集合的含義與表示

1、2022-2-1622022-2-1632022-2-164集合的含義是什么呢？我們集合的含義是什么呢？我們再看一些例子再看一些例子: (1) 120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)（2）我國從）我國從19912003年的年的13年內(nèi)所發(fā)射的年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星；所有人造衛(wèi)星；在（在（1）中，我們把）中，我們把120以內(nèi)的每一個(gè)質(zhì)數(shù)作為以內(nèi)的每一個(gè)質(zhì)數(shù)作為元素，這些元素的全體就組成一個(gè)集合；同樣地，元素，這些元素的全體就組成一個(gè)集合；同樣地，例（例（2）中，把我國從）中，把我國從19912003年內(nèi)發(fā)射的每年內(nèi)發(fā)射的每一顆人造衛(wèi)星作為元素，這些元素的全體也組一顆人造衛(wèi)星作為元素，這些元素的全體

2、也組成一個(gè)集合。成一個(gè)集合。 新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入 觀察下列的對象：觀察下列的對象：(3)金星汽車廠金星汽車廠2003年所生產(chǎn)的汽車；年所生產(chǎn)的汽車；(4) 2004年年1月月1日之前與我國建立外交關(guān)日之前與我國建立外交關(guān)系的所有國家。系的所有國家。 (5)所有的正方形。所有的正方形。 (6)到直線到直線L的距離等于定長的距離等于定長d的所有點(diǎn)。的所有點(diǎn)。(7)十六中學(xué)十六中學(xué)2005年年9月入學(xué)的高一的學(xué)月入學(xué)的高一的學(xué)生全體。生全體。請概括請概括5個(gè)個(gè)例子的特例子的特征征下面請同學(xué)先歸納出結(jié)論下面請同學(xué)先歸納出結(jié)論 、集合的含義：集合的含義： 把研究對象統(tǒng)稱為把研究對象統(tǒng)稱為元素元素，把一些元

3、，把一些元素組成的總體叫做素組成的總體叫做集合集合（簡稱集）。（簡稱集）。用大寫字母用大寫字母A，B，C表示集合，表示集合，用小寫字母用小寫字母a,b，c 表示字和中的元素表示字和中的元素2022-2-167說明：說明： 集合是數(shù)學(xué)中最原始的概念之一，我們不能集合是數(shù)學(xué)中最原始的概念之一，我們不能用其他的概念下定義，只能作描述性說明，是用其他的概念下定義，只能作描述性說明，是不定義概念，即原始概念，和點(diǎn)、直線、平面不定義概念，即原始概念，和點(diǎn)、直線、平面等基本概念及原理構(gòu)成了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基石，等基本概念及原理構(gòu)成了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基石，是從現(xiàn)實(shí)世界中總結(jié)出來的是從現(xiàn)實(shí)世界中總結(jié)出來的集合理論是

4、由德國數(shù)學(xué)家康托爾發(fā)現(xiàn)的，他集合理論是由德國數(shù)學(xué)家康托爾發(fā)現(xiàn)的，他創(chuàng)造的集合論是近代許多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)創(chuàng)造的集合論是近代許多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ) 集合的描述性定義：我們把研究對象統(tǒng)稱為集合的描述性定義：我們把研究對象統(tǒng)稱為元元素素把一些元素組成的全體叫做把一些元素組成的全體叫做集合集合( (簡稱為集簡稱為集). ). 你能說出合中元素的特征嗎？你能說出合中元素的特征嗎？ 在我們要了解集合的特征（有三個(gè)哦）前在我們要了解集合的特征（有三個(gè)哦）前先看看這些具有代表性的問題。先看看這些具有代表性的問題。（1）A=1，3，問，問3，5哪個(gè)是哪個(gè)是A的元素？的元素？（2）A=素質(zhì)好的人素質(zhì)好的人能否表示成集合

5、？能否表示成集合？（3）A=2，2，4表示是否正確？表示是否正確？（4）A=太平洋，大西洋太平洋，大西洋， B=太平洋，大西洋太平洋，大西洋 是否表示同一集合是否表示同一集合？2022-2-169(1)確定性確定性：對于一個(gè)給定的集合，任何一個(gè)元素是對于一個(gè)給定的集合，任何一個(gè)元素是不是這個(gè)集合的元素就確定了。不是這個(gè)集合的元素就確定了。三、集合的特征：三、集合的特征：思考：思考：“我國的小河流我國的小河流”、“比較大的數(shù)比較大的數(shù)”、“高一所有胖的同學(xué)高一所有胖的同學(xué)”等能組成集合嗎等能組成集合嗎?如：應(yīng)把集合如：應(yīng)把集合1，2，2改寫成改寫成(2)互異性互異性：對于一個(gè)給定的集合中，任何兩

6、個(gè)元素對于一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一都是不同的對象，相同的對象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素個(gè)元素(3)無序性：無序性：集合中的元素是平等的，沒有先后順序，集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣一樣，不需考查排列順序是否一樣如：集合如：集合1，2，3和和1，3，2表示同一集合。表示同一集合。1，22022-2-1610、集合中元素的特性：、集合中元素的特性：（1）確定性：確定性：給定的集合，它的元素是確定給定的集合，它的元

