第10章 結(jié)構(gòu)動力學(xué)

1、習(xí) 題10-1 試說明動力荷載與移動荷載的區(qū)別。移動荷載是否可能產(chǎn)生動力效應(yīng)？10-2 試說明沖擊荷載與突加荷載之間的區(qū)別。為何在作廠房動力分析時，吊車水平制動力可視作突加荷載？10-3 什么是體系的動力自由度？它與幾何構(gòu)造分析中體系的自由度之間有何區(qū)別？如何確定體系的動力自由度？10-4 將無限自由度的振動問題轉(zhuǎn)化為有限自由度有哪些方法？它們分別采用何種坐標(biāo)？10-5 試確定圖示各體系的動力自由度，忽略彈性桿自身的質(zhì)量。(a) EIm1m2EI (b)分布質(zhì)量的剛度為無窮大，由廣義坐標(biāo)法可知，體系僅有兩個振動自由度y，。EIEI2EImm(c) (d)在集中質(zhì)量處施加剛性鏈桿以限制質(zhì)量運(yùn)動體

2、系。有四個自由度。10-6 建立單自由度體系的運(yùn)動方程有哪些主要方法？它們的基本原理是什么？10-7 單自由度體系當(dāng)動力荷載不作用在質(zhì)量上時，應(yīng)如何建立運(yùn)動方程？10-8 圖示結(jié)構(gòu)橫梁具有無限剛性和均布質(zhì)量，B處有一彈性支座（剛度系數(shù)為k），C處有一阻尼器（阻尼系數(shù)為c），梁上受三角形分布動力荷載作用，試用不同的方法建立體系的運(yùn)動方程。l33l2Aq(t)cEI=kBCm解：1）剛度法該體系僅有一個自由度?？稍O(shè)A截面轉(zhuǎn)角a為坐標(biāo)順時針為正，此時作用于分布質(zhì)量上的慣性力呈三角形分布。其端部集度為。取A點(diǎn)隔離體，A結(jié)點(diǎn)力矩為：由動力荷載引起的力矩為：由彈性恢復(fù)力所引起的彎矩為：根據(jù)A結(jié)點(diǎn)力矩平衡條

3、件可得：整理得：2）力法解：取AC桿轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，設(shè)在平衡位置附近發(fā)生虛位移。根據(jù)幾何關(guān)系，虛功方程為：則同樣有：。10-9 圖示結(jié)構(gòu)AD和DF桿具有無限剛性和均布質(zhì)量，A處轉(zhuǎn)動彈簧鉸的剛度系數(shù)為k，C、E處彈簧的剛度系數(shù)為k，B處阻尼器的阻尼系數(shù)為c，試建立體系自由振動時的運(yùn)動方程。aAcEI=kBmaaaaEDCFkmk解：取DF隔離體，：取AE隔離體：將R代入，整理得：10-10 試建立圖示各體系的運(yùn)動方程。lABEIl2mEI1=M(t)(a) 解：（1）以支座B處轉(zhuǎn)角作為坐標(biāo)，繪出梁的位移和受力圖如下所示。圖中慣性力為三角形分布，方向與運(yùn)動方向相反。（2）畫出和圖（在B點(diǎn)處作用一附加約

4、束） （3）列出剛度法方程，代入、的值，整理得：10-11 試求圖示各結(jié)構(gòu)的自振頻率，忽略桿件自身的質(zhì)量。m2aaaEI=常數(shù)(a) 解： 圖圖乘得：mEI1=ll2k(b)解：此體系為靜定結(jié)構(gòu)，內(nèi)力容易求得。在集中質(zhì)量處施加垂直力P，使質(zhì)量發(fā)生豎向單位位移，可得彈簧處位移為。由此根據(jù)彎矩平衡可求得。llllmEI =常數(shù)(d)解：在原結(jié)構(gòu)上質(zhì)量運(yùn)動方向加上一根水平支桿后，施加單位水平位移后畫得彎矩圖如下。水平支桿中力為，即。4a4a3amEA=常數(shù)(e)忽略水平位移 解： 圖 (f)l2l2mlEI=常數(shù) 解： 圖 圖 M圖 10-12 為什么說自振周期是結(jié)構(gòu)的固有性質(zhì)？它與結(jié)構(gòu)哪些固有量有

5、關(guān)？關(guān)系如何？10-13 試說明有阻尼自由振動位移時程曲線的主要特點(diǎn)。此時質(zhì)量往復(fù)一周所用的時間與無阻尼時相比如何？10-14 什么是阻尼系數(shù)、臨界阻尼系數(shù)、阻尼比和振幅的對數(shù)遞減率？為什么阻尼對體系在沖擊荷載作用下的動力響應(yīng)影響很??？10-15 設(shè)已測得某單自由度結(jié)構(gòu)在振動10周后振幅由1.188mm減小至0.060mm，試求該結(jié)構(gòu)的阻尼比。解：10-16 設(shè)有阻尼比0.2的單自由度結(jié)構(gòu)受簡諧荷載FP(t)= F作用，且有。若阻尼比降低至0.02，試問要使動位移幅值不變，簡諧荷載的幅值應(yīng)調(diào)整到多大？解：已知從0.2降低至0.02. ，A不變。F簡諧荷載的幅值應(yīng)調(diào)整到0.827F。10-17

