《空間向量》基礎(chǔ)知識點(diǎn)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載空間向量及其運(yùn)算2空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下OBOAABab ;BAOAOBab ; OPa(R)運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：abba(ab)ca(bc)數(shù)乘分配律：(ab)ab3平行六面體平行四邊形ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作ABCD-A B C D它的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱4. 平面向量共線定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量向量b與非零向量a共線的充要

2、條件是有且只有一個實(shí)數(shù)，使ba .要注意其中對向量a 的非零要求5. 共線向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量 a 平行于 b 記作 a / b 當(dāng)我們說向量 a 、 b 共線（或 a /b ）時，表示 a 、 b 的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線abb0abab6 共線向量定理： 空間任意兩個向量、（），/的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使 .推論：如果 l 為經(jīng)過已知點(diǎn)A 且平行于已知非零向量a 的直線，那么對于任意一點(diǎn)O，點(diǎn) P 在直線 l 上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t 滿足等式OPOAt a 其中向量 a 叫做直線 l 的方向向

3、量 .空間直線的向量參數(shù)表示式：OPOAt a 或 OPOAt (OBOA )(1t)OAt OB ，中點(diǎn)公式OP1 (OB)OA27向量與平面平行：已知平面和向量 a ，作 OAa ，如果直線 OA 平行于或在內(nèi)，那么我們說向量a 平行于平面，記作： a /通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的8共面向量定理：如果兩個向量a,b 不共線， p 與向量 a,b 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x, y 使 p xa yb推論：空間一點(diǎn)P 位于平面 MAB 內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x, y ，使 MPxMAyMB或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有 OPOMxMAyMB 或

4、 OPxOAyOB zOM ,( x yz1)上面式叫做平面 MAB 的向量表達(dá)式9空間向量基本定理：如果三個向量a,b , c 不共面，那么對空間任一向量p ，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z ，使 pxaybzc若三向量 ab,c不共面，我們把 a, b, c 叫做空間的一個基底， a,b , c 叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底推論：設(shè) O , A, B,C 是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P ，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x, y, z ，使學(xué)習(xí)好資料歡迎下載OPxOAyOBzOC10空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a, b ，在空間任取一點(diǎn)O ，作

5、 OAa, OBb ，則AOB 叫做向量 a 與 b 的夾角，記作a, b；且規(guī)定0a,b，顯然有a,bb , a；若a, b，則稱 a 與 b 互相垂直，記作：ab .211向量的模：設(shè)OAa ，則有向線段OA 的長度叫做向量a 的長度或模，記作：| a | .12向量的數(shù)量積： 已知向量 a, b ，則 | a| | b| cos, a b叫做 a,b 的數(shù)量積， 記作 a b ，即 a b| a| | b| cos, ab已知向量 ABa 和軸 l ， e 是 l 上與 l 同方向的單位向量，作點(diǎn)A 在 l 上的射影 A ，作點(diǎn) B 在 l上的射影 B， 則 A B 叫 做 向 量 AB

6、 在 軸 l 上 或 在 e 上 的 正 射 影 .可以證明 AB 的長度| A B | | A B | c o s a ,e|a e13空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（ 1） a e|a | cosa, e（ 2） a ba b0 （ 3） | a |2aa 14空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（ 1） ( a)b(ab )a ( b ) （ 2） a b ba （交換律）（ 3） a (bc) abac （分配律）空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算1 空間直角坐標(biāo)系：（ 1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為 1，這個基底叫單位正交基底，用 i , j ,k 表示；（ 2）在空間選定一點(diǎn)O 和一個單位正交

7、基底 i, j ,k ，以點(diǎn) O 為原點(diǎn)，分別以i , j , k 的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x 軸、 y 軸、 z 軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz ，點(diǎn) O 叫原點(diǎn)， 向量i , j , k 都叫坐標(biāo)向量 通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為 xOy 平面，yOz 平面， zOx 平面；2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中，對空間任一點(diǎn)A ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ( x, y, z) ，使 OAxiyjzk ，有序?qū)崝?shù)組(x, y, z) 叫作向量A 在空間直角坐標(biāo)系 O xyz 中的坐標(biāo)，記作 A( x, y, z) ， x 叫橫坐標(biāo)，

8、y 叫縱坐標(biāo)， z 叫豎坐標(biāo)常見坐標(biāo)系正方體如圖所示， 正方體 ABCDA ' B 'C ' D '的棱長為 a ，一般選擇點(diǎn) D 為原點(diǎn)， DA 、 DC 、 DD ' 所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz ，則各點(diǎn)坐標(biāo)為亦可選 A 點(diǎn)為原點(diǎn) .在長方體中建立空間直角坐標(biāo)系與之類似.正四面體如圖所示，正四面體ABCD 的棱長為 a ，一般選擇A 在BCD 上的射影為原點(diǎn)， OC 、 OD （或 OB ）、OA 所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz ，則各點(diǎn)坐標(biāo)為正四棱錐如圖所示，正四棱錐PA

