第十二章電磁感應(yīng)和麥克斯韋電磁理論

1、第十二章 電磁感應(yīng)和麥克斯韋電磁理論12-1 將一條形磁鐵插入一閉合線圈，線圈中將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。問在磁鐵與線圈相對(duì)位置相同的情況下， 迅速插入和緩慢插入線圈中所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是否相同感應(yīng)電流是否相同因電磁感應(yīng)所產(chǎn)生的總電量 是否相同答：迅速插入在線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大， 緩慢插入線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)小。 感應(yīng)電流也不相同 (因 為 I= )，但電磁感應(yīng)所產(chǎn)生的總電量是相同的。R1 d 1(因?yàn)?q Idt dt dt ， 相同，所以 q 相同)R R dt R12-2 一閉合圓形線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，在下列情況下是否會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流為什么(1) 線圈沿磁場(chǎng)方向平移；(2) 線圈沿垂直于磁

2、場(chǎng)方向平移；(3) 線圈以自身的直徑為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸與磁場(chǎng)方向平行； (4) 線圈以自身的直徑為軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 軸與磁場(chǎng)方向垂直。解： 由1)dIdt R 因?yàn)?ddt1dR dt0 ，所以沒有電流產(chǎn)生2)ddt也沒有電流產(chǎn)生3)d 0 沒有電流產(chǎn)生dt4)ddt若轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，則 ddtR2sin ( 為線圈平臺(tái)與之間的夾角)12-3在一環(huán)狀鐵芯上繞有兩組線圈1 和 2，如題圖所示，這樣就構(gòu)成了一個(gè)變壓器。當(dāng)在線圈1 中所通電2 中的感應(yīng)電流的方向。B流 I 增大或減小時(shí)，在線圈 2 中都要感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。判斷在這兩種情況下，線圈答：( 1)當(dāng) I 增大，增大，由楞次定律， I 產(chǎn)生的磁場(chǎng)應(yīng)阻礙變化，所

3、以 I感 的方向如圖所示(從 B端流出)( 2)當(dāng) I 減小時(shí)， 減小，由楞次定律產(chǎn)生的磁場(chǎng)應(yīng)阻礙變化所以 I感 的方向從 A 端流出。12-4 將一條形磁鐵插入電介質(zhì)環(huán)中，環(huán)內(nèi)會(huì)不會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)會(huì)不會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流環(huán)內(nèi)還會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象 答： 不會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，但會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)(很小) 。環(huán)內(nèi)還會(huì)產(chǎn)生極化現(xiàn)象，因?yàn)樽兓拇艌?chǎng)能產(chǎn)生 電場(chǎng)，因此會(huì)使電解質(zhì)極化。12-5 讓一塊條形磁鐵順著一根很長(zhǎng)的豎直銅管下落，若忽略空氣阻力，磁鐵將作何種運(yùn)動(dòng)答： 條形磁鐵順著一根很長(zhǎng)得豎直鋼管下落，開始時(shí)加速度為g，由于條形磁鐵運(yùn)動(dòng)。穿過鋼管的磁通量會(huì)發(fā)生變化。由楞次定律知鋼管中的感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)將阻礙此磁

4、通量的變化。即阻礙磁鐵下落。故隨著磁鐵下落，磁鐵的加速度將減少。最后加速度為零。(受力平衡) 。磁鐵勻速度向下運(yùn)動(dòng)。11-6 用題圖中的裝置可以觀察電磁感應(yīng)現(xiàn)象。導(dǎo)體環(huán)A 是閉合的，而導(dǎo)體環(huán) B 有一缺口，兩環(huán)用細(xì)桿連接，用豎直頂針支其中心點(diǎn) O，使兩環(huán)可繞點(diǎn) O在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。 當(dāng)用磁性很強(qiáng)的條形磁鐵插入環(huán) A 時(shí)，發(fā)現(xiàn)環(huán)向后退， 而插入環(huán) B時(shí)， 環(huán)不動(dòng)。試解釋所觀察到的現(xiàn)象。答： A 環(huán)閉合，當(dāng)條形磁鐵插入時(shí)，會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，而感應(yīng)電流產(chǎn)生 的磁場(chǎng)會(huì)阻礙閉合回路中磁場(chǎng)的變化。因此環(huán)會(huì)向后退。B 環(huán)不閉合，當(dāng)條形磁鐵插入時(shí)，會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，但不會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，因此 環(huán)不動(dòng)。11-7

