相似三角形模型與應(yīng)用20132014

1、相似考綱要求內(nèi)容基本要求略高要求相似三角形了解兩個(gè)三角形相似的概念會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算；會(huì)利用三角形的相似解決一些實(shí)際問(wèn)題知識(shí)講解一、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等與相似，則有2相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與相似，則有（為相似比）3相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比與相似，是中邊上的中線，是中邊上的中線，則有（為相似比）與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）與相似，是中的角平分線，是中的角平分線，則有（為相似比）4相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比與相似，則有（為相似比）應(yīng)用比例的等比性質(zhì)有5相似三角形面積的比等于

2、相似比的平方與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）進(jìn)而可得二、相似三角形的判定1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似2如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似3如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似4如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的你對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似可簡(jiǎn)單地說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似5如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)

3、直角三角形相似6直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形相似（常用但要證明）7如果一個(gè)等腰三角形和另一個(gè)等腰三角形的頂角相等或一對(duì)底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似；如果它們的腰和底對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)等腰三角形也相似三、相似證明中的基本模型A字形圖字型，結(jié)論：，圖反字型，結(jié)論：圖雙字型，結(jié)論：，圖內(nèi)含正方形字形，結(jié)論（為正方形邊長(zhǎng)）圖 圖 圖 圖 8字型圖8字型，結(jié)論：，圖反8字型，結(jié)論：、四點(diǎn)共圓圖雙8字型，結(jié)論：，圖8字型，結(jié)論：圖，結(jié)論：、圖 圖 圖 圖 圖一線三等角型結(jié)論：出現(xiàn)兩個(gè)相似三角形圖 圖 圖 圖 角分線定理與射影定理圖內(nèi)角分線型，結(jié)論：，圖外角分線型，結(jié)論：圖斜射影定理

4、型，結(jié)論：，圖射影定理型，結(jié)論：1、，2、，3、梅涅勞斯型常用輔助線四、相似證明中的面積法面積法主要是將面積的比，和線段的比進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題常用的面積法基本模型如下：如圖：如圖：如圖：學(xué)案提升考點(diǎn)一：相似三角形【例1】 如圖，、是的邊、上的點(diǎn)，且，求證：.【答案】 【例2】 如圖，在中，于，于，的面積是面積的4倍，求的長(zhǎng).【答案】， 【例3】 如圖，中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，使得，則_【答案】【解析】，故，【例4】 如圖，已知三個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形相鄰并排，求【答案】【解析】連接、，則，若，則可求，問(wèn)題的關(guān)鍵是證明考點(diǎn)二：相似三角形與邊的比例考點(diǎn)說(shuō)明：可運(yùn)用相似三角形模型，常用字形與字形【例5】 在

5、中，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于， 求證：.【答案】過(guò)作交于，【例6】 如圖，在的邊上取一點(diǎn)，在取一點(diǎn)，使，直線和的延長(zhǎng)線相交于，求證：【答案】過(guò)作交于，又，【例7】 如圖，、為邊上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，一條平行于的直線分別交、和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、和.求證：.【答案】過(guò)，分別作的平行線交于，兩點(diǎn)，交于，易知，即，又，即.考點(diǎn)三：相似三角形與內(nèi)接矩形考點(diǎn)說(shuō)明：內(nèi)接矩形問(wèn)題是相似三角形中比較典型的問(wèn)題，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比【例1】 一塊直角三角形木板的一條直角邊長(zhǎng)為米，面積為平方米，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)加工方案。甲設(shè)計(jì)的方案如圖所示，乙設(shè)計(jì)的方案如圖

6、所示，你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好，請(qǐng)說(shuō)明理由（加工損耗忽略不計(jì)）【答案】甲同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好由題意得，設(shè)甲設(shè)計(jì)的正方形桌面邊長(zhǎng)為由，得則，即，解得在圖中，根據(jù)勾股定理，得，則設(shè)乙設(shè)計(jì)的正方形桌面的邊長(zhǎng)為，則，解得，【例8】 中，正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)、在上，另兩個(gè)頂點(diǎn)、分別在、上，,邊上的高,求.【答案】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，、的交點(diǎn)為，則有 ，即 解之得， 故本題有一個(gè)相似形中的典型的基本圖形：如圖，則（相似三角形高線之比等于相似比）【例9】 如圖，已知中，四邊形為正方形，其中在邊上，在上，求正方形的邊長(zhǎng)【答案】過(guò)作，垂足為，連接設(shè)，則，則有，即，解得，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則有，即解得所以正方形的邊長(zhǎng)

