中考數(shù)學動點問題專題講解一建立動點問題的函數(shù)解析式

1、.所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用有關數(shù)學知識解決問題.關鍵:動中求靜.數(shù)學思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結合思想 轉化思想注重對幾何圖形運動變化能力的考查從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養(yǎng)學生解決問題的能力圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在

2、不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質是解決數(shù)學“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質。二期課改后數(shù)學卷中的數(shù)學壓軸性題正逐步轉向數(shù)形結合、動態(tài)幾何、動手操作、實驗探究等方向發(fā)展這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學生的分析問題、解決問題的能力，內容包括空間觀念、應用意識、推理能力等從數(shù)學思想的層面上講：（1）運動觀點；（2）方程思想；（3）數(shù)形結合思想；（4）分類思想；（5）轉化思想等研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學試題的熱點的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學中研究對策，把握方向只的這樣，才能更好的培養(yǎng)學生解題素

3、養(yǎng)，在素質教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標準的導向本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測量點的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀點專題一：建立動點問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學的重要內容.動點問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關系,這種變化關系就是動點問題中的函數(shù)關系.那么,我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢"下面結合中考試題舉例分析.一、應用勾股定理建立函數(shù)解析式例1(2000年·)如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上,有一個動點P,PHOA,垂足

4、為H,OPH的重心為G.(1)當點P在弧AB上運動時,線段GO、GP、GH中,有無長度保持不變的線段"如果有,請指出這樣的線段,并求出相應的長度.(2)設PH,GP,求關于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變量的取值范圍).HMNGPOAB圖1(3)如果PGH是等腰三角形,試求出線段PH的長.解:(1)當點P在弧AB上運動時,OP保持不變,于是線段GO、GP、GH中,有長度保持不變的線段，這條線段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (0<<6).(3)PGH是等腰三角形有三種可能情況:GP=PH時,解得. 經(jīng)檢驗,是

5、原方程的根,且符合題意.GP=GH時,解得. 經(jīng)檢驗,是原方程的根,但不符合題意.PH=GH時,.綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段PH的長為或2.本專題的主要特征是兩個點在運動的過程中，直接或間接地構造了直角三角線，因此可以利用勾股定理去建立函數(shù)關系式. 勾股定理是初中數(shù)學的重要定理，在運用勾股定理寫函數(shù)解析式的過程中，主要是找邊的等量關系，要善于發(fā)現(xiàn)這種內在的關系，用代數(shù)式去表示這些邊，達到解題的目的. 由于是壓軸題，有的先有鋪墊，再寫解析式；有的寫好解析式后，再證明等腰三角形、相似三角形等，還有的再解一些與圓有關的體型. 要認真領會，達到舉一反三的目的. 1 牢記勾股定理：在直角

6、三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.例題，扇形中AOB=45°，半徑OB=2，矩形PQRS的頂點P、S在半徑OA上，Q在半徑OB上，R在弧AB上，連結OR. （1） 當AOR=30°時，求OP長（2） 設OP=x，OS=y，求y與x的函數(shù)關系式及定義域2 在四邊形的翻折與旋轉中，往往會應用到勾股定理，由此產生些函數(shù)解析式的問題，要熟練掌握.例題：如圖，正方形ABCD中，AB=6，有一塊含45°角的三角板，把45°角的頂點放在D點，將三角板繞著點D旋轉，使這個45°角的兩邊與線段AB、BC分別相交于點E、F（點E與點A、B不重合）（1）

7、從幾個不同的位置，分別測量AE、EF、FC的長，從中你能發(fā)現(xiàn)AE、EF、FC的數(shù)量之間具有怎樣的關系.并證明你所得到的結論（2） 設AE=x，CF=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域（3） 試問BEF的面積能否為8.如果能，請求出EF的長；如果不能，請說明理由.3 在一些特殊的四邊形中，如矩形、正方形，它們都是直角，菱形的對角線互相垂直，這些都有可能構造直角三角形，可以考慮用勾股定理寫出函數(shù)的解析式.例題：如圖，在菱形ABCD中，AB=4，B=60°，點P是射線BC上的一個動點，PAQ=60°，交射線CD于點Q，設點P到點B的距離為x，PQ=y（1） 求證：三