5、在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B = T 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一長(zhǎng)度為 l = m 的導(dǎo)體棒垂直于磁場(chǎng)方向放置，如 圖 11-11 所示。 如果讓此導(dǎo)體棒以既垂直于自身的長(zhǎng)度又垂直于磁場(chǎng)的速度v 向右運(yùn)動(dòng)， 則在導(dǎo)體棒中將產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。若棒的運(yùn)動(dòng)速率 v = m s 1 ，試求：(1) 導(dǎo)體棒內(nèi)的非靜電性電場(chǎng) K；(2)導(dǎo)體棒內(nèi)的靜電場(chǎng) E；(3) 導(dǎo)體棒內(nèi)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) e 的大小和方向；(4) 導(dǎo)體棒兩端的電勢(shì)差。已知： B 0.50Tl 1.5mv 4.0m suur ur求：K ,E, ,u uruur f1) Kr ur解：(vBe2)ur uurE 的方向與 K 方向相反，ur uurEK大小為

6、 2.0V m 13)uur rK dl K l 2.01.5 3.0 V方向由下向上K 4.0 0.50 2.0 N c方向如圖4) u3.0 V 上端為高電勢(shì) 下端為低電勢(shì)11-8 如圖所表示，處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的導(dǎo)體回路ABCD，其邊 AB可以滑動(dòng)。若磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B= T ，電阻為 R =， AB邊長(zhǎng)為 l = m ，AB邊向右平移的速率為 v = 4 m s 1 ，求：(1) 作用于 AB邊上的外力； (2) 外力所消耗的功率； (3) 感應(yīng)電流消耗在電阻 R 上的功率。已知： 如圖： B 0.5T R 0.20.5m4m求： F外 P外 PR解：由安培定律：F外 =BILvB L(

7、Q B RvL)BLdxdt(BL)2R(0.5 0.5) 2 40.2 41.251.254 5(PR I 2R(BLR )2 R B2LR2 2 5RR11-9 有一半徑為 r 的金屬圓環(huán)，電阻為 R，置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。初始時(shí)刻環(huán)面與B垂直，后將圓環(huán)以勻角速度繞通過環(huán)心并處于環(huán)面內(nèi)的軸線旋轉(zhuǎn)/ 2 。求：(1) 在旋轉(zhuǎn)過程中環(huán)內(nèi)通過的電量； (2) 環(huán)中的電流； (3) 外力所作的功。解：如圖所示2BS cos = r Bcosddtr 2Bsinr2Bsinr 2Bsin tIdt2 r2Bsin d0r2BcosR02 = rR2BdA2I 2Rdt2dtRdtR2r 4

8、B22 sin 2tdt2 4 22r 4B2 2 1 cos202dr 2Bsin t w2 4 2r B 2 22 sin0dt2 4 22r4B21 sin222 4 22r 4B24R12-10一螺繞環(huán)的平均半徑為 r = 10 cm ，截面積為cm 2 ，環(huán)上均勻地繞有兩個(gè)線圈，它們的總匝數(shù)分別為N1 = 1000 匝 和 N2 = 500 匝。求兩個(gè)線圈的互感。已知：2r 10cm s 0.5cm2 N1 1000 匝 N2500 匝求： M12 M 21解：若在線圈 1中通以電流 I 1 ，則在線圈中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 : B 0N1I該磁場(chǎng)在線圈 2中產(chǎn)生的磁場(chǎng)通量為N2BS

9、N2 0 N1IS0 N1N2 IS所以，兩線圈的互感為 M N2 BS N2 0 N1N2 S0 N1N2 Sl 2 r7 1000 500 4 4故： M 4 10 7 2 5.0 10 4 5.0 10 4 H2 10 10 212-11 在長(zhǎng)為 60 cm 、半徑為 cm 的圓紙筒上繞多少匝線圈才能得到自感為10 3 H的線圈已知： L 6.0 10 3H l 60cm 0.60m r 2.0cm 2.0 10 2m求： N解： 在長(zhǎng)直螺線圈管內(nèi)部的磁場(chǎng)可認(rèn)為是均勻的，并可以使用無限長(zhǎng)螺線管內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度公式：BHNIl通過每匝的磁通量為：BS N IS總磁通量為： NN2ISN2SL1

