游人數(shù)的變化如圖7所示：19971998 1S9S ZDQO 2Q0I ?UUZ 2QO3 （年 j圖71997-2003年旅游人數(shù)的變化7.2季節(jié)性時間序列半?yún)?shù)模型的檢驗我們利用時間序列模型對19972002年的旅游人數(shù)進行擬合，再與實際值對照，畫出殘差圖（圖8）:圖819972002年各月旅游人數(shù)估計值的

35、標準化殘差圖中，標準化殘差隨機均勻分布在x軸周圍，說明時間序列模型對1997-2002年旅游人數(shù)的擬合程度比較高，能夠對2003年各個月份的旅游人數(shù)做出比較準確的預測.7.3預測2003年實際旅游人數(shù)實際旅游人數(shù)受到SARS的影響，從3月開始下降，在5月達到最低點后開始回升.做出實際方游人數(shù)yi占預測旅游人數(shù)%的百分比圖，如圖9:圖9實際旅游人數(shù)占預測旅游人數(shù)的百分比圖對5月以后旅游人數(shù)的回升用對數(shù)函數(shù)進行擬合：(t 10)V(1.8e i)?i , t 5根據(jù)這個函數(shù)預測出2003年實際旅游人數(shù)，如表3 (單位：萬人)：月份123456789101112人數(shù)15.417.123.511.61

36、.782.618.831.025.3表32003年實際旅游人數(shù)預測旅游人數(shù)在9月1日時回復到正常水平的92.6%，在9月4日左右恢復正 常水平.2003年的旅游總人數(shù)比預期減少116.11萬人.若平均每位旅游者花銷2000元人民幣，則累計經濟損失達到23.22億元人民幣，比預計經濟收入減少 了 34.67%.可以看出，SARS對旅游業(yè)的影響還是比較大的，使整個旅游業(yè)收入減少了 3 成左右.8 .模型的改進方向本文在傳染病SIR模型的基礎上，改進得到了 SARS傳播模型.模型能夠比較 準確地預測出累計病例數(shù)，還能隔離時間及隔離措施強度的效果進行分析， 具有 很好的合理性和

37、實用性.但本模型還有一些可以完善的地方：O模型不考慮人口的流動，僅僅在一個城市范圍內研究SARS的傳播機理.可以增加參數(shù)j表示第i個城市向第j個城市的人口流動率，定量地研究相鄰的 N個 城市之間人口的流動.這樣，就需要有關方面提供城市間人口流動數(shù)據(jù)來確定 參數(shù)ij .tSARS最新研究表明，該病毒對小孩的影響遠遠小于成年人.因此，可以將模型中S(t)、I(t)、R(t)改變?yōu)镾(a,t)、I(a,t)、R(a, t),分別表示t時刻時易感類、傳 染類、恢復類按年齡分布的密度函數(shù).這樣，模型就能研究不同年齡層次的病 情發(fā)展情況.9 .寫給報刊的短文小小“抗非典英雄”2003年初，春意昂然，萬物復

38、蘇.沒有人預料到，在一片安靜祥和之中，一 場災難卻悄悄地籠罩在人類社會的上空.不起眼的咳嗽、發(fā)燒，竟然導致了大范圍的快速傳播，甚至引起死亡，專家 們似乎都對這個叫做“非典”的病魔束手無策 .一時間，人心惶惶，謠言四起， 大家都到了 “談非典色變”的地步.但是，我們豈會輕易服輸？在這個關鍵時刻，科研工作者聚到一起，運用科 學這一有力的武器，向“非典”病魔做出有力的反擊.在黨中央和國務院的領導下，全國人民齊心協(xié)力，同舟共濟.終于，在科學和團結面前，囂張一時的“非 典”病魔低下了頭.春回大地，舉國歡慶.親愛的讀者朋友，你是否知道，在這場“非典”攻堅戰(zhàn)中，一個叫做“傳染 病數(shù)學模型”的工具，發(fā)揮了不可

39、磨滅的作用嗎？讓我來介紹一下這位小小“抗非典英雄”吧.傳染病數(shù)學模型，是科技工作者分析了這次非典爆發(fā)的部分數(shù)據(jù)后，建立的 一種研究病情傳播規(guī)律的工具.這些模型使我們能夠對疫情的發(fā)展情況做出預 測，并估計疫情發(fā)展所處的階段.首先，傳染病模型揭示了非典傳播的規(guī)律，預測了病情發(fā)展的趨勢.在那個謠 言四起的時期，數(shù)學模型肯定地告訴我們，非典是可以戰(zhàn)勝的 .這顆定心丸的出 現(xiàn)，克服了人們的恐懼心理，維持了社會的安定 .其次，通過對模型的分析，我們發(fā)現(xiàn)，在病情蔓延時期，對傳播源及早的發(fā) 現(xiàn)、嚴格隔離，對整個病情發(fā)展的控制起到了至關重要的作用.于是，我們提出了 “早發(fā)現(xiàn)，早隔離”，“加大控制力度”這些措施.

40、事實證明，這是行之有效 的.數(shù)學模型對實際工作的指導意義也就顯現(xiàn)出來.數(shù)學模型還能預測出“非典”對經濟的影響，估計經濟的恢復速度.看，名不見經傳的傳染病數(shù)學模型，竟然有如此重要的作用，讓大家刮目相看 了吧.相信隨著研究的繼續(xù)深入，這位小英雄還會發(fā)揮出它更大的本領.10 .參考書目1壽紀麟，數(shù)學建模方法與范例http:2003年9月23日2胡鞍鋼，正確認識SARS危機，民主與科學，第3期：第58頁，20033王文昌等，季節(jié)性時間序列資料預測的半?yún)?shù)回歸模型，中國衛(wèi)生統(tǒng)計， 14卷第6期：第46頁，1997附件附件1 : SIR模型程序function f=sorS(1)=14000000;I(1

41、)=1;R(1)=0;na=0.126;F=19;L=19;JU=19;M(1)=1;for i=2:74%初期與爆發(fā)期if i>=40&i<74 JU=JU-0.25; end if i>=40na=na-0.01/35;%爆發(fā)期緩慢減少end S(i)=S(i-1)-na*S(i-1)*I(i-1)/14000000;%求解S, I, Rif i>L+2 R(i)=S(i-L-2)-S(i-L-1); else R(i)=0; end if i>=51 F=F-0.5;L=fix(F); if F=L R(i)=S(i-L-3)-S(i-L-1); end end I(i)=I(i-1)+na*S(i-1)*I(i-1)/1