6、試說明動力系數(shù)的含義及其影響因素。單自由度體系質(zhì)量動位移的動力系數(shù)與桿件內(nèi)力的動力系數(shù)是否相同？10-18 什么是共振現(xiàn)象，如何防止結(jié)構(gòu)發(fā)生共振？10-19 試求圖示梁在簡諧荷載作用下作無阻尼強(qiáng)迫振動時質(zhì)量處以及動力荷載作用點(diǎn)的動位移幅值，并繪制最大動力彎矩圖。設(shè)。EImtFqsinABl(a) 解：由力法可知，單位荷載作用在B點(diǎn)引起位移。，即幅值為當(dāng)幅值最大時，彎矩也最大。 圖BEImtFqsinAC(b) 解： 圖 圖 （1）求結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程如所示彎矩圖，圖乘后，其中穩(wěn)態(tài)解：所示結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程為C點(diǎn)最大動位移幅值為（2）求B點(diǎn)的動位移反應(yīng)B點(diǎn)的動位移幅值為（3）繪制最大動力彎矩圖 圖 圖 最

7、大動力彎矩圖 CABlEI=mDm3tqqsinq(t)=k10-20 試求圖示集中質(zhì)量體系在均布簡諧荷載作用下彈簧支座的最大動反力。設(shè)桿件為無限剛性，彈簧的剛度系數(shù)為k。解：若為靜力荷載，彈簧中反力為。已知圖示體系為靜定結(jié)構(gòu)，具有一個自由度。設(shè)為B點(diǎn)處順時針方向轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)。建立動力方程：則彈簧支座的最大動反力為。10-21 設(shè)圖a所示排架在橫梁處受圖b所示水平脈沖荷載作用，試求各柱所受的最大動剪力。已知EI=6×106N·m2，t10.1s，F(xiàn)P08×104N。6m4000kNEI2EIEIEA=EA=2000kN2000kNFP(t)(a) 解：求排架自振頻率

8、，橫梁無限剛性，則各排架水平側(cè)移相同。 可將排架柱視為三個并聯(lián)的彈簧。邊柱剛度柔數(shù) 中柱 數(shù)值很小所以認(rèn)為當(dāng)作用結(jié)束時，結(jié)構(gòu)位移很小，彈性力忽略不計(jì)，于是根據(jù)動量守恒原理可得：再根據(jù)勢能守恒得：(b)FP(t)tt1FP0O10-22 設(shè)圖a所示排架橫梁為無限剛性，并有圖b所示水平短時動力荷載作用，試求橫梁的動位移。EIEI1=mhEIFP(t) (a) 解：在三角形沖擊荷載作用下單自由度體系的質(zhì)點(diǎn)位移反應(yīng)可分兩個階段考慮。第一階段（）：求T的過程。 圖第二階段（）因?yàn)椴皇芡饬ψ饔?，所以橫梁以時刻的位移和速度為初始值做自由振動。FP(t)tFP0t1O(b)10-23 設(shè)題10-22圖a所示剛

9、架m4000kg，h4m，剛架作水平自由振動時因阻尼引起振幅的對數(shù)遞減率0.10。若要求振幅在10秒內(nèi)衰減到最大振幅的5，試求剛架柱子的彎曲剛度EI至少為何值。解：（1）求周期數(shù)。（2）求k：兩柱并聯(lián)10-24 設(shè)某單自由度體系在簡諧荷載FP(t)= F作用下作有阻尼強(qiáng)迫振動，試問簡諧荷載頻率分別為何值時，體系的位移響應(yīng)、速度響應(yīng)和加速度響應(yīng)達(dá)到最大？解：在簡諧荷載FP(t)= F作用下，穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)可表示為其中：（1）使動位移最大，即使最大，從而得出最小。設(shè)使，則（2）設(shè)如果使速度響應(yīng)最大，則最大，設(shè)，顯然要求最小。使：得。（3）令顯然要求最小。則解的：10-25 結(jié)構(gòu)自振頻率的個數(shù)取決于何

10、種因素？求解結(jié)構(gòu)自振頻率的問題在數(shù)學(xué)上屬于何類問題？10-26 試用柔度法求下列集中質(zhì)量體系的自振頻率和主振型。(a) mEI=常數(shù)lllm解： 圖 圖（1）（2）振型方程令，頻率方程為：（3）振型圖如下 第一振型 第二振型(b)llll解： 體系具有兩個自由度。先求柔度系數(shù)，做出單位彎矩圖，由圖乘法可得：得振型方程：令由頻率方程D=0解得：，(c) k=EIl3m1=mllllEIEIm2=m解： 圖 圖（1），（2）振型方程令，頻率方程為：（3）當(dāng)時，設(shè)當(dāng)時，設(shè)繪出振型圖如下： 第一振型 第二振型(d)EI1=mk1=12EIa3k2=6EIa3aaaEIEI解： 圖 圖頻率方程為：取代入

