第1章微分方程和差分方程

1、第一章 線性微分方程 在講這部分之前，我們先來看一個非常熟悉的物理問題。一個一維粒子，初始時刻處于點 x x0 ，初始速度為 v0 ，受到阻尼作用，求該粒子的運動軌跡。解：用 x(t )表示粒子在任意時刻 t 的位置，根據(jù)牛頓第二定律 F ma，有 mx F 對于阻尼作用 F kx ，于是，粒子的運動方程mx kx 這是關(guān)于時間 t 的常微分方程，非常簡單。求解得 kmtx(t) c1 c2e m結(jié)合初始條件 x(0) x0， x(0) v0 ，則c1 x0 mkv0， c2mkv0kk代入得粒子的運動軌跡這就是這門課程的第二部分 種方法來求解方程。0ktx(t) x00(1 em )k數(shù)學(xué)物

2、理方程所要討論的內(nèi)容：mv0將物理問題表述成數(shù)學(xué)方程，然后用各1.1 常系數(shù)齊次線性微分方程方程的階：微分方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。線性方程：微分方程中對于未知函數(shù)及其所有導(dǎo)數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上就稱為 非線性方程。齊次方程：微分方程不含有不包含未知函數(shù)的項。2 2 2例如 u = 4 uxx; 二階線性， x2u = uxx; 二階線性， (ux)2 + u2 = 1; 一階非線性。 一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程求解二階線性微分方程y P(x)y Q(x)y f (x)若 f(x) 0 為齊次， f (x) 0 為非齊次。方程y py qy 0 稱為二階常系數(shù)齊次線

3、性微分方程其中 p、q 均為常數(shù)。能否適當選取 r 使 y erx 滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程 為此將 y erx 代入方程y py qy 0得2 rx (r pr q)e 0 由此可見 只要 r 滿足代數(shù)方程 r2 pr q 0 函數(shù) y erx 就是微分方程的解。特征方程：方程 r2 pr q 0 叫做微分方程 y py qy 0 的特征方程。特征方程的兩個根r1、r2 為r1,2pp2 4q2特征方程的根與通解：(1) 特征方程的實根 r1、 r2不相等時 函數(shù) y1 er1x、 y2 er2x 是方程的兩個線性無關(guān)的解，方程的通解為r xr xy c1e 1 c2e 2(2) 特征

4、方程的實根 r1 r2 時 函數(shù) y1 er1x、 y2 xer1x 是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的解，方程的通解為y (c1 c2 x)er1x(3) 特征方程有一對共軛復(fù)根 r1, 2 i 時 函數(shù) y e( i )x、y e( i )x 是微分方程的兩個線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形 式的解。函數(shù) y e xcos x、 y e xsin x 是微分方程的兩個線性無關(guān)的實數(shù)形式的解，方程的通解為y e x(c1cos x c2sin x )例1 求微分方程 y 2y 3y 0的通解。例2 求方程 y 2y y 0滿足初始條件 y|x0 4、y|x0 2的特解。例 3 求微分方程 y 2y

5、 5y 0 的通解。二、線性微分方程的解的疊加y P(x)y Q(x)y 0 (1)定理 1 如果函數(shù) y1(x)和 y2(x)是方程 (1)的兩個解，那么它們的線性疊加y c1y1(x) c2y2 (x)也是方程的解，其中 c1和 c2是任意常數(shù)。定理 2 如果函數(shù) y1(x)和 y2(x)是方程 (1)的兩個線性無關(guān)的特解，那么它們的線性疊加y c1y1(x) c2y2 (x)是方程的通解。 推論 如果函數(shù) y1(x), y2(x), y,n (x) 是 n階線性齊次方程y(n) p1(x)y(n 1)pn(x)y 0的 n 個線性無關(guān)的解，則y c1y1(x) c2y2(x)cnyn (