7、為【例10】 如圖，已知中，四邊形為正方形，在線段上，在上，如果，求的面積【答案】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則由，得，解得，【例11】 如圖，在中，動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合）在邊上，交于點(diǎn)（1）當(dāng)?shù)拿娣e與四邊形的面積相等時(shí)，求的長(zhǎng)（2）當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，求的長(zhǎng)（3）試問(wèn)在上是否存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)【答案】（1） 當(dāng)時(shí)，則， （2）當(dāng)與四邊形周長(zhǎng)相等時(shí)，則： 設(shè)與的相似比為 則， 解得：， （3） 如圖過(guò)（或），分別作垂線，垂足為（或），當(dāng) （或）時(shí)，（或）為等腰直角三角形過(guò)作于，交于，則，設(shè)， 由，得 ，即 ， 作的中垂線，交于，當(dāng)時(shí)為等腰直角

8、三角形設(shè)，則，即解得，即考點(diǎn)四：與平行四邊形有關(guān)的相似問(wèn)題【例12】 如圖，已知平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)的直線順次與、及的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)、，若，則的長(zhǎng)是_【答案】10.5【例13】 如圖，已知，求證：.【答案】，又，【例14】 如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若,求的值【解析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)【答案】【例15】 如圖：矩形的面積是36，在邊上分別取點(diǎn)，使得，且與的交點(diǎn)為點(diǎn)，求的面積。【解析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接。由知，而，故。 。又因?yàn)?，所以。從而可知。所以。又，故【?6】 如圖，已知在矩形中，為的中點(diǎn)，交于，連接（）.（1）與是否相似，若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)

9、說(shuō)明理由.（2）設(shè)是否存在這樣的值，使得，若存在，證明你的結(jié)論并求出值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）延長(zhǎng)、，交于點(diǎn).易證，故. 又，故， 在中，這個(gè)基本圖形中，故 （2）由可知， 又， 故 從而可知，故，故.考點(diǎn)五 與梯形有關(guān)的相似問(wèn)題【例17】 如圖，梯形的兩條對(duì)角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為，則梯形的面積是（ ）ABCD【解析】略【答案】B【例18】 如圖，梯形中，兩條對(duì)角線、相交于，若，那么_【答案】【例19】 如圖，在梯形中，,，若，且梯形與梯形的周長(zhǎng)相等，求的長(zhǎng)【解析】過(guò)點(diǎn)做交于點(diǎn)設(shè),則由梯形與梯形周長(zhǎng)相等，可得由（1）（2）知【答案】【例20】 已知：如圖，在梯形中

10、，是的中點(diǎn)，分別連接、，且與交于點(diǎn)，與交于.（1）求證：（2）若,，求的長(zhǎng).【答案】（1） ， （中間過(guò)渡量） （2） 【例21】 如圖，在梯形中，分別是的中點(diǎn)，交于，交于，求的長(zhǎng) 【解析】方法一：由可知，方法二：觀察此題與上題頗為相似，于是猜想，但是本題中沒(méi)有可以直接使用基本 圖形結(jié)論的條件，可通過(guò)連接來(lái)實(shí)現(xiàn)，設(shè)、交于點(diǎn). ， （，其中為中間過(guò)渡量） 如果雙向延長(zhǎng)分別與、交于點(diǎn)、，則有.【答案】【例22】 如圖，已知梯形中，,（）,交于點(diǎn)，連接.（1）判斷與，與是否分別一定相似，若相似，請(qǐng)加以證明.（2）如果不一定相似，請(qǐng)指出、滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，它們就能相似.【答案】延長(zhǎng)、交于點(diǎn). ， ， 在

