線性代數(shù)典型例題

1、線性代數(shù)第一章行列式典型例題一、利用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式二、按行（列）展開公式求代數(shù)余子式12343344A42 與 A43A44 .已知行列式 D4566 ，試求 A41171122三、利用多項(xiàng)式分解因式計(jì)算行列式112312 x2231計(jì)算 D31.151319 x2xbcdbxcd0 有根 x _.2設(shè) f (x)cx，則方程 f ( x)bdbcdx四、抽象行列式的計(jì)算或證明1. 設(shè)四階矩陣A2,32 , 43 ,4, B, 22 ,33 , 44 ，其中, 2 ,3 ,4 均為四維列向量，且已知行列式| A |2,|B|3 , 試計(jì)算行列式| AB |.2. 設(shè)A為三階方陣，A*為A

2、 的伴隨矩陣，且| A |1 ，試計(jì)算行列式2(3A)12A*O2.OA3. 設(shè) A 是 n 階 ( n2) 非零實(shí)矩陣，元素 aij 與其代數(shù)余子式Aij 相等，求行列式 | A |.2104.設(shè)矩陣 A 120, 矩陣 B 滿足 ABA*2BA*E, 則|B| _.0015. 設(shè)1,2 , 3 均為 3 維列向量，記矩陣A(1,2,3),B(123,12243,13293)如果 | A| 1，那么 |B |_.五、 n 階行列式的計(jì)算六、利用特征值計(jì)算行列式1. 若四階矩陣 A與 B相似，矩陣 A的特征值為 1,1,1,1 ，則行列式2345| B 1E |_.2. 設(shè) A 為四階矩陣，且

3、滿足 | 2EA | 0 , 又已知 A 的三個(gè)特征值分別為1,1,2 ，試計(jì)算行列式 | 2 A*3E |.第二章矩陣典型例題一、求逆矩陣1. 設(shè) A,B, AB 都是可逆矩陣，求：( A 1B 1) 1.00021000532.設(shè)A12300 ，求A1.4580034600二、討論抽象矩陣的可逆性1. 設(shè) n 階矩陣 A 滿足關(guān)系式 A3A2AE0 , 證明 A 可逆，并求 A 1.2. 已知 A32E, BA22A2E , 證明 B 可逆，并求出逆矩陣。3. 設(shè) AExy T , 其中 x, y 均為 n 維列向量，且 xT y2 , 求 A 的逆矩陣。4. 設(shè) A, B 為 n 階矩陣

4、，且 E AB 可逆，證明 E BA也可逆。三、解矩陣方程1111.設(shè)矩陣 A111，矩陣 X 滿足 A*XA1 2X,求矩陣X.1111000112.已知矩陣 A110, B 101 ，且矩陣 X 滿足111110AXABXBAXBBXAE ，求 X .四、利用伴隨矩陣進(jìn)行計(jì)算或證明1. 證明下列等式(1) (AT)*(A*)T ；(2)若|A|0,則(A 1)*(A*) 1；（3）| A|0, 則( A 1)T*( A*)T 1；(4)| A |0 , 則 (kA)*k n 1 A* ( k0, A為 n階矩陣）；（5）若 A, B 為同階可逆矩陣，則 ( AB )*B* A* .2. 設(shè)

5、矩陣 A(aij )3 3 滿足 A*AT , 若 a11, a12 , a13 為三個(gè)相等正數(shù)，則 a11_.五、關(guān)于初等矩陣和矩陣的秩（看教材）第三章矩陣典型例題一、判斷向量組的線性相關(guān)性1. 設(shè)i(i1 ,i 2,L ,in )T (i1,2,L , r ; rn) 是 n 維實(shí)向量，且1,2,L,r 線性無(wú)關(guān)，已知(b1, b2,L,bn )T 是線性方程組a11 x1a12 x2L a1n xn0a21 x1a22 x2L a2 n xn0L Lar1 x1ar 2x2L arn xn0的非零解向量，試判斷向量組1 ,2 ,L ,r ,的線性相關(guān)性。2.設(shè) 1,2 ,L , n 是