6、x)是方程的通解，其中 c1, c2, c, n為 n個任意常數(shù)。y P(x)y Q(x)y f (x) (2)定理 3 如果 y* (x) 二階非齊次線性方程 ( 2)的一個特解， y1(x)和 y2(x)是對應(yīng)齊次方程 (1)的兩個線性無關(guān)的 特解，那么它們的線性疊加y c1 y1( x) c2y2 (x) y*(x)是方程 (2)的通解。定理 4 如果 y1*(x)和 y2*(x) 分別是二階非齊次線性方程y P(x)y Q(x)y f1(x)， y P(x)y Q(x)y f2(x)的特解，那么 y1*(x) y2*(x) 是方程y P(x)y Q(x)y f1(x) f2(x) 的特

7、解。1.2 常系數(shù)非齊次線性微分方程二階非齊次方程y py qy f (x)一、待定系數(shù)法對于特殊類型的 f(x)，可寫出特解 y*(x)的待定表達式：f(x)類型特解 y*( x)的待定表達式x aeAexacos x + bsin xAcos x + Bsin xk k -1a1x + a2x+ . + akx + ak +1kk- 1A1x + A2x+ . + Akx + Ak +1e x (acos x + bsin x)e x (Acos x + Bsin x)x k k -1e (a1x + a2x+ . + akx + ak +1)e x(A1xk + A2xk - 1 + .

8、 + Akx + Ak +1)如果 , i, 0, i, 是特征方程的 r 重根，則在表達式上再乘以 xr。例 1 求微分方程 y 2y 3y 3x 1 的一個特解。 y* x 13例2 求微分方程 y 5y 6y xe2x的通解。 y C1e2x C2e3x 12(x2 2x)e2x 、常數(shù)變易法一階非齊次線性微分方程y py Q(x) 相應(yīng)齊次方程的通解是y0 (x) C0e px 設(shè)非齊次方程有一個特解y(x) c0( x) y0 (x)由于y (x) c0(x)y0(x) c0(x)y0(x)，代入非齊次方程，可得 c0(x)y0(x) Q(x)，解得c0 (x) Q(x)epxdx

9、C0 因此，常數(shù)變易法得非齊次方程的通解為y(x) e px Q(x)epxdx C0 類似的方法考察二階非齊次方程y py qy f (x) 相應(yīng)齊次方程的通解為y(x) c1y1(x) c2 y2(x) 設(shè)非齊次方程有一個特解y(x) c1( x) y1(x) c2 (x) y2 (x)由于y (x) c1(x)y1(x) c2(x)y2(x) c1(x)y1(x) c2(x)y2(x) ，若附加條件 c1(x)y1(x) c2(x)y2(x) 0，則y (x) c1(x)y1(x) c2(x)y2(x)y (x) c1(x)y1(x) c2(x)y2(x)c1(x)y1(x) c2 (x

10、) y2 ( x) c1(x)y1(x) c2(x)y2(x)代入非齊次方程，可得 c1(x)y1(x) c2(x)y2(x) f (x)所以，系數(shù) c1(x), c2(x)滿足方程組：c1 (x) y1( x) c2(x)y2(x) 0c1( x) y1 (x) c2(x)y2(x) f(x)例 二階線性微分方程T2T f (t)齊次方程的通解T(t) C1cos t C2 sin t常數(shù)變易法設(shè)特解為T(t) C1(t )cos t C2 (t)sin t其中 C1(t)和 C2(t)滿足C1(t) cos t C2 (t)sin t 0C1(t)sin t C2(t)cos t f (t

11、)解得C1(t)1t0 f ( )sin d T(0)1f ( )cos d T (0)T(t) cos t 1 f ( )sin d T(0) sin t 11 f ( )cos d1T (0)01 t 1f ( )sin (t )d T (0)cos t T (0)sin t01.3 變系數(shù)線性微分方程一、歐拉型常微分方程 形如2 ax y bxy cy f (x) 的方程叫歐拉方程。 下面是一個后面課程會遇到的一個歐拉型方程的求解。2RR m2R 0作變量代換et， t ln ，則2d2 R d (dR) d (dR 1) d 2 d (d ) d (dt )dR dR dt dR 1，