7、素是確定的，也就是說，一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里，的，也就是說，一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里，或者不在，不能模棱兩可或者不在，不能模棱兩可（2）互異性：互異性：集合中的元素是互不相同的，集合中的元素是互不相同的，也就是說集合中的元素沒有重復(fù)出現(xiàn)也就是說集合中的元素沒有重復(fù)出現(xiàn)（3）無序性：無序性：集合中的元素沒有一定的順序集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯ㄍǔＳ谜５捻樞驅(qū)懗觯┫嗟鹊募希合嗟鹊募希褐灰獦?gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合相等。我們就稱這兩個(gè)集合相等。2022-2-1611例例1 下面各組對象能否構(gòu)成集合？下面各組對象能否

8、構(gòu)成集合？（1）所有的好人；）所有的好人；（2）小于）小于2003的數(shù)；的數(shù)；（3）和）和2003非常接近的數(shù)。非常接近的數(shù)。(4)(4) 我國的小河流我國的小河流（）大于小于的偶數(shù)（）大于小于的偶數(shù)2022-2-16124、元素與集合之間的關(guān)系：、元素與集合之間的關(guān)系：若若a是集合是集合A的元素，的元素， 若若a不是集合不是集合A的元素，的元素，例如例如:A=1，2，3，4，5 則則3A ，A23就說就說a屬于集合屬于集合A ，記作記作 aA ； 則則a不屬于集合不屬于集合A ，記作記作 a A。 集合常用大寫字母集合常用大寫字母A，B，C，D，標(biāo)記，標(biāo)記，元素常用小寫字母元素常用小寫字母a

9、，b，c，d，標(biāo)記。標(biāo)記。2022-2-16135 5、常用數(shù)集及其記法：、常用數(shù)集及其記法： 數(shù)的集合簡稱數(shù)集。數(shù)的集合簡稱數(shù)集。注意：自然注意：自然數(shù)集包括數(shù)集包括0一些常用數(shù)集及其記法：一些常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作記作_;正整數(shù)集記作正整數(shù)集記作_; 整數(shù)集記作整數(shù)集記作_; 有理數(shù)集記作有理數(shù)集記作_; 實(shí)數(shù)集記作實(shí)數(shù)集記作_;NN*或或N+ZQR2022-2-1614 1. 用符號用符號“”或或“ ”填填空空 (1) 3.14 Q (2) Q (3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) Q (6) R 3232 2022-2-1

10、615“地球上的四大洋地球上的四大洋”組成的集合表示為組成的集合表示為太平洋、大太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋西洋、印度洋、北冰洋一般用大寫拉丁字母表示集合：一般用大寫拉丁字母表示集合：A=1，2，3，4，5把把“方程方程(x-1)(x+2)=0的所有實(shí)數(shù)根的所有實(shí)數(shù)根”組成的集合表組成的集合表示為示為C=1，-26. 集合的表示方法：集合的表示方法：自然語言法、列舉法、描述法以及自然語言法、列舉法、描述法以及Venn圖（韋恩圖）圖（韋恩圖）（1）自然語言法：）自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒āＳ梦淖謹(jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒?。?）列舉法：）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來。并用花

11、括號把集合中的元素一一列舉出來。并用花括號“ ”括起來表示集合的方法叫列舉法括起來表示集合的方法叫列舉法2022-2-1616例例1：用列舉法表示下列集合：用列舉法表示下列集合：(1)小于小于10的所有質(zhì)數(shù)組成的集合的所有質(zhì)數(shù)組成的集合_;(2)由大于由大于3小于小于10的整數(shù)組成的集合的整數(shù)組成的集合_;(3)方程方程x2-16=0的實(shí)數(shù)解組成的集合的實(shí)數(shù)解組成的集合_; 2, 3, 5, 7 4, 5, 6, 7 ,8 ,9 -4, 42022-2-1617使用列舉法時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：使用列舉法時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)(1)元素間用分隔號元素間用分隔號“，”(2)(2)元素不重復(fù)元素不

12、重復(fù)(3)(3)元素不順序元素不順序思考思考：（1）你能用自然語言描述集合）你能用自然語言描述集合2，4，6，8嗎嗎?（2）你能用列舉法表示不等式）你能用列舉法表示不等式x-73的解的集合嗎？的解的集合嗎？大于等于大于等于2且小于等于且小于等于8的偶數(shù)組成的集合的偶數(shù)組成的集合2022-2-1618方法二方法二:描述法描述法用集合所含元素的共同特征用集合所含元素的共同特征表示集合的方法表示集合的方法語言描述法語言描述法：例：例：正方形正方形, 地球上的四大洋地球上的四大洋 ,數(shù)學(xué)式子描述法數(shù)學(xué)式子描述法:具體方法具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般：在大括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素