8、角形APQ是等邊三角形（2） 求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域（3） 如果PDAQ，求BP的值4 作底邊上的高，可以構造直角三角形，利用勾股定理寫函數(shù)的解析式例題：如圖，等邊ABC的邊長為3，點P、Q分別是AB、BC上的動點（點P、Q與ABC的頂點不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于點E. （1） 如設線段AP為x，線段CP為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域（2） 當CBP的面積是CEQ的面積的2倍時，求AP的長（3） 點P、Q分別在AB、BC上移動過程中，AQ和CP能否互相垂直.如能，請指出P點的位置，請說明理由.5 在解圓的題目時，首選的輔助線是弦心距，它不僅可以運用垂

9、徑定理，而且構造了直角三角形，為用勾股定理寫函數(shù)解析式創(chuàng)造了條件.例題：如圖，A和B是外離的兩圓，兩圓的連心線分別交A、B于E、F，點P是線段AB上的一動點（點P不與E、F重合），PC切A于點C，PD切B于點D，已知A的半徑為2，B的半徑為1，AB=5.（1） 如設線段BP的長為x，線段CP的長為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域（2） 如果PC=PD，求PB的長（3） 如果PC=2PD，判斷此時直線CP與B的位置關系，證明你的結論6 強調圓的首選輔助線是弦心距，它不僅可以平分弦，而且構造 了直角三角形，為解題創(chuàng)建新思路.例題：如圖，在ABC中，AB=15,AC=20,cotA=2

10、，P是邊AB上的一個動點，P的半徑為定長. 當點P與點B重合時，P恰好與邊AC相切；當點P與點B不重合，且P與邊AC相交于點M和點N時，設AP=x，MN=y.(1) 求P的半徑(2) 求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域(3) 當AP=6時，試比較CPN與A的大小，并說明理由階梯題組訓練1 如圖，E是正方形ABCD的邊AD上的動點，F(xiàn)是邊BC延長線上的一點，且BF=EF，AB=12，設AE=x，BF=y.（1） 當BEF是等邊三角形時，求BF的長；（2） 求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3） 把ABE沿著直線BE翻折，點A落在點A處，試探索：ABF能否為等腰三角形.如果能，請

11、求出AE的長；如果不能，請說明理由.2 如圖，在ABC中，ACB=90°，A=30°，D是邊AC上不與點A、C重合的任意一點，DEAB，垂足為點E，M是BD的中點.（1） 求證：CM=EM;（2） 如果BC=設AD=x，CM=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3） 當點D在線段AC上移動時，MCE的大小是否發(fā)生變化.如果不變，求出MCE的大小；如果發(fā)生變化，說明如何變化.3 ABCD中，對角線ACAB，AB=15，AC=20，點P為射線BC上一動點，APPM(點M與點B分別在直線AP的兩側)，且PAM=CAD，連結MD.(1) 當點M在 ABCD內時，如圖，設

12、BP=x，AP=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)定義域；(2) 請在備用圖中畫出符合題意的示意圖，并探究：圖中是否存在與AMD相似的三角形.若存在，請寫出并證明；若不存在，請說明理由；(3) 當為等腰三角形時，求BP的長.4 拋物線經(jīng)過A（2，0）、B（8，0）、C（0，）.（1） 求拋物線的解析式；（2） 設拋物線的頂點為P，把APB翻折，使點Pl落在線段AB上（不與A、B重合），記作P，折痕為EF，設AP=x，PE=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域；（3） 當點P在線段AB上運動但不與A、B重合時，能否使EFP的一邊與x軸垂直.若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請你說明理由

13、.5 如圖，矩形ABCD中，AD=7，AB=BE=2，點P是EC（包括E、C）上的動點，線段AP的垂直平分線分別交BC、AD于點F、G，設BP=x，AG=y.（1） 四邊形AFPG是說明圖形.請說明理由；（2） 求y與x的函數(shù)關系式；（3） 如果分別以線段GP、DC為直徑作圓，且使兩圓外切，求x的值.6 在梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，AB=4，AD=5，CD=5. E為底邊BC上一點，以點E為圓心，BE為半徑畫E交直線DE于點F.（1） 如圖，當點F在線段DE上時，設BE=x，DF=y，試建立y關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2） 當以CD為直徑的O與E相切時，求x的

14、值；（3） 連結AF、BF，當ABF是以AF為腰的等腰三角形時，求x的值.7 如圖，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧，點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作弧AC所在圓的切線，交DC于點F，G為切點.（1） 當DEF=45°時，求證點G為線段EF的中點；（2） 設AE=x，F(xiàn)C=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的解析式；（3） 將DEF沿直線EF翻折后得D1EF，如圖2，當EF=時，討論AD1D與ED1F是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結論，不要求寫出理由.（2003年上海第27題）二、應用比例