6、n 個(gè) n 維的線性無(wú)關(guān)向量，n 1k1 1k2 2Lkn n ，其中k1, k2 ,L, kn 全不為零，證明1,2 ,L , n 1 中任意 n 個(gè)向量均無(wú)關(guān)。1113.設(shè)A為4 3矩陣， B為33 矩陣，且 AB0,其中 A121，證明 B的230012列向量組線性相關(guān)。4.設(shè) 1,2 ,L , n 1 為 n 1個(gè)線性無(wú)關(guān)的 n 維列向量，1 和2 是與1 ,2,L ,n 1 均正交的 n 維非零列向量，證明（1） 1 、 2 線性相關(guān)；（2） 1,2 ,L,n 1 ，1 線性相關(guān)。二、把一個(gè)向量用一組向量線性表示a11x1a12 x2La1n xn0證明線性方程組a21x1a22x2

7、La2n xn0 的解都是L Lam1 x1am 2 x2L amn xn0b1x1 b2 x2Lbn xn0 的解的充要條件是是 1,2,L,m 的線性組合，其中(b1, b2,L, bn ) ， i( i1,i 2 ,L ,in )(i1,2,L , m) .三、求向量組的秩1. 給定一個(gè)向量組， 求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組， 并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。2. 已知向量組（ 1） 1,2, 3；（2） 1,2, 3,4 ；（3） 1, 2, 3, 5. 如果各向量組的秩分別是 3、3、4，證明：向量組1, 2,3, 54的秩為 4.四、有關(guān)矩陣秩的命題1. 設(shè) A 為 mn 實(shí)矩陣，證

8、明：R( A)R( AT A).2. 設(shè) A 為 n 階方陣，且滿足A2A2E ，證明： R( A2E )R( AE)n .綜合題1. 設(shè) A 為 m n 矩 陣 ， B 為 nR( A)m, R(B)nm ，設(shè)是滿足 Ax(nm) 矩 陣 ， 且 已 知AB0 ，0 的一個(gè) n 維向量，證明：存在唯一的一個(gè) ( nm) 維列向量，使B.010.5 1，又 n 維向量1, 2, 3線性無(wú)2. 已知隨機(jī)變量 X ， P Y0.250.75關(guān)，求向量 12, 2 23 , X 3 Y 1 線性相關(guān)的概率。第四章線性方程組典型例題一、基本概念題（解的判定、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)）二、含有參數(shù)的線性方程組的求解三

9、、抽象線性方程組求解a11x1a12 x2La1,2 n x2n0a21x1a22 x2La2,2 n x2n01. 已知線性方程組： ( )L Lan1 x1an2 x2Lan,2 n x2n0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 (b11 ,b12 ,L , b1,2 n )T ,( b21, b22,L ,b2,2 n )T ,L ,( bn1 , bn2 ,L , bn,2 n )T . 試寫出b11y1b12 y2Lb1,2n y2 n0線性方程組： ( )b21y1b22 y2Lb2,2 n y2 n0L L的通解，并說(shuō)明理由。bn1 y1bn 2 x2Lbn,2n y2n02.已知 4階方陣 A(

10、1 ,2, 3,4 ),1, 2, 3,4 均為 4 維列向量，其中2, 3, 4線性無(wú)關(guān)， 1 223 ，如果1234 ，求線性方程組 Ax的通解。四、討論兩個(gè)方程組的公共解x1x2x301.設(shè)線性方程組 x12 x2ax30與方程 x12x2x3a1 有公共解，求 a 的值x14x2a2 x30及所有公共解。x1x22x46x1 mx2x3x452.已知下列非齊次線性方程組 ( )4x1x2x3x41 ，()nx2x32x4113x1x2x33x32x4t 1（ 1）求解方程組 ( ) ，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；（ 2）當(dāng)方程組 () 中的參數(shù) m, n,t 為何值時(shí)，方程組( )