12、即 dR dR ddt ddt ddt21 dR 1 d dR 1 dR 1 d2R ()2 dt d ( dt ) 2 dt 2 dt 2即2 d2R d2R dRd 2 dt2 dt2 2 22dd2R2ddRm2RddRtdd2tR2ddRtm2Rdd2tR2m2R0例 1. 求歐拉型方程 d r 2 dR l(l 1)R 0 的通解。dr dr答案：通解為 R(r) Crl Dr (l 1) 。二 、常點鄰域上的級數(shù)解法 (證明見李政道物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法 P280-284) 不失一般性，討論復(fù)變函數(shù) w(z)的線性二階常微分方程d2wdw2 p(z) q(z)w 0 dzdzw(z0)

13、 C0, w (z0) C1,顯然，方程的性質(zhì)由函數(shù) p(z) 和 q(z)所確定。 定義：如果在點 z = z0處，函數(shù) p(z)和 q(z)解析，則 z = z0稱為方程的常點，否則， z = z0稱為奇點。定理：若 z0 為方程的常點，則在 z0 的鄰域內(nèi)存在滿足初始條件的唯一解析解w(z)。級數(shù)解法： 基于以上定理， 方程的解 w(z)在點 z0的鄰域內(nèi)解析， 則可表示成泰勒級數(shù)形式：w(z)ak(z z0)kk0其中， a0, a1, a2, . , ak , .是待定系數(shù)。只要能夠確定這些系數(shù)，也就得到了方程的解。由于函數(shù)p(z)和q(z)都是解析函數(shù)，因此也可以表示成泰勒級數(shù)：p

14、(z)pl(z z0)l ， q(z)ql(z z0)ll 0 l0再將 w(z) 、p(z)和 q(z)的泰勒級數(shù)形式代入方程和初始條件，并要求等式兩邊同冪次項的系數(shù)相等，就 可以確定待定系數(shù) a0, a1, a2, . , ak , .。對于實變函數(shù) y(x)的線性二階常微分方程y p(x)y q(x)y 0y(x0) = C0, y'(x0) = C1,該定理完全成立， 從而可以應(yīng)用級數(shù)解法。 這是因為只要將實變函數(shù) p(x)和 q(x)在復(fù)平面上進行解析延拓， 得到 p(z)和 q(z) ， 相應(yīng)的解 w(z)在實軸上的值 w(x)就是原方程的解。例 在 x0 0 的鄰域上求解

15、常微分方程 y2 y 0( 是常數(shù) ) 。解：顯然， x0 = 0 是方程的常點，應(yīng)用常點鄰域級數(shù)解法求解。設(shè)y(x)ak xkk0則y (x) k(k 1)akxk 2 (k 2)(k 1)ak 2 xkk2 k 0 代入方程，并合并同冪項，得(k 2)(k 1)ak 22ak xk 0k0 等式右邊為零，因此冪級數(shù)各項系數(shù)為零，即(k 2)(k 1)ak 22ak 0從而有如下遞推公式：(k 2)( k 1)aka22 2 124!2313224a5a3 a1543 5! 1是，( 1)k 2k(2k)!a0( 1)k 2ka2k 1 (2k 1)!方程的解 為2kya2k x2ka2k

16、1xk0k0k 2 k2k 1 a0 ( 1)x2k0 k 0 (2k)!k 2 k( 1) 2k 1a1a1xa0 cos x 1 sin xk0 (2k 1)!遞推得2a0 ，2 2 2( 1)2 ( 2)2a4a2a043上述解的收斂區(qū)域為 | x| 。一般的收斂區(qū)域判斷 補充：對于正項級數(shù)，通常用如下兩個方法比值判別法設(shè)正項級數(shù)uk ，若極限k1lkim uukk1，則當1時，級數(shù)收斂；當1時，級數(shù)發(fā)散。根值判別法設(shè)正項級數(shù)uk ，若極限k1則當1 時，級數(shù)收斂；當1時，級數(shù)發(fā)散。limak 1kaklimkak (x x0 )ak 1 (x x0 )k 1kx x0，則當 1 時，級