11、基本圖形中，故 從而可知， 與不一定相似，如果相似，則它們必然全等，分析如下： 若，由，共用可知，兩三角形必然全等； 若，則由可知，故，這是顯然不可能的. 當(dāng)時(shí)，由題意可知，故.考點(diǎn)六：相似三角形與實(shí)際問(wèn)題考點(diǎn)說(shuō)明：常見(jiàn)的題型如測(cè)量樹(shù)高、樓高，或者路燈下影子長(zhǎng)度等問(wèn)題【例23】 小華為了測(cè)量所住樓房的高度，他請(qǐng)來(lái)同學(xué)幫忙，測(cè)量了同一時(shí)刻他自己的影長(zhǎng)和樓房的影長(zhǎng)分別是米和米。已知小華的身高為米，那么他所住樓房的高度為_(kāi)米【答案】48【例24】 如圖，王華同學(xué)晚上由路燈下的處走到處時(shí)，測(cè)得影子的長(zhǎng)為米，他繼續(xù)往前走米到達(dá)處時(shí)，測(cè)得影子的長(zhǎng)為米，已知王華的身高是米，那么路燈的高度等于（ ）A.4.5

12、米B.6米C.7.2米D.8米【答案】B考點(diǎn)七：位似考點(diǎn)說(shuō)明:位似可以考察作圖題，也可以填空題的形式展現(xiàn)，但是難度相對(duì)較簡(jiǎn)單【例25】 如圖，與的位似中心為點(diǎn)，若，則與的面積比是_，與的比是_【答案】,【例26】 作一個(gè)多邊形的位似圖形，若相似比已知，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）A.位似中心可以是多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)B.位似中心可以任意選取C.所作出位似圖形的大小與位似中心的位置無(wú)關(guān)D.所作出位似圖形的大小與位似中心的位置有關(guān)【答案】C【例27】 如圖是由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形組成的正方形網(wǎng)格，為一個(gè)定點(diǎn)，在網(wǎng)格中畫(huà)出一個(gè)直角三角形，要求滿(mǎn)足滿(mǎn)足下列條件：三個(gè)頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，是一條直角邊的中

13、點(diǎn)，斜邊長(zhǎng)，且以為位似中心，相似比為的位似圖形也在正方形網(wǎng)格內(nèi)，這樣的三角形能畫(huà)出幾個(gè)？【答案】如圖，共有四種可能考點(diǎn)八：“旋轉(zhuǎn)相似三角形”模型考點(diǎn)說(shuō)明：此模型結(jié)合了相似與旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，在很多的幾何綜合問(wèn)題中都能看到它的影子，因此也是非常重要的相似基本模型【例28】 如圖，在和中，（1）寫(xiě)出圖中兩對(duì)相似三角形（不得添加輔助線）（2）請(qǐng)分別說(shuō)明兩對(duì)三角形相似的理由【答案】（1）、（2）， ，即， 旋轉(zhuǎn)相似三角形模型指是與這兩對(duì)相似三角形，也就是只要有一對(duì)相似三角形，有一個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)重合的情況下，必然會(huì)出現(xiàn)另外一對(duì)相似三角形，并且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)A字和8字型的情況，如圖可以從以下兩種旋轉(zhuǎn)的角度來(lái)理解

14、【例29】 我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和，則稱(chēng)這個(gè)四邊形為等平方和四邊形（1）寫(xiě)出一個(gè)你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等平方和四邊形的圖形的名稱(chēng)：_（2）如圖（1），在梯形中，垂足為求證：，即四邊形是等平方和四邊形證明： 如果將圖（1）中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度（）后得到圖（2），那么四邊形能否成為等平方和四邊形？若能，請(qǐng)你證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由證明：【答案】（1）菱形或正方形；（2）證明：即四邊形ABCD是等平方和四邊形 （3）解：四邊形ABCD是等平方和四邊形.證明：原梯形記為，依題意旋轉(zhuǎn)后得四邊形ABCD，連接AC、BD交于點(diǎn)， BC， ， 又，

15、1=2 又3=4，由（2）的結(jié)論得：即四邊形ABCD是等平方和四邊形【例30】 如圖1，四邊形是正方形，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），以為一邊在正方形外作正方形，連結(jié)，我們探究下列圖中線段、線段的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： （1）猜想如圖1中線段、線段的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形繞著點(diǎn)按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷（2）將原題中正方形改為矩形（如圖46），且，（，），第（1）題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由（3）在第（2）題圖5中，連結(jié)、，且，求的值【答案】（1） 仍然成立 在圖（2）中證明如下四邊形、四邊形都是正方形 ， （SAS） 又 （2）成立，不成立 簡(jiǎn)要說(shuō)明如下四邊形、四邊形都是矩形，且，（，） ， 又 （3） 又， 考點(diǎn)九：“雙垂直”模型考點(diǎn)說(shuō)