10、2-121.5103匝10 4 m2 ，線圈匝數(shù)為 N = 1500 匝，求螺繞已知：r21.2 10 2m s5.6 10 4m2N1500匝求：LN2N2410 71500245.6 10 2解：Lss2 2.1 10 2 Hl2r21.210 2環(huán)的自感。12-13 若兩組線圈繞在同一圓柱上，其中任一線圈產(chǎn)生的磁感應(yīng)線全部并均等地通過另一線圈的每一匝。兩線圈的自感分別為 L1 和 L2 ，證明兩線圈的互感可以表示為： ML1L2證： Q 1L1I1B1S12L2I2B2S2而： 12=M 12I1 B2S1 ；21M 21I2 B1S2M 12B2S1B2S1 L1B2L1；MB1S22

11、1B1S2 LB1 L2I1B1S1B1 1I2B2S2B2 2Q M 12M 21MM2M12M 21 B2L1 B1 L2L1 L221 B11 B2 2故： ML1L2證畢I ，導(dǎo)線材料的磁導(dǎo)率為，證12-14 一無限長(zhǎng)直導(dǎo)線，其圓形橫截面上電流密度均勻。若通過的電流為明每單位長(zhǎng)度導(dǎo)線內(nèi)所儲(chǔ)存的磁能為：wm證： JR2設(shè)：圓形截石的半徑為 R)I216由安培環(huán)路定理：HdllI r2R2IrR21wm 12HBIr2 R2I2r28 2R4故 Wm 1wm2 r drI82 2R24 0Rr 3dr8 2R4 0I24 R41 R4I24 16證畢12-15 一銅片放于磁場(chǎng)中，若將銅片從

12、磁場(chǎng)中拉出或?qū)~片向磁場(chǎng)中推進(jìn)，銅片將受到一種阻力的作用。 試解釋這種阻力的來源。答： 銅片進(jìn)出磁場(chǎng)時(shí)，穿過銅片的磁通量將發(fā)生變化，由電磁感應(yīng)定律知，將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，又銅片是 良導(dǎo)體，因此在銅片中將產(chǎn)生渦旋電流，渦旋電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)將阻礙穿過銅片的磁通量的變化，即阻礙銅 片運(yùn)動(dòng)。12-16 概述超導(dǎo)體的主要電磁特性。答：（ 1）零電阻性，電阻為零的現(xiàn)象稱為超導(dǎo)電性，出現(xiàn)超導(dǎo)電現(xiàn)象的溫度稱為轉(zhuǎn)變溫度或臨界溫度，常用 TC 表示。處于 TC以上為正常態(tài) , 處于 TC以下為超導(dǎo)態(tài)。使有電流，理想超導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)也等于零。 在超導(dǎo)體內(nèi)部不可能存在隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)。 （ 2）臨界磁場(chǎng)，當(dāng)把超導(dǎo)體放于磁

13、場(chǎng)中，保持溫度不變，而 逐漸增大磁場(chǎng)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到某特定值時(shí)，超導(dǎo)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)檎B(tài)。磁感應(yīng)強(qiáng)度的這一特定值稱為臨界 磁場(chǎng)，用 BC表示。（ 3）邁斯納效應(yīng)，無論是將超導(dǎo)體放置于磁場(chǎng)中并仍保持超導(dǎo)態(tài)，還是在磁場(chǎng)中將物體 由正常態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑢?dǎo)態(tài)，超導(dǎo)體都將把磁感應(yīng)線完全排斥到體外去 , 這種現(xiàn)象稱為邁斯納 1882-1974） 效 應(yīng)，或稱完全抗磁性。 （ 4）同位素效應(yīng)，同一種超導(dǎo)材料的不同同位素的臨界溫度TC與同位素的原子量 M1有如下關(guān)系： TC M 212-17 什么是位移電流試比較它與傳導(dǎo)電流的相似和差異之處。答：麥克斯韋根據(jù)高斯定理、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理、磁場(chǎng)高斯定理和安培環(huán)路定理所得到的

14、反映電磁場(chǎng)基本規(guī)律的四個(gè)方程式，存在嚴(yán)重的不對(duì)稱性，在解決這種不對(duì)稱性的過程中提出了位移電流的新概念。麥克斯韋將穩(wěn)恒磁場(chǎng)中的安培環(huán)路定理：uur uur uur uur?LH gdlS j0gdSI 0 推廣到非靜情況，并引入urD， turuur Duur稱為位移電流密度， 而把 j0稱為全電流密度。 用全電流密度 j00t0D 取代傳導(dǎo)電流密度 ujur0，得到方uur uur uur 程： ?L HgdlS j0urD uurD gdS ，這就是適用于一般情況的安培環(huán)路定理。 t位移電流的確切涵義。將定義式 D =e0E+P 代入位移電流密度的表達(dá)式，得uurjdurDtururEP，0