17、數(shù)收斂；當1時，級數(shù)發(fā)散。引入記號 R，若milk aakk1R存在，則當應(yīng)用正項級數(shù)收斂判別法，可得到如下冪級數(shù)收斂范圍： 比值判別法 根據(jù)正項級數(shù)收斂的比值判別法，若極限x x0limakkak 1R 根式判別法若極限 lkim k ak (x x0)k lkim k ak x x0 1 ，則收斂。若lkim 1R 存在，則當k k ak存在，則當xx0lkimk 1ak例 1 在x0 0的鄰域上求解常微分方程 y2y 0( 是常數(shù) )。方程的解 為2k 2k 1 ya2k xa2k 1xk 0 k 0a0k0k 2k ( 1)k 2k (2k)!x2k a1 ( 1)k 2kx2k 11

18、k 0 (2k 1)!k 2k( 1)k 2k 2k y0(x) a0x0 0 k 0 (2k)!k 2ky1(x) a1k 0(21k) 1)! x2k 1對于y0 ( x)應(yīng)用比值判別法，得收斂區(qū)域為aklim (2k 2)!|x2 | limk ak 1 k (2k)!lim(2 k 2)(2k 1) 。 k對于 y1(x) 應(yīng)用比值判別法，得收斂區(qū)域為| x2 | lim aklim (2k 3)! lim(2k ak 1 k (2k 1)! kk 3)(2k 2)例 2 在 x0 0 的鄰域上求解 y xy 0 。答案： y a0y0 (x) a1y1(x)y0(x)k0(3k 2)

19、!(3k)!3ky1(x) k 0 (33kk 11)!x3k1。收斂無限大。作業(yè)：1. 求歐拉方程 x2y 3xy y 0 的通解。答案： y C1 C2 ln x x2. 用常數(shù)變易法求方程 x2y xy y 2ln x的通解。答案： y (C1 C2ln x)x 4 2ln x。3. 用冪級數(shù)法求方程 y xy y 0 的通解。答案：y a0ex/2a1( 1)k x2k 1。1k 0 (2k 1)!1.4 二階常系數(shù)線性差分方程 一、齊次差分方程方程： yx 2 pyx1 qyx f(x) (p ,q是常數(shù) ).若 f(x) 0 為齊次， f (x) 0 為非齊次。 對于齊次方程的通解

20、，與微分方程類似地有： 定理 方程 yx 2 pyx 1 qyx 0的解為 yx rx，其中 r 滿足特征方程 r2 pr q 0。(1)特征方程的實根 r1、r2 不相等時，方程的通解為 yx C1r1x C2r2x(2) 特征方程的實根 r1 r2時，方程的通解為 yx (C1 C2x)r x(3) 特征方程有一對共軛復(fù)根 r1, 2 i 時 記 i e i ， 2 2 ， arctan ，即方程 的解為 yx e ixe i x ，則方程的通解為 yxx (C1 cos( x) C2 sin( x) 。例 1 求 yx 2 4yx 1 3yx 0 的通解 .解 其特征方程 r 2 4r

21、3 0, 有根 -1, -3 . 原方程有通解yx C1( 1)x C2( 3)x ( C1 , C 2是任意常數(shù) )例 2 求 yx 2 4yx 0的通解 .2解 其特征方程 r 4 0, 有根 -2i, 2i .2 ，則原方程有通解2x x xyx 2 (C1 cos( ) C2 sin( ), (C1,C2 是任意常數(shù) ).例 3 求差分方程 3yx 1 2yx 0 的通解 .2x解 其通解為 yx C(C 為任意常數(shù) ).、非齊次差分方程對于非齊次方程的通解，與微分方程類似地，可以用待定系數(shù)法求解。f(x)類型特解 y*( x)的待定表達式axAxk k -1a1x + a2x+ .