11、整理得：其中振型方程為：將代入（a）式中的第一個方程中，得：繪出振型圖如下： 第一振型 第二振型 (f)aaa4mmmEI=常數(shù)解： 圖 圖 圖（1）（2）振型方程為：令，頻率方程為：10-27 試用剛度法求下列集中質(zhì)量體系的自振頻率和主振型。EI1=EIllEIEIEIm1=mEI1=m2=2m(a) 解： 圖 圖振型圖如下： 第一振型 第二振型(c) k=EIl3mEIlEIm解： 圖 圖作出附加連桿移動單位位移的彎矩圖列出頻率方程：解得：結(jié)構(gòu)自振頻率分別為：求第一振型：令得求第二振型：令得結(jié)構(gòu)的振型向量形式為：振型圖如下： 第一振型 第二振型 (d)mEIEIlllEI1=解： 圖 圖，

12、列振型方程： 其中列頻率方程并求解：求振型將代入方程組（*）中得：，即將代入方程組（*）中得：，即振型圖如下： 第一振型 第二振型10-28 試說明在應(yīng)用多自由度體系強(qiáng)迫振動的振幅方程（10-66）和（10-71）時，對動力荷載的性質(zhì)、特點(diǎn)和作用位置分別有何要求？10-29 試說明為什么可以將慣性力幅值與簡諧荷載幅值同時作用在體系上，按靜力學(xué)方法計(jì)算體系的動內(nèi)力幅值。aCABEImEIaaDqsinq t10-30 試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)的最大豎向動位移，并繪制最大動力彎矩圖。設(shè)均布簡諧荷載頻率，B點(diǎn)處彈性支座的剛度系數(shù)，忽略阻尼的影響。解： 圖 圖畫圖列出方程得：解得：根據(jù)公式畫出最大動力彎矩圖。

13、 M圖10-31 圖示結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)處有水平簡諧荷載作用，試求集中質(zhì)量處的最大水平位移和豎向位移，并繪制最大動力彎矩圖。設(shè)，忽略阻尼的影響。m2m2m2222ACEIEItFqsinB解：作出圖 圖 圖 圖代入慣性力幅值方程：解得：將以上求得最大慣性力、和動力荷載，同時作用于結(jié)構(gòu)，可得最大動力彎矩圖： M圖10-32 圖示剛架各橫梁為無限剛性，試求橫梁處的位移幅值和柱端彎矩幅值。已知m100t，l5m，EI=5×105kN·m2；簡諧荷載幅值F30 kN，每分鐘振動240次；忽略阻尼的影響。lllm1=2mm 2=1.5mm 3=mtFqsin解： 層間剛度設(shè)為k， F=30K

14、N l=5m動位移幅值方程為：將具體數(shù)值代入，解得：底柱柱端彎矩幅值：中柱柱端彎矩幅值：頂柱柱端彎矩幅值：10-33 試求圖示結(jié)構(gòu)兩質(zhì)量處的最大豎向動位移，并繪制最大動力彎矩圖。設(shè)m1m2m，。k=EIl3llm1EI=常數(shù)m2tFqsin解：該結(jié)構(gòu)有兩個自由度，使用剛度法。 的求解過程：的求解過程：左構(gòu)件將上述剛度系數(shù)，質(zhì)量值及荷載幅值代入位移幅值方程，并計(jì)解得：最大動力彎矩圖求解過程：對于AB桿件，相當(dāng)于在中點(diǎn)作用一集中力對于CD桿件，相當(dāng)于在中點(diǎn)作用一集中力10-34 試說明用振型分解法求解多自由度體系動力響應(yīng)的基本思想，這一方法是利用了振動體系的何種特性？10-35 試用振型分解法計(jì)算

15、題10-32。解：剛度矩陣 質(zhì)量矩陣其中由剛度矩陣和質(zhì)量矩陣可得：則應(yīng)滿足方程其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：同理：顯然最大位移與10-32題的答案基本一致。10-36 試用振型分解法計(jì)算題10-31結(jié)構(gòu)作有阻尼強(qiáng)迫振動時，質(zhì)量處的最大位移響應(yīng)。已知阻尼比120.10。解：剛度矩陣 質(zhì)量矩陣得：正則坐標(biāo)應(yīng)滿足方程：其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：同理可得：于是 （豎直方向） （水平方向）10-37 為什么工程上特別關(guān)注體系的基本頻率和較低的若干個自振頻率？當(dāng)用基于能量原理的近似法求上述自振頻率時，所設(shè)的位移函數(shù)應(yīng)滿足什么條件？如此求得的自振頻率的精度取決于什么？它們與精確值之間的關(guān)系如何？10-38 試用基于能量原理的近似法求圖示梁的基本頻率。mEIm(a) (b)lEIm題10-38圖xyh(x)xlh010-39 試用瑞利里茲法求圖示變截面懸臂梁的第一和