15、tt，P此式右邊第二項(xiàng) P 是介質(zhì)的極化狀況隨時(shí)間變化所提供的位移電流 t, 因?yàn)榻橘|(zhì)的極化狀況是與極化電荷相對(duì)應(yīng)的，所以這是極化電荷的變化引起的電流。右邊第一項(xiàng)E0t是電場(chǎng)隨時(shí)間的變化所貢獻(xiàn)的位移ur0 E 成為位移電流的惟一成分。P電流，是位移電流的基本組成部分。因?yàn)樵谡婵罩蠵 = 0 ， P ，所以t可見，位移電流雖然也叫做電流 , 但并不一定與電荷的移動(dòng)相對(duì)應(yīng)。位移電流與傳導(dǎo)電流一樣都能激發(fā)磁場(chǎng)，但傳導(dǎo)電流的形成需要電荷的移動(dòng)產(chǎn)生，而位移電流則不一定與電荷移動(dòng)相對(duì)應(yīng)。并且位移電流可以在任意空間（包括真空）產(chǎn)生。dV12-18 證明平行板電容器中的位移電流可以表示為：Id CdV式中 C

16、是電容器的電容， V是兩極板間的d dt電勢(shì)差。如果不是平行板電容器，而是其他形狀的電容器，上式適用否 證： 電容器中的位移電流，顯然是在電容器被充電或放電時(shí)才存在的。設(shè)電容器在被充電或放電時(shí)，極板上的自由電荷為q ，極板間的電位移矢量為 D，urD uur ur uur 則根據(jù)定義， 位移電流可以表示為 IdgdS , 或者：IdDgdSd t d t根據(jù)電容器形狀的對(duì)稱性，作高斯面剛好將電容器的正極板包圍在其內(nèi)部，并且高斯面的一部分處于電容器極板之間，如圖所示。這樣，上式可化為：ur uurId t DgdS tq0在上面的證明中，雖然圖是對(duì)平行板電容器畫的，但是證明過程并未涉及電容器的具

17、體形狀，并且對(duì)所作高斯面的要求，對(duì)于其他形狀的電容器都是可以辦到的。所以，上面的結(jié)果對(duì)于其他形狀的電容器也證畢。是適用的。12-19 由兩個(gè)半徑為 R 的圓形金屬板組成的真空電容器，正以電流I 充電，充電導(dǎo)線是長(zhǎng)直導(dǎo)線。求：(1) 電容器中的位移電流； (2) 極板間磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。解： (1) 設(shè)極板上的電荷為q，則充電電流為：I ddqt極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為：E 0qS位移電流密度為： jd1 dqS dt位移電流為： Id jdSdqdt這表示位移電流與充電電流相等。(2) 在極板間與板面平行的平面上作半徑為r 的圓形環(huán)路L，其圓心處于兩金屬板中心連線上，并運(yùn)用安培環(huán)路定理，得： ?Bg

18、dl0I d0LurD uur t gdSurE uur t gdS因?yàn)榇艌?chǎng)以金屬圓板中心連線為軸對(duì)稱，所以上式可以化為：2 rBdE0 0 dt解得：B12dE 10 0r0 0 dt 21 dq0rI0 0r20 0 0S dt 2 R2當(dāng)rR時(shí)，即在極板間、板的邊緣附近，有：0I2R12-20現(xiàn)有一功率為 200 W 的點(diǎn)光源，在真空中向各方向均勻地輻射電磁波，試求：(1) 在離該點(diǎn)光源25m處電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的峰值； (2) 對(duì)離該點(diǎn)光源 25 m 處與波線相垂直的理想反射面的光壓。解：(1) 盡管由點(diǎn)光源發(fā)出的光波是球面波，但在距離光源 25米處的很小波面可近似看為平面，故可作為P1平面簡(jiǎn)諧波處理。波平均能流密度可以表示為： S P 2 1 E0H 04 r2 2另外，電場(chǎng)矢量與磁場(chǎng)矢量的峰值成比例：0 E00 H0以上兩式聯(lián)立求解，可以解得：4.4V1.2 10H2 A m 1.(2) 對(duì)理想反射面