22、+ akx + ak +1kk- 1A1x + A2x+ . + Akx + Ak +1x (a1xk + a2xk- 1 + . + akx + ak +1)(A1x + A2x + . + Akx + Ak +1)如果 , 1是特征方程的 r 重根，則在表達式上再乘以 xr。 例4 求yx2 4yx 2的通解.解 前例已知其齊次的通解 , 故只需求一個特解 .2令 yx b0 ,代入的 b0,所以它的通解為5x x x 2 yx 2x (C1 cos( ) C2 sin( ), ( C1 ,C 2是任意常數(shù) ).2 2 5例5 求yx 2 4yx 2x的通解.x x 2 x x 1解 令y

23、 b2x, b2x 2 4b2x 2x, 所以b , 所以其通解8x x x 1yx 2x (C1 cos( ) C2 sin( ) ), (C1,C2是任意常數(shù) ).x 1 2 2 2 8x例 6 求 yx 1 3yx 2x 的通解 .解 顯然其齊次方程的通解為 yx C 3x(C 為任意常數(shù) ).設(shè)其特解為 yx b 2x, 所以有 b 2x1 3b 2x 2x, 從而得b 1.因此 ,原方程的通解為 yx C 3x 2x .例 7 求 yx 1 yx 3 2x 的通解 .解 其齊次方程的通解為 yx C (C 為任意常數(shù) ).設(shè)其特解為 yx x(Ax B), 所以有 (x 1)( A(

24、 x 1) B) x(Ax B) 3 2x, 從而得 A 1，B 2 因此 ,原方程的通解為 yx x2 2x C .三、差分方程的應(yīng)用例8 某家庭從現(xiàn)在著手從每月工資中拿出一部分資金存入銀行，用于投資子女的教育。 并計劃 20 年后開始從投資帳戶中每月支取 1000 元，直到 10 年后子女大學(xué)畢業(yè)用完全部資金。要實現(xiàn)這個投資目標， 20 年內(nèi) 共要籌措多少資金？每月要向銀行存入多少錢？假設(shè)投資的月利率為0.5%。解：設(shè)第n個月投資帳戶資金為 Sn元，每月存入資金為 a元。于是，20 年后關(guān)于 Sn的差分方程模型為Sn+1 = 1.005Sn - 1 000并且S120 = 0, S0 =

25、x。解得 x= 90 073.45。 從現(xiàn)在到 20年內(nèi)， Sn滿足的差分方程為Sn+1 = 1.005Sn + a且S0 = 0, S240 = 90 073.45。解得 a = 194.95。例9 動態(tài)供需均衡模型 (蛛網(wǎng)定理) 設(shè)Dt表示 t期的需求量 ,St表示 t期的供給量 ,Pt表示商品 t期價格,則傳統(tǒng)的動態(tài)供需均衡模型為：Dt a bPt ,(1)St a1 b1Pt 1, (2)Dt St,(3)其中 a,b,a1,b1 均為已知常數(shù)。 (1)式表示 t期(現(xiàn)期)需求依賴于同期價格； (2)式表示 t 期(現(xiàn)期)供給依賴于 (t-1) 期(前期)價格； (3)式為供需均衡條件。解：若在供需平衡的條件下，而且價格保持不變，即Pt Pt 1 Pe 。靜態(tài)均衡價格 Pe a a1 。動態(tài)供 b1 b需均衡模型的等價差分方程Pt bb1 Pta a1b齊次方程通解PtAbb1，非齊次方程特解Ptab1ab1Pe，方程的通解為PtAbb1Pe 。若初始價格 P0 已知時，將其代入通解可求得任意常數(shù)A P0 Pe ，則通解為Pt (P0 Pe) b1t 0 e bPe價格將固定為常數(shù)值 Pe ，即靜態(tài)均衡。如果初始價格 P0 Pe，那么