15、式建立函數(shù)解析式 例2（2006年·）如圖2,在ABC中,AB=AC=1,點D,E在直線BC上運動.設BD=CE=. (1)如果BAC=30°,DAE=105°,試確定與之間的函數(shù)解析式； AEDCB圖2 (2)如果BAC的度數(shù)為,DAE的度數(shù)為,當,滿足怎樣的關系式時,(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立"試說明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30°, ABC=ACB=75°, ABD=ACE=105°.BAC=30°,DAE=105°, DAB+CAE=75°, 又DAB+ADB

16、=ABC=75°,CAE=ADB, ADBEAC, , .OFPDEACB3(1)(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函數(shù)關系式成立,=, 整理得.當時,函數(shù)解析式成立.例3(2005年·)如圖3(1),在ABC中,ABC=90°,AB=4,BC=3. 點O是邊AC上的一個動點,以點O為圓心作半圓,與邊AB相切于點D,交線段OC于點E.作EPED,交射線AB于點P,交射線CB于點F.PDEACB3(2)OF(1)求證: ADEAEP.(2)設OA=,AP=,求關于的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域. (3)當BF=1時,求線段AP的長.解:(1)

17、連結OD.根據(jù)題意,得ODAB,ODA=90°,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90°,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90°, ODBC, ,OD=,AD=. AE=. ADEAEP, , . ().(3)當BF=1時，若EP交線段CB的延長線于點F,如圖3(1)，則CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90°, FPB=DPE,F=PDE, F=FEC, CF=CE.5-=4,得.可求得,即AP=2.若EP交線段CB于點F,如圖3(2), 則CF

18、=2.類似,可得CF=CE.5-=2,得.可求得,即AP=6.綜上所述, 當BF=1時,線段AP的長為2或6.本專題探究在圖形的運動變化過程中，存在平行或相似的三角形，利用比例式來建立函數(shù)關系式. 難一些的題目其中的一個變量是比例式，一個變量是線段，也是利用相似或平行來構造比例式，從而寫出函數(shù)的解析式. 作為最后的一道壓軸題，一般情況下寫出解析式后還會有一個證等腰或相似或相切的題目，可以二次函數(shù)專題中的解題思想進行處理.1 由平行得到比例式，從而建立函數(shù)關系式.例題：如圖，在ABC中，AB=AC=4,BC=AB，點P是邊AC上的一個點，AP=PD，APD=ABC，連結DC并延長交邊AB的延長線

19、于點E（1） 求證：AD/BC（2） 設AP=x，BE=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域（3） 連結BP，當CDP與CBE相似時，試判斷BP與DE的位置關系，并說明理由2 由三角形相似得到比例式，建立函數(shù)關系式例題：如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E為線段CD上一點（點E與點C、D不重合），F(xiàn)G垂直平分AE，且交AE于F，交AB延長線于G，交BC于H.（1） 證明：ADEGFA（2） 設DE=x，BG=y，求y關于x的函數(shù)解析式及定義域（3） 當BH=時，求DE的長3 在學習利用相似比建立函數(shù)的解析式的時候，初中階段的知識已經(jīng)學了不少，對最后的壓軸題的綜合性的要求已經(jīng)很高了.

20、一般會在寫解析式前有一些證明或計算，寫好解析式后再來一個證明等腰三角形或圓的位置關系等. 如果能夠把一道復雜的壓軸題拆分成幾道小的題目，各個擊破，難題也就變簡單了.例題：如圖，在RtABC中，C=90°，sinB=，AC=4；D是BC的延長線上一個動點，EDA=B，AE/BC.(1) 找出圖中的相似三角形，并加以證明(2) 設CD=x，AE=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(3) 當ADE為等腰三角形時，求AE的長4 剛才研究的寫函數(shù)解析式都是在幾何圖形中進行的，下面來看在平面直角坐標系中怎樣寫解析式.例題：如圖，在直角坐標系中的等腰梯形AOCD中，AD/x軸，AO=C

21、D=5，=，cos=，P是線段OC上的一個動點，APQ=,PQ交射線AD于點Q，設P點坐標為（x，0），點Q到D的距離為y（1） 求過A、O、C 三點的拋物線解析式（2） 用含x的代數(shù)式表示AP的長（3） 求y與x的函數(shù)解析式及定義域（4） CPQ與AOP能否相似.若能，請求出x的值，若不能，請說明理由5 當一個變量是比例式，另一個變量是一條線段，怎樣來寫函數(shù)的解析式呢.可以根據(jù)題目的要求，由相似三角形面積的比等于相似比的平方，或相似三角形周長的比等于相似比等建立函數(shù)解析式.例題：如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），點B、C的坐標分別為（-1，0），C（0，b），且0b3，m是經(jīng)

