線段和差最值的存在性問題解題策略

1、中考數學壓軸題解題策略線段和差最值的存在性問題解題策略2015年9月13日星期日專題攻略兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）.三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）.兩條線段差的最大值問題，一般根據三角形的兩邊之差小于第三邊，當三點共線時，兩條線段差的最大值就是第三邊的長.如圖3, PA與PB的差的最大值就是 AB此時點P在AB的延長線上，即 P解決線段和差的最值問題，有時候求函數的最值更方便，本講不涉及函數最值問題.圖2圖3例題解析2例？如圖1-1

2、，拋物線y= x - 2x 3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C點P是拋物線對稱軸上的一個動點，如果【解析】如圖1-2，把拋物線的對稱軸當作河流，點A與點B對稱，連結BC,那么在PBC中, PB+ PC總是大于BC的.如圖1-3，當點P落在BC上時，PB+ PC最小，因此 PA+PC最小， PAC的周長也最小.2由 y = x - 2x 3，可知 OB= OC= 3, OD= 1 .所以例？如圖,y軸交于點A, B是OA的中點.一個動點G從點B出發(fā)，先經過x軸上的點M再經過拋物線對稱軸上的點N,然后返回到點 A.如果動點 G走過的路程最短，請找出點【解析】如圖2-2，按照“臺球兩次碰壁”的模

3、型，作點A關于拋 物線的對稱軸對稱的點A,作點B關于x軸對稱的點B,連結A B與x軸交于點M與拋物線的對稱軸交于點N.在 Rt AA B中，AA = 8, AB所以A B= 10,即點G走過的最短路程為圖2-210.根據相似比可以計算得到OW 8 ,MH= 4 , NH= 1 .所以 M 8，0) , N4, 1)3例？如圖3-1，拋物線y4x2 8x 2與y軸交于點A頂點為B.點P是x軸上的93一個動點，求線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應的點P的坐標.【解析】題目讀起來像繞口令，其實就是求| PA- PB的最小值與最大值.由拋物線的解析式可以得到A(0

4、, 2) , B(3, 6) 設Rx, 0).絕對值| PA- PB的最小值當然是 0 了，此時PA= PB點P在AB的垂直平分線上(如圖3-2 ).解方程 x2+ 22= (x- 3) 2+ 62，得 x 4 .此時 Pf4! 0). 6 6在APAB中，根據兩邊之差小于第三邊，那么|PA- PB總是小于 AB 了 .如圖3-3，當 點P在BA的延長線上時，| PA- PB取得最大值，最大值 AB= 5 此時P( 3 0).圖3-22，圖3-3例？如圖4-1，菱形ABCDK AB= 2,Z A= 120 點P、Q K分別為線段 BC CDBD上的任意一點，求 Pd QK的最小值.【解析】如圖

5、4-2，點Q關于直線BD的對稱點為Q，在 KPQ中，Pd QK總是大于PQ的如圖4-3，當點K落在PQ上時，Pa QK的最小值為 PQ 如圖4-4 , PQ的最小值為Q H, Q H就是菱形 ABCD勺高，Q H= .3 .這道題目應用了兩個典型的最值結論：兩點之間，線段最短；垂線段最短.圖4-3圖4-4例？如圖5-1，菱形ABCD中, Z A= 60, AB= 3,0 A、O B的半徑分別為 2和1, P、E、F分別是邊CD O B和O A上的動點，求 PE+ PF的最小值.【解析】E、F、P三個點都不確定，怎么辦BE= 1, AF= 2是確定的，那么我們可以求P聊PA- 3的最小值，先求

6、P聊PA的最小值(如圖5-2 ).如圖5-3，PB+ PA的最小值為 AB，AB3.例？如圖 6-1，已知 A(0, 2)、B(6, 4)E(a, 0)、F(a+1,0)，求a為何值時，四邊形ABEF周長最小請說明理由.【解析】在四邊形 ABEF中，AB EF為定值，求 A曰BF的最小值，先把這兩條線段經過平移，使得兩條線段有公共端點.如圖6-2，將線段BF向左平移兩個單位，得到線段ME如圖6-3，作點A關于x軸的對稱點A , MA與x軸的交點E,滿足AE+ ME最小.由厶A.解方程a -24J卩刃日/!A7f ：0/A圖6-3例？ 如圖7-1 , ABC中，/ ACB= 90, AC= 2,

7、 BC= 1.點A C分別在x軸和y軸的正半軸上，當點 A在x軸上運動時，點 C也隨之在y軸上運動.在整個運動過程中，求點B到原點的最大距離.【解析】如果把 OB放在某一個三角形中，這個三角形的另外兩條邊的大小是確定的,那么根據兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和.顯然 OBC是不符合條件的，因為 OC邊的大小不確定.如圖7-2，如果選AC的中點D,那么BD OD都是定值，OD= 1, BD= J5 .在厶OB沖，總是有 O氏ODf BD如圖7-3，當點D落在OB上時，OB最大，最大值為,2 1 .圖7-3例？如圖8-1，已知 A 2,0)、B(4, 0) 、D( 5,3.

8、3).設F為線段BD上一點(不含 端點)，連結AF, 動點M從點A出發(fā)，沿線段 AF以每秒1個單位的速度 運動到F,再沿 線段FD以每秒2個單位的速度運動到 D后停止當點F的坐標是多少時，點 M在整個運動過程中用時最少【解析】點B(4, 0)、D( 5,3.3)的坐標隱含了/ DBA= 30,不由得讓我們聯想到 30角所對的直角邊等于斜邊的一半.如果把動點M在兩條線段上的速度統(tǒng)一起來，問題就轉化了.如圖8-2，在Rt DEF中, FD= 2FE如果點M沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到 點D時，那么點M沿線段FE以每秒1個單位的速度正好運動到點E.因此當AF+ FE最小時,點M用時最少.如圖

9、8-3，當AEL DE時，AF+ FE最小，此時 F( 2,2 3).0二0丘_2AB*A圖8-2圖8-3例？ 如圖9-1，在Rt ABC中，/ C= 90, AC= 6, BC= &點E是BC邊上的點，連結AE過點E作AE的垂線交 AB邊于點F,求AF的最小值.圖9-1【解析】如圖9-2，設AF的中點為D,那么DA= DE= DF.所以AF的最小值取決于 DE的最小值.如圖9-3，當DEL BC時，DE最小.設 DA= DE= m此時DB= 5m351515由AB= D用DB得m m 10 .解得m 一 .此時AF= 2m 一4圖9-2圖9-3例？如圖10-1 ,已知點P是拋物線y2上的一個點，點D E的坐標分別為(0, 1)、(1,2)，連結PD PE求P內PE的最小值.【解析】點P不在一條筆直的河流上，沒有辦法套用“牛喝水”的模型.設 P(x,2)，那么 PD= x2 (” 1)2 (” 1)2 .所以 PD= ” 1 .如圖10-2 ,】x2 1的幾何意義可以理解為拋物線上的動點P到直線y