第7講分式方程和無理方程的解法

1、第七講 分式方程和無理方程的解法初中大家已經(jīng)學習了可化為一元一次方程的分式方程的解法 本講將要學習可化為一元(1)不超過三個分式構(gòu)成次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法并且只要求掌握 的分式方程的解法， 會用”去分母”或”換元法”求方程的根， 并會驗根； (2)了解無理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法，會用 ”平方”或”換元法 ”求根，并會驗根、可化為一元二次方程的分式方程1去分母化分式方程為一元二次方程例 1】 解方程1x24x 2x2 4 x 21分析： 去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程解： 原方程可化為：1 4xx 2 (x 2)(x 2)2x22方程兩邊各項都乘以 x2 4

2、：(x 2) 4x 2(x 2) x2 422即 3x 6 x2 4 ， 整理得： x2 3x 2 0 解得： x 1或 x 2 把 x 2 代入 x24，等于 0，所以 x 2 是增根所以，原方程的解是 x1說明：(1) 去分母解分式方程的步驟：把各分式的分母因式分解；在方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母；去括號，把所有項都移到左邊，合并同類項；解一元二次方程； 驗根檢驗：把 x 1代入 x24 ，不等于 0，所以 x 1 是原方程的解；(2) 驗根的基本方法是代入原方程進行檢驗，但代入原方程計算量較大而分式方程可能產(chǎn)生的增根， 就是使分式方程的分母為 0 的根 因此我們只要檢驗一元二次方程的

3、根， 是 否使分式方程兩邊同乘的各分式的最簡公分母為0若為 0，即為增根；若不為 0，即為原方程的解2用換元法化分式方程為一元二次方程3x2 4x12x2例 2】解方程 ( )2x1分析： 本題若直接去分母，會得到一個四次方程， 解方程很困難但注意到方程的結(jié)構(gòu)2特點，設(shè) xy ，即得到一個關(guān)于 y 的一元二次方程最后在已知 y 的值的情況下，用x1去分母的方法解方程2x yx12x解：設(shè)xy ，則原方程可化為：2y2 3y40解得1(1)當24 時， x4 ，去分母，x1得 x24(x 1)x24x 4(2)當21時， xx 1 10x檢驗：把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為015所以，

4、 x 2， x都是原方程的解2說明：用換元法解分式方程常見的錯誤是只求出 y 的值， 的值而沒有求到原方程的解， 即 x例 3】 解方程8(x2 2x)x2 13(x2 1)x2 2x11分析： 注意觀察方程特點，可以看到分式2x 2x2與x12x2x11 互為倒數(shù)因此，可以設(shè)2xx2 2xx2 1y ，即可將原方程化為一個較為簡單的分式方程解：2設(shè) x22x22x1y，x2 1x2 2x原方程可化為： 8y 3 11y28y2 11y 3 01或y(1) 當 y 1時，2 x2x12x2 2x2x 1 x1；22 x13(2) 當 y時，2x22x38x2 16x223x2 35x216x

5、3 0 x 3或 x18x185檢驗：把把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為011所以，原方程的解是 x， x 3 ， x 25說明： 解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程， 體現(xiàn)了化歸思想、可化為一元二次方程的無理方程根號下含有未知數(shù)的方程，叫做無理方程1平方法解無理方程【例 4】 解方程 x 7 x 1 分析： 移項、平方，轉(zhuǎn)化為有理方程求解解： 移項得： x 7 x 1兩邊平方得： x 7x2 2x 1移項，合并同類項得：x2 x 6 0解得： x 3 或 x2檢驗：把 x 3 代入原方程，左邊右邊，所以 x 3 是增根把 x 2 代入原方程，左邊 =

6、 右邊，所以 x 2 是原方程的根所以，原方程的解是x 2 說明： 含未知數(shù)的二次根式恰有一個的無理方程的一般步驟：移項， 使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式， 其余各項均移到方程的右邊； 兩 邊同時平方，得到一個整式方程；解整式方程；驗根【例 5】 解方程 3x 2 x 3 3分析： 直接平方將很困難 可以把一個根式移右邊再平方， 這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模 式，再用例 4 的方法解方程解： 原方程可化為： 3x 2 3 x 3兩邊平方得：3x2 9 6 x 3x3整理得： 6 x 314 2x 3 x37x兩邊平方得：9(x3) 49 14x2 x整理得2：x23x22 0 ，解得：x1或

7、x 22 檢驗：把x1代入原方程，左邊 =右邊，所以x 1 是原方程的根把x22代入原方程，左邊右邊，所以 x 22 是增根所以，原方程的解是x 1 說明：含未知數(shù)的二次根式恰有兩個的無理方程的一般步驟：移項， 使方程的左邊只保留一個含未知數(shù)的二次根式； 兩邊平方， 得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個的無理方程；一下步驟同例4 的說明2換元法解無理方程【例 6】 解方程 3x2 15x 2 x2 5x 1 2分析： 本題若直接平方， 會得到一個一元四次方程，難度較大 注意觀察方程中含未知 數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：3x2 15x 3 3(x2 5x 1) 因此，可以設(shè) x2 5x

8、1 y ，這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于 y 的一元二次方程處理解： 設(shè) x25x 1 y ，則 x25x221 y 3x15x3(y21)原方程可化為： 3(y21)2y2，即3y22y 5 0 ，解得：y1或 y5 3(1)當 y1時， x25 時，因為35x11x2 5x 0x1或x0；(2)當 yx25x1 y 0 ，所以方程無解檢驗：把 x 1,x 0分別代入原方程，都適合所以，原方程的解是 x 1,x 0 說明： 解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程，體 現(xiàn)了化歸思想A 組1解下列方程：(1)2x 1(x 1)(x 2)x5(x 2)(x 3)x22x2

9、 11x 21x72x2 12x 35(3)2y2 4y2(4)15 2x2 4 2 x242用換元法解方程： x22 4x3解下列方程：(1) x 2 x (2) x 5 x 7 (3) x 3 2 x4解下列方程：(1) 3x 1 x 4 1 5用換元法解下列方程：(1) x 12 x 0(2) 2x 4 x 5 122(2) x2 3x x2 3x 6B 組 1解下列方程：2x 5 4 1(1) 2 2x2 3x 2 x2 4 x 21 x 1 1(3) 2x 7 (2x 1)(x 7) 2x2 3x 1x 4 1 x 6(2) x2 x 2 x 1 x2 4x 1 2xx 1 x 14

10、xx2 12用換元法解下列方程：(1)x2 5xx124(x 1) 14x(x 5)(2)2(x2 1) 6(x 1)2x 1 x 1x4 2x2 1 x2 1(3) 2 xx3若 x 1是方程4的解，試求 a 的值解下列方程：32(1) 22x2 4x 1x2 2x 3 解下列方程：(1) x2x2 1 3(3) 2x2 4x 3 x2 2x 6 15(2)3xxa6x2a2x2axxa(2) x 106x 10451234512345第七講 分式方程和無理方程的解法答案A 組(1)x1 ,(2) x1,x21,(3) y0,y 1,(4) x3,x 5x2(1)x1,(2) x 6,(3) x532(1) x5