22、過點B、C的直線，當點C在線段OC上移動時，過點A作ADm于點D.(1) 求點D、O之間的距離(2) 如果=，試求：與b的函數(shù)關系式及的取值范圍(3) 當ADO的余切值為2時，求直線m的解析式(4) 求此時ABD與BOC重疊部分的面積6 當我們學習到利用相似三角形的相似比來建立函數(shù)解析式的時候，初中階段的知識已經(jīng)學得差不多了，對于一些貌似很復雜的圖形，只要能夠分層求解，就能化繁為簡.例題：如圖，在邊長為6的正方形ABCD的兩側如圖作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三點在一直線上，連結MF交線段AD于點P，連結NP，設正方形BEFG的邊長為x，正方形DMNK的邊長為y.（1）

23、求y關于x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍（2） 當NPF的面積為32時，求x的值（3） 以P為圓心，AP為半徑的圓能夠與以G為圓心，GF為半徑的圓相切，若能請求x的值，若不能，請說明理由練習：1. 如圖，在三角形中，AB=AC=8，BC=10，點D、E分別在BC、AC上（點D不與B、C重合），且ADE=B，設BD=x，AE=y.（1） 求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域（2） 點D在BC上的運動過程中，ADE是否有可能成為一個等腰三角形.如有可能，請求出當ADE為等腰三角形時x的值;如不可能，請說明理由.2. 在ABC中，AB=4，AC=5，cosA=，點D是邊AC上的點，點E是邊

24、AB上的點，且滿足AED=A，DE的延長線交射線CB于點F，設AD=x，EF=y.（1） 如圖1，用含x的代數(shù)式表示線段AE的長（2） 如圖1，求y關于x的函數(shù)解析式及函數(shù)的定義域（3） 連結EC，如圖2，求檔x為何值時，AEC與BEF相似.3. 如圖，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數(shù)），BC=8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）.連結DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設CE=x，BF=y.(1) 求y關于x的函數(shù)關系式(2) 若m=8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少.(3) 若y=，要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少.4. 已知在梯形ABCD中，AD/B

25、A，ADBC，且BC=6，AB=DC=4，點E是AB的中點.（1） 如圖，P為BC上的一點，且BP=2. 求證：BEPCPD；（2） 如果點P在BC邊上移動（點P與點B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線CD與點F，同時交直線AD于點M，那么（3） 當點F在線段CD的延長線上時，設BP=x，DF=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（4） 當SDMF=SBEP時，求BP的長.5. 如圖，在四邊形ABCD中，B=90°，AD/BC，AB=4，BC=12，點E在邊BA的延長線上，AE=2，點F在BC邊上，EF與邊AD相交于點G，DFEF，設AG=x，DF=y.（1） 求

26、y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（2） 當AD=11時，求AG的長；（3） 如果半徑為EG的E與半徑為FD的F相切，求這兩個圓的半徑.6. 如圖，在半徑為5的O中，點A、B在O上，AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點，AC與OB的延長線相交于點D，設AC=x，BD=y.(1) 求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(2) 若O1與O相交于點A、C，且O1與O的圓心距為2，當BD=OB時，求O1的半徑；(3) 是否存在點C，使得DCBDOC.如果存在，請證明；如果不存在，請簡要說明理由.7. 已知ABC=90°，AB=2，BC=3，AD/BC，P為線段BD上的動點

27、，點Q在射線AB上，且滿足=(如圖1所示)（1） 當AD=2，且點Q與點B重合時（如圖2所示），求線段PC的長；（2） 在圖1中，連結AP. 當AD=，且點Q在線段AB上時，設點B、Q之間的距離為x，=y，其中SAPQ表示APQ的面積，SPBC表示PBC的面積，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；（3） 當ADAB，且點Q在線段AB的延長線上時（如圖3所示），求QPC的大小.（2009上海第25題）三、應用求圖形面積的方法建立函數(shù)關系式ABCO圖8H例4（2004年·）如圖,在ABC中,BAC=90°,AB=AC=,A的半徑為1.若點O在BC邊上運動(與點B、C不重合),設BO=,AOC的面積為.(1)求關于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.(2)以點O為圓心,BO長為半徑作圓O,求當O與A相切時,AOC的面積.解:(1)過點A作AHBC,垂足為H.BAC=90°,AB=AC=, BC=