9、BCD 的棱長為 a ，一般選擇點(diǎn)P 在平面zDC''AB''DC yABxzABDOyCxzPDCx AOB y學(xué)習(xí)好資料歡迎下載ABCD 的射影為原點(diǎn)，OA （或 OC ）、 OB （或 OD ）、 OP 所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz ，則各點(diǎn)坐標(biāo)為正三棱柱如圖所示， 正三棱柱ABCA 'B 'C '的底面邊長為 a ，高為 h ，一般選擇 AC 中點(diǎn)為原點(diǎn)， OC（或 OA）、OB 、OE（ E 為 O 在 A' C '上的射影） 所在直線分別為x 軸、 yzA軸、 z 軸建立空

10、間直角坐標(biāo)系Oxyz ，則各點(diǎn)坐標(biāo)為3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：E（ 1）若 a( a1 ,a2 , a3 ) ， b(b1, b2 ,b3 ) ，則CBAa b (a1b1 ,a2b2 , a3b3 ) ，Oa b (a1b1 , a2b2 , a3b3 ) ， a ( a1, a2 , a3 )(R) ，CByxa b a1b1a2 b2 a3b3 ， a / ba1b1, a2b2 , a3b3 (R) ，a b a1b1a2b2a3b30 （ 2）若 A( x1, y1, z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則 AB (x2 x1, y2y1, z2z1) 一個向量在直角

11、坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)4 模長公式：若 a(a1, a2 , a3 ) ， b(b1 ,b2 , b3 ) ，則 | a |a aa12a2 2a32， |b |b bb12b2 2b3 25夾角公式： cos a ba ba1b1a2b2a3b3| a | | b |a12a22a32 b12b2 2b326兩點(diǎn)間的距離公式：若A( x1 , y1, z1 ) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，則|AB|AB2( x2x1) 2( y2y1) 2(z2z1 )2 ，或 d A, B( x2x1) 2( y2y1 )2(z2z1) 2空間向量應(yīng)

12、用一、直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量. 在空間直角坐標(biāo)系中，由A( x1, y1, z1 ) 與 B( x2 , y2 , z2 ) 確定直線 AB 的方向向量是AB(x2x1 , y2y1 , z2z1) .平面法向量如果 a，那么向量 a 叫做平面的法向量 .二、證明平行問題1證明線線平行：證明兩直線平行可用a / ba1b1 , a2b2 , a3b3 (R) 或a / ba1a2a3 .b1b2b32.證明線面平行直線 l 的方向向量為 a ，平面的法向量為 n ，且 l，若 an 即 a n0 則 a / .3.證明面面平行平面的法向量為1

13、，平面的法向量為 2，若12 即12則/ .nnn / nnn三、證明垂直問題1證明線線垂直證明兩直線垂直可用aba b a1b1a2 b2a3b302證明線面垂直直線 l 的方向向量為 a ，平面的法向量為 n ，且 l，若 a / n 即 an 則 a.3.證明面面垂直平面的法向量為 n1 ，平面的法向量為 n2 ，若 n1n2 即 n1n20則.學(xué)習(xí)好資料歡迎下載四、夾角1求線線夾角設(shè) a(a1, a2 ,a3 ) ， b(b1 ,b2 , b3 ) ，(0 ,90 為一面直線所成角，則：a b| a | | b | cos a,b ；cosa ba1b1a2 b2a3b3a, ba12

14、a22a32 b12b22| a | |b |2求線面夾角如圖，已知 PA 為平面的一條斜線， n 為平面結(jié) OA則PAO 為斜線 PA 和平面所成的角，記為； cos| cosa, b| .b32的一個法向量，過 P 作平面 的垂線 PO ，連易得sin|sin(OP, AP) | cosOP, AP |2| cos n, AP | | cos n, PA| nPA |.nP| n | PA |3求面面夾角O設(shè) n1 、 n2 分別是二面角兩個半平面、 的法向量，A當(dāng)法向量 n1 、 n2同時指向二面角內(nèi)或二面角外時，二面角的大小為n1, n2 ；當(dāng)法向量 n1 、 n2 一個指向二面角內(nèi)，

15、另一外指向二面角外時，二面角的大小為n1 , n2.五、距離1求點(diǎn)點(diǎn)距離設(shè) A(x1 , y1 , z1) ， B(x2 , y2 , z2 ) ， dA,B( x2x1 )2( y2y1) 2( z2z1 )2|AB|AB AB( x2x )2( yy ) 2( z2z ) 212112求點(diǎn)面距離如圖， A 為平面任一點(diǎn)，已知PA 為平面的一條斜線，n 為平面的一個法向量，過P 作平面的垂線 PO ，連結(jié) OA 則PAO 為斜線 PA 和平面所成的角，記為易得|PO| PA | sin| PA | | cosPA, n | | PA | PAn | PA n |.| n | n |PA |3求線線距離a 、b 的公垂線求異面直線間的距離可以利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算. 如圖，設(shè)兩條異面直線的方向向量為 n , 這時分別在 a 、 b 上任取 A 、 B 兩點(diǎn)，則向量在n 上的正射影長就是兩條異面直線a 、b 的距離 . 即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向