13、的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。不等式不等式x-73的解集不能用列舉法表示的解集不能用列舉法表示,想想它的想想它的元素有怎樣的特征元素有怎樣的特征?xR且且x10我們把這個(gè)集合表示為我們把這個(gè)集合表示為:A=xR | x10.再如再如:所有奇數(shù)組成的集合可以表示為所有奇數(shù)組成的集合可以表示為:B=xZ | x=2k+1,kZ.2022-2-1619例例2：用描述法表示下列集合：用描述法表示下列集合：(1)小于小于10的所有有理數(shù)組成的集合的所有有理數(shù)組成

14、的集合_;(2)所有偶數(shù)組成的集合所有偶數(shù)組成的集合_;(3)直角坐標(biāo)系內(nèi)直角坐標(biāo)系內(nèi),第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合_;xQ | x 10 x | x=2n,nZ (x,y) |x0 說明說明: :如果從上下文的關(guān)系來看如果從上下文的關(guān)系來看,xR,xZ,xR,xZ等是等是明確的明確的, ,那么那么xR,xZxR,xZ可以省略可以省略, ,只寫其元素只寫其元素x.x.如如:不等式不等式x-73的解集可以表示為的解集可以表示為A=x | x10.所有奇數(shù)組成的集合可以表示為所有奇數(shù)組成的集合可以表示為:B=x| x=2k+1,kZ.2022-2-1620說明說明:(1)列舉法

15、和描述法是集合的常用表示方法列舉法和描述法是集合的常用表示方法,兩種方兩種方法各有優(yōu)點(diǎn)法各有優(yōu)點(diǎn),用什么方法表示集合用什么方法表示集合,要具體問題具要具體問題具體分析體分析.要注意，一般集合中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí)，要注意，一般集合中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法不宜采用列舉法 強(qiáng)調(diào)強(qiáng)調(diào)：描述法表示集合應(yīng)注意集合的：描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元代表元素素(x,y)|y= x2 +3x+2與與 y|y= x2+3x+2不同，不同，只要不引起誤解，集合的代表元素只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，也可省略，2022-2-1621例如：例如：整數(shù)整數(shù)，即代表整數(shù)集，即代表整數(shù)集Z

16、。辨析辨析：這里的：這里的 已包含已包含“所有，全體，全部所有，全體，全部 或集或集”的意思，的意思，所以不能寫成所以不能寫成全體整數(shù)全體整數(shù)。下列寫法。下列寫法實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集，R, 高一級全體學(xué)生高一級全體學(xué)生也是錯(cuò)誤的。也是錯(cuò)誤的。 下列表達(dá)式是否正確?(1) Z= 全體整數(shù)全體整數(shù), (2) R= 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集=R(3) (1,2)=1,2 (4) 1,2=2,12022-2-1622(2)在集合的書寫形式上在集合的書寫形式上,要注意規(guī)范性要注意規(guī)范性.(3)在沒有指定集合的表示方法時(shí)在沒有指定集合的表示方法時(shí),能明確表示集合能明確表示集合的要明確表示出來的要明確表示出來. 如關(guān)于如關(guān)于x

17、的方程的方程x-a=0的解集應(yīng)寫成的解集應(yīng)寫成a,而不是而不是a. 如所有小于如所有小于20的既是奇數(shù)又的既是奇數(shù)又是素?cái)?shù)的數(shù)組成的集合表示為是素?cái)?shù)的數(shù)組成的集合表示為3,5,7,11,13,17,19更為明確更為明確; 又如非負(fù)奇數(shù)組成的集合表示為又如非負(fù)奇數(shù)組成的集合表示為x|x=2n+1,nN更為恰當(dāng)更為恰當(dāng),這一點(diǎn)需要注意這一點(diǎn)需要注意.練習(xí)練習(xí):課本課本P6.2022-2-1623練習(xí)練習(xí)1、用符號、用符號 或或 填空：填空：（1）設(shè)）設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合，則為所有亞洲國家組成的集合，則 中國中國 A，美國，美國 A，印度，印度 A，英國，英國 A； （2）若）若A= x|

18、x=x則則-1 A（3）若）若B= x| x+x-6=0則則3 B（4）若）若C= x N| 1x10，則，則8 C, 9.1 C.2.試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑显囘x擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?）由方程）由方程x-9=0的實(shí)數(shù)根組成的集合。的實(shí)數(shù)根組成的集合。（2）由小于）由小于8的所有質(zhì)數(shù)組成的集合。的所有質(zhì)數(shù)組成的集合。（3）一次函數(shù)）一次函數(shù)y=x+3與與y=-3x+6的圖象交點(diǎn)組成的集合的圖象交點(diǎn)組成的集合（4）不等式）不等式4x-53的解集的解集3，-32，3，5，7x| x2（ ， ）415432022-2-16249小結(jié)：小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1)集合的有關(guān)概念：集合的有關(guān)概念： （集合、元素、屬于、不屬于、（集合、元素、屬于、不屬于、 有限集、無