11、與 () 同解。3. 設(shè) A, B 都是 n 階級(jí)矩陣，且 r ( A)r ( B)n ，證明齊次方程組Ax0 與 Bx0 有非零公共解。五、討論兩個(gè)方程組解之間的關(guān)系1.Ax0 與 AT Ax0 的解的關(guān)系。2. 設(shè)有齊次線性方程組Ax0 與 Bx0 ，其中 A, B 都是 mn 矩陣，現(xiàn)有4 個(gè)命題：若 Ax0 的解均是 Bx0 的解，則 r ( A)r (B) ；若 r (A)r ( B) ，則 Ax0 的解均是 Bx0 的解；若 Ax0 與 Bx0 同解，則 r ( A)r (B) ；若 r (A)r ( B) ，則 Ax0 與 Bx0 同解。以上命題中正確的是： (A) (B) (C

12、) (D)六、已知方程組的解，反求系數(shù)矩陣或系數(shù)矩陣中的參數(shù)12121.設(shè)A01tt，且方程組 Ax0 的基礎(chǔ)解系含有 2 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，1t01求 Ax0 的通解。21120112.設(shè)A0131,b1，如果 是 Axb 的一個(gè)解，試求 Axb 的,1ac1011通解。七、有關(guān)基礎(chǔ)解系的討論1. 設(shè)1,2 ,L , s 為線性方程組 Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，1t11t2 2 , 2 t1 2 t2 3 ,L , s t1 s t2 1其中 t1 ,t 2 為實(shí)常數(shù)，試問(wèn) t1, t2 滿足什么關(guān)系時(shí)，1 , 2,L , s 也為 Ax0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系2. 若矩陣 A 的秩為 r ，其 r

13、 個(gè)列向量為某一齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，B 為r 階非奇異矩陣，證明： AB 的 r個(gè)列向量也是該齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。3. 設(shè) * 是非齊次線性方程組 Axb 的一個(gè)解，1, 2,L, n r是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：（1） * , 1, 2,L,n r 線性無(wú)關(guān)；（2） *, *1 ,*2,L,*nr 是方程組 Axb 的 nr1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解；（ 3）方程組 Ax b 的任一解 x ，都可以表示為這 n r 1個(gè)解的線性組合，而且組合系數(shù)之和為 1.八、有關(guān) AB0的應(yīng)用1221. 已知方陣 A 21，三階方陣 B0滿足 AB0 ，試求的值。3111232. 已知 3

14、 階矩陣 A 的第一行是 (a,b, c) ， a,b, c 不全為零，矩陣 B 246（ k36k為常數(shù)），且 AB0 ，求線性方程組 Ax0 的通解。綜合題1. 設(shè)矩陣 A(aij )n n , r ( A)n1 ，證明：存在常數(shù)k ，使得 ( A* )2kA* .2. 已知 n 維向量1 , 2 ,L , n 中，前 n 1個(gè)向量線性相關(guān)，后 n 1個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，又12Ln 矩陣A1,2,L,n 是 n 階矩陣，證明方程組Ax必有無(wú)窮多解，且其任一解(a1, a2 ,L, an )T 中必有an1.3. 設(shè) n 階方陣 A的列向量組為1 , 2 ,L , n ， n 階方陣 B 的列向量組為：12 ,23,L,n1試問(wèn)當(dāng) r (A)n時(shí)，齊次線性方程組 Bx0 是否有非零解并證明你的結(jié)論。4. 設(shè) A為 mn 矩陣， B 為 ns 矩陣，且 r ( A)n ，證明： r ( AB)r (B).5. 設(shè) A ( aij )3 3 是實(shí)矩陣，滿足：（ 1） Aijaij (i , j1,2,3) ，其中 Aij 為